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专题 13.4 轴对称中的最值问题
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
◆ 典例分析
【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到
B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两
个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．
解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为线段
A′B的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；
（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两
点（不同于点O），使△PCD的周长最小，请画出草图，并求出△PCD周长的最小值；
②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右
侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是______，此时∠CFE=______．
【思路点拨】
（1）根据轴对称的性质作出图形；
（2）根据两点之间线段最短解答；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAE(SAS)，根据全等的性质和三线合一
可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的
对称的M，连接FM交CE于E′，此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，所以△AEF周长的最小值
1
是AF+AE+EF=AF+MF= a+b，∠CFE=90°．
2
【解题过程】
（1）解：作图如下：
（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，
连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD的周长最小，
连接OM、ON，如图，
由轴对称的性质可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，
∠MON=2∠AOB=60°，
∴△MON为等边三角形，
∴MN=12，
∴△PCD的周长=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；
②∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），
作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E′，如图，
此时AE+EF的值最小，此时AE+EF=FM，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM=FB=b，
1
∴△AEF周长的最小值是AF+AE+EF=AF+MF= a+b，∠CFE=90°．
2
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，
CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接AP，PQ，则AP+PQ的最小值
是（ ）
A．6 B．5 C．4.8 D．4
【思路点拨】
本题考查了轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点．如
图，作点Q关于直线CD的对称点Q'，作AM⊥BC于M.由PA+PQ=PA+PQ'，推出根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的长，根据三角形的面积
即可求得线段AM的长．
【解题过程】
解：如图中，
作点Q关于直线CD的对称点Q′，作AM⊥BC于M，
∵PA+PQ=PA+PQ′，
∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值=线段AM的
长．
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，AC=8，
AB⋅AC 6×8
∴AM= = =4.8．
BC 10
故选：C．
2．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC
，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．9
【思路点拨】
本题主要考查轴对称的性质等知识，熟练掌握“将军饮马”模型是解题的关键．
如图：在BA上取一点G，使BG=BF，连接CG，EG，作CH⊥AB于H，可得出
CE+CF=CE+EG≥CG≥CH得到CE+EF的最小值为CH的长，再求出CH的长即可．
【解题过程】
解：如图：在BA上取一点G，使BG=BF，连接CG，EG，作CH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，
∴直线BD是∠ABC的对称轴，
∴EG=EF，
∴CE+CF=CE+EG≥CG≥CH，
∴CE+EF的最小值为CH的长，
∵AB=15，△ABC的面积为90，
1 1
∴ AB⋅CH= ×15×CH=90，解得：CH=12，
2 2
∴CE+EF的最小值为：12．
故选：A．
3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点
D在边AC上，点P、Q分别在线段BD、BC上运动，则PQ+PC的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
本题考查了轴对称-最短路径问题、角平分线的性质定理，30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是
学会利用轴对称解决最短路径问题，作点Q关于BD的对称点M，连接CM，当CM⊥AB时．此时
PQ+PC取得最小值．
【解题过程】
解：∵∠ABC=30°,∠ABD=15°，
∴BD是∠ABC的平分线，
作点Q关于BD的对称点M，连接PM、CM，由对称的性质可知，PQ=PM,∠QBP=∠MBP=15°
∴PQ+PC=PM+PC≥CM，
∵∠QBP=∠MBP=15°,
∴∠QBP+∠MBP=30°,
∵∠ABC=30°,
∴M在AB上
由垂线段最短可知：当CM⊥AB时．CM取得最小值，
∴此时PQ+PC也取得最小值．
∵CM⊥AB，
∴∠BMC=90°，
∵∠ABC=30°
1
∴CM= BC=2
2
∴PQ+PC的最小值为：2．
故选：B．
4．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方
1
有一动点P满足S = S ，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
△PBC 2 △ABC
A．60° B．45° C．30° D．不确定
【思路点拨】
本题主要考查了轴对称变换−最短距离问题，根据三角形的面积关系得出点P在过AD的中点E且平行于
BC的直线l上是解决此题的关键．1
根据S = S 得出点P到BC的距离等于AD的一半，即点P在过AD的中点且平行于BC的直线l
△PBC 2 △ABC
上，则此问题转化成在直线l上求作一点P，使得点P到B、C两点距离之和最小，作出点C关于直线l的
对称点C′，连接BC′，然后根据条件证明BCC′是等腰直角三角形即可得出∠PBC的度数．
【解题过程】
1
解：∵S = S ，
ΔPBC 2 ΔABC
1
∴点P到BC的距离= AD，
2
∴点P在过AD的中点E且平行于BC的直线l上，
作C点关于直线l的对称点C′，连接BC′，交直线l于点P，
则点P即为到B、C两点距离之和最小的点，
∵AD⊥BC，E为AD的中点，l∥BC，点C和点C′关于直线l对称，
∴CC′=AD=BC，CC′⊥BC，
∴三角形BCC′是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°．
故选：B．
5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，
AB=BC，AE=DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则
∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．76° B．84° C．96° D．109°
【思路点拨】本题考查了最短路线问题．延长AB至A′，使A′B=AB，延长AE至A″，使A″E=AE，则BC垂直平分
A A′，DE垂直平分A A″，所以AM=A′M，A″N=AN，△ABC的周长为AM+MN+AN，要使其周长
最小，即使A′M+MN+A″N最小，设∠MA A′=x，则∠AMN=2x，设∠NA A″= y，则∠ANM=2y
，在△A A′ A″中，利用三角形内角和定理，可以求出x+ y=38°，进一步可以求出∠AMN+∠ANM的
值．
【解题过程】
解：如图，延长AB至A′，使A′B=AB，
延长AE至A″，使A″E=AE，
则BC垂直平分A A′，DE垂直平分A A″，
∴AM=A′M，AN=A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+N A″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM=A′M，AN=A″N，
∴可设∠MA A′=∠M A′ A=x，∠NA A″=∠N A″ A= y，
在△A A′ A″中，x+ y=180°−∠BAE=180°−142°=38°，
∵∠AMN=∠MA A′+∠M A′ A=2x，∠ANM=2y，
∴∠AMN+∠ANM=2x+2y=76°，
故选：A．
6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、
Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，∠PQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则β−α=
．【思路点拨】
本题考查轴对称−最短问题、三角形外角的性质．作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连
接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，
∠OQP=∠AQN′=∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解题过程】
解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，当
M'，N'，Q三点共线时，MP+PQ+QN最小，
1
∴∠OPM=∠OPM′=∠NPQ= (180°−α)
2
，
1
∠OQP=∠AQN′=∠AQN= (180°−β)，
2
1 1
∴∠QPN=∠OPM′= (180°−α)=∠AOB+∠MQP=18°+ (180°−β)，
2 2
∴180°−α=36°+180°−β，
∴β−α=36°，
故答案为：36°．
7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点
PM
M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ最小时， = ．
PQ【思路点拨】
作点M关于OA的对称点M′，连接OM′,PM′，得到PM+PQ=M′P+PQ≥M′Q，进而得到当M′，P，
Q三点共线时，PM+PQ最小，推出△OM M′为等边三角形，OPM′为等腰三角形，利用含30度角的直
角三角形的性质，进行求解即可．
【解题过程】
解：作点M关于OA的对称点M′，连接OM′,PM′，则：
OM=OM′,PM=PM′,∠MOA=∠M′OA=30°，
∴∠M′OM=60°，PM+PQ=M′P+PQ≥M′Q，
∴△OM M′为等边三角形，当M′，P，Q三点共线时，PM+PQ最小，
∴∠OM′M=60°，
∵PQ为点P到OB边的距离，
∴PQ⊥OB，
∴M′Q⊥OM，
∴∠OM′Q=30°=∠M′OP，
∴PM=PM′=OP，
∵∠AOB=30°，PQ⊥OB，
∴PM=PM′=OP=2PQ
PM
∴ =2；
PQ
故答案为：2．
8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，
AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l上的一动点，当△AED的周长最小时，S = ．
△EDC【思路点拨】
本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点D关于l的对称点D′，连接
AD′交l于点E′，连接DE′，CE′，则DE′=D′E′，BD=BD′=2，证明出△ADD′、△D′BE为等腰直角
三角形，得出BD′=BE′=2，当A、E′、D′在同一直线上时，△AED的周长最小，最后由三角形面积公
式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【解题过程】
解：如图，作点D关于l的对称点D′，连接AD′交l于点E′，连接DE′，CE′，
则DE′=D′E′，BD=BD′=2，
∴DD′=BD+BD′=2+2=4=AD，
∴△ADD′是等腰直角三角形，
∴∠AD′D=45°，
∴△D′BE是等腰直角三角形，
∴BD′=BE′=2，
∵ △AED的周长=AD+AE+DE，
∴当A、E′、D′在同一直线上时，△AED的周长最小，AD+DE′+AE′=AD+D′E′+AE′=AD+AD′
，
1 1
∴当△AED的周长最小时，S = ×CD×BE′= ×3×2=3，
△EDC 2 2
故答案为：3．
9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，
则AB的长为 ．
【思路点拨】
本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，根据题意，作点E
关于CD的对称点E′，连接PE′，当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，由此即可
求解．
【解题过程】
解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，
∴PE=PE′，CE=CE′，
∴EP+FP=PE′+PF≥E′F，
当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60，AB=BC=AC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴BE′=2BF，
∵BF=6，BE=4，
∴BE′=2BF=12，
∵CE=CE′，
∴12=2CE+BE=2CE+4，
解得，CE=4，∴AB=BC=4+4=8，
故答案为：8．
10．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q
分别在边AB，BC上，则AQ+PQ的最小值为 ．
【思路点拨】
作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，由AB=AC=8，
1
∠BAC=150°，求得∠ABC=∠C=15°，EB=AB=8，则∠ABE=30°，所以EF= EB=4，由
2
EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，得AQ+PQ≥4，即可得出答案．
【解题过程】
解：作点A关于直线BC的对称点E，连接EB、AE、PE，作EF⊥AB于点F，
∵AB=AC=8，∠BAC=150°，
1
∴∠ABC=∠C= ×(180°−150°)=15°，
2
∵BC垂直平分AE，
∴EB=AB=8，
∴∠EBC=∠ABC=15°，
∴∠ABE=2∠ABC=30°，
∵∠BFE=90°，
1
∴EF= EB=4，
2
∵EQ+PQ≥PE，PE≥EF，且EQ=AQ，
∴AQ+PQ≥EF，
即AQ+PQ≥4，
∴AQ+PQ的最小值为4．故答案为：4．
11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的
1
一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，则当PB+PC最小时，∠PCB的度数为 ．
2
【思路点拨】
1
由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为 AC的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对
2
称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，然后证明
△BB′C≌△CAB（SAS），得出∠B′CB＝∠ABC，然后由已知求出∠ABC＝70°即可．
【解题过程】
1
解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，∠ACB＝90°，
2
1
∴P在与BC平行，且到BC的距离为 AC的直线l上，
2
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，BB′交l于D，如图所示：则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
∵BB′⊥l，l∥BC，
∴BB′⊥BC，即∠B′BC＝90°，
1 1
∵BD＝B′D＝ BB′，BD＝ AC，
2 2
∴BB′＝AC，
又∵BC＝BC，
∴△BB′C≌△CAB（SAS），
∴∠B′CB＝∠ABC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，
∴∠B′CB＝∠ABC＝70°，
即∠PCB＝70°，
故答案为：70°．
12．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P
为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN最小时，则∠PMO的度数为 ．
【思路点拨】
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC干点P，则此时PM+PN的值最小．
【解题过程】
解：如图，作点M关于OC对称点M′，
∵OC平分∠AOB，∴点M′一定在OA上，
过点M′作M′N′⊥OB于点N′，交OC干点P，则此时PM+PN的值最小
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM′O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM′O=45°，
故答案为45°．
13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线
且AD=12，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．
【思路点拨】
本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂线段最短，作E关于AD的对称点M，连接
CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三
120
角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF≥ ，即可得出
13
答案．
【解题过程】
解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，，
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，AD=12，
1 1
∴S = BC×AD= AB×CN，
△ABC 2 2
BC×AD 10×12 120
∴CN= = = ，
AB 13 13
∵E关于AD的对称点M，
∴EF=FM，
∴CF+EF=CF+FM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
120
即CF+EF≥ ，
13
120
即CF+EF的最小值是 ，
13
120
故答案为： ．
13
7
14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC= ，△ABC的面积
2
是6，D，E，F分别是三边上的动点，则△≝¿周长的最小值是 ．
【思路点拨】
根据对称性质，将△≝¿周长转换为一条直线，如图所示（见详解），作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AE，AN，三角形AMN是等边三角形，△≝¿周长DE+DF+EF=MN
7
，即MN最小就是AE的值最小，△ABC的面积是6，BC= ，由此即可求解．
2
【解题过程】
解：如图所示，作点E关于AB的对称点M，作点E关于AC的对称点N，连接AM，AD，AN，
∴AM=AE=AN，即AB是EM的垂直平分线，AC是EN的垂直平分线，且∠MAB=∠BAE，
∠CAE=∠CAN
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°，
∴∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAC+∠CAN，即∠MAN=2(∠BAE+∠EAC)=2×30°=60°，
∴三角形AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN=AE，
∴当点M,D,F,N在一条直线上时，△≝¿周长DE+DF+EF=MN，即MN最小就是AD的值最小，
根据点到直线垂线段最短，可知当AE⊥BC时，AE最小，即△≝¿周长最小，
1 1 7
∵△ABC的面积是6，BC=6，即S = BC⋅AE= × AD=6，
△ABC 2 2 2
24 24
∴AD= ，即△≝¿周长最小 ，
7 7
24
故答案为： ．
7
45 5
15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为 的锐角△ABC中，AB= ，∠C=30°，D是
8 2
△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接AD,BD,DE,DF,EF．若△ABD的面积为
1，则△≝¿周长的最小值为 ．【思路点拨】
作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD,CM,CN,MN,EN,FM，易证△CMN为等
边三角形，得到MN=CD，根据△≝¿的周长=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，进而得到当
M,E,F,N四点共线时，△≝¿的周长最小，为MN的长，即为CD的长，进而得到当CD最小时，△≝¿的
周长最小，过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，根据三角形的面积公式求出CP,DQ的长，进而得
到点D在平行于AB且距离等于DQ的直线HG上，进而得到当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，
进行求解即可．
【解题过程】
解：作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD,CM,CN,MN,EN,FM，
则：CD=CN=CM,EN=DE,DF=FM,∠DCE=∠NCE,∠DCF=∠MCF，
∴∠DCE+∠NCE+∠DCF+∠MCF=2∠ACB=60°，
∴△CMN为等边三角形，
∴MN=CN=CD，
∴△≝¿的周长=DE+DF+EF=FM+EN+EF≥MN，
∴当M,E,F,N四点共线时，△≝¿的周长最小，为MN的长，即为CD的长，
∴当CD最小时，△≝¿的周长最小，过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，
1 1 5 45 1 1 5
∴S = AB⋅CP= × CP= ，S = AB⋅DQ= × DQ=1，
△ABC 2 2 2 8 △ABD 2 2 2
9 4
∴CP= ，DQ= ，
2 5
4
∴点D在平行于AB且距离等于 的直线HG上，
5
∴当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，
9 4 37
此时CD= − = ，
2 5 10
37
∴△≝¿周长的最小值为 ；
10
37
故答案为： ．
10
16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动
点，点M，N不与点O重合．
（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，PN的长等于
；
（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线MN的距
离等于 ．（用含a的代数式表示）
【思路点拨】
本题考查了轴对称最短线路问题、平行线性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，作辅助线找到M，N
的位置是解题的关键．
（1）如图：OP平分∠AOB，当PN∥OA，，得到∠NOP=∠NPO，根据等腰三角形的判定即可解
答．
（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作OE⊥CD于
E．此时当△PMN周长最小时，OC=OP=OD=a,∠COD=120°，可求垂线段OE的长即可．
【解题过程】解：（1）如图：∵OP平分∠AOB，
∴∠BOP=∠AOP，
∵PN∥OA，
∴∠AOP=∠NPO，
∴∠BOP=∠NPO，
∴ON=PN=2．
故答案为：2．
（2）如图：作P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，交OA，OB于M，N两点，作OE⊥CD于
E．
∴NC=NP，MD=MP，
∴△PMN周长=PM+PN+MN=NC+MD+MN=CD，
假设随着点M，N位置的变动，M′，N′不在CD上时，CN′+MN+DM′＞CD，
∴△PMN周长的最小值=CD．
∵作P关于OA，OB的对称点C，D，
∴OB垂直平分PC，
∴OC=OP，∠COP=∠BOP，
同理：OP=OD，∠AOP=∠DOP，
∵∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∵OC=OD=a,
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∵OE⊥CD，
1
∴OE= a，
2
1
∴点O到直线MN的距离等于 a．
2
1
故答案为： a．
2
17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排
开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置
列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？
【思路点拨】
MP+PQ+QN的值最小，其中PQ是定值a，问题转化为MP+QN最小，先作ME∥OB，使得ME=a，
再作对称点，连接对称点和N即可求解．
【解题过程】
解：如图，作ME∥OB，使得ME=a，作点E关于OB的对称点F，连接FN交OB于点Q，在OQ上截取
QP=a，连接MP，线路M→P→Q→N时，MP+PQ+QN的值最小，
．
18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l
上存在点P，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B，A′B与直线l的交点即为点P．此时PA+PB的值最小．
模型应用：
（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D为AB的中点．
①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
②则PD+PB的最小值为 cm．
模型变式：
（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得
PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的
任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．
【思路点拨】
此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题，
（1）①根据轴对称的性质点B，C关于AH对称，进而连接CD交AH于点P即可；
②根据轴对称的性质BP=CP，进而解答即可；
（2）分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，连
接PR，PQ，此时ΔPQR周长的最小值等于MN，利用轴对称的性质解答即可．
解题的关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答．
【解题过程】
（1）①如图所示点P为所求的点：②∵B，C关于AH对称，
∴BP=PC，
∴PD+PB=CD，
∴PD+PB的最小值=CD=AH=8cm，
故答案为：8；
（2）如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点
Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×30°=60°，
则△MON为等边三角形，
即NM=ON=OP=10cm．
即ΔPQR周长的最小值等于10cm．
19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段
AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠AED=______°；
（2）当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并证明；
②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠CAE，AC=2AB．P为直线CF上一动点．当
PE−PD的值最大时，请探究表示PE，PD与AB之间的数量关系并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①证明EA=ED，∠AED=60°即可推出△AED为等边三角形；②作点D关于直线CF的对称点D′
，连接CD′，DD′，ED′．当点P在ED′的延长线上时，PE−PD的值最大，此时PE−PD=ED′，再
利用全等三角形的性质证明ED′=AC，可得结论．
【解题过程】
（1）解：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC．
∵∠ABC=90°，∠BAC=50°，
∴∠ACB=90°−50°=40°，
∴∠ACD=180°−40°=140°，
∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=280°，
∴∠AED=360°−280°=80°．
（2）解：①证明：∵点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠EDC．
∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，∴∠EAC+∠ACD+∠EDC=300°，
∴∠AED=360°−300°=60°，
∴△AED为等边三角形；
②PE−PD=2AB．
证明：∵△ADE为等边三角形,
∴∠ADE=60°,AD=DE,
如图，作点D关于直线CF的对称点D′，连接CD′，DD′，ED′．
∴PD=PD′,
∴PE−PD=PE−PD′
