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专题 23.2 旋转中的几何综合
◆ 典例分析
【典例1】旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问
题的目的．
（1）【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=2，PB=❑√3，PC=1，求∠BPC的
度数．爱动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′，则
△BPC≌△BP′ A，然后利用△BP′P和△APP′形状的特殊性求出∠BP′ A的度数，就可以解决这道问
题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段．BP′，连接AP′、PP′，
∵BP=BP′，∠P′BP=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB=❑√3．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
请你补全余下的解答过程．
（2）【类比迁移】如图②，在正方形ABCD内有一点P，且PA=❑√17，PB=2❑√2，PC=1，则∠BPC=
______度．
（3）【拓展延伸】如图③，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，在直线AD上方有一点P，
PA=4，PD=2，连接PO，则线段PO的最大值为______．【思路点拨】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是利用旋转变换把将分散的条件相对
集中到一个三角形中解决问题．
（1）将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，证明△PBC≌△P′BA，再证明△AP′P是直角三角
形；
（2）将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，证明△PBC≌△P′BA，再证明△AP′P是直角三角
形；
（3）将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′，证明△POA≌△P′OD，在△PDP′由三角形三边
关系求出PP′的最大值，从而求得OP的最大值．
【解题过程】
（1）解：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP′，连接AP′、PP′，
∵BP=BP′，∠P′BP=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠BP′P=60°，PP′=PB=P′B=❑√3．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
∴△PBC≌△P′BA
∴PC=AP′=1
在△APP′中，
AP′2+PP′2=12+(❑√3) 2=22=AP2
∴∠AP′P=90°
∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=60°+90°=150°
∴∠BPC=∠BP′ A=150°．
（2）解：将线段BP绕点B逆时针旋转90°得到线段BP′，连接AP′、PP′，∵BP=BP′，∠P′BP=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=BA，
∴∠ABC−∠ABP=∠P′BP−∠ABP，
即∠PBC=∠P′BA．
∴△PBC≌△P′BA
∴PC=AP′=1
在△APP′中，
AP′2+PP′2=12+42=(❑√17) 2=AP2
∴∠AP′P=90°
∴∠AP′B=∠BP′P+∠AP′P=45°+90°=135°
∴∠BPC=∠BP′ A=135°．
故答案为：135°．
（3）解：将线段OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′，连接DP'、PP′．
∵OP=OP′，∠P′OP=90°，
∴△POP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=❑√2PB=4．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD−∠POD=∠P′OD−∠POD，
即∠POA=∠P′OD．
∴△POA≌△P′OD
∴PA=P′D=4
在△DPP′中，PP′BF相矛盾，故此种情况不存在；第二种情况：当EF=FC时，过F点作FQ⊥BC于Q点，如
图，在Rt△BFQ中，FQ=❑√BF2−BQ2=❑√7，再在Rt△EFQ中，FE=❑√FQ2+EQ2=2❑√2；第三种情
况：当EC=FC时，过F点作FT⊥BC于T点，过B点作BS⊥FC于S点，如图，根据等腰三角形的性
1
质可得FS=SC= FC=1，再在Rt△BFS中，BS=❑√BF2−FS2=❑√15，利用
2
1 1 BS×FC ❑√15
S = ×BS×FC= ×BC×FT，可得FT= = ，进而在Rt△TFC中，
△BFC 2 2 BC 2
1 3
TC=❑√FC2−FT2= ，即ET=EC−TC= ，再在Rt△TFE中利用勾股定理即可作答．
2 2
【解题过程】
（1）①证明：∵BC绕点B逆时针旋转得到BF，
∴BF=BC，
∵α=60°，即∠FBC=60°，
∴△BCF为等边三角形，
∵E为BC的中点，
∴EF⊥BC；
②由（1）知EF⊥BC，
∴∠FEB=∠FEC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，
如图，过点H作HP⊥AB于点P，则∠HPB=90°，
∴四边形HPBE是矩形，∠AHP=90°−∠BAC=45°，
∴HP=BE=EC，
∴△AHP≌△HCE(ASA)
∴AH=HC，
∴H在AC中点的位置；
（2）存在．EF的长为2❑√2或❑√6．
根据△CEF为等腰三角形，分情况讨论：
第一种情况：当EF=EC时，
∵EB=EC，FB=BC，
∴BE+EF=BE+EC=BC=BF，
∴BE+EF=BF，这与BE+EF>BF相矛盾，故此种情况不存在；
第二种情况：当EF=FC时，过F点作FQ⊥BC于Q点，如图，
∵EF=FC，FQ⊥BC，
1
∴EQ=QC= EC，
2
∵EB=EC，BC=4，BC=BF，
∴EB=EC=2，BF=4，EQ=QC=1，
∴BQ=3，
∴在Rt△BFQ中，FQ=❑√BF2−BQ2=❑√7，∴在Rt△EFQ中，FE=❑√FQ2+EQ2=2❑√2；
第三种情况：当EC=FC时，过F点作FT⊥BC于T点，过B点作BS⊥FC于S点，如图，
∵EC=FC，EB=EC=2，
∴EC=FC=2，
∵BC=BF=4，BS⊥FC，
1
∴FS=SC= FC=1，
2
∴在Rt△BFS中，BS=❑√BF2−FS2=❑√15，
∵FT⊥BC，
1 1
∴S = ×BS×FC= ×BC×FT，
△BFC 2 2
BS×FC ❑√15
∴FT= = ，
BC 2
1
∴在Rt△TFC中，TC=❑√FC2−FT2=
，
2
3
∴ET=EC−TC= ，
2
∴在Rt△TFE中，EF=❑√ET2+FT2=❑√6，
综上：EF的长为2❑√2或❑√6．
15．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠DCE=90°．（1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是______，位置关系是
______；
（2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理
由；
（3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=6，CE=2❑√2，当A，E，D三点在同一直
线上时，直接写出BE的长．
【思路点拨】
（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得
出结论；
（2）先由旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD，得出BE=AD，∠CBE=∠CAD
，进而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出AE，再用勾股定理求出BE
，即可得出结论；
②当点E在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出AE，再由勾股定理求出根据勾股定理
得BE，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC=AC，EC=DC，∠ACB=90°，
∴BC−EC=AC−DC，
∴BE=AD，
∵∠ACB=90°，
∴BE⊥AD，
故答案为：BE=AD，BE⊥AD；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由：由旋转知，∠BCE=∠ACD，
∵BC=AC，EC=DC，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠BHC=90°，
∵∠BHC=∠AHG，
∴∠CAD+∠AHG=90°，
∴∠AGH=90°，
∴BE⊥AD；
（3）解：①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，
∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=2❑√2，
∴DE=❑√CE2+CD2=4，
∵CM⊥AD，
1
∴CM=EM= DE=2，
2
在Rt△ACM中，AC=6，
∴AM=❑√AC2−CM2=4❑√2，
∴AE=AM−EM=4❑√2−2，在Rt△ACB中，AC=6，
AB=❑√AC2+AB2=6❑√2，
在Rt△ABE中，
BE=❑√AB2−AE2=4❑√2+2；
②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，
∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=2❑√2，
∴DE=❑√CE2+CD2=4，
∵CN⊥AD，
1
∴CN=EN= DE=2，
2
在Rt△ACN中，AC=6，
∴AN=❑√AC2−CN2=4❑√2，
∴AE=AN+NE=4❑√2+2，
在Rt△ACB中，AC=6，
AB=❑√AC2+AB2=6❑√2，
在Rt△ABE中，
BE=❑√AB2−AE2=4❑√2−2；
综上，BE的长为4❑√2−2或4❑√2+2．
16．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）【动手操作】某班数学课外兴趣小组将直角三角板DOE（
∠DOE=90°，∠E=30°）的直角顶点O放置在另一块直角三角板ABC（∠ACB=90°，AC=BC）的
斜边AB的中点处，并将三角板DOE绕点O任意旋转．（1）【发现结论】当三角板DOE的两边DO，EO分别与另一块三角板的边AC，BC交于点P，Q时：
①如图1，当OD⊥AC时，OP与OQ的数量关系为______；
②小组成员发现当OD与AC不垂直时（如图2所示），OP与OQ之间仍然存在①中数量关系，请你说明
理由；
③小组成员嘉淇认为在旋转过程中，四边形OPCQ的面积S 与△ABC的面积S 之间始终保持一种不变的关
1 2
系，他们之间的关系是______，并说明理由；
（2）【探究延伸】如图3，连接CD，直角三角板DOE在绕点O旋转一周的过程中，若AB=12cm，
DE=14cm，直接写出线段CD长的最小值和最大值．
【思路点拨】
（1）①连接OC，由已知可证四边形CPOQ是正方形，即可得OP=OQ；②连接CO，证明
△AOP≌△COQ，即得OP=OQ；③由△AOP≌△COQ，知S =S ，故
△AOP △COQ
1
S =S +S =S +S =S = S ，四边形OPCQ的面积始终保持不变；
四边形OPCQ △COQ △COP △AOP △COP △AOC 2 △AOB
（2）由AB=12cm，DE=14cm，∠DOE=90°，∠E=30°，∠ACB=90°，AC=BC，求出
1 1
OC= AB=6cm，OD= DE=7cm，当点D，C，O在一条直线上，且点C在点D和点O之间时，线段
2 2
CD长的最小，此时线段CD长的最小值为OD−OC=1cm；当点D，C，O在一条直线上，且点，O在点
D和点C之间时，线段CD长的最大，此时线段CD长的最大值为OD+OC=13cm．
【解题过程】
（1）解：①OP=OQ，理由如下：
连接OC，如图：∵∠ACB=∠CPO=∠POQ=90°，
∴四边形CPOQ是矩形，
∵∠ACB=90°，AC=BC，O为AB中点，
1
∴∠ACO= ∠ACB=45°，
2
∵OD⊥AC，
∴∠COP=45°=∠ACO，
∴CP=OP，
∴四边形CPOQ是正方形，
∴OP=OQ，
故答案为：OP=OQ；
②OP=OQ，理由如下：
连接CO，如图：
∵∠ACB=90°，AC=BC，O为AB中点，
1
∴CO=AO= AB，∠BCO=∠A=45°，CO⊥AB，
2
∴∠AOC=90°=∠DOE，
∴∠AOP=∠COQ，
在△AOP和△COQ中，{
∠OCQ=∠A
)
OC=OA ，
∠AOP=∠COQ
∴△AOP≌△COQ(ASA)，
∴OP=OQ；
1
③S = S ，理由如下：
1 2 2
∵△AOP≌△COQ，
∴S =S ，
△AOP △COQ
1
∴S =S +S =S +S =S = S ，
四边形OPCQ △COQ △COP △AOP △COP △AOC 2 △AOB
∵S 不变，
△AOB
1
∴四边形OPCQ的面积始终保持不变，即S = S ，
1 2 2
1
故答案为：S = S ；
1 2 2
（2）如图：
∵AB=12cm，DE=14cm，∠DOE=90°，∠E=30°，∠ACB=90°，AC=BC，
1 1
∴OC= AB=6cm，OD= DE=7cm，
2 2
在△OCD中，OD−OC
