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专题 11.1 与三角形有关线段的几何综合
【典例1】【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3
条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意
两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对
△ABM的面积 BM
应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有 = ．如图5，△ABC中，M
△ACM的面积 CM
1
是BC上一点，且BM= BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积
3
．（用含m的代数式表示）
【思路点拨】（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于
点G，则CG为△ABC的第三条高；
1
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE= ∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得
2
∠ABE=55°，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S =S ，同理S =S ，设S =S =a，则
△ADN △CDN △ABN △CBN △ADN △CDN
1 2 1 2 2 2
S =S = m，再求出S = S = m− a，S = S = m，然后由面积关系求出
△ABN △CBN 2 △CDM 3 △DBC 3 3 △ACM 3 △ABC 3
1
a= m，即可解决问题．
4
【解题过程】
（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，
∴ΔABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=35°，
2
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−35°=55°，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°，
故答案为：25°；②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAD，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
1 1
∴∠BAD=90°− ∠ABC− ∠ACB，
2 2
1 1 1 1
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°− ∠ABC− ∠C−90°= ∠ABC− ∠ACB，
2 2 2 2
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，
故答案为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，
S AN ，
∴ △ADN = =1
S CN
△CDN
∴S =S ，
△ADN △CDN
同理：S =S ，
△ABN △CBN
设S =S =a，
△ADN △CDN
∵△ABC的面积是m，
1
∴S =S = m，
△ABN △CBN 2
1
∴S =S = m−a，
△BCD △ABD 21
∵BM= BC，
3
BM 1
∴ = ，
CM 2
S BM 1，S BM 1，
∴ △BDM = = △ABM = =
S CM 2 S CM 2
△CDM △ACM
∴S =2S ，S =2S ，
△CDM △BDM △ACM △ABM
2 2 1 1 2 2 2
∴S = S = ×( m−a)= m− a，S = S = m，
△CDM 3 △BCD 3 2 3 3 △ACM 3 △ABC 3
∵S =S +S =S +S +S ，
△ACM 四边形CMDN △ADN △CDM △CDN △ADN
2 1 2
即： m= m− a+a+a，
3 3 3
1
解得：a= m，
4
1 2 1 1 5
∴S =S +S = m− × m+ m= m，
四边形CMDN △CDM △CDN 3 3 4 4 12
5
故答案为： m．
12
1．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部
分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（ ）
A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6
2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且
BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）A．28 B．32 C．30 D．29
3．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且
AD 1 CE 1
= ， = ，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
BD m AE n
mn+n+1 mn+m+1 mn+n+1 mn+m+1
A． B． C． D．
n n m m
4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形
DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．28 C．35 D．30
5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，
BE、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S；如图②将边BC、AC分别3等份，BE、AD 相交于点O，
1 1 1 1 1
3
△AOB的面积记为S；……， 依此类推，若S= 则a的值为（ ）
2 5
11A．1 B．2 C．6 D．3
6．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC
的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S、S，且S=36，则S-S =_______．
1 2 1 2
5
7．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB= ，AC=4,CD=3BD，点E
2
是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是___________．
8．（2023春·七年级单元测试）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若
△ABC的面积是14，则△≝¿的面积为_________．
9．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF
的面积为4，则四边形AEFD的面积为______．10．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上的
点，且AE:EB=2:3，点D是BC边上的点，且BD:DC=1:2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的
面积是16，则△ABC的面积为______．
11．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，
AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面
积为5时，线段AC的长度的最小值为___．
12．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD相交于
15
点O．若AD与BC之间的距离为m，AC＝6，BD＝ ，则AD＋BC的最大值为________．
213．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是
AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．
14．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，
且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若
△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
15．（2022秋·全国·七年级期末）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF=2AF，点
E 是CB边的中点，连接E F，E D，得到△E FD；点E 是CE 的中点，连接E F，E D得到△E FD
1 1 1 1 2 1 2 2 2
；点E 是CE 的中点，连接E F，E D，得到△E FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的
3 2 3 3 3
面积等于6，则△E FD的面积是_______．
2022
16．（2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，
∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．
（1）求∠BDC的度数；1
（2）试比较DA+DB+DC与 (AB+BC+AC)的大小，写出推理过程．
2
17．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC边上的
中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．
18．（2022秋·陕西西安·七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S ，则S =______
1 1
.(用含a的代数式表示)
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE.若
△DEC的面积为S ，则S =______.(用含a的代数式表示)
2 2
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图）若阴影部分的面
积为S ，则S =______.(用含a的代数式表示)
3 3
（4）发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图3)，此时，
我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的______
倍．
（5）应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地
上种红花，然后将△ABC向外扩展三次(图4已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种黄花，
第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域(即△ABC的面积是10平方米，
请你运用上述结论求出：
①种紫花的区域的面积；
②种蓝花的区域的面积．
