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专题 13.4 三角形的外角（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 三角形的外角定义】..................................................................................................................................1
【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】.........................................................................................................2
【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】.........................................................................................3
【题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】.............................................................................................4
【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】.........................................................................................5
【题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合】.................................................................................................6
【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】.............................................................................................7
【题型8 与三角形的外角性质有关的探究问题】...............................................................................................10
【题型9 三角形外角的实际应用】........................................................................................................................11
知识点 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2.性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3.三角形的外角和等于360°．
在 △ABC 中，∠ACD是△ABC 的一个外角，∠ACD=∠CAB+∠ABC, ∠ACD+∠CBF+∠BAE=360°．
【题型 1 三角形的外角定 义】
【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，下列角中是△ACD的外角的是（ ）
A．∠B B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAE
【变式1-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，∠ADB是△ 和△ 的外角；以AC为一边长的三
角形有 个．【变式1-2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）下图中∠1是三角形一个外角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们都知道三角形有三个内角，其实三角形除了内角，还有
外角，三角形的外角是三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．请同学们画出三角形的一个外角，
并证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
已知：__________________
求证：__________________
证明：
【题型2 由三角形的外角性质求角的度数】
【例2】如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为180°，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．无法确定
【变式2-1】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，在△ABC中，∠A=75°，∠B=60°，则外角
∠ACD的度数为 °．
【变式2-2】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为1:3:5，则该三角形最大
的外角为（ ）
A．100° B．120° C．160° D．165°【变式2-3】（22-23八年级上·河北石家庄·期末）已知等腰三角形的一个外角是90°，则这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形或锐角三角形
【题型3 由三角形的外角性质解决平行线中的问题】
【例3】（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，∠1=80°，∠2=100°，且AC∥DF．若
∠C:∠A=3:2，求∠D的度数．
【变式3-1】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知∠BCD=130°，EF∥DC，∠EAF=100°
，∠EFA=20°，求∠B的度数．
【变式3-2】（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF
交AB于点M，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB，∠FGH=2∠HGC．则3∠EHG−∠EFM的
度数是 ．
【变式3-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图1，在三角形ABC中，
∠BAC=40°,∠C=65°，将线段AC沿直线AB平移得到线段DE，连结AE．(1)当∠E=65°时，请说明AE∥BC．
(2)如图2，当DE在AC上方时，且∠E=2∠BAE−29°时，求∠BAE与∠EAC的度数．
(3)当AE垂直三角形ABC中的一边时，直接写出所有满足条件的∠E的度数．
【题型4 由三角形的外角性质解决翻折中的问题】
【例4】（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片ABC按如图方式折叠：折痕分别为DC
和DE，点A与BC边上的点G重合，点B与DG延长线上的点F重合．若满足∠ACB=38°，则∠CEF=
°．
【变式4-1】（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰△ABC纸片（AB=AC）可按图中所示方法折成
一个四边形，点A与点B重合．点C与点D重合，请问原等腰△ABC中的∠B=（ ）度．
A．60° B．70° C．45° D．72°
【变式4-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在△ABC中，∠B=44°，点D，E分别是BA、BC
边上的点，将△BDE沿DE所在直线对折，得到△FDE．若∠ADF=136°，则∠CEF的度数为（ ）A．46° B．48° C．50° D．52°
【变式4-3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC，再将△ADC沿
AD折叠得到△ADE，连接BE，交AC，AD于点M，N，连接CN，DM，CN与DM相交于点F，若
∠BAC=α，则∠CFD的度数为（ ）
3α 3α
A．90°+ B．90°+2α C．180°−2α D．180°−
2 2
【题型5 由三角形的外角性质求三角板中角的度数】
【例5】（2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方
式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠≝=60°．当
AD∥BC时，∠ADE的大小为（ ）
A．5° B．15° C．25° D．35°
【变式5-1】（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成
如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．30°
【变式5-2】（22-23七年级下·江苏南京·期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠C=60°，∠F=45°
，当DF⊥BC时，∠EGB= ．
【变式5-3】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）将一副三角板按如图放置，直角顶点A重合，其中
∠B=∠C=45°，∠E=60°，∠D=30°，则下列结论正确的有（ ）
① ∠BAE+∠CAD=180°；②如果BC∥AD，则有∠2=30°；③如果∠CAD=150°，必有
∠4=∠C；④如果∠2=30°，则DE∥AC．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【题型6 三角形的外角性质与角平分线的综合】
【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM，ON上移动，
BC平分∠OBA，交OM于点E，AD平分∠BAM，AD的反向延长线与BC交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，
下列判断正确的是（ ）结论Ⅰ：若∠BAD=65°，则∠ABC=20°；
结论Ⅱ：无论点A、B在射线OM，射线ON（均不与点O重合）上怎样移动，∠C的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
【变式6-1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A=72°
，CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC=115°，则∠ABC的度数为 ．
【变式6-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，点C、D分别在∠AOB的OA、OB边上运动（不与
点O重合）．射线CE与射线DF分别在∠ACD和∠CDO内部，延长EC与DF交于点F．
(1)若∠AOB=90°，CE、DF分别是∠ACD和∠CDO的平分线，猜想：∠F的度数是否随C，D的运
动发生变化？请说明理由．
1 1
(2)若∠AOB=α°(0<α<180)，∠ECD= ∠ACD，∠CDF= ∠CDO，则∠F= °．（用含α、
n n
n的代数式表示）
【变式6-3】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）如图，AD∥BC，∠D=∠ABC，E是边DC上的一点，
连接AE并延长，交BC的延长线于点H，F是边AB上的一点，BE平分∠FEC，作∠FEH的平分线EG
，交BH于点G．若∠BAE=68°，则∠BEG的度数为 ．【题型7 与三角形的外角性质有关的新定义问题】
【例7】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为30°，我们称这两个角互为
“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如∠1=70°，∠2=40°，∠1−∠2=30°，则
∠1和∠2互为“好友角”，即∠1是∠2的“好友角”，∠2也是∠1的“好友角”．
【理解】（1）若∠A=45°，则∠A的“好友角”的度数为 ；
（2）已知∠1和∠2互为“好友角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，∠1的度数为 ；
（3）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部A′处，已知∠B=58°，∠C=82°
，若∠A′EB和∠A′DC互为“好友角”，则∠A′EB的度数为 ；
【拓展】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，过点C作AB的垂线，垂足为D，
AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“好友角”，求∠ABC的度数．
【变式7-1】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外
角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．
(1)如图①，在△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为_______；
(2)小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为
直角、锐角、钝角的三个图，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再验证结论．根据以上三个图，测量相关角度，得到如下表格：
② ③ ④
∠C的度数 90° 80° 120°
∠C的伴随角∠APB的度数 45° 40° 60°
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想_______；
(3)请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明验证他的猜想．
【变式7-2】我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为
“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交
线段OB于点C（点C不与O，B重合）
（1）∠ABO的度数为 ，△AOB （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使
∠EFC+∠BDC=180°，∠≝=∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
【变式7-3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角
的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为100°,60°,20°的三角形是
“优美三角形”．【概念理解】
（1）如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点作射线
AD，交线段OB于点C（点C不与点O,B重合）．
①△AOB______“优美三角形”（填“是”或“不是”）．
②若∠ACB=80°，求证：△AOC是“优美三角形”．
【应用拓展】
（2）如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，∠BDC>90°，作∠ADC的平分线，交AC于点E，
在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠≝=∠B．若△BCD是“优美三角形”，求∠B的度
数．
【题型8 与三角形的外角性质有关的探究问题】
【例8】（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我
们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若
∠A=36°，直接写出∠ABX＋∠ACX的结果；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A=40°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数；
③如图4，求图中五角星五个“角”的和．【变式8-1】（23-24七年级下·吉林长春·期中）【感知】（1）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE
是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F．若∠B=40°，则∠CFE= °，∠CEF= °．
【探究】（2）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE,CD相交于点F．
求证：∠CFE=∠CEF．
【拓展】（3）如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平
分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B=α，则∠CEF的大小为
（用含α的代数式表示）．
【变式8-2】（22-23八年级上·江西南昌·期末）在△ABC中，∠A=60°，点D、E分别是△ABC边AC、
AB上的点，点P是一动点，设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)如图1，若点P在线段BC上，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；
(2)若点P在线段BC延长线上，请借助图2和图3，分别探究∠1、∠2与∠α之间的关系，并说明理由．
【变式8-3】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）【探究】如图①所示，∠AFH和∠CHF的平分线交于
点 O，EG经过点O 且平行于FH，分别与AB、CD交于点 E、G．
(1)若∠AFH=60°，∠CHF=50°，则∠EOF= °，∠FOH= °；(2)若∠AFH+∠CHF=100°，求∠FOH的度数．
(3)如图②所示，∠AFH和∠CHI的平分线交于点 O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD 交于
点 E、G．若∠AFH+∠CHF=α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）
【题型9 三角形外角的实际应用】
【例9】（24-25七年级下·山西运城·期中）如图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图
由救援台AB、延展臂BC（B在C左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成．在作业过程中，救援台AB、
车身GH及地面MN三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂BC与支撑臂EF所
在直线互相垂直，且∠EFH=76°，则这时展角∠ABC的度数为 °．
【变式9-1】（23-24八年级上·广东汕头·阶段练习）知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新
极大方便了人们的出行．周末，小强一家到B，C两处景区游玩，他们从家A处出发，向正北行驶160km
3
到达B处，若在A处测得景区C在北偏西34°方向上，且∠ACB= ∠BAC，则在B处测得景区C应位于
2
（ ）
A．北偏西68° B．南偏西85° C．北偏西85° D．南偏西68°
【变式9-2】（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于
焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知∠1=20°，∠3=56°，则∠2的度数为
（ ）A．20° B．26° C．36° D．56°
【变式9-3】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的
夹角∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点
B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD=2∠ABD，∠BDC增大了5°，则∠DCE的变化情况
为 （ ）
A．增大10° B．减小10° C．增大25° D．减小25°
