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专题 13.9 分类讨论思想与等腰三角形的综合运用【八大题型】
【人教版】
【题型1 与边有关的讨论】......................................................................................................................................1
【题型2 与角有关的讨论】......................................................................................................................................1
【题型3 与中线有关的讨论】..................................................................................................................................2
【题型4 与高有关的讨论】......................................................................................................................................2
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】......................................................................................................................3
【题型6 与动点有关的讨论】..................................................................................................................................3
【题型7 与三角形形状有关的讨论】......................................................................................................................4
【题型8 与构造三角形有关的讨论】......................................................................................................................4
【题型1 与边有关的讨论】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优
美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
1 4 4 4 1
A． B． C． 或2 D． 或
2 3 3 3 2
【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）已知等腰三角形的一边等于10cm另一边等于6cm，则它的周
长为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·四川遂宁·期末）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足
，则此等腰三角的周长是（ ）
|2a−b−1)+(b−a−2) 2=0
A．8 B．11 C．13 D．11或13
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是
另一边长的2倍，则腰长为 cm.
【题型2 与角有关的讨论】
【例2】（23-24八年级·云南昆明·期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个
等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=75°，则它的特征值k= ．
【变式2-1】（23-24·重庆沙坪坝·八年级期末）已知等腰三角形的一个底角为35°，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·周测）在等腰三角形ABC中，CA=CB，过点A作△ABC的高
AD．若∠ACD=30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
1
【变式2-3】（23-24八年级·浙江·期末）若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的 ，则称这个三角
2
形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是 度．
【题型3 与中线有关的讨论】
【例3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线
BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为（ ）
A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12
【变式3-1】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12，9
两部分，则等腰三角形的腰长为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·江苏南通·周测）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三
角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
【变式3-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，△ABC为等边三角形，AD是中线，点E是AC边上一
点，若△ADE是等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
【题型4 与高有关的讨论】
【例4】（23-24八年级·河南驻马店·期末）已知等腰△ABC 的周长为16，其中一边长为6，AD 为底边
BC 上的高，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 或 6 D．2 或 3
1
【变式4-1】（23-24八年级·河北邢台·期末）已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且AD= BC，则
2
等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A．45° B．75°或60° C．45°或75° D．以上都不对
【变式4-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）
90°−n° n° n°
A． B．90− C． D．90°−n°
2 2 2
【变式4-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC边长的
一半，则∠BAC的度数为（ ）
A．15°或90° B．75° C．15°或75° D．15°或75°或90°
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】
【例5】（23-24八年级·四川成都·期末）在△ABC中，AB=AC，过AB的中点D作AB的垂线，交直线
AC于点E，若∠AED=58°，则∠B= °．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）已知线段AB的垂直平分线上有两点E，F，直线EF交
AB于点C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，则∠EAF= ．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于
D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于 ．
【变式5-3】（23-24八年级·上海黄浦·期末）已知等腰△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线交直线
AC于点D，若∠BDC=48°，则∠BAC的度数为 ．
【题型6 与动点有关的讨论】
【例6】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动
点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三
角形时，则t的值为 秒．
【变式6-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12cm，
动点M从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点N从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，
如果点M、N同时出发，设运动的时间为ts，那么当t= s时，△MON是等腰三角形．【变式6-2】（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图，B是射线AD上动点，∠A=50°，若△ABC为等
腰三角形，则∠C的度数可能是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
AC=10cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒
1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t
秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【题型7 与三角形形状有关的讨论】
【例7】（23-24·上海·模拟预测）如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这
两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为x°和y°，那么y=
．（用x的代数式表示）
【变式7-1】（23-24春·山东威海·八年级统考期末）若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形
顶角的度数为( )
A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°
【变式7-2】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）若等腰三角形的腰长为8，腰上的高为4，则此三角形
的顶角是( )
A. 30° B. 150° C. 30° 或150° D. 30°或120°
【变式7-3】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）从一个等腰三角形纸片的顶角顶点出发，能将其剪成
两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角等于( )
A. 90° B. 72° C. 108° D. 90°或108°
【题型8 与构造三角形有关的讨论】
【例8】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满
足△OCE是等腰三角形，∠AEC的度数为 ．【变式8-1】（23-24八年级·云南普洱·期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在线段BC上
运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三
角形时，∠BAD的度数为 ．
【变式8-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知在△ABC中，∠A=40°，D为边AC上一点，△ABD和
△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是 ．
【变式8-3】（2024八年级·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰
三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A=36°,∠B为钝角，则使得△ABC是特
异三角形所有可能的∠B的度数为 ．
