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专题 11.1 与三角形有关线段的几何综合
【典例1】【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，同时，我们知道，三角形的3
条高所在直线交于同一点．
（1）①如图1，△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 ；
②如图2，△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE、AD，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意
两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出△ABC的第三条高．（不写画法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，过点B作BE⊥AD于点E．
①若∠ABC=80°，∠C=30°，则∠EBD= ；
②请写出∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系 ，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对
△ABM的面积 BM
应底边的比．如图4，△ABC中，M是BC上一点，则有 = ．如图5，△ABC中，M
△ACM的面积 CM
1
是BC上一点，且BM= BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是m，请直接写出四边形CMDN的面积
3
．（用含m的代数式表示）
【思路点拨】
（1）①由直角三角形三条高的定义即可得出结论；②延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
1
（2）①由三角形内角和定理和角平分线定义得∠BAE= ∠BAC=35°，再由直角三角形的性质得
2
∠ABE=55°，即可求解；②由三角形内角和定理和角平分线定义求解即可；
（3）连接CD，由中线的性质得S =S ，同理S =S ，设S =S =a，则
△ADN △CDN △ABN △CBN △ADN △CDN
1 2 1 2 2 2
S =S = m，再求出S = S = m− a，S = S = m，然后由面积关系求出
△ABN △CBN 2 △CDM 3 △DBC 3 3 △ACM 3 △ABC 3
1
a= m，即可解决问题．
4
【解题过程】
（1）解：①∵直角三角形三条高的交点为直角顶点，∠A=90°，
∴ΔABC的三条高所在直线交于点A，
故答案为：A；
②如图2，延长BE、DA交于点F，连接CF，延长BA交CF于点G，则CG为△ABC的第三条高；
（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=70°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=35°，
2
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−35°=55°，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=80°−55°=25°，
故答案为：25°；
②∠EBD与∠ABC，∠C之间的数量关系为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB，理由如下：
∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAD，
∴∠EBD=∠ABC−∠ABE=∠ABC+∠BAD−90°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB，
1 1
∴∠BAD=90°− ∠ABC− ∠ACB，
2 2
1 1 1 1
∴∠EBD=∠ABC+∠BAD−90°=∠ABC+90°− ∠ABC− ∠C−90°= ∠ABC− ∠ACB，
2 2 2 2
∴2∠EBD=∠ABC−∠ACB，
故答案为：2∠EBD=∠ABC−∠ACB；
（3）解：连接CD，如图5所示：
∵N是AC的中点，
S AN
∴ △ADN = =1，
S CN
△CDN
∴S =S ，
△ADN △CDN
同理：S =S ，
△ABN △CBN
设S =S =a，
△ADN △CDN
∵△ABC的面积是m，
1
∴S =S = m，
△ABN △CBN 2
1
∴S =S = m−a，
△BCD △ABD 2
1
∵BM= BC，
3BM 1
∴ = ，
CM 2
S BM 1 S BM 1
∴ △BDM = = ， △ABM = = ，
S CM 2 S CM 2
△CDM △ACM
∴S =2S ，S =2S ，
△CDM △BDM △ACM △ABM
2 2 1 1 2 2 2
∴S = S = ×( m−a)= m− a，S = S = m，
△CDM 3 △BCD 3 2 3 3 △ACM 3 △ABC 3
∵S =S +S =S +S +S ，
△ACM 四边形CMDN △ADN △CDM △CDN △ADN
2 1 2
即： m= m− a+a+a，
3 3 3
1
解得：a= m，
4
1 2 1 1 5
∴S =S +S = m− × m+ m= m，
四边形CMDN △CDM △CDN 3 3 4 4 12
5
故答案为： m．
12
1．（2022春·江苏盐城·七年级校考阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部
分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（ ）
A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6
【思路点拨】
S BE 1
如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得 ΔBEF = = ，进而得到
S AB 3
ΔABF
1 4 4
S = S ，同理得出S = S ，进而得到S = S 即可解答．
ΔBEF 3 ΔABF ΔABF 9 ΔABC ΔBEF 27 ΔABC
【解题过程】解：如图：连接AF
∵BE=3，AE=6，
∴AB=9，
∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等，
S BE 1 1
∴ ΔBEF = = ，即S = S
S AB 3 ΔBEF 3 ΔABF
ΔABF
4 4
同理可得：S = S ，即S = S
ΔABF 9 ΔABC ΔBEF 27 ΔABC
∴S ：S =4：23．
△BEF 四边形AEFC
故选：A．
2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是BC边上一点，且
BE＝4EC，CD与AE交于点F，连接BF．若四边形BEFD的面积是14，则△ABC的面积是 （ ）
A．28 B．32 C．30 D．29
【思路点拨】
根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，来计算．设△EFC的面积为a，△AFC的面
积为b，则△AEC的面积为a+b，根据BE=4EC，D为AB中点，找到相关等量关系，列出关于a、b的二元
一次方程组，解方程即可求解．
【解题过程】
解：设△EFC的面积为a，△AFC的面积为b，则△AEC的面积为a+b，
∵BE=4EC，
∴根据三角形的高相等时，三角形面积之比等于底边边长之比，
有：S =4S =4a，S =4S =4(a+b)，
△BEF △EFC △BEA △EAC∴S =S −S =4(a+b)−4a=4b，
△BAF △ABE △BEF
∵D为AB中点，
1
∴S =S = S =2b，S =S ，
△BDF △ADF 2 △ABF △BDC △ADC
∵S =S +S +S =2b+4a+a=2b+5a，S =S +S =2b+b=3b，
△BDC △BDF △BEF △FEC △ADC △ADF △ACF
∴3b=2b+5a，即b=5a，
∵四边形BEFD面积为14，
∴S =S +S =2b+4a=14，
四边形BEFD △BDF △BEF
{ b=5a ) {a=1)
∴ ，解得 ，
2b+4a=14 b=5
∵△ABC的面积为S =S +S ，
△ABC △BDC △ADC
∴S =(2b+5a)+3b=5b+5a=30，
△ABC
故选：C．
3．（2022春·江苏苏州·七年级期末）如图，在△ABC中，D是边AB上的点，E是边AC上的点，且
AD 1 CE 1
= ， = ，若△BCF的面积为1，则△ABC的面积为（ ）
BD m AE n
mn+n+1 mn+m+1 mn+n+1 mn+m+1
A． B． C． D．
n n m m
【思路点拨】
AD 1 S AD 1 S AD 1 S 1
连结AF，由 = ，得 ΔACD = = ， ΔAFD = = 推出 ΔAFC = ，△BCF的面积为1，求出
BD m S BD m S BD m S m
ΔBCD ΔBFD ΔBFC
1 1 CE 1 S 1
S = S = ，由 = ，同理 ΔBFC = 求出S =nS =n由面积和得
ΔAFC m ΔBFC m AE n S n ΔBFA ΔBFC
ΔBFA
mn+m+1
S =S +S +S = ．
ΔABC ΔAFC ΔBFA AFB m
【解题过程】
解：连结AF，AD 1
∵ = ，
BD m
S AD 1
∴ ΔACD = = ，
S BD m
ΔBCD
S AD 1
∴ ΔAFD = = ，
S BD m
ΔBFD
设S△ =a，S△ =b，
ACD AFD
∴S =mS =ma，S =mS =mb，
ΔBCD ΔACD ΔBFD ΔAFD
S S -S a−b 1
∴ ΔAFC = ΔACD ΔAFD = = ，
S S -S ma−mb m
ΔBFC ΔBCD ΔBCF
△BCF的面积为1，
1 1
S = S = ，
ΔAFC m ΔBFC m
CE 1
由 = ，
AE n
S 1
同理 ΔBFC = ，
S n
ΔBFA
∴S =nS =n，
ΔBFA ΔBFC
1 mn+m+1
S =S +S +S = +1+n= ．
ΔABC ΔAFC ΔBFA AFB m m
故选择：D．
4．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形
DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（ ）
A．24 B．28 C．35 D．30【思路点拨】
连接CG、BF，设S =m，表示出S 、S ，进而得出四边形DEFG的面积的表达式，从而求出
ΔAFG ΔBDG ΔCFE
m的值，即可得出△ABC的面积．
【解题过程】
解：连接CG、BF，过点F作FM⊥AB于点M，
设S =m，
ΔAFG
∵G为AB的中点，
∴AG=BG，
1 1
∵S = ·AG·FM，S = ·BG·FM，
ΔAFG 2 ΔFGB 2
∴S =S =m，
ΔAFG ΔFGB
∴S =2m，
ΔAFB
∵CF=4AF，
∴同理可得：S =8m，
ΔBFC
∴S =10m，
ΔABC
∵BD=DE=EC，
∴BC=3EC，
1 8
∴同理可得：S = S = m，
ΔCFE 3 ΔBFC 3
∵G为AB的中点，
∴同理可得：S =S =5m，
ΔACG ΔBCG
∵BD=DE=EC，
∴BC=3BD，
1 5
∴同理可得：S = S = m，
ΔBDG 3 ΔBCG 3
8 5 14
∴四边形DEFG的面积为：10m−m− m− m= m，
3 3 314
∴ m=14，解得：m=3，
3
∴S =10m=10×3=30，
ΔABC
故选：D．
5．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，
BE、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S；如图②将边BC、AC分别3等份，BE、AD 相交于点O，
1 1 1 1 1
3
△AOB的面积记为S；……， 依此类推，若S= 则a的值为（ ）
2 5 11
A．1 B．2 C．6 D．3
【思路点拨】
利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．
【解题过程】
解：在图①中，连接OC，
∵AE =CE ，BD =CD ，
1 1 1 1
1 1
∴ S =S ，S =S ，S =S = S = a，
△OAE 1 △OCE 1 △OBD 1 △OCD 1 △ABE 1 △ABD 1 2 ΔABC 2
∵ S =S −S ，S =S −S ，
△OAE △ABE ΔOAB △OBD △ABD ΔOAB
1 1 1 1
∴ S =S ，
△OAE △OBD
1 1∴ S =S =S =S ，
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1
设S =S =S =S =x，则
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1
{ S +x= 1 a)
1 2 ，
S +4x=a
1
1
解得S = a；
1 3
在图②中，连接OE 、OC、OD ，
2 2
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 3 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OCE 2 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OCD 2
设S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OCE △OBD △OD D △OCD
1 1 2 2 1 1 2 2
{ S +x= 1 a)
2 3 ，
S +6x=a
3
1
解得S = a；
2 5
在图③中，连OE 、OE 、OC、OD 、OD ，
2 3 2 31
则S =S = a，S =S =S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 4 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OE 2 E 3 △OCE 3 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OD 2 D 3 △OCD 3
设S =S =S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OE E △OCE △OBD △OD D △OD D △OCD
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
{ S +x= 1 a)
3 4 ，
S +8x=a
3
1
解得S = a，
3 7
.....．
1
由可知，S = a，
n 2n+1
3
∵S = ，
5 11
1 3
∴ a= ，
2×5+1 11
解得a=3．
故选：D
6．（2022春·江苏扬州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC
的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S、S，且S=36，则S-S =_______．
1 2 1 2
【思路点拨】
S −S =S −S ，所以求出△ABD的面积和△ABE的面积即可，而EC=2BE，点D是AC
△ADF △BEF △ABD △ABE
1 1
的中点，且S =36，则有S = S =18，S = S =12，由此即可求出S −S 的值．
ΔABC ΔABD 2 ΔABC ΔABE 3 ΔABC 1 2
【解题过程】
1
解：∵点D是AC的中点，即：AD= AC，
2
∵S =36，
ΔABC1 1
∴S = S = ×36=18．
△ABD 2 △ABC 2
∵EC=2BE，S =36，
ΔABC
1 1
∴S = S = ×36=12，
△ABE 3 △ABC 3
∵S −S =(S +S )−(S +S )=S −S ，
△ABD △ABE △ADF △ABF △ABF △BEF △ADF △BEF
即S −S =S −S =18−12=6，
△ADF △BEF △ABD △ABE
即S −S =6．
1 2
故答案为：6．
5
7．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB= ，AC=4,CD=3BD，点E
2
是AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是___________．
【思路点拨】
9
连接CF，设S =a，然后求出图中各个三角形的面积，从而得到S = S ，再求出
△BFD 四边形DCEF 20 △ABC
△ABC面积最大值，即可求出答案．
【解题过程】
解：连接CF，如图所示，设S =a，
△BFD
∵ CD=3BD，
∴S =3a,S =3S ，
△CFD △ACD △ABD
∵点E是AC的中点，
∴S =S ,S =S ，
ΔABE ΔCBE ΔAFE ΔCFE
∴S =S =4a，
ΔABF ΔCBF∴S =5a,S =15a，
ΔABD ΔACD
∴S =15a−3a=12a,S =20a，
ΔAFC ΔABC
∴S =6a，
ΔEFC
∴S =9a，
四边形DCEF
9
∴S = S ，
四边形DCEF 20 ΔABC
5
∵在ΔABC中，AB= ，AC=4，
2
1 5
∴S 的最大值为： × ×4=5，
ΔABC 2 2
9 9
∴S 的最大值为 ×5= ；
四边形DCEF 20 4
9
故答案为： ．
4
8．（2023春·七年级单元测试）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若
△ABC的面积是14，则△≝¿的面积为_________．
【思路点拨】
连接AF，BD，CE，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进
行计算，得到7S =S =14，计算即可求解．
ΔDEF ΔABC
【解题过程】
解：如图，连接AF，BD，CE，
∵点D是AE的中点，点E是BF的中点，∴BD是ΔABE的中线，DE是ΔBDF的中线，
∴S =S ，S =S ，
ΔABD ΔBDE ΔDEF ΔBDE
∴S =S =S ；
ΔABD ΔBDE ΔDEF
同理可得S =S =S ；S =S =S ；
ΔBCE ΔCEF ΔDEF ΔACF ΔADF ΔDEF
∴S =S = S =S = S =S =S ，
ΔABD ΔBDE ΔBCE ΔCEF ΔACF ΔADF ΔDEF
∵S +S + S +S + S +S +S =S ，S =14，
ΔABD ΔBDE ΔBCE ΔCEF ΔACF ΔADF ΔDEF ΔABC ΔABC
∴7S =S =14，解得S =2，
ΔDEF ΔABC ΔDEF
故答案为：2
9．（2022春·重庆·七年级西南大学附中校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF
的面积为4，则四边形AEFD的面积为______．
【思路点拨】
根据等底等高的三角形面积相等即可解决问题．
【解题过程】
解：如图，连接AF，
∵EF=FC，△BEF的面积为4，
∴S =4，
△BFC
∵BF=2FD，
1
∴S = S =2，
△DFC 2 △BFC
∵EF=FC，
∴S =S =S +2，
△AEF △AFC △ADF∵BF=2FD，
∴S =2S ，
△ABF △ADF
∴S +S =2S ，
△AEF △BEF △ADF
∴S +2+4=2S ，解得S =6，
△ADF △ADF △ADF
∴S =6+2=8，
△AEF
∴S =S +S =6+8=14．
四边形AEFD △ADF △AEF
故答案为：14．
10．（2022春·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上的
点，且AE:EB=2:3，点D是BC边上的点，且BD:DC=1:2，AD与CE相交于点F，若四边形BDFE的
面积是16，则△ABC的面积为______．
【思路点拨】
2 1 2
连接FB，设S BDF＝a，S BEF＝b，推出S AEF= b，S CDF＝2a，S ABD= S ACD=（16+ b），
△ △ △ 3 △ △ 2 △ 3
2
S ACE= （16+2a），根据S ACF＝S ACD﹣S CDF＝S ACE﹣S AEF得到10a﹣6b＝64，与a+b＝16构
△ 3 △ △ △ △ △
成方程组，解方程组求得a、b的值，进而即可求得△ABC的面积．
【解题过程】
解：连接FB，如图所示：设S BDF＝a，S BEF＝b，
△ △
AE 2
∵ = ，
EB 3
2
∴S AEF= b，
△ 3
∵BD：DC＝1：2，
∴S CDF＝2a，
△
1 2 2
∴S ABD= S ACD＝16+ b，S ACE= （16+2a），
△ 2 △ 3 △ 3
∵S ACF＝S ACD﹣S CDF＝S ACE﹣S AEF，
△ △ △ △ △
4 2 2
∴32+ b﹣2a= （16+2a）− b，
3 3 3
∴10a﹣6b＝60，
∵a+b＝16，
¿，
解得¿，
∴S ABC＝S ACD+S AEF+S BDFE
△ △ △ 四边形
4 2
＝（32+ b）+ b+16
3 3
＝48+2b
＝48+12＝60．
故答案为60．
11．（2022春·江苏无锡·七年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，点C为直线AB外一动点，
AB=5，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面
积为5时，线段AC的长度的最小值为___．【思路点拨】
如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出S =15从而
△ABC
求出CH=6，即可利用点到直线的距离垂线段最短求解．
【解题过程】
解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
1
∴S =S = S =S =S ，S =S ，S =S ，
△ABE △ACE 2 △ABC △ADC △BDC △AFD △BFD △CEF △BEF
∴S +S =S +S ，S +S =S +S =S =5，
△CEF 四边形BDFE △CEF △ACF △AFD △CEF △BEF △BFD 四边形BDFE
∴S =S =5，
四边形BDFE △ACF
∴S =S +S +S +S =15，
△ABC △ACF 四边形BDFE △AFD △CEF
1
∴ CH⋅AB=15，
2
∴CH=6，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴AC≥CH=6，
∴AC的最小值为6，故答案为：6．
12．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD相交于
15
点O．若AD与BC之间的距离为m，AC＝6，BD＝ ，则AD＋BC的最大值为________．
2
【思路点拨】
作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，由面积法可得S
梯 形A
=
B
S
C△DADC
+S
△ABC
，进而可得
1 45
m(AD+BC)=3DF+3BE ，而3DF+3BE≤ ，可得答案．
2 2
【解题过程】
解：如图，作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，DH⊥BC于点H，得DH=m，
1 1 1 1
∴S = DF·AC= ×6DF=3DF,S = BE·AC= ×6BE=3BE，
△ADC 2 2 △ABC 2 2
1 1
而S = (AD+BC)·DH= m(AD+BC)，
梯形ABCD 2 2
∵S =S +S ，
梯形ABCD △ADC △ABC
1
∴ m(AD+BC)=3DF+3BE，
2
15 45
而3DF+3BE=3(DF+BE)≤3BD=3× = ，
2 2
1 45
∴ m(AD+BC)≤
2 2
45
得：AD+BC≤ ，
m45
∴AD＋BC的最大值为 ，
m
45
故答案为：
m
13．（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，点E是
AC的中点，BE、AD交于点F，则四边形DCEF的面积的最大值是______．
【思路点拨】
连接FC，设S =a，利用CD=4BD及中点，分别表示四边形DFEC的面积与△ABC的面积，利用
△BFD
△ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，从而可得答案．
【解题过程】
解：连接FC，
∵ CD=4BD，
设S =a，则S =4a，
△BFD △DFC
∵E为AC的中点，
∴S =S ，S =S ，
△BAE △CBE △AFE △CFE
∴S =S =5a，
△ABF △CBF
∴S =4S =24a,
△ADC △ADB
∴S =S =10a，S =30a，S =14a,
△AFE △CFE △ABC DFEC
7
∴四边形DFEC的面积= S ，
15 △ABC
∴ △ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，
∴当AB⊥AC时，△ABC的面积最大，四边形DFEC的面积最大，7 7 1
此时四边形DFEC的面积= S = × ×5×6=7，
15 △ABC 15 2
故答案为：7．
14．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，点D，点E分别是AC和AB上的点，
且满足AE=2BE，CD=3AD，过点A的直线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点F．若
△CDF的面积为12，则四边形AEOD的面积为____________．
【思路点拨】
连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
【解题过程】
解：如图，连接AO，
∵CD=3AD，
∴AD：CD=1：3，
1 1
∴S = S ，S = S ，3S =S ，
△ADF 3 △CDF △ADO 3 △CDO △ABD △CBD
∵S =12，
△CDF
∴S =4，S =16，
△ADF △ACF
∵AF∥BC，
∴S =S =16，
△ABF △ACF
∴S =12，
△ABD
∴S =36，S =48，
△CBD △ABC
∵AE=2BE，
∴BE：AE=1：2，
∴S =2S ，S =2S ，
△AEC △BEC △AEO △BEO∴S =32，S =16，
△AEC △BEC
∴S +S +S =2(S +S )，
△AOE △AOD △COD △BOE △BOC
即S +S +S =2S +2S ，
△AOE △AOD △COD △BOE △BOC
1 4
∴ S +S =2S ，即 S =2S ，
3 △COD △COD △BOC 3 △COD △BOC
∴S :S =3:2，
△COD △BOC
∵S =S +S =36，
△BCD △BOC △COD
108
∴S = ，
△COD 5
108 52
∴S AEOD=S −S =32− = ．
四边形 △AEC △COD 5 5
52
故答案为： ．
5
15．（2022秋·全国·七年级期末）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF=2AF，点
E 是CB边的中点，连接E F，E D，得到△E FD；点E 是CE 的中点，连接E F，E D得到△E FD
1 1 1 1 2 1 2 2 2
；点E 是CE 的中点，连接E F，E D，得到△E FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的
3 2 3 3 3
面积等于6，则△E FD的面积是_______．
2022
【思路点拨】
1 1 1
由题意得：AB=CD,AD=BC， ∠A=∠B=∠C=90°，AF= AB，BE =CE = BC= AD，
3 1 1 2 2
1
AB=CD=3AF，S =S −(S +S +S )，整理可得，S =3− ，从而得解．
△E 1 FD ABCD △ADF △E 1 BF △E 1 CD △E n FD 2n
【解题过程】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∠A=∠B=∠C=90°，
∵BF=2AF，点E 是CB边的中点，
11 1 1
∴AF= AB，BE =CE = BC= AD，
3 1 1 2 2
AB=CD=3AF，
∴S =S −(S +S +S )，
△E FD ABCD △ADF △E BF △E CD
1 1 1
(1 1 1 )
=6− AD•AF+ BE •BF+ CE •CD ，
2 2 1 2 1
1 ( 1 1 )
=6− AD•AF 1+ ×2+ ×3 ，
2 2 2
1 1 ( 1 1 )
=6− AD• AB 1+ ×2+ ×3 ，
2 3 2 2
1 ( 1 1 )
=6− ×6× 1+ ×2+ ×3 ，
6 2 2
( 1 1 )
=6− 1+ ×2+ ×3 ，
2 2
∵E 是CE 的中点，
2 1
3 3 1 1
∴BE = BC= AD，CE = BC= AD，
2 4 4 2 4 4
∴S =S −(S +S +S )，
△E FD ABCD △ADF △E BF △E CD
2 2 2
( 3 1 )
整理得：S =6− 1+ ×2+ ×3 ，
△E 2 FD 4 4
( 7 1 )
同理可得：S =6− 1+ ×2+ ×3 ，
△E 3 FD 8 8
( 2n−1 1 )
∴S =6− 1+ ×2+ ×3 ，
△E n FD 2n 2n
1
=3−
．
2n
1
S =3− ．
△E 2022 FD 22022
1
故答案为：3− ．
22022
16．（2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，
∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．（1）求∠BDC的度数；
1
（2）试比较DA+DB+DC与 (AB+BC+AC)的大小，写出推理过程．
2
【思路点拨】
（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+ ∠ACB=110°，再由角平分线的定义求出
∠CBD+ ∠BCD=55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案；
（2）由三角形的三边关系得： DA+DB> AB，DB+DC> BC，DA+DC> AC，则2 (DA+DB+DC) >
AB+BC+AC，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
1 1
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC，∠ACD=∠BCD= ∠ACB ，
2 2
1 1
∴∠CBD+∠BCD= (∠ABC+∠ACB) = ×110°=55°，
2 2
∴∠BDC=180°- (∠CBD+ ∠BCD)=180°- 55°=125°；
1
（2）解：DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ，理由如下：
2
在△ABD中，由三角形的三边关系得： DA+DB>AB①，
同理∶ DB+DC> BC②，DA+DC> AC③，
+②+③得∶ 2 (DA+DB+DC) >AB+BC+AC，
1
∴DA+DB+DC> (AB+BC+AC) ．
2
17．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC边上的
中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．【思路点拨】
根据AD是BC边上的中线，可以得到BD=CD，设BD=CD=x，AB= y，则BC=2x，AC=4x．分两
种情况讨论：当AC+CD=60，AB+BD=40时，求出x、y的值，即可确定AC和AB的值；当
AC+CD=40，AB+BD=60时，同理可求出AC和AB的值，注意检验所得到的答案是否满足三角形的三
边关系．
【解题过程】
解：因为AD是BC的中线，所以BD=CD，
设BD=CD=x，AB= y，则BC=BD+CD=2x，AC=2BC=4x，
分两种情况讨论：
①AC+CD=60，AB+BD=40，
则4x+x=60，x+ y=40，
解得x=12，y=28，
即AC=4x=48，AB=28；
②AC+CD=40，AB+BD=60，
则4x+x=40，x+ y=60，
解得x=8，y=52，
即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，
此时AC+BC
