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19.3 二次根式的加法与减法
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1. 掌握二次根式的加减法计算方法；
2. 能运用运算律、乘法公式对二次根式进行简便运算.
【题型1】二次根式运算的辨析
1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列运算正确的是（）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·河南郑州·月考）下列各式计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2】二次根式的加减运算
5．（25-26九年级上·福建漳州·期中）化简： ．
6．（25-26九年级上·福建厦门·月考）计算： ， ．
7．（2025八年级上·福建福州·专题练习）计算：
(1) ；(2) ．
8．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）计算：
(1) ；
(2) ．
【题型3】二次根式的混合运算
9．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
10．（25-26八年级上·广东佛山·期中）计算： ．
11．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）计算与化简：
(1)
(2)(3) （其中 ）
12．（25-26八年级上·陕西西安·月考）计算： ．
【题型4】二次根式的简便运算
13．（24-25八年级上·四川成都·期末）计算：
(1)
(2)
14．（25-26八年级上·陕西西安·期中）计算：
(1)
(2)
15．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）计算：
(1) ；
(2) ．
16．（25-26九年级上·山西晋城·月考）计算：(1) ．
(2) ．
【题型5】二次根式的化简求值
17．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知 ， ，分别求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
18．（25-26八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知 ，求 的值．
20．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，求下列代数式的值：
(1) ；
(2) ．
【题型6】二次根式运算的规律探究
21．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式： ， ， ， ，…，则
第6个二次根式为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25七年级下·云南临沧·期末）按一定规律排列的实数： ，2， ， ， ，…，第200个数是（ ）
A．10 B． C．20 D．
23．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】
填空：
① ； ② ； ③
④ __________； ⑤ __________； ⑥ __________；
……
【归纳·猜想】
如果 为正整数，按照此规律，第 个式子可以表示为__________；
【应用·运算】
①用发现的规律填空，并通过计算验证： __________；
②直接写出结果：若 ，则 __________．
24．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决以下问题：
(1)写出第5个等式；
(2)试用含n(n为自然数，且 )的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
【题型7】二次根式运算的应用25．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，内圆的半径为 ，外圆的半径为 ．求这个圆
环的面积．
26．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为 和 的两个小正方形．
(1)则裁去的较大正方形的边长是 ，较小正方形的边长是 ；
(2)求留下部分的面积．
27．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，小华家有一块长方形空地 ，空地的长 为 ，
宽 为 ，小华准备在空地中划出一块长为 ，宽为 的小长方形地种植香菜（即图
中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求长方形空地 的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．28．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知 的三边长分别为 ， ， ，设 为 的
面积，则 ，其中， ．
请根据上面的阅读材料，解答下面的问题：
王大爷承包了一块三角形田地，其三边长分别为 ， ， ．若每亩的承包价格为 元，则王
大爷应支付多少元的承包费？（注： ， 亩 ，结果取整数）参考答案
题号 1 2 3 4 21 22
答案 D A A C D C
1．D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、因为 与 的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误；
B、因为 与 的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误；
C、 ，故本选项的计算错误；
D、 ，故本选项的计算正确．
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据二次根式的乘法、除法、加减法法则进行计算即可求解．
【详解】∵选项A： ，正确；
选项B： ，错误；
选项C： ，因为根式加减不能直接合并，且数值不相等，错误；
选项D： ，错误．
∴正确的是A．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，二次根式的除法．
根据二次根式的运算法则逐一判断即可．
【详解】解： ，A正确；
，B错误；
，C错误；，D错误；
故选：A．
4．C
【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和乘法公式，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算
法则．
需要逐一验证每个选项的计算是否正确．
【详解】解：∵选项A： ，正确；
选项B： ，正确；
选项C： ，错误；
选项D： ，正确．
∴ 计算错误的是C．
故选：C．
5．
【分析】本题考查了二次根式的减法，二次根式的性质，先通过二次根式性质化简，然后进行合并即可，
掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
6． 3 0
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的性质、二次根式的加减运算等知识点，掌握相
关运算法则是解题的关键．
第一空运用二次根式的乘法法则计算即可解答；第二空先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次
根式即可．
【详解】解： ；
．
故答案为：3， 0．7．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的加减法和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）将二次根式化简后再合并即可得到答案；
（2）原式分别计算算术平方根、立方以及绝对值，然后再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
8．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，熟知二次根式的加减计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
（2）先化简二次根式，再计算绝对值和零指数幂，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
9．(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题
关键．
（1）先化简绝对值、计算算术平方根与立方根，再计算实数的加减法即可得；
（2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算二次根式的减法即可得．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
．
10．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：原式
．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算加减即可；（2）先化简二次根式，计算减法，再计算乘法即可；
（3）先化简二次根式，再计算乘除即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
12．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘除，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
13．(1)(2)
【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，立方根、绝对值、平方根和算术平方根的计算，
以及完全平方公式和平方差公式的应用；
（1）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质化简，再进行加减计算即可求解；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算二次根式的乘除法，然后再合并即可；
（2）原式先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算零次幂、去绝对值计算、算术平方根计算，再计算加减法即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．(1)6
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则．（1）先根据二次根式的乘除法法则运算，然后合并即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式化简二次根式，然后合并即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
17．(1)
(2)
【分析】（ ）由已知可得 ， ，再利用平方差公式计算即可；
（ ）由已知可得 ， ，再把原式转化为 ，进而代入计算即可求解；
本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，∴ ， ，
∴
．
18． ，
【分析】本题考查二次根式的化简求值，先利用平方差公式将原式展开，然后进行合并，再将 代
入计算即可．掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键．
【详解】解：
，
当 时，
原式
．
19．
【分析】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据二次根
式的性质计算，即可得到答案.
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为 ．
20．(1)13
(2)14
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则
是解题关键．
（1）将原式整理为 ，然后代入求值即可；
（2）将原式整理为 ，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
；
（2）解：∵ ，
∴．
21．D
【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可
得规律：第n个数是 ，进而求解．
【详解】解：∵第n个二次根式为 ，
∴当 时， ，
∴第6个二次根式为 ；
故选：D．
22．C
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此
规律求解即可．
【详解】解：第一个数为 ，
第二个数为 ，
第三个数为 ，
第四个数为 ，
……，
以此类推可知，
第 个数为 ，
∴第 个数是 ，故选：C．
23．
【观察·发现】④ ；⑤ ；⑥
【归纳·猜想】
【应用·运算】① ，验证见解析；②
【分析】本题考查了实数的规律题．
[观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案；
[归纳•猜想]由已知等式总结规律即可；
[应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可；
②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可．
【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④ ，⑤ ，⑥ ，
故答案为：④ ；⑤ ；⑥ ；
[归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为 ，
故答案为： ；
[应用·运算]①由所得规律可得 ，验证如下：，
故答案为： ；
②若 ，
则 ， ，
解得： ， ，
则 ，
故答案为： ．
24．(1) ；
(2) ，理由见解析．
【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键．
（1）根据所给等式可得答案；
（2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
第5个等式： ．
（2）解：根据题意，第n个等式为： ，理由如下：
，
∴ ．
25．
【分析】此题考查二次根式的乘法计算，掌握圆环的面积计算公式是解答的关键．
圆的面积为 ，代入数据计算分别求出外圆的面积和内圆的面积，圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积，
据此计算即可解答．
【详解】解：圆环的面积 ，
，
，
．
26．(1) ，
(2)留下部分的面积为
【分析】本题主要考查了算术平方根．
根据算术平方根的定义和正方形的面积求出正方形的边长；
根据两个正方形的边长可知留下矩形的长为 ，宽为 ，根据长方形的面积公式即可求出结果．
【详解】（1）解： 较大正方形的面积是 ，较大正方形的边长是 ；
较小正方形的面积是 ，
较小正方形的边长是 ；
故答案为： ， ；
（2）解：由 可知裁去的较大正方形的边长为 ，较小正方形的边长为 ，
留下矩形的长为 ，宽为 ，
留下部分的面积 ，
答：留下部分的面积为 ．
27．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的应用，涉及到二次根式的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键．
（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答；
（2）长方形 的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，即可列式作答．
【详解】（1）解：长方形空地 的周长
；
（2）解：种植青菜部分的面积．
28．王大爷应支付 元的承包费．
【分析】本题主要考查二次根式的应用，由题意得设 ， ， ，面积为 ，求出
，然后代入 ，然后列出算式 ，求值即可，掌握知识
点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得设 ， ， ，面积为 ，
∴ ，
，
，
∴王大爷应支付承包费： （元），
答：王大爷应支付 元的承包费．
