文档内容
第十二章 全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压
轴）
01 压轴总结
目录
题型一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题............................................................................................1
题型二 与全等三角形有关的多结论问题................................................................................................................7
题型三 全等三角形中的动点综合问题..................................................................................................................13
题型四 全等三角形中的新定义型综合问题..........................................................................................................27
02 压轴题型
题型一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题
例题：如图， ， 于A， 于B，且 ，P点从B向A运动，速度为
，Q点从B向D运动，速度为 ，P、Q两点同时出发，则经过 s后， 与
全等．
巩固训练
1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图， 中， ， ， ，直线 经过
点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿
路径向终点 运动．点 和点 的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为秒，则当 为（ ）秒时， 与 全等．
A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12
2.（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形 中， ，延长 到点E，使
，连接 ，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿 向终点A运动，设点P的
运动时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
3．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图， ，垂足为点 ， 米， 米，射线
，垂足为点 ，动点 从 点出发以2米/秒沿射线 运动，点 为射线 上一动点，随着
点运动而运动，且始终保持 ，当点 经过 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角
形与 全等．
4．如图， 中， ， ， ，点 从 点出发沿 路径向终点运动，
终点为 点；点 从 点出发沿 路径向终点运动，终点为 点．点 和 分别以2和6的运动
速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过 和 作 于 ，
于 ．若要 与 全等，则点 的运动时间为 ．题型二 与全等三角形有关的多结论问题
例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在 和 中， 与 相交于点 ，与
相交于点 ， 与 相交于点 ， ， ， ．给出下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
巩固训练
1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在 中，点M，N分别是边 上的点，且M，
N两点满足 ， 交 于点P，过点P作 交 延长线于点Q，交 于点F，
与 交于点E，若 ，则下列结论：①连接 ，则 平分 ；② ；③
；④ ．成立的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在 中， ， 于 ，
平分 交 于 ， 在 上，并且 ，则下列四个结论：
① ，② ，③ ，④ ，其中正确的结论有（ ）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在 中， ，高 与角平分线 相交于点 ，
的平分线 分别交 ， 于点 ， ，连接 ，下列结论：① ；②
；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
题型三 全等三角形中的动点综合问题
例题：（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在 中， 射
线 点P为射线 上的动点(点P不与点A重合)，连接 ，将线段 绕点B顺时针旋转角度
α后， 得到线段 ， 连接 、 ．
(1)试说明 的理由；
(2)延长 交射线 于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)；
(3)当 时， 过点Q作 垂直射线 ， 垂足为E，那么 (用m、 n
的代数式表示) ．
巩固训练
1．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰 中， ， ， 点为射线
上一动点，连接 ，作 且 ．
(1)如图1，过F点作 交 于G点，求证： ；
(2)如图2，连接 交 于 点，若 ，求证： 点为 中点；
(3)如图3，当 点在 的延长线上时，连接 与 的延长线交于 点，若 ，则 ．
2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）如图（1），在 中， ， ， ，
，现有一动点 ，从点 出发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为
，设运动时间为 ．(1)如图（1），当 ________时， 的面积等于 面积的一半：
(2)如图（2），在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有
一个动点 ，与点 同时从点 出发，沿着边 运动，回到点 停止．在两点运动过程中的某
一时刻，恰好 全等于 ，求点 的运动速度．
3．如图，在等腰 中， ， ， 平分 ．在线段 上有一动点 ，连接
， 为直线 上异于 的一点，连接 、 ．
(1)如图 ，当点 在射线 上时，若 ，直接写出： ______；
(2)如图 ，当点 在射线 的反向延长线上时，
若（1）中的结论仍成立，则 、 、 应满足怎样的数量关系，请证明；
若 ，且 ， ，求 的值．
4．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系 中，点 ，点B为x轴正半轴上一个
动点，以 为边作 ，使 ， ，且点C在第一象限内．(1)如图1，若 ，求点C的坐标．
(2)如图2，过点B向x轴上方作 ，且 ，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离
是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
(3)如图3，过点B向x轴下方作 ，且 ，连结 交x轴于点E，当 的面积是
的面积的2倍时，求 的长．
题型四 全等三角形中的新定义型综合问题
例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形
叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在 中， ，P为边 上一点，若 与 是积等三角形，求
的长；
【理解运用】
（2）如图2， 与 为积等三角形，若 ，且线段 的长度为正整数，求 的
长．
【综合应用】
（3）如图3，在 中 ，过点C作 ，点 是射线 上一点，以
为边作 ，连接 ．请判断 与 是否为积等三角形，并说明理由．
巩固训练
1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，
我们称这两个顶角为“同源角”．如图， 和 为“同源三角形”， ， ，
与 为“同源角”．
(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则
______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为 时，分别取 ， 的中点 ，
，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点
为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．
3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是 ；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是 ；
(3)若 是 的“边垂角”，且 ．
①如图2，已知 ， 交 于点E，点C关于直线 对称点为点F，连接 ， ，且
， ，求证： ；
对于上述问题，小明有这样的想法：在 上截取 ，连接 ，如图3．你明白小明的做法吗？接
下来请你求证 ．
②如图4，若 ，直接写出四边形ABDC的面积．
4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α(
)得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．(1)【探索一】如图1， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，探索 与
的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．是这样思考的：延
长 至E，使 ，连结 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求
出中线 的取值范围．中线 的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中 与 的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E，
的反向延长线交 于点D，探索 是否是 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，
请说明理由．
