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专题 13.5 手拉手模型
◆ 典例分析
【典例1】（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶
点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，
△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，分别连接BD
，CE．求证：BD=CE；
（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关
系，并说明理由．
（3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB，CD=CE，
∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若
AE=7，BE=2，请直接写出四边形ABEC的面积．
【思路点拨】
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线
合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答．
（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE(SAS)，利用全等的性质可得
BD=CE，∠ACE=∠ABC，又因为△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC=∠ACB=∠ACE=45°
，从而可知∠BCE=90°，即BD⊥CE．
1 1
（3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得CM= DE= (AE−AD)，
2 2
根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△ACD≌△BCE，从而得AD=BE，即可求出CM的长，最后求出四边形ABEC的面积．
【解题过程】
（1）证明：∵ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAE ，
AD=AE
∴ △ABD≌△ACE(SAS)
∴ BD=CE．
（2）BD与CE的数量关系是BD=CE，位置关系是BD⊥CE．
理由如下：
∵ ∠BAC=∠DAE=90°，
∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
¿，
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ BD=CE，∠ACE=∠ABC，
∵ △ABC是等腰三角形且∠BAC=90°，
∴ ∠ABC=∠ACB=45°，
∴ ∠ACE=∠ABC=45°，
∴ ∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°，
∴ BD⊥CE．
（3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM，
1 1 1 1
∴ CM= DE= (AE−AD)= (AE−BE)= ×(7−2)=2.5．
2 2 2 2∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠EAB+∠CBA=90°，
∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=90°，
∴∠AEB=90°，
1 1 1 1 63
即四边形ABEC的面积=S +S = AE·CM+ AE·BE= ×7×2.5+ ×7×2= ．
△ACE △AEB 2 2 2 2 4
◆ 学霸必刷
1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在△BCD中，∠BCD<120°，分别以BC、CD和BD为边在
△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连结AD、BE和CF交千点P，则
以下结论中①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；④
PB+PC+PD=BE．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如
图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B、C、E依次在同一条直线上，连结CD
．若BC=4，CE=2，则△DCE的面积是 ．
3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长
线上一点，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD与CE相交于点 ，连接MN，PC，则下列四个结论：①∠BMC=∠BMA；②∠APB=60°；③AN=BM；④PC平分∠BPD．其中，正确的是
（只填写序号）
4．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．
（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为______，线段AE与BD的数量关系为
______．
（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α(0°≤α≤360°)时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，
请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
（3）若AC=4，CD=3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．
5．（23-24七年级下·四川成都·期中）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究
图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE
，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：__________，∠BDC= ；
（2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接
BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；
（3）拓展应用：在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，
将△AEF绕它们共同的顶点A旋转一定的角度后，若B，E，F三点刚好在同一直线上，求此时∠AFC的
度数．
6．（2024·河南·一模）如图，（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E
在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段
CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同
一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
7．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）（1）问题情境如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接
BD，CE，求证：△ABD≌△ACE．
（2）迁移应用如图2，△ABC和△ADE都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是AD的中点，N是AC的中点，P在BE上，△MNP是等边三角形，求证：P是BE的中点．
（3）拓展创新如图3，P是线段BE的中点，BE=9，在BE的下方作等边△PFH（P，F，H三点按逆时针
顺序排列，△PFH的大小和位置可以变化），连接EF，BH．当EF+BH的值最小时，直接写出等边
△PFH边长的最小值．
8．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】
（1）如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，BE
交AC于点O，延长BE交CF于点D．① BE=CF
试说明： ；
②求∠BDC的度数．
【问题探究】
（2）如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延
长BE，FC交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）已知，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连
接AD，以AD为一边在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠DAE=90°，AD=AE．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①如图1，当点D在线段BC上时（与点B不重合），请直接写出线段CE与BD之间的数量关系：
___________，位置关系：___________；（只写结论，不用证明）
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，
写出结论并加以论证；
（2）如果AB≠AC，∠BAC<90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，
CE⊥BD（点C，E重合除外）？请写出条件，并借助图3简述CE⊥BD成立的理由．
10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相
重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称
为“手拉手模型”．（1）【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE，则有△ABD≌ ；线段BD和CE的数量关系是 ；
（2）【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC，AD=AE，且
∠BAC=∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关
系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，直线l ⊥l ，垂足为点O，l 上有一点M在点O右侧且OM=4，点N是l 上一
1 2 2 1
个动点，连接MN，在MN下方作等腰直角三角形NMP，MN=MP，∠NMP=90°，连接OP．请直接
写出线段OP的最小值及此时ON的长度．
11．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【基础巩固】（1）如图 1，在 △ABC 与 △ADE 中， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE ，求
证： △AEC≌△ADB ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 △ABC 与 △ADE 中，
AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,B、D、E 三 点在一条直线上， AC 与 BE 交于点 F
，若点 F 为 AC 中点，
① 求 ∠BEC 的大小； ②CE=2 ，求 △ACE 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， △ABC 与 △ADE 中， AB=AC,DA=DE,∠BAC=∠ADE=90°,BE
与 CA 交于点 F,DC=DF,△BCF的面积为 32，求AF的长．
12．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由
两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：
（1）观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，
连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是___________
（2）类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试
说明点B，D，E在同一直线上；
（3）解决问题：如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接
AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，请求出BE的长．
13．（23-24八年级上·河北沧州·期末）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重
合），把线路AD绕着点A逆时针旋转至AE（即AD=AE），使得∠DAE=∠BAC，连接DB、CE．
（1）如图1，点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=__________度．（2）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC=60°，则∠BCE=__________度．
（3）如图3，设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在线段BC上移动时，α，β的数量关系是什么？请说明
理由．
（4）设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．
14．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】
（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段EC，AC，CD之间的数量
关系为__________，请证明你的结论．
【拓展应用】
（3）如图3，在等边△ABC中，AB=5，点P是边AC上一定点且AP=2，若点D为射线BC上动点，以
DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE，BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请求出其最小值；
若没有，请说明理由．
15．（23-24七年级下·陕西西安·期末）问题发现：学习三角形全等的知识时，小明发现重合两个等腰直角
三角形的顶点会产生一对新的全等三角形．
如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，以AD为边作△ADE，使
∠DAE=90°，AD=AE，请连接图中标有字母的点，补全图形，直接写出一对全等三角形和∠BCE的度数．
问题探究：小明想，如果将上图中的等腰直角三角形换成等边三角形，那么这组全等三角形是否还存在？
如图2，△ABC和△ADE是等边三角形，点B，D，E在同一直线．
（1）证明：△ABD≌△ACE．
（2）探索线段BE，AE，CE三者间的数量关系，写出结论并说明理由．
问题拓展：经过上面的探究，小明联想到几天前一道不会的题，请你帮小明再想一想，是否有新的发现．
如图3，边长为a的等边△ABC中，D是AC中点，BD=b，E是线段BD上一动点，连接AE，在AE右侧
作等边△AEF，连接FD，求△AFD周长的最小值（用含a，b的代数式表示），并直接写出取最小值时
∠AFD的度数．
16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）综合与实践
问题情境：
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在△ABC所在的平面内运动．探究图形间存在的关
系．特例探究：
（1）如图1，当点D在边AB上运动，连接CD，以CD为边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，
发现BE⊥AB，请说明理由；
求异探究：
（2）如图2，点E为AC的中点，点F为AB的中点，△AEF为等腰直角三角形，点D在△ABC外部时，
连接ED，以ED为边在其右侧作等腰直角三角形EDH，连接DF和CH，判断DF与CH的关系，并证
明；
拓展应用：
（3）如图3，当点D在直线AC上时，连接BD，在线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BE，连接AE
．若CD=6，AE=10，求△ABD的面积．
17．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：【探究证明】
（1）如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB=60°；
【拓展延伸】
（2）如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE=60°交∠ACB外角平分线于点E，
探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；
【思维提升】
（3）如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC=3CE，直接写
出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：
AP−3PD
① ；
PC
AP+PC+2PD
② ．
BD−PC+PE
18．（23-24七年级下·江西吉安·期末）某数学小组在探究三角形之间的关系问题中，经历了如下过程：
问题发现如图，A，B分别是钝角∠MON的边ON，OM上的点，P为∠MON内部的一点，分别以AP，BP为腰
作等腰△APO和△BPC，且OP=AP，BP=CP，AC交OP于点D，∠OPA=∠BPC=∠BOP，请根据
下图的各角和点的位置情况．
AC
（1）当∠OPA=∠BPC=∠BOP=50°时， 的值为_______，∠CDO的度数为______．
OB
猜想论证
AC
（2）当∠OPA=∠BPC=∠BOP=α(0<α<90°)时， 的值是否会发生变化?∠CDO的度数与α存在
OB
什么数量关系?请分别进行说明．
拓展思考
（3）当α为钝角，且点C落在直线OM上时，（2）中的结论是否仍然成立?如果成立，直接写出∠MON
与∠BPA满足的数量关系，不必说明理由；如果不成立，直接写出结论，不必证明．
19．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知△ABC为等边三角形，过点A的射线AM在△ABC的外部，D
为射线AM上的一点，E为平面内的一点，满足BE=BD．（1）如图1，连接CD，若点E恰好在CD上，且∠DBE=60°，求∠ADC的度数；
（2）如图2，连接DE交BC于点F，若∠DBE=120°，且F恰为BC的中点，求证：DF=AD+EF；
（3）如图3，若∠BAM=38°,∠DBE=120°，连接CE，当线段CE的长度最小时，在射线CE上截取一
点H，在边BC上截取一点I，使CH=BI，连接AH,AI,则当AH+AI的值最小时，请直接写出∠HAB的
度数．
20．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）【问题提出】如图1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：
BE=DC．【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即
△ADC≌△ABE．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样
就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在
它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题．
【方法应用】
（1）等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边：等边三角
形DEF，连接CF．
①如图2，若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD．
②如图3，若点D在边BC的延长线上，线段CE、CF、CD之间的关系为__________（直接写出结论）
（2）如图4，等腰△ABC中，120°<∠BAC<180°，AB=AC，AD⊥BC，且交BC于点D，以AC为
边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M，写出FE、FA、FC之间的数量关
系，并加以说明．
（3）如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点D是BC的中点，点P是AC边上的一个动
点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ是否有最小值，如有，求出
它的最小值，没有，请说明理由．
