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专题 11.2 三角形的高、中线、角平分线【七大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】.........................................................................................1
【题型2 画三角形的高】..........................................................................................................................................2
【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】........................................................................................................3
【题型4 根据网格求三角形的面积】......................................................................................................................4
【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】.................................................................................................6
【题型6 三角形的中线与周长的计算】..................................................................................................................7
【题型7 三角形边、角、线有关的探究题】.........................................................................................................7
【知识点 三角形的角平分线、中线和高】
(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做
三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另
一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，
三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】
【例1】（2023春·山东枣庄·八年级统考期末）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、
高线，下列结论中错误的是（ ）1
A．CD= BC B．2∠BAE=∠BAC
2
C．∠C+∠CAF=90° D．AE=AC
【变式1-1】（2023春·八年级单元测试）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打
算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【变式1-2】（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的三条高线交于一点；②三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；③直角三角形只有一条
高；④三角形三个内角的角平分线交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-3】（2023春·八年级课时练习）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于
点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①BG是△ABD的边AD上的中线；
②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；
③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型2 画三角形的高】
【例2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确
的是（ ）A． B．
C． D．
【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图所示，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．BD B．AE C．BE D．CF
【变式2-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，AD⊥BC，EC⊥BC，CF⊥AB，点D，C，F是
垂足，下列说法错误的是（ ）
A．△ABD中，AD是BD边上的高 B．△ABD中，EC是BD边上的高
C．△CEB中，EC是BC边上的高 D．△CEB中，FC是BE边上的高
【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】
【例3】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为
AB上一点，BE=2AE，连接BD，CE交于点F．若S =S ，S =18，则△ABD的面积为(
△BEF △DFC △ABC
)A．3 B．6 C．9 D．12
【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）如图，AD∥BC，△ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则
△DCB的面积是_______．
【变式3-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，△ABC中，点D为AC边上一点，
满足AD=3DC，连接BD，点E为BD中点，连接AE，若△AED的面积是3，则△ABC的面积是
________．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在三角形ABC中，AC=3AE，三角形ABD的面积
是三角形ADC面积的2倍，则阴影部分的面积占三角形ABC面积的______．
【题型4 根据网格求三角形的面积】
【例4】（2023·北京昌平·二模）如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在
格点上，则S =_________．
△ABC【变式4-1】（2023春·北京·八年级北京四中校考阶段练习）如图所示的网格是正方形网格， ABC的面积
__△DEF的面积．（填“＞”，“＝”或“＜”）． △
【变式4-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）画图题：在6×8的
正方形网格上，完成下列问题．
(1)已知图1中△ABC各顶点都在网格格点上，过点A作BC边上的中线AD．
(2)在图2中画出面积是2的钝角△AEF，各顶点都在格点上（画出一种即可）．
(3)在图1中，若AC=5，直接写出B点到AC的距离．
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的网
格，网格中的每个小正方形的边长均为1．格中各有一个完全相同的三角形，请在图1、图2分别画一条直
线，满足以下要求（1）直线与三角形的交点要经过网格的格点（每个小正方形的顶点均为格点）
（2）在图1、图2中分别用不同的方法将三角形分成两个图形其中一个是三角形另一个是四边形，分割后
的三角形的面积记为S ，四边形的面积为S ，且S :S =4:11．
1 2 1 2
【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】
【例5】（2023春·浙江金华·八年级统考期中）如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中
点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，
(1)图中与△ABE面积相等是三角形有____个（不含△ABE）；
(2)若△ABF的面积是4cm2，求四边形FDCE的面积．
【变式5-2】（2023春·上海·八年级假期作业）如图，把△ABC的三边BA、CB和AC分别向外延长一倍，
将得到的点A'、B'、C'顺次连接成△A'B'C'，若△ABC的面积是5，则△A'B'C'的面积是____________．【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）如图，AP 为△ABC的中线，△ABP 的面积记为S ；AP 为
1 1 1 2
△AP C的中线，△AP P 的面积记为S ；AP 为△AP C的中线，△AP P 的面积记为S ；……按此
1 1 2 2 3 2 2 3 3
规律，AP 为△AP C的中线，△AP P 面积记为S ．若△ABC的面积为S，则
n n-1 n-1 n n
S +S +S +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+S 的面积为（ ）
1 2 3 n
S S S S
A．S- B．S- C． D．
2n-1 2n 2n-1 2n
【题型6 三角形的中线与周长的计算】
【例6】（人教版（2012）八年级上册第十一章三角形检测卷）如图，△ABC的周长为27，AC=9，BC
边上的中线AE=6，△ABE的周长为19，求AB的长．
【变式6-1】（陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）在△ABC中，BC
边上的中线AD将△ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为
________．
【变式6-2】（云南省昆明市官渡区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）已知△ABC的周长为
2
37cm，AD是BC边上的中线，AC= AB．
3（1）如图，当AB=15cm时，求BD的长．
（2）若AC=14cm，能否求出DC的长？为什么？
【变式6-3】（广东省广州市南沙区实验外语学校2022-2023学年八年级上学期开学质量检测数学试题）如
图，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求
AC和AB的长．
【题型7 三角形边、角、线有关的探究题】
【例7】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线．DE∥AC，DE交
AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
【变式7-1】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，AD∥EF，∠1+∠2＝180°，
（1）请问DG与AB平行吗？为什么？
（2）若DG是∠ADC的角平分线，∠1＝30°，求∠B的度数．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D
分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是________；
（2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_________．
（请说明理由）
【变式7-3】（2023春·广东梅州·八年级期末）如图，∠ADE+∠BCF=180°，AF平分∠BAD，
∠BAD=2∠F．
(1)AD与BC平行吗？请说明理由；
(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？
(3)若平分．证明：．
