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人教版八年级数学上学期期末压轴精选 30 题
考试范围：全册的内容，共30小题.
一、选择题（共8小题）
1．（2022·湖北孝感·八年级期中） 中， ，点D在线段 上，若 为直角
三角形时 的度数为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】 为直角三角形分两种情况讨论一是当 时， 的度数；二是 ，
的度数即可．
【详解】如图：作 交于点D， ，
当 ， 为直角三角形，
当 时， 为直角三角形，
， ，
综上所述 或 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角定义，直角三角形等知识，熟悉掌握有关知识是解题
关键．
2．（2022·湖南常德·八年级期中）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别算出 得到相应的规律，根据规律再进行计算即可．
【详解】解： ，
，，
∴每3个数一循环，
∵ ，
∴ ；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，属于规律探究型题．根据题意得出规律为三个值一循环是解题的关
键．
3．（2021·内蒙古·鄂尔多斯市东胜区衡水实验学校八年级期中）如图， 是一钢架，且 ，为
加固钢架，需要在其内部添加一些钢管 、…，添加的钢管长度都与 相等，那么最多能添
加这样钢管的根数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形
的内角和定理不难求解．
【详解】解：∵添加的钢管长度都与 相等， ，
∴ ，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是 ，
第二个是 ，第三个是 ，四个是 ，五个是 ，六个是 ，七个是 ，八个是 ，九个是
就不存在了．
∴一共有8个．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利
用规律是正确解答本题的关键．
4．（2022·辽宁·丹东市第五中学八年级阶段练习）若 的三边a，b，c满足 ，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【分析】由非负数性质可求得 ， ，从而可得 ， ，即可判断三角形的形
状．
【详解】解： 的三边 ， ， 满足 ，， ，
， ，
是等腰直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，非负数性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
5．（2022·重庆十八中八年级期中）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
分别对应下列七个字：中、十、我、美、爱、八、丽，现将
因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（ ）
A．我爱美丽中 B．我爱十八中 C．十八中爱我 D．美丽十八中
【答案】B
【分析】先提公因式 ，再利用平方差公式因式分解，根据题意即可作出判断．
【详解】解：
，
根据题意，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是：我爱十八中，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，掌握提公因式法和公式法分解因式的步骤是解答的关键．
6．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）若整数m既使得关于x的分式方程 有整数解，
又使得关于y的不等式组 至少有三个整数解，则符合条件的所有m之和为（ ）
A．7 B．11 C．12 D．16
【答案】B
【分析】先解分式方程，可得当 时， ，再分析取整数解时，m的值，再解不等式组可得
，可得 ，从而可得答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
整理得： ，
当 时， ，∵整数m既使得关于x的分式方程 有整数解，
∴ 或 或 或 或 或 ，
解得： 或 或 或 或 或 ，
∵ ，则 ，
∴ 或 或 或 或 ，
由①得： ，
由②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
∵关于y的不等式组 至少有三个整数解，
∴不等式组至少有 ， ， 三个整数解，
∴ ，
解得： ，
综上： 或 ，
∴ ．
故选B
【点睛】本题考查的是分式方程的整数解问题，不等式组的整数解问题，掌握“分式方程的解法与由不等
式组的整数解的数量求解参数的范围”是解本题的关键．
7．（2022·上海市长阳实验学校八年级期中）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交
于点 ， 交 于 ， 交 于 ，过点 作 于 ，下列三个结论：①
；②当 时， ；③若 ， ，则 ，其
中正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解 与 的关系，进而判定①；在 上取
一点H，使 ，证得 ，得到 ，再证得 ，得到
，进而判定②正确；作 于H， 于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【详解】解：∵ 和 的平分线相交于点O，
∴ ， ，
∴
，
故①错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ， 分别是 与 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，在 上取一点H，使 ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
作 于H， 于M，
∵ 和 的平分线相交于点O，
∴点O在 的平分线上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故③正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅
助线证得 ，得到 ，是解决问题的关键．
8．（2022·重庆市第七中学校八年级阶段练习）有依次排列的2个整式： ， ，对任意相邻的两个整
式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串： ， ，
，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的
整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后整式串为： ， ， ， ， ；
②第二次操作后，当 时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后整式串中共有19个整式；④第2022次操作后，所有的整式的和为 ．下列结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】解： 第一次操作后的整式串为： ，3， ，
第二次操作后的整式串为 ， ，3， ， ，
即 ， ，3， ， ，故①的结论正确，符合题意；
第二次操作后整式的积为 ，
，
，即 ，
，
即第二次操作后，当 时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意；
第三次操作后整式串为 ， ， ， ，3， ， ，3， ，
第四次操作后整式串为 ， ， ， ， ， ， ， ，3， ， ，3， ，
，3， ， ，
共17个，故③的说法错误，不符合题意；
第一次操作后所有整式的和为 ，
第二次操作后所有整式的和为 ，
第三次操作后所有整式的和为 ，
...，
第n次操作后所有整式的积为 ，
∴第2022次操作后，所有的整式的和为 ，
故④的说法正确，符合题意；
正确的说法有①④，
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号
的运算法则（括号前面是“ ”号，去掉“ ”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“ ”号，
去掉“ ”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式 是解题关键．
二、填空题（共8小题）
9．（2022·山东潍坊·八年级期中）定义一种运算☆，规则为 ，根据这个规则，若
，则x=___________．
【答案】1【分析】根据给定的新定义，可得 ，进一步可得 ，解分式方程即可
【详解】解：根据给定的定义，
得 ，
∴ ，
去分母，得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的综合，理解新定义并熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
10．（2022·山东东营·八年级期中）已知关于 的方程 的解为正数，则 的取值范围是
__________．
【答案】 且
【分析】首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且 即可求得m的范围．
【详解】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
化系数为1，得： ，
∵原分式方程得解为正数，且 ，
∴ ，且 ，
解得： 且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式的分母
不能为0．
11．（2022·湖南·衡阳师范学院祁东附属中学八年级期中）若 的边a，b满足
，则第三边c的中线长m的取值范围为______．
【答案】
【分析】由 ，得a，b的值，作图后由 得 ，最后根据三
角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，即可得中线长m的取值范围．
【详解】由 可得，
如图，设 ， ， 是对边 的中线，延长 至 点，使得 ，并连接 ，
, ，
中线长m的取值范围为： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，全等三角形的证明以及三角形的三边关系，掌握相应的知识点是解题的关
键．
12．（2022·山东济宁·八年级期中）已知一张三角形纸片 （如图甲），其中 ，将纸片沿过点
B的直线折叠，使点C落到 边上的E点处，折痕为 （如图乙），再将纸片沿过点E的直线折叠，点
A恰好与点D重合，折痕为 （如图丙）．原三角形纸片 中， 的大小为______．
【答案】 ##36度
【分析】由折叠的性质可得： ， ， ，由等腰三角形的性质可得，
，求解即可．
【详解】解：由等腰三角形的性质可得， ，
由折叠的性质可得： ， ， ，
则 ， ，，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基
础知识．
13．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，在第1个 中， ， ；在边 上任取一
点D，延长 到 ，使 ，得到第2个 ；在边 上任取一点E，延长 到 ，使
，得到第3个 ，…，按此方法继续下去，第n个等腰三角形的底角度数是_______．
【答案】
【分析】根据内角和定理及外角的定义解题即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理得： ，
以此类推第n个等腰三角形的底角度数是
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及外角的定义，能够熟练运用等腰三角形的性质计算角度并利用
外角的性质表示角度是解题关键．14．（2022·广东·东莞市虎门外语学校八年级期中）有一三角形纸片 ， ，点 是 边上一点，
沿 方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则 的度数可以是
____________________．
【答案】 或 或
【分析】分 或 或 三种情况根据等腰三角形的性质求出 ，再求出 ，
然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】由题意知 与 均为等腰三角形，
对于 可能有
，此时 ，
∴ ，
∴ ，
，此时 ，
∴ ，
∴ ；
，此时， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 度数可以为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．
15．（2022·浙江·八年级专题练习）已知 中， ， ，点 为 的中点，点E、F
分别为边AB、AC上的动点，且 ，连接EF，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论
的序号）① ；② ；③ ；④
【答案】②④##④②
【分析】根据平角和三角形内角和定理判断①；连接AD，证明 即可判断②；当点E移动
到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时 ， ，即 ，即可判断③；，即可判断④．
【详解】
；
故①错误；
连接AD，
∵ ， ，∴ ，
又∵点 为 的中点，∴ ， ， ，即 ，
又∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
故②正确；
∵ ，∴ ，
则 ，故④正确；
当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时 ， ，即 ；
故③错误；
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
16．（2022·北京市三帆中学八年级期中）如图，在 中， ， ， 是斜边
上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交 于点F，连
接 ，下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④
．其中正确的是 _____．【答案】①②③
【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得 ， ，再利用 可判断①正确；
再证明 可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质
和三角形的三边关系可判断④错误．
【详解】解： 在 中， ， ，
， ，
，
，
，
，
，则 ，
在 和 中，
，故①正确；
，
， ，
，
在 和 中，
，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
， ， ， ，，故③正确；
中，
，
故④错误，
综上，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等
知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明 是解答的关键．
三、解答题（共14小题）
17．（2022·福建泉州·八年级期中）如图 ，是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成
四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形如图 ．
(1)图 中的阴影部分的边长为___________；
(2)观察图 请写出 ， ， 之间的等量关系：___________；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）阴影部分为边长为 的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；
（2）在图 中，大正方形有由小正方形和 个矩形组成，则 ；
（3）由（2）的结论得到 ，再把 代入得到 ，然后利用
平方根的定义求解．
【详解】（1）解：阴影部分为边长为 ，
故答案为： ．
（2）解：图 中，用边长为 的正方形的面积减去边长为 的正方形等于 个长宽分别 、 的矩形
面积，∴ ，
故答案为： ．
（3）解：由（2）得 ，
把 代入得 ，
则 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用面积法证明完全平方公式 ．
18．（2022·重庆市育才中学八年级阶段练习）如图1，在等腰直角 中， ， ，点
是 内一点，连接 ， 且 ，连接 、 交于点 ．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，连接 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设 交 于点H，由 ，得出 ，得出 ，由
证得 ，得出 ，即可得出结果；
（2）设 交 于点H，在 上截取 ，连接 ，由 ，得出
，推出 ，由（1）知 ，得出 ，设
，则 ，推出 ，由
平分 得出 ，由 证得 ，得出 ， ，由
，得出 ，得出 ，推出 ，由
，得出 ，即可得出结论
【详解】（1）设 交 于点H，如图1所示：
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）设 交 于点H，在 上截取 ，连接 ，如图2所示：
∵
∴
∵
∴
由（1）知：
∴
设
∴
∴
∴
∴
∵ 平分
∴
在 和 中，∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴ ；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．（2021·江苏·南通第一初中八年级阶段练习）观察下列方程及其解的特征：
① 的解为 ；
② 的解为 ；
③ 的解为
解答下列问题：
(1)请猜想：方程 的解为_____；
(2)请猜想：关于x的方程 _____的解为 ， ；
(3)解分式方程： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中给出的特征律即可得到解答；
（2）根据题中给出的特征即可得到解答；
（3）先把原方程变形后，利用得出的特征即可解答．
【详解】（1）解：，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：由题意可得 的解为 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：
，
由规律可得： ，
∴ ，
经检验， 是原分式方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，理解并找出题目中的特征是解决本题的关键．
20．（2022·陕西商洛·八年级期末）已知，在等边 中，D、E分别为 边上的点， ，
连接 相交于点F．(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，过点A作 于H，若 ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长 到点M，连接 ，使 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）由等边三角形的性质得出 ，可证明 ，从而得到
，然后依据三角形的外角的性质得到 ；
（2）由（1）得 求出 ， ，再由直角三角形的性质得出
，得出 ，从而 ，即可得出结论；
（3）由（2）得： ，由等腰三角形的性质得出 ，从而得出
的长．
【详解】（1）解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：由（2）得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含 的直角三角
形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．（2022·四川省内江市第二中学八年级期中）阅读材料利用公式法，可以将一些形如
的多项式变形为 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法，运
用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解
例如
根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式（利用公式法）： ；
(2)已知 的三边长a，b，c，且满足 ，求 的最大边c的取值范围．
(3)已知 ， ，试比较P，Q的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）利用完全平方公式将所给式子变形为 进而求出a、b的值，再根据三角形三边的
关系求解即可；
（3）利用作差法求出 ，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵c是最大边，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，平方的非负性，熟知完全平方公式是解题
的关键．
22．（2022·福建·莆田锦江中学八年级期中）如图， ，且 ， ，且
(1)如图1，连接 、 ，求证： ；(2)如图2，求证：
(3)如图3， 经过A点与 交于G点，且 于F点．求证：G为 的中点．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）根据垂直可得 ，得出 ，根据全等三角形的判定证明
，可得答案；
（2）作 交 的延长线于M，作 ，进而可得 ，根据全等三角形的判定
证明 ，进而得出 ，根据三角形的面积公式可得；
（3）作 交 的延长线于M，作 ，先证明 ，再证 ，得出
；再证明 ，得出 ，进而得出 ，再证明 ，即可得
出答案．
【详解】（1）∵ ， ，
∴
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
（2）
作 交 的延长线于M，作
∴
∵
∴
∴在 和 中，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
（3）
作 交 的延长线于M，作
∴
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
∴
∴
在 和 中，
∴
∴∴
在 和 中，
∴
∴
∴G为 的中点．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确作辅助线证明三角形全等
是解题的关键．
23．（2022·山东淄博·八年级期中）阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如
，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
分组
组内分解因式
整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式： ；
(2)已知 的三边 满足 ，判断 的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2) 为等腰三角形；理由见解析
【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；
（2）将 通过因式分解化为 ；由三角形的三边关系可知 ；
所以 ，即 ，从而得出结论；
【详解】（1）解：
（2）解：依据分组分解法，得根据三角形三边关系，易得
∴
∴
∴ 为等腰三角形
【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
24．（2022·浙江·八年级专题练习）(1)阅读理解：如图1，在 中，若 ， ．求 边上
的中线 的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长 到点 ，使 ，再连接 (或将
绕着点 逆时针旋转 得到 )，把 ， ， 集中在 中，利用三角形三边的关
系即可判断中线 的取值范围是______；
(2)问题解决：如图2，在 中， 是 边上的中点， 于点 ， 交 于点 ， 交
于点 ，连接 ，求证： ；
(3)问题拓展：如图3，在四边形 中， ， ， ，以 为顶点作一
个 角，角的两边分别交 ， 于 ， 两点，连接 ，探索线段 ， ， 之间的数量关系，
并加以证明．
【答案】(1) ；(2)见解析；(3) ，证明见解析
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，根据三角形三边关系即
可求解；
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ， ，同（1）得， ，证明
在 中，由三角形的三边关系得 ，即可得证；
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ， ，根据求
的三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：延长 至 ，使 ，连接 ，如图①所示：
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得： ，
∴ ，即 ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）证明：延长 至点 ，使 ，连接 ， ，如图所示
同（1）得， ，
， ，
，
在 中，由三角形的三边关系得 ，
（3）
证明如下：
延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示
，
在 和 中，
，
，
，
，在 和 中，
，
．
，
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助
线，构造出与图①中结构相关的图形．
25．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母 ，可设 ；
则 ．
对于任意 上述等式成立，
，解得： ．
．
这样，分式 就拆分成一个整式 与一个分式 的和的形式．
(1)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
(2)已知整数 使分式 的值为整数，直接写出满足条件的整数 的值．
【答案】(1)
(2)满足条件的整数 的值为 、 、 、 ．
【分析】（1）仿照例题，列出方程组，求出 、 的值，即可把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为
整数）的和的形式；（2）仿照例题，列出方程组，求出 、 的值，把原式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的
形式，再根据整除运算即可解答．
【详解】（1）解：由分母 ，可设
则 ，
对于任意 上述等式成立，
，解得： ，
，
这样，分式 就拆分成一个整式 与一个分式 的和的形式；
（2）解：由分母 ，可设 ，
则 ，
∵对于任意 上述等式成立，
，解得： ，
，
整数 使分式 的值为整数，
∴ 为整数，
满足条件的整数 、 、 、 ．
【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法，读懂
材料掌握方法是解题的关键．
26．（2022·湖南常德·八年级期中）如图（1）， 为等腰三角形， ，点P在线段BC上
（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角 ， 于E．
（1） （2）
(1)求证： ；
(2)连接 交 于M，求证： ；(3)如图（2），过Q作 于AB的延长线于点F，过P点作 交 于D，连接 ，当点P
在线段 上运动时（不与B，C重合），式子 的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请
说明理由．
【答案】(1)证明见解答过程；
(2)证明见解答过程；
(3)式子 的值不会变化，值为1，理由见解答过程．
【分析】（1）根据题目中的信息可以得到 ， 与 之间的关系， 与 之间
的关系，从而可以解答本题；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，结合题意利用 证明 ，根据全等三角形的
性质即可得解；
（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从
而可以解答本题．
【详解】（1）证明： ， 是等腰直角三角形， 于 ．
， ，
，
，
在 和 中，
，
；
（2）证明： ，
，
为等腰三角形， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；（3）解：式子 的值不会变化，值为1，理由如下：
如图2所示：过点 作 交 于点 ，
， ， ，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
即式子 的值不会变化，值为1．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形
的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27．（2020·江苏·扬州市梅岭中学七年级期中）图 是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀
均分成四块小长方形，然后按图 的方法拼成一个边长为 的正方形．(1)请用两种不同的方法求图 中阴影部分的面积．
方法 ： ；
方法 ： ．
(2)观察图 写出 ， ， 三个代数式之间的等量关系： ．
(3)根据（ ）中你发现的等量关系，解决如下问题：若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表
示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；
（2） ， ， 三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面
积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系；
（3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果．
【详解】（1）根据图形可得：
方法 ： ；
方法 ： ．
故答案为： ， ．
（2）由阴影部分的两个面积代数式相等，
可得： ．
故答案为： ．
（3）∵ ， ，．
【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的
关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
28．（2022·广东·江门市新会尚雅学校八年级阶段练习）（1）如图1，已知，在 中， ，
平分 ， 平分 ，过点 作 ，分别交 、 于 、 两点，则图中共有
________个等腰三角形： 与 、 之间的数量关系是________， 的周长是________．
（2）如图2，若将（1）中“ 中， ”改为“若 为不等边三角形， ，
”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形； 与 、 之间的数量关系是什么？
证明你的结论，并求出 的周长．
（3）已知：如图3， 在 外， ，且 平分 ， 平分 的外角 ，过点
作 ，分别交 、 于 、 两点，则 与 、 之间又有何数量关系呢？写出结论并
证明．
【答案】（1）5， ，20
（2）2， ，证明见详解，18
（3） ，证明见详解
【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，再根据平行线的性质，“两直线
平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知 ，
，即可求出 ， ，根据“等角
对等边”可知 ，即可确定等腰三角形的数量， 与 、 之间的数量关系
以及 的周长；
（2）若 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知 ，再结合平线性
的性质“两直线平行，内错角相等”可知 ，即可推导
，
然后根据“等角对等边”即可证明 ，然后解答即可；
（3）根据角平分线的定义可知 ，再结合平线性的性质“两直线平行，内错
角相等”可知 ，即可推导 ，然后根据“等
角对等边”即可证明 ，即可证明 与 、 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴等腰三角形有 ，共计5个，
∴ ，即 ，
∴ 的周长
，
故答案为：5， ，20；
（2）若 为不等边三角形，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴等腰三角形有 ，共计2个，
故答案为：2；
∵ ，
∴ ，即 ；
∴ 的周长；
（3） 与 、 之间的数量关系为： ，
证明：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 、 之间的数量关系为 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握等
腰三角形的判定与性质是解题关键．
29．（2022·重庆市第一一〇中学校九年级开学考试）“数形结合百般好”．在代数式的学习过程中我们可
以结合图形理解相关公式的产生，如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从
而得到完全平方公式： ．
请结合以上知识，解答下列问题：
(1)写出图2所示的长方形所表示的数学等式 ；
(2)根据图3得到的结论，解决下列问题：
若 ， ，求代数式 的值；
(3)小明同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方
形纸片拼出一个面积为 的长方形，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)26
(3)55
【分析】（1）根据表示图形面积的两种方法即可得到答案；（2）由题意得到大正方形的面积＝ ，各个小图形面积之和＝ ，利用
面积相等和已知条件即可求解；
（3）大长方形的面积为 ，小图形的面积分别为 ，进一步即
可得到答案．
【详解】（1）拼成的大长方形面积之和 ，
各个小图形面积之和 ，
∴图2所表示的数学等式是 ．
故答案为： ．
（2）图（3）中大正方形的面积＝ ，
各个小图形面积之和＝ ，
∴ ．
∵ ， ．
∴ ，
即 ，
∴ ．
（3）大长方形的面积为： ，
∵小图形的面积分别为 ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，整体代入思想，数形结合思想，能够通过几何图形找到代数之
间的等量关系是解决此类题型的关键．
30．（2022·全国·八年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提
出的问题．
(1)探究1：如图1，在 中，O是 与 的平分线 和 的交点，试分析 与 有
怎样的关系？请说明理由．(2)探究2：如图2中，O是 与外角 的平分线 和 的交点，试分析 与 有怎样
的关系？请说明理由．
(3)探究3：如图3中，O是外角 与外角 的平分线 和 的交点，则 与 有怎样
的关系？（直接写出结论）
(4)拓展：如图4，在四边形 中，O是 与 的平分线 和 的交点，则 与
有怎样的关系？（直接写出结论）．
(5)运用：如图5，五边形
中， 的外角分别是 分别平分 和 且相交于点P，
若 ， 则 度．
【答案】(1) ，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据 和 分别是 的角平分线，可得
，再由三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得 ，
，即可求解；
（3）根据三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可求解；
（4）根据四边形的内角和等于 与三角形内角和定理，即可求解；
（5）根据多边形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ 和 分别是 的角平分线，
∴ ，
∴ ；
（2）解：探究2结论： ．理由如下：如图，
∵ 和 分别是 和 的角平分线，
∴ ，
又∵ 是 的一个外角，
∴ ，
∵∠2是 的一个外角，
∴ ，
即 ；
（3）解：∵O是外角 与外角 的平分线 和 的交点，
∴ ， ，
在 中，
；
（4）解：∵O是 与 的平分线 和 的交点，
∴ ，
在 中， ；
（5）解：∵ ，
∴ ，
∵ 分别平分 和 ，∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，熟练掌握三角形外
角的性质与三角形内角和定理，多边形内角和定理，利用类比思想解答是解题的关键．
