数学-东北育才高中2025-2026学年度高一下学期第一次月考_2026年04月高一试卷_260412东北育才高中2025-2026学年度高一下学期第一次月考

东北育才高中 2025—2026 学年度下学期 高一年级数学科第一次月考试卷 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人 校对人：高一数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列说法正确的是（ ）  A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则 是第一象限角 2 C．大于90°的角一定是钝角 D．若是锐角，则2𝛼是第二象限角  3π 2．已知向量𝑎⃗ =(−1,√3),𝑏⃗⃗ =(2,−√3),𝑎⃗与b 的夹角为，则sin  −  =（ ）  2  3 5 5 5 5 7 5 7 A． B．− C．− D． 7 7 14 14  3．函数 f (x)=cos(x+)（0, ）的部分图象如图 2 所示，则 f (x)的单调递减区间为（ ）  1 3  1 3 A． kπ− ,kπ+ ，kZ B． 2kπ− ,2kπ+ ，kZ      4 4  4 4  1 3  1 3 C． k− ,k+ ，kZ D． 2k− ,2k+ ，kZ      4 4  4 4    4．已知直线x= 是函数 f(x)=2sin(2x+)|| 的图象的一条对称轴，为了得 8  2   到函数y= f(x)的图象，可把函数y=2cos2x− 的图象（ ）  6   A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 24 24   C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 12 12     1   3   5．若0 ,− 0,cos += ,cos − = ，则cos+ =（） 2 2 4  3 4 2 3  2 3 3 5 3 6 A． B．− C． D．− 3 3 9 9 高一年级数学试卷第1页，共4页6．已知ABC，点H ，O为ABC所在平面内的点，且AHAB= AHAC， BHBA=BHBC，OA+OB+OC=OH， 则点O为ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ( ) ( ) 7．已知平面向量a，b，c，满足 a = b =ab=2，且 a−2c  b−c =0，则 a−c 的最小值为（ ） 3−1 7− 3 3 7 A． B． C． D． 2 2 2 2  π 8．当x[0,2π]时，曲线y=sin2x与y=sinx− 有3个交点，则正实数的取  6 值范围为（ ） 11 43 31 11 19 31  7 19 A．  ,  B．  ,  C．  ,  D．  ,  12 36 36 12 36 36 36 36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 1 9．已知sin+cos= ，(0,π) ，则下列等式正确的是（ ） 5 12 7 A．sincos=− B．sin−cos= 25 5 3 7 C．tan=− D．sin2−cos2= 4 25 10．已知向量𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗=(1,3)，𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗=(−2,4)，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗=𝜆𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗+(1−𝜆)𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗，其中𝜆∈𝐑，则下 列命题正确的是( ) A. 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗在𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗上的投影向量为(−1,2) B. |𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗|的最小值是√ 10 C. 若𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗>0，则𝜆(1−𝜆)>0 D. 若𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗<0，则𝜆(1−𝜆) <0 11．设函数 f (x)的定义域为R， f (x+π)为偶函数， f (x+2π)为奇函数，当 x(0,π时， f (x)=cosx，则下列结论正确的是（ ） 5π 2  7π A． f  =− B． f (x)在3π, 上单调递增  4  2  2  C． f (x)关于直线x=9π对称 D．方程3f (x)−lnx=0有5个实数解 高一年级数学试卷第2页，共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2𝜋 12. 如图所示，已知扇形𝐴𝑂𝐵的圆心角∠𝐴𝑂𝐵为 ，半径长为6， 3 则阴影部分的面积是 ． 𝜋 3𝜋 13. 已知𝑓(𝑥)=2sin (2𝑥+ )，若存在𝑥 ，𝑥 ，𝑥 ∈[0, ]，使得𝑓(𝑥 )=𝑓(𝑥 ) =𝑓(𝑥 )， 1 2 3 1 2 3 3 2 若𝑥 +𝑥 +𝑥 的最大值为𝑀，最小值为𝑁，则𝑀+𝑁 = ． 1 2 3 14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐸，𝐹是𝐴𝐷上的两个 三等分点，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗ =4，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗ =−1，则𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗⃗⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐸⃗⃗的值 是 ． 四、解答题：本题共5大题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，角𝜃的始边为𝑥轴的正半轴，终边在第二象限 3 与单位圆交于点𝑃，点𝑃的横坐标为− ． 5 𝑐𝑜𝑠𝜃+3𝑠𝑖𝑛𝜃 (1)求 的值； 3𝑠𝑖𝑛𝜃−cos𝜃 (2)若将射线𝑂𝑃绕点𝑂逆时针旋转 𝜋 ，得到角𝛼，求sin2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−cos2𝛼的值． 2 16.（15分） 𝜋 函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|< )的部分图象如图所示． 2 (1)求𝑓(𝑥)的解析式； 3 𝜋 (2)若𝑓(𝑥 )= ，求cos(2𝑥 − )的值； 0 0 5 6 (3)若∀𝑥 ∈[− 𝜋 , 𝜋 ],[𝑓(𝑥)]2−𝑚𝑓(𝑥)−1≤0恒成立， 4 4 求𝑚的取值范围． 高一年级数学试卷第3页，共4页2 3 17.（15分）在平面直角坐标系中，已知𝐴(𝑡, ),𝐵(8−𝑚,8− 𝑚),𝐶(7−𝑚,0)， 𝑡 2 𝑡,𝑚∈𝑅,𝑡 ≠0． (1)若𝑡 =1,𝑚 =4，𝑃为𝑥轴上的一动点，点𝐴′(1,−2)． (ⅰ)当𝐴′,𝑃,𝐵三点共线时，求点𝑃的坐标； (ⅱ)求|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗|+|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗|的最小值； (2)若𝑡 =sin 𝜃，𝜃 ∈(0,𝜋)，且𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗与𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗的夹角𝛼 ∈[0, 𝜋 )，求𝑚的取值范围． 2 18.（17分） “算两次”原理(又称富比尼原理)是一种重要的数学思想，其核心是通过对同一量采用 两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐷为𝐵𝐶的中点，则𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗=𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗+𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗，𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗=𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗+𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗，两式相加得 2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗=𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗+𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗+𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗+𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗，因为𝐷为𝐵𝐶的中点，所以𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗+𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗=0⃗⃗， 于是2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗=𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗+𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗.请用“算两次”的方法解决下列问题． (1)如图乙，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点， 证明：2𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗=𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗+𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗． 1 (2)如图丙，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐷，𝐵𝐶上，且𝐴𝐸 = 𝐴𝐷， 4 𝐵𝐹 = 1 𝐵𝐶，𝐴𝐵 =4，𝐷𝐶 =3，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗与𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗的夹角为60∘，求𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⋅𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗． 4 1 1 (3)若在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐷，𝐵𝐶上，且𝐴𝐸= 𝐴𝐷，𝐵𝐹 = 𝐵𝐶，𝐴𝐵 = 𝑚 𝑚 𝑝，𝐷𝐶 =𝑞，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗与𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗⃗的夹角为𝛼，求𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⋅𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗⃗． 19.（17分） 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥+√ 1+cos𝑥+√ 1−cos𝑥 (1)若𝑎 =0,𝑥 ∈[0,𝜋]，求𝑓(𝑥)的值域； 1 1 (2)若𝑎 >0,𝑥 ∈[0,2𝜋]，都有𝑓(𝑥)≥ 𝑎+ 恒成立，求𝑎的取值范围． 2 2 高一年级数学试卷第4页，共4页东北育才高中 2025—2026 学年度下学期 高一年级数学科第一次月考试卷 解析版 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题5分，共 40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．下列说法正确的是（ ）  A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则 是第一象限角 2 C．大于90的角一定是钝角 D．若是锐角，则2是第二象限角 【答案】B 【解析】对于选项A：例如390=360+30为第一象限角，但不是锐角，故A错误；   对于选项B：若是钝角，则90180，可得45 90，所以 是第一象限角，故B正确； 2 2 对于选项C：例如18090，但180不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如=45为锐角，则2=90不是第二象限角，故D错误； 故选：B. ( ) ( )  3π 2．已知向量a= −1, 3 ,b = 2,− 3 ,a与b 的夹角为，则sin− =（ ）  2  3 5 5 5 5 7 5 7 A． B．− C．− D． 7 7 14 14 【答案】C 【解析】由题ab=(−1)2+ 3(− 3)=−2−3=−5， |a|= (−1)2+( 3)2 = 1+3=2,|b|= 22+(− 3)2 = 4+3 = 7， ab −5 5 7  3π  3π 5 7 cos= = =− ，所以sin− =cos,sin− =− ． |a||b| 2 7 14  2   2  14 故选：C．  3．函数 f (x)=cos(x+)（0, ）的部分图象如图所示，则 f (x)的单 2 调递减区间为（ ）  1 3  1 3 A． kπ− ,kπ+ ，kZ B． 2kπ− ,2kπ+ ，kZ      4 4  4 4  1 3  1 3 C． k− ,k+ ，kZ D． 2k− ,2k+ ，kZ      4 4  4 4 【答案】D 5 1 【解析】由图可知 f (x)=cos(x+)的周期T =2 − =2； 4 41 1 1 1 1 3 故 f (x)图象的最高点和最低点的横坐标分别为x = − T =− ,x = + T = ， A 4 4 4 B 4 4 4  1 3 故 f (x)=cos(x+)的单调递减区间为 2k− ,2k+ ，kZ.    4 4 故选：D    4．已知直线x= 是函数 f(x)=2sin(2x+)|| 的图象的一条对称轴，为了得到函数y= f(x)的图 8  2   象，可把函数y=2cos2x− 的图象（ ）  6   A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 24 24   C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度 12 12 【答案】A 【解析】    依题意，直线x= 是函数 f(x)=2sin(2x+)|| 的图象的一条对称轴， 8  2       则 f  =2sin2 +=2，即2 += +k(kZ)， 8  8  8 2      解得=k+ (kZ)，因为|| ，所以= ，所以函数 f(x)=2sin2x+ ． 4 2 4  4        将y=2cos2x− =2sin2x+ − =2sin2x+ 的图象，  6  2 6  3        向右平移 个单位长度得y=2sin  2x− +  =2sin2x+ ． 24   24 3  4 故选：A．     1   3   5．若0 ,− 0,cos += ,cos − = ，则cos+ =（ ） 2 2 4  3 4 2 3  2 3 3 5 3 6 A． B．− C． D．− 3 3 9 9 【答案】C 【解析】               cos+ =cos  +− −  =cos +cos − +sin +sin − ，  2 4   4 2  4   4 2  4   4 2    3     因为0 ,− 0 所以 + , ， −  , ， 2 2 4  4 4  4 2 4 2   1   3   2 2   6 因为cos += ，cos − = ，所以sin += ，sin − = ， 4  3  4 2 3 4  3  4 2 3   1 3 2 2 6 5 3 则cos+ =  +  = ．  2 3 3 3 3 9 故选：C 6．已知ABC，点H ，O为ABC所在平面内的点，且AHAB= AHAC，BHBA=BHBC， OA+OB+OC=OH， 则点O为ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A ( ) 【解析】因为AHAB= AHAC，所以AH AB−AC =0，即AHCB=0 又因为OA+OB+OC=OH ， 所以OC+OB=OH−OA，即OC+OB=AH ( ) ( ) ( ) 所以 OC+OB CB=0即 OC+OB  OC−OB =0 2 2 所以OB − OC =0 , 所以OB=OC，同理OA=OB，所以O为ABC的外心．故选A. ( ) ( ) 7．已知平面向量a，b，c，满足 a = b =ab=2，且 a−2c  b−c =0，则 a−c 的最小值为（ ） 3−1 7− 3 3 7 A． B． C． D． 2 2 2 2 【答案】B ab 2 1 【解析】因为 a = b =ab=2，所以cos ab = = = ， a b 22 2 π 因为0 ab π，所以 ab = 3 ( ) ( ) 不妨设A 1, 3 ，B(2,0)，C(x,y)，b=OB=(2,0)，a=OA= 1, 3 ， c=OC=(x,y)， ( ) 则b−c=(2−x,−y)，a−2c= 1−2x, 3−2y ， 因为 ( a−2c )  ( b−c ) =0，所以(2−x)(1−2x)− ( 3−2y ) y=0，化简为：  x− 5  2 +    y− 3   2 = 3 ，  4  4  4 所以c=(x,y)对应的点C(x,y)是以M     5 4 , 4 3    为圆心，半径为R= 2 3 的圆，5  2  3 2 3 7− 3 所以 a−c 的最小值为 MA −R=  −1 +  3−   − = ， 4   4  2 2 故选：B.  π 8．当x[0,2π]时，曲线y=sin2x与y=sinx− 有3个交点，则正实数的取值范围为（ ）  6 11 43 31 11 19 31  7 19 A．  ,  B．  ,  C．  ,  D．  ,  12 36 36 12 36 36 36 36 【答案】B  π π π 【解析】令sin2x=sinx− ，则2x=x− +2kπ或2x+x− =π+2kπ,kZ，  6 6 6 π 7π 所以x=− +2kπ或3x= +2kπ,kZ， 6 6 π 2kπ 7π 2kπ 即x=− + 或x= + ,kZ,0， 6  18 3 (36k-3)π (12k+7)π 即x= 或x= ,kZ,0， 18 18 (36k-3)π 33π 69π 又x[0,2π]，对于x= ，令k=1,k=2，可得：x= ，x= ， 18 18 18 (12k+7)π 7π 19π 31π 对于x= ,kZ,0，分别令k=0,1,2，可得：x= ，x= ，x= ， 18 18 18 18 7π 19π 31π 33π 从小到大排序前4个数为x= ，x= ，x= ，x= ， 18 18 18 18 31π 33π 31 11 由于两曲线有3个交点，所以x= 2π，x= 2π，解得  . 18 18 36 12 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 1 9．已知sin+cos= ，(0,π)，则下列等式正确的是（ ） 5 12 7 A．sincos=− B．sin−cos= 25 5 3 7 C．tan=− D．sin2−cos2= 4 25 【答案】ABD 1 1 12 【解析】对于A，由sin+cos= ，则(sin+cos)2 = ，化简得sincos=− ，故A正确； 5 25 25 12 对于B，由sincos=− 0，(0,π)，则sin0,cos0，即sinθ cosθ 0， 25 24 49 7 (sin−cos)2 =1−2sincos=1+ = ，sin−cos= ，故B正确； 25 25 5 1  4 sin+cos= sin=    5  5 4 对于C，由 ，解得 ，所以tan=− ，故C错误； 7 3 3 sin−cos= cos=−  5  5 1 7 7 对于D，sin2−cos2=(sin+cos)(sin−cos)=  = ，故D正确. 5 5 25 故选：ABD. 10．已知向量𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(1,3)，𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(−2.4)，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =𝜆𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +(1−𝜆)𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ，其中𝜆∈𝐑，则下列命题正确的是( ) A. 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ 在𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 上的投影向量为(−1,2) B. |𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ |的最小值是√ 10 C. 若𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ >0，则𝜆(1−𝜆)>0 D. 若𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ <0，则𝜆(1−𝜆) <0 【答案】ABD 【解答】解：𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ 在𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 上投影向量为 |𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ | cos∠𝐴𝑂𝐵⋅𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ， |𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ | 10 √ 2 又cos∠𝐴𝑂𝐵 = = ， √ 10⋅2√ 5 2 所以 |𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ | cos∠𝐴𝑂𝐵⋅𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ = √ 10 · √ 2 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ = 1 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(−1,2)，𝐴对； |𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ | 2√ 5 2 2 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =(𝜆,3𝜆)+(−2+2𝜆,4−4𝜆)=(−2+3𝜆,4−𝜆)， 𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 2 =4−12𝜆+9𝜆 2 +16−8𝜆+𝜆 2 =10𝜆 2 −20𝜆+20， 2 当𝜆=1时𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 取最小值10，∴|𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ | =√ 10，𝐵对； min 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ =4−6𝜆+16−4𝜆 =20−10𝜆 >0，则𝜆 <2，无法判断𝜆(1−𝜆)符号，𝐶错； 𝑂⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ <0，则𝜆 >2，则𝜆(1−𝜆) <0，𝐷对． 故选ABD． 11．设函数 f (x)的定义域为R， f (x+π)为偶函数， f (x+2π)为奇函数，当x(0,π时， f (x)=cosx， 则下列结论正确的是（ ） 5π 2  7π A． f  =− B． f (x)在3π, 上单调递增  4  2  2  C． f (x)关于直线x=9π对称 D．方程3f (x)−lnx=0有5个实数解 【答案】AC 【解析】由 f (x+π)为偶函数，可得 f (−x+π)= f (x+π)，即 f (x)关于x=π成直线对称， π 5π 3π 3π 2 令x= ，可得 f  = f  =cos =− ，故A正确； 4  4   4  4 2 又由 f (x+2π)为奇函数，可得 f (−x+2π)=−f (x+2π)，即 f (x)关于点(2π,0)成中心对称， f (2π)=0, 7π π  由于3π, 与 ,π关于点(2π,0)成中心对称，  2  2  π   7π 因为 f (x)=cosx在 ,π上单调递减，所以 f (x)在3π, 上单调递减，故B错误； 2   2  又由 f (−x+π)= f (x+π) f (−x+2π)= f (x)，代入上式可得 f (x+2π)=−f (x)， 再可得 f (x+4π)=−f (x+2π)，所以有 f (x+4π)= f (x)，故 f (x)的周期为4π， 因为 f (x)关于x=π成直线对称，根据周期性可知： f (x)关于直线x=9π对称，故C正确； 作出函数 f (x)的图象; 1 由于6πe37π，则ln(6π)3ln(7π)，所以函数 f (x)与y= lnx的交点个数如图可得有6个， 3 即方程3f (x)−lnx=0有6个实数解，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2𝜋 12. 如图所示，已知扇形𝐴𝑂𝐵的圆心角∠𝐴𝑂𝐵为 ，半径长为6，则阴影部分的面积是 ． 3 【答案】12𝜋−9√ 3 【解答】解：由图象知，记阴影部分面积为𝑆 ，扇形面积为𝑆 ，则𝑆 =𝑆 −𝑆 ， 1 2 1 2 △𝑂𝐴𝐵 1 1 2𝜋 1 2𝜋 由题意得𝑆 = |𝛼|𝑟2 = × ×36=12𝜋，𝑆 = ×6×6×sin =9√ 3， 2 2 2 3 △𝑂𝐴𝐵 2 3 所以𝑆 =𝑆 −𝑆 =12𝜋−9√ 3，所以阴影部分的面积为12𝜋−9√ 3． 1 2 △𝑂𝐴𝐵 故答案为：12𝜋−9√ 3． 𝜋 3𝜋 13. 已知𝑓(𝑥)=2sin (2𝑥+ )，若存在𝑥 ，𝑥 ，𝑥 ∈[0, ]，使得𝑓(𝑥 )=𝑓(𝑥 ) =𝑓(𝑥 )，若𝑥 +𝑥 +𝑥 的 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 最大值为𝑀，最小值为𝑁，则𝑀+𝑁 = ． 23𝜋 【答案】 6 解：作出𝑓(𝑥)图象：当𝑓(𝑥)图象与𝑦=√ 3图象相交时，前三个交点横坐标依次为𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ，此时𝑥 +𝑥 +𝑥 有最小值𝑁，𝑥 + 1 2 3 1 2 3 1 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 7 𝑥 = ×2= ,𝑓(𝜋)=2𝑠𝑖𝑛(2𝜋+ )=√ 3𝑥 =𝜋，∴𝑁 = +𝜋 = 𝜋； 2 12 6 3 3 6 6 当𝑓(𝑥)图象与𝑦=−√ 3图象相交时，交点横坐标依次为𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ， 1 2 3 此时𝑥 +𝑥 +𝑥 有最大值𝑀， 1 2 3 7𝜋 7𝜋 3𝜋 𝜋 3𝜋 𝑥 +𝑥 = ×2= ,𝑓( )=2𝑠𝑖𝑛(3𝜋+ ) =−√ 3𝑥 = ， 1 2 12 6 2 3 3 2 7𝜋 3𝜋 8𝜋 8𝜋 7 23𝜋 ∴𝑀= + = ；∴𝑀+𝑁 = + 𝜋= ． 6 2 3 3 6 6 23𝜋 故答案为： ﹒ 6 14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐸，𝐹是𝐴𝐷上的两个三等分点，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =4，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =−1，则𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ⋅ 𝐶⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ 的值是 ． 7 【答案】 8 【解答】解：∵𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐸，𝐹是𝐴𝐷上的两个三等分点， ∴𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =−𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +3𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =−𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +3𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ∴𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ 2−𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ 2 =−1，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =9𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ 2−𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ 2=4， ∴𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ 2 = 5 ，𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ 2 = 13 ，又∵𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +2𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =−𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +2𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， 8 8 ∴𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =4𝐷⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ 2−𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ 2= 7 ，故答案为 7 ． 8 8 四、解答题：本题共5大题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13 分） 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，角𝜃的始边为𝑥轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点𝑃， 3 点𝑃的横坐标为− ． 5 𝑐𝑜𝑠𝜃+3𝑠𝑖𝑛𝜃 (1)求 的值； 3𝑠𝑖𝑛𝜃−cos𝜃 𝜋 (2)若将射线𝑂𝑃绕点𝑂逆时针旋转 ，得到角𝛼，求sin2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−cos2𝛼的值． 2 3 4 【答案】解：(1)∵𝑃在单位圆上，且点𝑃在第二象限，𝑃的横坐标为− ，可求得纵坐标为 ， 5 54 3 所以𝑠𝑖𝑛𝜃 = ,𝑐𝑜𝑠𝜃 =− , ………………3分 5 5 4 𝑐𝑜𝑠𝜃+3𝑠𝑖𝑛𝜃 1+3𝑡𝑎𝑛𝜃 3 𝑡𝑎𝑛𝜃 =− ，则 = = ； ………………6分 3 3𝑠𝑖𝑛𝜃−cos𝜃 3𝑡𝑎𝑛𝜃−1 5 𝜋 𝜋 3 (2)由题知𝛼 =𝜃+ ，则𝑠𝑖𝑛𝛼 =sin(𝜃+ )=𝑐𝑜𝑠𝜃 =− ， ………………8分 2 2 5 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠𝛼 =cos(𝜃+ ) =−𝑠𝑖𝑛𝜃 =− ， ………………10分 2 5 𝑠𝑖𝑛𝛼 3 则𝑡𝑎𝑛𝛼 = = ， cos𝛼 4 sin2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−cos2𝛼 tan2𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛼−1 ( 3 ) 2 − 3 −1 19 故sin2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−cos2𝛼 = = = 4 4 =− ．………………13分 sin2𝛼+cos2𝛼 tan2𝛼+1 ( 3 )2+1 25 4 16.（15分） 𝜋 函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0,|𝜑|< )的部分图象如图所示． 2 (1)求𝑓(𝑥)的解析式； 3 𝜋 (2)若𝑓(𝑥 )= ，求cos(2𝑥 − )的值； 0 5 0 6 𝜋 𝜋 (3)若∀𝑥 ∈ [− , ],[𝑓(𝑥)]2−𝑚𝑓(𝑥)−1≤0恒成立，求𝑚的取值范围． 4 4 3 5𝜋 𝜋 3 2𝜋 3𝜋 【答案】解：(1)由图可得 𝑇 = − ⇒ ⋅ = ⇒𝜔 =2， ………………2分 4 6 12 4 𝜔 4 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 因为函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)过点( ,1)，所以sin(2⋅ +𝜑)=1，则 +𝜑 = +2𝑘𝜋(𝑘 ∈𝑍)， 12 12 6 2 𝜋 𝜋 𝜋 解得𝜑 = +2𝑘𝜋(𝑘 ∈𝑍)，又|𝜑|< ，则𝜑 = ， 3 2 3 𝜋 所以𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+ )； ………………4分 3 3 𝜋 3 (2)若𝑓(𝑥 )= ，即sin(2𝑥 + )= ， 0 5 0 3 5 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 3 而cos(2𝑥 − )=cos( −2𝑥 )=cos[ −(2𝑥 + )]=sin(2𝑥 + ) = ； ………………8分 0 6 6 0 2 0 3 0 3 5 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 5𝜋 1 (3)因为𝑥 ∈[− , ]，所以2𝑥+ ∈[− , ]，则𝑓(𝑥)∈[− ,1]， 4 4 3 6 6 2 1 令𝑡 =𝑓(𝑥),𝑡 ∈ [− ,1]， ………………10分 2 设𝑔(𝑡) =𝑡2−𝑚𝑡−1，则𝑔(𝑡)≤0恒成立，1 1 1 𝑔(− )= + 𝑚−1≤0 由二次函数的图象性质可知，只需{ 2 4 2 , ………………13分 𝑔(1)=−𝑚≤0 3 3 解得0≤𝑚≤ ，故𝑚的取值范围为[0, ]． ………………15分 2 2 2 3 17.(15分)在平面直角坐标系中，已知𝐴(𝑡, ),𝐵(8−𝑚,8− 𝑚),𝐶(7−𝑚,0)，𝑡,𝑚 ∈𝑅,𝑡 ≠0． 𝑡 2 (1)若𝑡 =1,𝑚 =4，𝑃为𝑥轴上的一动点，点𝐴′(1,−2)． (ⅰ)当𝐴′,𝑃,𝐵三点共线时，求点𝑃的坐标； (ⅱ)求|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ |+|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |的最小值； (2)若𝑡 =sin 𝜃，𝜃 ∈(0,𝜋)，且𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ 与𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 的夹角𝛼 ∈ [0, 𝜋 )，求𝑚的取值范围． 2 【答案】解：(1)(ⅰ)设𝑃(𝑥,0)，𝑡 =1,𝑚=4，所以𝐴(1,2),𝐵(4,2)， 因为𝐴⃗⃗⃗⃗′⃗⃗𝑃⃗ =(𝑥−1,2),𝐴⃗⃗⃗⃗′⃗⃗𝐵⃗ =(3,4)，𝐴⃗⃗⃗⃗′⃗⃗𝑃⃗ 与𝐴⃗⃗⃗⃗′⃗⃗𝐵⃗ 共线，所以4(𝑥−1) =6，解得𝑥 = 5 ， 2 5 所以𝐴′,𝑃,𝐵三点共线时，点𝑃的坐标为( ,0)； ………………4分 2 (ⅱ)因为𝐴(1,2)关于𝑥轴的对称点为𝐴′(1,−2)，所以|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ |+|⃗𝑃⃗⃗⃗𝐵⃗ |=|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ ′|+|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |， 所以当𝐴,𝑃,𝐵三点共线时，|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ ′|+|⃗𝑃⃗⃗⃗𝐵⃗ |取得最小值， 最小值即|𝐴⃗⃗⃗⃗′⃗⃗𝐵⃗ |=√ 32+42 =5，所以|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ |+|𝑃⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |取得最小值5； ………………9分 (2)𝑡 =sin 𝜃，所以𝐴(sin 𝜃, 2 )，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(sin 𝜃+𝑚−7, 2 ),𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(1,8− 3 𝑚) ， sin 𝜃 sin 𝜃 2 因为𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ 与𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 的夹角𝛼 ∈[0, 𝜋 )，所以𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ >0恒成立， 2 所以𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ⋅𝐶⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =sin 𝜃+𝑚−7+(8− 3 𝑚)× 2 >0， 2 sin 𝜃 又因为𝜃 ∈(0,𝜋),sin 𝜃 >0， 可得sin2𝜃−7sin 𝜃+𝑚sin 𝜃+16−3𝑚>0 ………………11分 即(3−sin 𝜃)𝑚0， sin2𝜃−7sin 𝜃+16 (3−sin 𝜃)2+(3−sin 𝜃)+4 可得𝑚< = 恒成立， 3−sin 𝜃 3−sin 𝜃 令3−sin 𝜃 =𝑘，𝜃 ∈(0,𝜋),sin 𝜃 ∈(0,1],2⩽𝑘 <3 ， 𝑘2+𝑘+4 4 4 所以𝑚< =𝑘+ +1，因为𝑘+ +1⩾2√ 4+1=5，当且仅当𝑘 =2取等号， 𝑘 𝑘 𝑘 4 所以𝑘 =2时，𝑘+ +1有最小值5， ………………14分 𝑘 所以𝑚的取值范围是：𝑚 <5． ………………15分18.（17分） “算两次”原理(又称富比尼原理)是一种重要的数学思想，其核心是通过对同一量采用两种不同的计算方 式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，则𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ， 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ，两式相加得2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ，因为𝐷为𝐵𝐶的中点，所以𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0⃗ ，于是 2𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ .请用“算两次”的方法解决下列问题． (1)如图乙，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点，证明：2𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ． 1 1 (2)如图丙，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐷，𝐵𝐶上，且𝐴𝐸 = 𝐴𝐷，𝐵𝐹 = 𝐵𝐶，𝐴𝐵 =4，𝐷𝐶 = 4 4 3，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 与𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 的夹角为60∘，求𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ． (3)若在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐸，𝐹分别在边𝐴𝐷，𝐵𝐶上，且𝐴𝐸= 1 𝐴𝐷，𝐵𝐹 = 1 𝐵𝐶，𝐴𝐵 =𝑝，𝐷𝐶 =𝑞，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 与 𝑚 𝑚 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 的夹角为𝛼，求𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ． 【答案】解：(1)证明：在四边形𝐴𝐵𝐹𝐸中，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ① 在四边形𝐶𝐷𝐸𝐹中，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ② 由 ①+ ②，得2𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ +𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， 因为𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点，所以𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0⃗ ，𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =0⃗ ， 于是2𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ； ………………4分 (2)在四边形𝐴𝐵𝐹𝐸中，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ③ 在四边形𝐶𝐷𝐸𝐹中，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ④ 由𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ = 1 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 1 𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，得3𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0⃗ ，3𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =0⃗ ， 4 4 由 ③×3+ ④ ，得𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 3 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ， ………………7分 4 4 4 所以𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅( 3 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ )= 3 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ 2 + 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 4 4 4 4 = 3 |𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |2+ 1 |𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ||𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ |cos60∘ = 3 ×42+ 1 ×4×3× 1 = 27 ； ………………10分 4 4 4 4 2 2 (3)在四边形𝐴𝐵𝐹𝐸中，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ⑤在四边形𝐶𝐷𝐸𝐹中，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ +𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ ， ⑥ 由𝐴⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ = 1 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 1 𝐵⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ，得(𝑚−1)𝐸⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐸⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0⃗ ，(𝑚−1)𝐵⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ +𝐶⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =0⃗ ， 𝑚 𝑚 由 ⑤×(𝑚−1)+ ⑥ ，得𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ = 𝑚−1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ， ………………14分 𝑚 𝑚 𝑚 故𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅( 𝑚−1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ + 1 𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ )= 𝑚−1 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗2 + 1 𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚−1 1 𝑚−1 1 = |𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |2+ |𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ||𝐷⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ |cos𝛼 = ·𝑝2+ ·𝑝·𝑞cos𝛼 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑝 = (𝑝𝑚−𝑝+𝑞cos𝛼). ………………17分 𝑚 19.（17分） 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎sin𝑥+√ 1+cos𝑥+√ 1−cos𝑥 (1)若𝑎 =0,𝑥 ∈[0,𝜋]，求𝑓(𝑥)的值域； 1 1 (2)若𝑎 >0,𝑥 ∈[0,2𝜋]，都有𝑓(𝑥)≥ 𝑎+ 恒成立，求𝑎的取值范围． 2 2 (1)当a=0时，f(x)=√ 1+cosx+√ 1−cosx， 令t=√ 1+cosx+√ 1−cosx>0， 则t2 =1+cosx+1−cosx+2√ (1+cosx)(1−cosx)=2+2√ 1−cos2x=2+2|sinx| ……………4分 由x∈[0,π]，则|sinx|∈[0,1]，故t2 ∈[2,4]，又t>0，故t∈[√ 2,2]， 即f(x)的值域为[√ 2,2]； ………………6分 (2)令t=√ 1+cosx+√ 1−cosx>0，则t2 =2+2|sinx|， t2−2 当x∈[0,π)时，t∈[√ 2,2]，sinx= ， 2 则f(x)=asinx+√ 1+cosx+√ 1−cosx=a( t2−2 )+t， 2 由f(x)≥ 1 a+ 1 ，即a( t2−2 )+t≥ 1 a+ 1 ，化简得 a t2+t− 3 a− 1 ≥0 2 2 2 2 2 2 2 2 令g(t)= a t2+t− 3 a− 1 ，t∈[√ 2,2]， 2 2 2 1 由a>0，故− <0，故g(t)在[√ 2,2]上单调递增， a 故g(√ 2)= a ×2+√ 2− 3 a− 1 ≥0，解得a ≤2√ 2−1； ………………11分 2 2 2 2−t2 当x∈[π,2π]时，t ∈[√ 2,2]，sinx= ， 2 2−t2 故f(x)=asinx+√ 1+cosx+√ 1−cosx=a( )+t， 2则有a( 2−t2 )+t ≥ 1 a+ 1 ，即− a t2+t+ 1 a− 1 ≥0， 2 2 2 2 2 2 由a>0，故有− a (√ 2) 2 +√ 2+ 1 a− 1 ≥0，− a ×(2)2+2+ 1 a− 1 ≥0， 2 2 2 2 2 2 解得a≤1， ………………16分 综上所述，0