2005年北京市中考数学试题与答案_2.2015-2025年中考数学_2.数学中考真题2015-2024年_地区卷_北京中考数学05-23

2005年北京市高级中等学校招生考试卷 第I卷（机读卷 共44分） 一. 选择题（共11个小题，每小题4分，共44分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1. 2的相反数是（ ） 1 1 A.  B. C. 2 2 2 D. 2 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. 4 2 23  6 (ab)2  ab2 D. 3a2a 5a2 3. 下列根式中，与 3是同类二次根式的是（ ） 3 A. 24 B. 12 C. 2 D. 18 4. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. 圆 B. 菱形 C. 矩形 D. 等边三角形 5. 据国家环保总局通报，北京市是“十五”水污染防治计划完成最好的城市。预计今年 年底，北京市污水处理能力可以达到每日1684000吨。将1684000吨用科学记数法表示为（ ） A. 1.684106吨 B. 1.684105吨 C. 0.1684107吨 D. 16.84105吨 6. 如图，在半径为5的⊙O中，如果弦AB的长为8，那么它的弦心距OC等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 用换元法解方程 x2 x2 1 时，如果设 x2 ，那么原方程可化为（ 6  1 0  y x2 1  x2  x2 1 ） 6 6 A. y 10 B. y2 6y1 0 C. y 10 y y 6 D. y 10 y2 8. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B。如果OP＝4，PA2 3，那么∠AOB等于（ ）A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° 9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点F，则 下列结论中错误的是（ ） A. ∠AEF＝∠DEC B. FA:CD＝AE:BC C. FA:AB＝FE:EC D. AB＝DC 10. 李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期。收获时，从中任选 并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 质量（千克） 14 21 27 17 18 20 19 23 19 22 据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15元。用所学的统计知识估计今年此果 园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为（ ） A. 200千克，3000元 B. 1900千克，28500元 C. 2000千克，30000元 D. 1850千克，27750元 11. 如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿 DC、CB向终点B匀速运动。设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成 图形的面积为y，y随x的变化而变化。在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（ ） 第II卷（非机读卷 共76分） 二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 1 12. 在函数y  中，自变量x的取值范围是____________。 x2 13. 不等式组x  2 1 的解集是____________。  2x 1 0 14. 如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为_______ _________________。 15. 如果正多边形的一个外角为72°，那么它的边数是____________。 16. 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2  BD·DC，则∠BCA的度数为____________。 三. （共3个小题，共15分） 17. （本小题满分4分） 分解因式：m2 n2 2m2n 解： 1 18. （本小题满分5分） 计算： 27  cos300 2 3 解 19. （本小题满分6分） 用配方法解方程x2 4x10 解： 四. （本题满分5分） 20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、 DC上，且BE＝2EA，CF＝2FD。 求证：∠BEC＝∠CFB 证明： 五. （本题满分6分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为 30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条 笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）。 解： 六. （本题满分6分） 22. 列方程或方程组解应用题： 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、 乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空 调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲 种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天 各节电多少度？ 解：七. （本题满分7分） 23. 已知：关于x的方程 有两个不相等的实数 a2x2 2axa 0 根 和 ，并且抛物线 与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两 x x y  x2 2a1x2a5 1 2 旁。 （1）求实数a的取值范围； （2）当 时，求a的值。 x  x 2 2 1 2 解：（1） （2） 八. （本题满分8分） 24. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、 D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）。 在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变 化过程中，有些线段总保持着相等的关系。 （1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE 相等； （2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。 ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值； CF ②若 n(n0)，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。 CD （1）连结__________________ 求证：_________＝CE 证明： （2）解：① ②sin∠CAB _____________（n0） 九. （本题满分9分） 25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y  kx4k的图象 与x轴交于点A，抛物线y ax2 bxc经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式表示b； （2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若 将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛 物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存 4 在这样的点P，使得∠POA ∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3 （1）解：（2）解： （3）解答：参考答案 第I卷（机读卷 共44分） 一. 选择题（共11个小题，每小题4分，共44分） 1. C 2. A 3. B 4. D5. A6. B 7. C8. D 9. B10. 11. A 第II卷（非机读卷 共76分） 1 2 二. 填空题（共5个小题，每小题4分，共20分） 12. x213.   x3 14. y 15. 5 2 x 16. 65°或115° 三. （共3个小题，共15分） 17. （本小题满分4分） 分解因式：m2 n2 2m2n 解：m2 n2 2m2n   m2 n2 2m2n ………………1分 mnmn2mn………………3分 mnmn2………………4分 1 18. （本小题满分5分） 计算： 27  cos300 2 3 1 解： 27  cos300 2 3 2 3 ………………3分 3 3 1    2 3 2 3 3 32 31………………4分  2 31………………5分 19. （本小题满分6分） 用配方法解方程x2 4x10 解：移项，得：x2 4x  1………………1分 配方，得： ………………2分 x2 4x22  122 ………………4分 x22 3 解这个方程，得：x2  3 即 ………………6分 x  2 3，x  2 3 1 2 四. （本题满分5分） 20. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE＝ 2EA，CF＝2FD。 求证：∠BEC＝∠CFB 证明：在梯形ABCD中， ∵AD∥BC，AB＝DC ∴∠ABC＝∠DCB………………1分 ∵BE＝2EA，CF＝2FD2 2 BE  AB，CF  DC 3 3 ∴BE＝CF………………2分 在△EBC和△FCB中，  ∠ BE E  BC CF  ∠FCB ………………3分 BC  CB ∴△EBC≌△FCB………………4分 ∴∠BEC＝∠CFB………………5分 五. （本题满分6分） 21. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点 D的俯角为45°，又知河宽CD为50米。现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长 （答案可带根号）。 解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B 在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45° ∴AC＝2AB，DB＝AB………………2分 设AB x，则BD  x，AC  2x，CB 50 x AB  tan∠ACB  ………………3分 CB AB  CB·tan∠ACB  CB·tan30 3 x 50x………………4分 3 解得： ………………5分   x 251 3 （米）………………6分   AC 501 3 答：缆绳AC的长为 米。   501 3 六. （本题满分6分） 22. 列方程或方程组解应用题： 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的 设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每 天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？ 解法一：设只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电x度，乙种空调每天节电y度 ………………1分 依题意，得：   x x  1 y .1  y 2  7 405 ………………3分 解得：   x y   1 2 8 0 0 7………………5分 答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。 ………………6分解法二：设只将温度调高1℃后，乙种空调每天节电x度………………1分 则甲种空调每天节电x27度………………2分 依题意，得：1.1x x27  405………………3分 解得：x 180………………4分 x27207………………5分 答：只将温度调高1℃后，甲种空调每天节电207度，乙种空调每天节电180度。 ………………6分 七. （本题满分7分） 23. 已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根 和 ， a2x2 2axa 0 x x 1 2 并且抛物线 与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。 y  x2 2a1x2a5 （1）求实数a的取值范围； （2）当 时，求a的值。 x  x 2 2 1 2 （1）解法一：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根 a2x2 2axa 0     a    2 (  2 0 a)24a(a2)0 解得：a0，且a2 1………………1分 设抛物线 与x轴的两个交点的坐标分别为 、 ，且 y  x2 2a1x2a5 ，0 ，0  ∴α、β是关于x的方程 的两个不相等的实数根 x2 2a1x2a5 0  '  2a12 412a52a12 200 ∴a为任意实数 <2> 由根与系数关系得： 2a1， 2a5 ∵抛物线 与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁 y  x2 2a1x2a5 2，2 220 240 2a522a140 3 解得：a 3………………2分 2 3 由<1>、<2>、<3>得 a的取值范围是 a0………………3分 2 解法二：同解法一，得：a0，且a2 1………………1分 ∵抛物线 与x轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的开口向 y  x2 2a1x2a5 上 ∴当x2时，y0 422a12a503 解得：a 2………………2分 2 3 由<1>、<2>得 a的取值范围是 a0………………3分 2 （2）解：∵ 和 是关于x的方程 的两个不相等的实数根 x x a2x2 2axa 0 1 2 2a a x x  ，x x  1 2 a2 1 2 a2 3   a0 2 a20 a x x  0………………4分 1 2 a2 不妨设 x 0，x 0 1 2 ………………5分  x  x  x x 2 2 1 2 1 2 x2 2x x x2 8 ，即 x x 2 4x x 8 1 1 2 2 1 2 1 2  2a  2 4a    8 a2 a2 解这个方程，得： ………………6分 a  4，a  1 1 2 经检验， 都是方程 2a  2 4a 的根 a  4，a  1    8 1 2 a2 a2 3 a4 ，舍去 2 a1为所求………………7分 八. （本题满分8分） 24. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的 延长线交⊙O于点E（如图1）。 在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些 线段总保持着相等的关系。 （1）观察上述图形，连结图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等； （2）在图2中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F。 ①若CF＝CD，求sin∠CAB的值； CF ②若 n(n0)，试用含n的代数式表示sin∠CAB（直接写出结果）。 CD（1）连结AE 求证：AE＝CE………………1分 证法一：如图3，连结OD ∵∠ABC＝90°，CB的延长线交⊙O于点E ∴∠ABE＝90° ∴AE是⊙O的直径 ∵D是AC的中点，O是AE的中点 1 OD CE 2 1 OD AE 2 ∴AE＝CE………………3分 证法二：如图4，连结BD 在Rt△ABC中，∠ABC＝90° ∵D是AC的中点 ∴AD＝CD＝BD ∴∠1＝∠2 ∵四边形AEBD内接于⊙O ∴∠1＝∠DAE ∴∠2＝∠DAE ∴AE＝CE………………3分 证法三：如图5，连结DE同证法一，得AE是⊙O的直径 ∴∠ADE＝90° ∵D是AC的中点 ∴DE是线段AC的垂直平分线 ∴AE＝CE………………3分 （2）①解法一：根据题意画出图形，如图6，连结DE。 ∵EF是⊙O的切线 ∴∠3＝∠4，且EF2  FD·FA  ∠2  ∠AFE ∠3，∠DAE  ∠4∠5，∠2  ∠DAE ∠AFE  ∠5 设ADk (k 0)，则CF CDk EF2  FD·FA  2k·3k  6k2 EF  6k ∵AE是⊙O的直径 ∴∠AEF＝90° EF 6k 6 在Rt△AEF中，cos∠AFE    AF 3k 3 6 cos∠CAB 3 3 sin∠CAB ………………6分 3 解法二：根据题意画出图形，如图7，连结DE。∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线 ∴∠ADE＝∠AEF＝90° ∴Rt△ADE∽Rt△EDF AD DE   DE DF 设ADk (k 0)，则DF 2k k DE   DE 2k  DE  2k 在Rt△CDE中 CE2 CD2 DE2  k2   2k 2 3k2 CE  3k  ∠CAB ∠DEC CD 3 sin∠CABsin∠DEC  ………………6分 CE 3 n2 ②sin∠CAB  （n0）………………8分 n2 九. （本题满分9分） 25. 已知：在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y  kx4k的图象与 x轴交于点 A，抛物线 y ax2 bxc经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式表示b； （2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻 折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使 4 得∠POA ∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3 （1）解法一：∵一次函数y  kx4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线y ax2 bxc经过O、A两点 c0，16a4b0 b4a………………1分 解法二：∵一次函数y  kx4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线y ax2 bxc经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x2 b x 2 2a b4a………………1分 （2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为y  ax2 4ax ∴点D的坐标为（2，4a） ①当a0时，⌒ ⌒ ⌒ 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为 ，它沿x轴翻折后所得劣弧为 ，显然 所在的圆与⊙D关 OmA OnA OnA 于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点………………2分 ∴D'O⊥OD ∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 OD2 2………………3分 ∴点D的纵坐标为2 4a 2 1 a  ，b4a 2 2 1 ∴抛物线的解析式为y  x2 2x………………4分 2 ②当a0时， 同理可得：OD2 2 1 抛物线的解析式为y  x2 2x………………5分 2 1 1 综上，⊙D半径的长为2 2，抛物线的解析式为y  x2 2x或y x2 2x 2 2 4 （3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA ∠OBA 3 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 1 ①当点P在抛物线y  x2 2x上时（如图2） 2∵点B是⊙D的优弧上的一点 1 ∠OBA ∠ADO45 2 4 ∠POA ∠OBA60 3 过点P作PE⊥x轴于点E EP tan∠POE  OE y   tan60 x  y  3x 由    y y   2 1 3 x x 2 2x 解得：    x y 1 1   4 6   2 4 3 3 ，    x y 2 2   0 0 （舍去） ∴点P的坐标为 ………………7分   42 3，64 3 1 ②当点P在抛物线y x2 2x上时（如图3） 2 同理可得，y  3x 由    y y   3 2 1 x x22x 解得：    x y 1 1   4 6   2 4 3 3 ，    x y 2 2   0 0 （舍去）∴点P的坐标为 ………………9分   42 3，64 3 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 或     42 3，64 3 42 3，64 3