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江苏省扬州中学2022-2023学年度1月月考试题
高三数学
2023.01
试卷满分：150分， 考试时间：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
1．已知复数 （ 为虚数单位），则 的共轭复数的模是（ ）
A．1 B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 ，则“ 成等比数列”是“ ”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了
400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都
在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左
闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每
组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）
计算），下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生
数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为83分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为
95分
5．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线 右支上的一个动点，若点M到直线
的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2
7．如图是一个由三根细棒 、 、 组成的支架，三根细棒
、 、 两两所成的角都为 ，一个半径为 的小球放在支架上，则球心 到点 的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 及其导函数 的定义域均为R，且 是偶函数，记
， 也是偶函数，则 的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有
选择题答案填到答题卡的指定位置中.）
9．如图，在正方体 中， 为 的中点，则
（ ）
A． 平面
B． 平面
C．平面 平面
D．直线 与平面 所成角的余弦值为
10．已知函数 的一条对称轴为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D．
11．已知数列 中， ， ，则关于数列 的说法正确的是
（ ）
A． B．数列 为递增数列
C． D．数列 的前n项和小于
12．已知函数 ， ，若 与 图象的公共点个数为 ，
且这些公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）
13．已知 展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含 项的系数为
_____.
14．已知 ,则 与 的夹角为__________．
15．已知 为椭圆 的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在
y轴上）， 的重心为G，内心为M，且 ，则椭圆C的离心率为
___________．
16．对于函数 和 ，设 ， ，若存在 、 ，使得
，则称 与 互为“零点相邻函数”.若函数 与
互为“零点相邻函数”，则实数 的取值范围为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请
将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）
17．已知数列 满足， .
(1)若 ，数列 的通项公式；
(2)若数列 为等比数列，求 .
18．记锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃
取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖
励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记
为A，B，C，他们通过三关的概率依次为： ．若其中某一关不通过，则游戏停
止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家
来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若
某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付
100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．
(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．
(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减
去报名费与购买通关币所需费用）．
20．图1是直角梯形ABCD， ， ， ， ， ，
，以BE为折痕将 BCE折起，
使点C到达 的位置，且 ，如图
2.
(1)求点D到平面 的距离；
(2)若 ，求二面角 的
大小.
21．已知点 是焦点为F的抛物线C： 上一点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且 的
内切圆方程为 ，求 面积的最小值．
22．已知函数 ，其中 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 在 上的最大值为0，
①求a的取值范围；②若 恒成立，求正整数k的最小值．
参考答案：
1．C【详解】因为 ，所以 ，
所以 的共轭复数为 ， ，
所以 的共轭复数的模是 .
2．A【详解】由 ，可得 ，则
又 ，
所以 .
3．A【详解】①若 成等比数列，则 ，
所以
；
②若 ,
满足 ，
但是不满足 成等比数列（因为等比数列中不能含有0）
“ 成等比数列”是“ ”的充分不必要条件，
4．D【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得
10 (0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；
对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生数为10 0.015 400=60人，
故B错误；
对于C：估计全校学生的平均成绩为55 0.05+65 0.1+75 0.15+85 0.3+95 0.4=84分；
故C错误.
对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为 分.
故D正确.
5．D【详解】设 ， ，则 ， ，即 ， ， ，
故 ， .
6.B 【详解】由点 M 到直线 的距离大于 m 恒成立，可得点 M 到直线
的 最 近 距 离 大 于 m. 因 为 双 曲 线 的 渐 近 线 为 ， 则 与
的距离 即为最近距离，则 ，即 .
7．C【详解】如图所示，连接 ，作
所在外接圆圆心 ，连接 ，设
，由 、 、 两两所成的角都为 可得
，因为 为 几何中心，所
以 ，易知对 和
， ，所以
，所以 ，即 ，解得
.
故选：C
8．C【详解】因为 是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即 ，
所以 ，即 ，
令 可得 ，即 ，
因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数 的一个周期，
所以 ,
9．ACD
10．ABD【详解】因为函数 ，因为函数 的一条对称轴为 ，
所以 ，解得： ，
又因为 ，所以 ，则 ，
对于 ，函数 的最小正周期 ，故选项 正确；
对于 ， ，故选项 正确；
对于 ，因为 ，所以 ，因为函数 在 上单调递
减，故选项 错误；
对于 ，因为 ，令 ，
当 时， ，则 ，所以 在 上单调递
增，则 ，也即 ，
当 时， ，则 ，所以 在 上单调
递减，则 ，也即 ，
综上可知： 恒成立，故选项 正确，
11．BCD【详解】由 ，
得 ，即 ，又 ，
所以 是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ，故A错误，C正确；
，所以 为递增数列，故B正确；
，
所以数列 的前n项和为
，故D正确.
12．BCD【详解】对于A：当 时，令 ，则 ，即函数
有且仅有一个零点为 ，同理易知函数 有且仅有一个零点为 ，即 与 也恰有一个公共点，故A错误；
对于B：当 时，如下图：
易知在 ，且 ， 与 图象相切，由当 时，
，则 ， ，故 ，从而 ，所以
，故B正确；
对于C：当 时，如下图：
则 ， ，所以 ，又 图象关于 对称，结合图象有
，即有 ，故C正确；
对于D：当 时，由 ， 与 的图象在 轴右侧
的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D正确.
13．80 14.
15. 【详解】设 ，由于G是 的重心，由重心坐标公式可得
，由于 ，所以 的纵坐标为 ，
由于 是 的内心，所以 内切圆的半径为 ，
由椭圆定义得 ，
，16． 【详解】因为 ，且函数 为单调递增函数，所以 为
函数 的唯一零点，
设函数 的零点为 ，
又因为函数 与 互为“零点相邻函数”，
所以 ，解得 ，
所以函数 在 上有零点，
所以 或 或 ，
即 或 或 ，所以 .
17．【详解】（1）由题意得 ，
所以
.
（2）设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ， ，两式相加得 ，所以
，
当 时， 不成立，所以 ， ，解得 .
18．【详解】（1）因为 ，即 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，同理得 ，
所以 或 （不成立），
所以 ，结合 得 ．
（2）由余弦定理 得， ，
所以 ，则 ，
由正弦定理得， ，
因为 ， ， ， ，所以 ， ，所以 ， ．
19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：
①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用.
而通过三关的概率依次为： ，
则李华通过该游戏的概率 ．
（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，
则收益可能为： （未使用通关币过关），
（使用1枚通关币且过关），
（使用2枚通关币且过关），
（使用2枚通关币且未过关），
则
则 .
所以他最终获得的收益期望值是 元.
20【详解】（1）解：如图所示：
连接AC，交BE于F，
因为 ， ， ， ，
，
所以AE=2，
又 ，
所以四边形ABCE是菱形，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，
设点D到平面 的距离为h，
因为 ，且
，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
设平面BEP的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，易知平面BEA的一个法向量为 ，
所以 ，则 ，
易知二面角 的平面角是锐角，
所以二面角 的大小为 .
21.【详解】（1）因为点 是抛物线C： 上一点，
所以 ，解得： ，
所以 .
（2）设点 ，点 ，点 ，直线 方程为：
，化简得 ．
的内切圆方程为 ， 圆心 到直线 的距离为 ，即
．
故 ．
易知 ，上式化简得， ．
同理有 ，
， 是关于 的方程 的两根．
， ．
． ，，
点 到直线 的距离为 ，
所以 面积为 ，
令 ，则 ，
因为 ， ，
当且仅当 取等，所以 .
故 面积的最小值为 ．
22.【详解】（1） ，若 ，则有 ， 单调递增；
若 ， ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
（2）①由（1）的讨论可知，当 时， 单调递增，在 ，
，满足题意；
当 时，在 ， ，满足题意；
当 时，即 ，在 ， ，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递
增，
，即 ，不满足题意；
综上，a的取值范围是 ；
②由题意， ， ，即 ，
考虑直线 的极端情况a=1，则 ，
即 ，令 ， ，显然
是减函数， ， ，
∴存在唯一的 使得 ，当 时， ，当 时，，
， ， ，
即 ，故k的最小值可能是3或4，验算 ，
由于 ， ， ，
，满足题意；
综上，a的取值范围是 ， 的最小值是3.
