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专题 10.2 磁场对运动电荷的作用
一、单选题
1．如图所示，在圆形边界的磁场区域，氕核 H和氘核 H先后从P点沿圆形边界的直径入射，从射入磁
场到射出磁场，氕核 H和氘核 H的速度方向分别偏转了90°和120°角，已知氕核 H在磁场中运动的时间
为 ，轨迹半径为 ，则（ ）
A．氘核 H在该磁场中运动的时间为 B．氘核 H在该磁场中运动的时间为
C．圆形磁场的半径为 D．氘核 H在该磁场中运动的轨迹半径为
【答案】D
【解析】
AB．原子核在磁场中做匀速圆周运动的周期
两核在磁场中运动时间
将两核比荷比为2:1、圆心角之比为 带入可得氘核 在该磁场中运动的时间为
故AB错误；
CD．由题意，作出两核在磁场中的运动轨迹示意图如下设磁场圆半径为r，氘核 在磁场中运动的轨迹半径为R 氕核 和氘核 的轨迹圆圆心分别为 、 ，
2，
由几何关系可得
可得
故C错误，D正确。
故选D。
2．如图所示，左右边界a、b内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O点到边界a的距离
与a到b的距离相等，质量为m、电荷量为q的带电粒子从O点射出，速度大小为 、方向与磁场边界a夹
角为 ，从a边界射入后，垂直于b边界射出，粒子重力不计，以下判断正确的是（ ）
A．带电粒子带正电 B．带电粒子出磁场时速度大小为
C．a、b边界的距离等于 D．粒子从O运动到b边界的时间为
【答案】D
【解析】
A．结合题意，粒子的运动轨迹为根据左手定则，可知该粒子带负电，故A错误；
B．洛伦兹力不做功，因此带电粒子出磁场的速度大小仍为 ，故B错误；
C．设a、b边界的距离为d，根据几何关系可知，圆周运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力
解得
故C错误；
D．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
因此粒子总的运动的时间为
故D正确。
故选D。
3．如图所示，圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一带电粒子垂直磁场对准圆心从a点射入，从b点射
出，下列说法正确的是（ ）A．粒子带正电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小入射速率，则粒子从bc间射出
D．若仅减小入射速率，则粒子从ab间射出
【答案】D
【解析】
A．由题可知，粒子向右偏转，根据左手定则，粒子应带负电，故A错误；
B．由于洛伦兹力不做功，所以粒子动能不变，即粒子在b点速率与a点速率相等，故B错误；
CD．由
可得
若仅减小入射速率，粒子运动半径减小，则粒子从ab间射出，故C错误，D正确。
故选D。
4．如图所示半圆形区域内，有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子第一次以v 的速度对准圆心O垂直
0
直径射入匀强磁场，粒子从该磁场中射出且向下偏转，偏转角度为60°，然后该带电粒子第二次以 v 的速
0
度还是对准圆心O垂直直径射入匀强磁场，忽略粒子受到的重力，则下面说法中正确的是（已知
sin37°=0.6）（ ）
A．粒子带正电
B．粒子第二次的偏转角度为74°
C．粒子第一次与第二次在磁场中的运动时间之比是6∶5D．如果粒子的速度过小，可能会出现粒子不能射出磁场的情况
【答案】B
【解析】
A．根据左手定则可知粒子带负电，故A错误。
B．如图1所示，第一次偏转角度为60°，由几何关系求得粒子的轨迹半径等于半圆的半径。第二次的情况，
如图2所示
速度变为原来的 ，则根据
可知，其轨迹半径也变为原来的 。根据几何知识可得
求得
α=37°
故
β=2α=74°
故B正确；
C．根据
可知两次粒子运动的周期相等，则时间之比等于粒子轨迹对应的圆心角之比，故C错误；
D．如果粒子的速度过小，其轨迹半径也小，但是可以从磁场的左侧射出磁场，故D错误。
故选B。
5．地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入。赤道剖面外的地磁场可简化为包围地球的一定厚度的匀强磁场，
方向垂直该剖面，如图所示。图中给出了速度在图示平面内、分别从O点沿与地面平行和与地面垂直两个
不同方向入射的微观带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰不能到达地面，则下列相关说法中正确的是（ ）
A．沿a轨迹运动的粒子带正电
B．若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，则沿轨迹a运动的粒子的速率更大
C．某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只改变射入地磁场的方向，则只要其速度在图示平面内，无论
沿什么方向入射，都会到达地面
D．某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向入射，则有可能到达地面
【答案】D
【解析】
A．由左手定则可知沿轨迹a、c运动的粒子带负电，沿轨迹b运动的粒子带正电，A错误；
B．带电粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力有
得
又由图可知ra0）的粒子从栅极板下板靠近CF边界处静止释放（图中未画出）。若忽略粒子所受的重力及
栅极板的电场边缘效应，在计算中忽略栅极板间的距离和粒子在其中的运动时间，问：
（1）若粒子一次加速后就能离开磁场区域，求电场电压的U的最小值；
（2）若粒子第一次加速后，在磁场中运动的半径为 ；求粒子从释放至第一次到达上边界CD所用的总时
间t；
（3）若粒子能到达右边界DE，且在磁场中运动的总时间小于 ， 试讨论电压U的取值范围。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
（1）设加速后粒子速率为v，加速过程有
设在磁场中运动的半径为R，有
解得
由几何关系易知当轨迹恰好与CD相切时，电压最小。此时半径联立解得
（2）粒子经过N次加速后，速率为v，则有
同上可知半径
解得
则有
由题可知
粒子运动半圈后经过电场减速为0，然后经过多次加速后与CD相切，此时半径
联立解得
N=4
即粒子经过一次加速，一次减速，再经过四次加速，第一次到达上边界。又因为粒子的运动周期
所以运动时间（3）因为运动总时间小于2.5T，可判断有下三种情况
①恰好与右边界DE相切，且t=T时，此时半径
由 可知，经过1次加速1次减速后，再经过1次加速后恰好经过右边界，如图
则有
②恰好与上边界DE相切时，第二次加速半径为
同理解得
③恰好与右边界DE相切，且t=2.5T，第1次加速半径r，第2次加速半径
3
又
解得同理解得
综上所述电压U的取值范围为
8．（2022·江苏南通·三模）如图所示，在 平面直角坐标系中x轴上方有垂直平面向外的匀强磁场，磁
感应强度大小 。位于O点处的粒子源能沿y轴正方向发射初动能不同的同种带正电粒子，粒子的
质量 、电荷量 。在第一象限内有一组平行于x轴的薄挡板 、 、 （其
中 位于x轴上），粒子击中挡板后会反弹，反弹前后粒子速度方向与挡板平面的夹角大小不变，反弹速
率与撞击前速率的比值 ，且反弹后的粒子不会再碰到其他挡板。已知击中挡板 、 、 的粒子
最小初动能分别为 、 ， 。不考虑粒子间的相互作用和重
力影响，粒子电荷量保持不变。
（1）写出粒子在磁场中运动的半径r与出能动 的关系式（用q、m、B表示）；
（2）求 板左端的坐标x，同时要使得初动能在 与 之间的粒子最终全部被 收集，求 板长度
1
的最小值L；
（3）分别求挡板 与 、 与 间距离的最小值 、 。【答案】（1） ；（2）1.6m；（3）0.24m，0.216m
【解析】
（1）洛伦兹力提供向心力
结合动能公式 可得
（2）击中挡板 时粒子最小动能对应的圆周半径为
由几何关系知
解得
m
打到 的最大动能的临界是 ，其对应的半径 m，第一次在 上的落点到粒子源的距离
m
反弹的粒子不断地向右以半圆的轨迹运动，半径按k倍减小，经无穷多次碰撞后，粒子到粒子源的距离
m
的板长至少为m
（3）如图所示，粒子在 板中碰撞后反弹，到达最大高度
和 板的最短距离
m
打在 板上速度最大的粒子，恰好经过 板左边缘，如图所示，其半径 m，打在 板上反射后，
其半径变为
m
相似三角形关系
解得
m
一、单选题
1．（2016·全国·高考真题）直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁
场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸
面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动
轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点
O的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D为一直线
解得
故选D。
2．（2022·广东·高考真题）如图所示，一个立方体空间被对角平面 划分成两个区域，两区域分布有
磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直 平面
进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
AB．由题意知当质子射出后先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN受到y轴正方向的洛伦
兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子在y轴正方向上做减速运动，故A正确，B错误；
CD．根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没
有运动，z轴坐标不变，故CD错误。
故选A。
3．（2016·全国·高考真题）一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的
横截面如图所示。图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。在该截面内，
一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角。当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N
飞出圆筒，不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为30°，因此粒子在磁场中运动的时间为
粒子在磁场中运动的时间与筒转过90°所用的时间相等，即
解得
故选A。
4．（2017·全国·高考真题）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上
的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为
v，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v，相应的出射点分布在三
1 2
分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v∶v 为（ ）
2 1A． ∶2 B． ∶1 C． ∶1 D．3∶
【答案】C
【解析】
由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由
可知
R＝
即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。
若粒子运动的速度大小为v，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M离P点最远时，
1
则
MP＝2R
1
同样，若粒子运动的速度大小为v，粒子在磁场边界的出射点N离P点最远时，则
2
NP＝2R
2
由几何关系可知
R＝Rcos 30°＝ R
2
则
故选C。
5．（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与
x轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为
q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（ ）A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程
B．带电粒子在磁场中运动的速率
C．带电粒子在磁场中运动的时间
D．该匀强磁场的磁感应强度
【答案】A
粒子恰好垂直于y轴射出磁场，做两速度的垂线交点为圆心 ，轨迹如图所示
A．由几何关系可知
因圆心的坐标为 ，则带电粒子在磁场中运动的轨迹方程为
故A正确；
BD．洛伦兹力提供向心力，有
解得带电粒子在磁场中运动的速率为
因轨迹圆的半径 可求出，但磁感应强度 未知，则无法求出带电粒子在磁场中运动的速率，故BD错误；
C．带电粒子圆周的圆心角为 ，而周期为
则带电粒子在磁场中运动的时间为
因磁感应强度 未知，则运动时间无法求得，故C错误；
故选A。
6．（2021·全国·高考真题）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为
的带电粒子从圆周上的M点沿直径 方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 ；若射入磁场时的速度大小为 ，离开磁场时速度方向偏转 ，不计重力，则 为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
根据题意做出粒子的圆心如图所示
设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径
第二次的半径
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
所以
故选B。
7．（2020·全国·高考真题）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁
场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子
质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应
强度最小为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力
则磁感应强度与圆周运动轨迹关系为
即运动轨迹半径越大，磁场的磁感应强度越小。令电子运动轨迹最大的半径为 ，为了使电子的运动被
限制在图中实线圆围成的区域内，其最大半径的运动轨迹与实线圆相切，如图所示
A点为电子做圆周运动的圆心，电子从圆心沿半径方向进入磁场，由左手定则可得， ，
为直角三角形，则由几何关系可得
解得
解得磁场的磁感应强度最小值
故选C。
8．（2020·全国·高考真题）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线
所示， 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q
（q>0）的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
粒子在磁场中做匀速圆周运动
，
可得粒子在磁场中的周期
粒子在磁场中运动的时间
则粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。采用放缩圆解决该问题，
粒子垂直ac射入磁场，则轨迹圆心必在ac直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。
当半径 和 时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周
期。
当0.5R0）的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后
垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限．粒子在磁场中运动的时间为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
运动轨迹如图:
即运动由两部分组成,第一部分是 个周期,第二部分是 个周期, 粒子在第二象限运动转过的角度为90°，
则运动的时间为 ；粒子在第一象限转过的角度为60°，则运动的时间为
；则粒子在磁场中运动的时间为： ，故B正确，ACD
错误．.
11．（2019·全国·高考真题）如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向
垂直于纸面（abcd所在平面）向外．ab边中点有一电子发源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电
子．已知电子的比荷为k．则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】
a点射出粒子半径Ra= = ，得：va= = ，
d点射出粒子半径为 ，R=
故vd= = ，故B选项符合题意
二、多选题
12．（2022·辽宁·高考真题）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆
区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通
过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽
略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
【答案】AD
【解析】
AB．由题图可看出粒子1没有偏转，说明粒子1不带电，则粒子1可能为中子；粒子2向上偏转，根据左
手定则可知粒子2应该带正电，A正确、B错误；
C．由以上分析可知粒子1为中子，则无论如何增大磁感应强度，粒子1都不会偏转，C错误；
D．粒子2在磁场中洛伦兹力提供向心力有解得
可知若增大粒子入射速度，则粒子2的半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确。
故选AD。
13．（2022·湖北·高考真题）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分
充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均
为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直
且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，
则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（ ）
A． kBL，0° B． kBL，0° C．kBL，60° D．2kBL，60°
【答案】BC
【解析】
若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有
可得
根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有根据洛伦兹力提供向心力有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
故可知BC正确，AD错误。
故选BC。
14．（2022·湖北·高考真题）如图所示，一带电粒子以初速度v 沿x轴正方向从坐标原点О射入，并经过
0
点P（a>0，b>0）。若上述过程仅由方向平行于y轴的匀强电场实现，粒子从О到Р运动的时间为t，到
1
达Р点的动能为E 。若上述过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现，粒子从O到Р运动的时间为t，到
k1 2
达Р点的动能为E 。下列关系式正确的是·（ ）
k2
A．t t
1 2 1 2
C．E E
k1 k2 k1 k2
【答案】AD
【解析】
AB．该过程中由方向平行于y轴的匀强电场实现，此时粒子做类平抛运动，沿x轴正方向做匀速直线运动；
当该过程仅由方向垂直于纸面的匀强磁场实现时，此时粒子做匀速圆周运动，沿x轴正方向分速度在减小，
根据
可知
tE
k1 k2
故C错误，D正确。
故选AD。
15．（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，
磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q的相同粒子从y轴上的 点，以相同的速率在纸面
内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为 。当 时，粒子
垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则（ ）
A．粒子一定带正电
B．当 时，粒子也垂直x轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为
【答案】ACD
A．根据题意可知粒子垂直 轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A正确；
BC．当 时，粒子垂直 轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得粒子入射速率
若 ，粒子运动轨迹如图根据几何关系可知粒子离开磁场时与 轴不垂直，B错误，C正确；
D．粒子离开磁场距离 点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
解得
D正确。
故选ACD。
16．（2021·湖北·高考真题）一电中性微粒静止在垂直纸面向里的匀强磁场中，在某一时刻突然分裂成a、
b和c三个微粒，a和b在磁场中做半径相等的匀速圆周运动，环绕方向如图所示，c未在图中标出。仅考
虑磁场对带电微粒的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．a带负电荷 B．b带正电荷
C．c带负电荷 D．a和b的动量大小一定相等
【答案】BC
ABC．由左手定则可知， 粒子a、粒子b均带正电，电中性的微粒分裂的过程中，总的电荷量应保持不变，
则粒子c应带负电，A错误，BC正确；
D．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
解得
由于粒子a与粒子b的质量、电荷量大小关系未知，则粒子a与粒子b的动量大小关系不确定，D错误。
故选BC。
17．（2020·天津·高考真题）如图所示，在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大
小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场，速度方向与y轴正方向的夹角 。粒子经过磁场偏转后在N点（图中未画出）垂直穿过x轴。已知 ，粒子电荷量为q，质量为m，重力不计。
则（ ）
A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N与O点相距
【答案】AD
【解析】
A．粒子向下偏转，根据左手定则判断洛伦兹力，可知粒子带负电，A正确；
BC．粒子运动的轨迹如图
由于速度方向与y轴正方向的夹角 ，根据几何关系可知
，
则粒子运动的轨道半径为
洛伦兹力提供向心力
解得
BC错误；
D． 与 点的距离为
D正确。
故选AD。
18．（2019·海南·高考真题）如图，虚线MN的右侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，两电荷量相同的
粒子P、Q从磁场边界的M点先后射入磁场，在纸面内运动．射入磁场时，P的速度 垂直于磁场边界，
Q的速度 与磁场边界的夹角为45°。已知两粒子均从N点射出磁场，且在磁场中运动的时间相同，则（ ）
A．P和Q的质量之比为1：2 B．P和Q的质量之比为
C．P和Q速度大小之比为 D．P和Q速度大小之比为2：1
【答案】AC
【解析】
设MN=2R，则对粒子P的半径为R，有： ；对粒子Q的半径为 R，有： ；又两粒
子的运动时间相同，则 ， ，即 ，解得 ， ，故AC
正确，BD错误．
三、解答题
19．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂
直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在
方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子
源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v 的离
0
子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去
所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v 的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
0
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转
动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于 ，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点
位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
【答案】（1）① ，② ，k = 0，1，2，3…；（2） ，n =0，1，2，…；（3） ，
【解析】
（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为 ，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中
k = 1， ，n = 0，2可得
，
20．（2021·湖南·高考真题）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一、带电粒子流
（每个粒子的质量为 、电荷量为 ）以初速度 垂直进入磁场，不计重力及带电粒子之间的相互作用。
对处在 平面内的粒子，求解以下问题。
（1）如图（a），宽度为 的带电粒子流沿 轴正方向射入圆心为 、半径为 的圆形匀强磁场中，
若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点 ，求该磁场磁感应强度 的大小；
（2）如图（a），虚线框为边长等于 的正方形，其几何中心位于 。在虚线框内设计一个区域
面积最小的匀强磁场，使汇聚到 点的带电粒子流经过该区域后宽度变为 ，并沿 轴正方向射出。求该
磁场磁感应强度 的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程）；
（3）如图（b），虚线框Ⅰ和Ⅱ均为边长等于 的正方形，虚线框Ⅲ和Ⅳ均为边长等于 的正方形。在Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分别设计一个区域面积最小的匀强磁场，使宽度为 的带电粒子流沿 轴正方向射入Ⅰ和Ⅱ
后汇聚到坐标原点 ，再经过Ⅲ和Ⅳ后宽度变为 ，并沿 轴正方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控
束。求Ⅰ和Ⅲ中磁场磁感应强度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过
程）。
【答案】（1） ；（2） ，垂直与纸面向里， ；（3） ， ， ，
（1）粒子垂直 进入圆形磁场，在坐标原点 汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁场中运动的半径等于
圆形磁场的半径 ，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
解得（2）粒子从 点进入下方虚线区域，若要从聚焦的 点飞入然后平行 轴飞出，为磁发散的过程，即粒子
在下方圆形磁场运动的轨迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图所示，图中圆形磁场即为最小的
匀强磁场区域
磁场半径为 ，根据 可知磁感应强度为
根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为
（3）粒子在磁场中运动，3和4为粒子运动的轨迹圆，1和2为粒子运动的磁场的圆周
根据 可知I和III中的磁感应强度为
，
图中箭头部分的实线为粒子运动的轨迹，可知磁场的最小面积为叶子形状，取I区域如图
图中阴影部分面积的一半为四分之一圆周 与三角形 之差，所以阴影部分的面积为类似地可知IV区域的阴影部分面积为
根据对称性可知II中的匀强磁场面积为
21．（2020·江苏·高考真题）空间存在两个垂直于 平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度
分别为 、 。甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v。甲第1次、
第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示。甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点。已知甲的质
量为m，电荷量为q。不考虑粒子间的相互作用和重力影响。求：
(1)Q到O的距离d；
(2)甲两次经过P点的时间间隔 ；
(3)乙的比荷 可能的最小值。
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】
(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，由 得，
，
Q、O的距离为：
(2)由(1)可知，完成一周期运动上升的距离为d，粒子再次经过P，经过N个周期，
所以，再次经过P点的时间为
由匀速圆周运动的规律得，
绕一周的时间为
所以，再次经过P点的时间为
两次经过P点的时间间隔为
(3)由洛伦兹力提供向心力，由 得，
，
完成一周期运动上升的距离
若乙粒子从第一象限进入第二象限的过程中与甲粒子在Q点相遇，则
，
结合以上式子，n无解。
若乙粒子从第二象限进入第一象限的过程中与甲离子在Q点相遇，则
，
计算可得
（n=1，2，3……）
由于甲乙粒子比荷不同，则n=2时，乙的比荷 最小，为
22．（2020·浙江·高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形 、
方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板 平行于 水平放置，能沿竖直方向缓慢
移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界 水平射入
磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界 竖直向下射出，并打在探测板
的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为 ，探测板 的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界 时与H点的距离s；
(2)求探测到三束离子时探测板与边界 的最大距离 ；(3)若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到 距离L的
关系。
【答案】(1) ，0.8R；(2) ；(3)当 时： ；当 时：
；当 时：
【解析】
(1)离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界 边的Q点射出，则由几何关系可得
，
(2)a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界 边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得
即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为 、 ，由几何关系可得
探测到三束离子，则c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界 的距离最大，
则
(3)a或c束中每个离子动量的竖直分量当 时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力
当 时， 只有b和c束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当 时， 只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
23．（2020·全国·高考真题）如图，在0≤x≤h， 区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应
强度B的大小可调，方向不变。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子以速度v 从磁场区域左侧沿x轴进
0
入磁场，不计重力。
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度
的最小值B ；
m
（2）如果磁感应强度大小为 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向
与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
【答案】（1）磁场方向垂直于纸面向里； ；（2） ；
【解析】
（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进
入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有
①
由此可得
②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足
③
由②可得，当磁感应强度大小最小时，设为B ，粒子的运动半径最大，由此得
m
④（2）若磁感应强度大小为 ，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径
为
⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示。设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，
由几何关系
⑥
即 ⑦
由几何关系可得，P点与x轴的距离为
⑧
联立⑦⑧式得
⑨
24．（2017·全国·高考真题）如图，空间存在方向垂直于纸面( 平面）向里的磁场．在 区域，磁感
应强度的大小为 ; 区域，磁感应强度的大小为 （常数 )．一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电
粒子以速度 从坐标原点O沿 轴正向射入磁场，此时开始计时，不计粒子重力，当粒子的速度方向再次
沿 轴正向时，求：
(1)粒子运动的时间；
(2)粒子与O点间的距离．
【答案】(1) (2)
【解析】
如图为粒子的轨迹粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
则有：
那么
，
（1）根据左手定则可得：粒子做逆时针圆周运动；故粒子运动轨迹如图所示，则粒子在 磁场区域运
动半个周期，在 磁场区域运动半个周期；那么粒子在 磁场区域运动的周期
，
在 磁场区域运动的周期
所以，粒子运动的时间：
（2）粒子与O点间的距离：
25．（2019·江苏·高考真题）如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B．磁场中的水平绝缘薄板与磁场
的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN=L，粒子打到板上时会被反弹（碰撞时间极短），反弹前后水平
分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定，可以从左边界的
不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d
