文档内容
专题 11.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】.................................................................................................1
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】.........................................................................................................3
【题型3 网格中计算三角形的面积】......................................................................................................................4
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】.........................................................................................................5
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】.................................................................................................7
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】.................................................................................................8
【题型7 与角平分线有关的角度计算】..................................................................................................................9
【题型8 应用等面积法求线段长】........................................................................................................................10
【题型9 探究三角形的边、角、线】....................................................................................................................12
【题型10 三角形的稳定性】....................................................................................................................................13
知识点：三角形的高、中线与角平分线
(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做
三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另
一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内
部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中
线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF=AF；②∠AFG=∠AGF
；③∠FAG=2∠ACF；④S =S ；⑤BH=CH；⑥AD⋅BC=AB⋅AC，其中结论正确的有( )
△ABE △BCEA．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（ ）
A．直角三角形的高只有一条
B．三角形的高至少有一条在三角形内部
C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D．钝角三角形的三条高都在三角形外部
【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打
算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分
线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB=2BF B．∠ACB=2∠ACE
C．AE=BE D．CD⊥BE
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】
【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A
，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中边BC上的高AD：
(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；
(3)求△ABE的面积．
【变式2-1】（23-24八年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确的是
（ ）
A．线段AD是AC边上的高 B．线段CF是BC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段BE是AC边上的高
【变式2-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶
点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出△ABC的中线AD与角平分线CE；
(3)△ABC的面积为______，△ABD的面积为_____．
【变式2-3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面内有A、B、C三点．（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）画出△ABC的高CD，角平分线BE，中线AF
【题型3 网格中计算三角形的面积】
【例3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交
点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为（ ）
A．S S C．S =S D．无法判断
△ABC △ABD △ABC △ABD △ABC △ABD
【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形ABC的面积为 cm2．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·竞赛）图中每个小正方形的边长为1，把从格点O到与它相邻的格点
A，B，C，D，E，F，G，H的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点O
为出发点，2表示线段OB，5表示线段OE，从O点出发，按1753运动可得到正方形OAHG．从O点出
发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，4×4方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格
点上，请在图中格点上找到点C，使得△ABC的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在△ABC和△A′B′C′中，AD和A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD=A′D′，
则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
S ,S △ABC △A′B′C′
△ABC △A′B′C′
1 1
则S = BC⋅AD,S = B′C′ ⋅A′D′，
△ABC 2 △A′B′C′ 2
∵AD=A′D′∴ ．
S :S =BC:B′C′
△ABC △A′B′C
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S :S =__________；
△ABD △ADC
(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3,S =1，
△ABC
求△BEC和△CDE的面积．
【变式4-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知△ABC的面积等于18，CE=DE，BD=4AD，则
△BDE与△CEF的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，D是BC边的中点，CE=5AE，若
△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 ．
【变式4-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形ABCD内作一条直线将它分
成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】（1）如图1，AD是△ABC的中线，试判断：S _________S （请填 “>”、“<”或“=”）；
△ABD △ACD
（2）如图2，AD∥BC，试判断：S _________S （请填“>”、“<”或“=”）；
△ABC △BCD
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形ABCD内作一条直线将它分成面积相
等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线AC，②作DE∥AC交BC的延长
线于E；③取BE的中点M，则直线AM为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理
过程补充完整：
∵AC∥DE，
∴S =_________（由问题2的结论得）
△DAC
∴S =S +S =S +_________，
四边形ABCD △ABC △DAC △ABC
即S =_________，
四边形ABCD
∵M是BE的中点，
∴S =_________（由问题1的结论得）
△ABM
∴AM平分△ABE的面积，即AM平分四边形ABCD的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线AC和BD；②取
BD的中点O，③连接OA、OC；④过点O作AC的平行线与四边形ABCD的边CD交点于P，则直线AP则
为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
【例5】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，△ABC中，AB=8，AC=10，点D是BC边上的中
点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）A．16 B．18 C．20 D．22
【变式5-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在△ABC中(AB>AC),AD是△ABC的中线，AE
是△ACD的中线．
(1)若DE=4，求BC的长；
(2)若△ABC的周长为37，BC=12且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
【变式5-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm，AC=6cm
．
(1)△ABD与△ACD的周长差为_______cm．
(2)点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．
【变式5-3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在△ABC中，D是BC的中点，AB=12，AC=8．用
剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点E在AB上，沿DE剪开
得到两部分周长差为2，则AE= ．
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
【例6】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点
D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S =1，则为S
△ABC △≝¿=¿
．【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连接BE
、CE，若△ABD与△DEC的面积差为6，则△BEC的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2DC，点E是
BC的中点，AE、BD相交于点O，若△BOE的面积为3，则△AOD的面积为 ．
【变式6-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）若点 G 为△ABC的重心（△ABC 的三条中线的交点），
CG⊥BG，若 AG×BC=16，则△BGC 面积的最大值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
【例7】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E
在边AB、AC上，CD与BE交于点H．（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
【变式7-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若
∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式7-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF
与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )
A．70° B．80°
C．50° D．55°
【变式7-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，
∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．【题型8 应用等面积法求线段长】
【例8】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，过点P
作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP．
【特例探究】（1）如图1．当P为BC边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段PD，PE，BF之间
的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当P为BC边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请
加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点P在BC边的延长线上时．
①试猜想线段PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当S =10，AB=5，PE=2时，线段PD的长为________．
△ABC
【变式8-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
(1)AD的长；
(2)△ABE的面积；
(3)△ACE与△ABE的周长的差
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，
点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的
最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，
且BC＝4，连接AB、AC，点D、E分别为AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形
AFEC的面积为10，则AB的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题型9 探究三角形的边、角、线】
【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、
AC上，DE∥AB，EF平分∠DEC．
(1)判断EF与BD的位置关系，并说明理由；
(2)若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且△ABC的面积为27，求△≝¿的面积．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF
交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【变式9-2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，AD、AE分别是 ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； △
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
【变式9-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，MN∥AB，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，BD是
∠ABC的角平分线．
(1)AB与DE平行吗？请说明理由；
(2)试说明∠ABC=∠C；
(3)试说明DC是∠NDE的角平分线．
知识点2:三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特
性主要应用在实际生活中.
【题型10 三角形的稳定性】
【例10】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固
定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架
子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【变式10-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框
架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是 条．
【变式10-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架
稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固
所用的数学道理．
