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能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】 由题意得：x2−4 ≠ 0，
∴x ≠ ±2
又∵x+2 ≥ 0，
∴x ≥ −2
∴x的取值范围是：x > −2且x ≠ 2．
故选：C．
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】D
【解析】由分式及二次根式有意义的条件可得：
x−1 ≥ 0且x−2 ≠ 0，
解得：x ≥ 1且x ≠ 2
故选：D．
例2 【答案】∵y = √x−24+√24−x−8，
∴x−24 = 24−x = 0 ，
∴x = 24 ，
y = 0−8 = −8 ，
3
∴√x−5y
3
= √24+40
= 4 ．
练2.1 【答案】 ∵2|a−1| +√2a−b+(c+b)2 = 0，
又∵|a−1| ≥ 0 ，√2a−b ≥ 0，(c+b)2 ≥ 0，
a−1 = 0
{
∴ 2a−b = 0
c+b = 0a = 1
{
∴ b = 2
c = −2
∴2a+b−c = 2+2+2 = 6．
练2.2 【答案】7
例3 【答案】−ab
【解析】解：由图可知，a < 0，b > 0，
∴ab < 0，
√
∴ a2b2 = |ab| = −ab．
练3.1 【答案】A
例4 【答案】计算：
（1）原式 = 4−√6+2√6 = 4+√6
（2）原式 = 9+5+6√5−(16−7) = 5+6√5
（3）原式 = 3√3−3+3−√3 = 2√3
练4.1 【答案】（1）原式 = 6−6√3−√3
= 6−7√3
（2）原式 = 8−4√2+1+4√2 = 9
练4.2 【答案】 √12 √3 2√3 √3
（1）原式= + = + =√3
4 2 4 2
√ √
b 1 √2b
（2）原式= ÷ab2×a2+ =
2a 2b b
例5 【答案】解：
1 √3
（1）原式= = ；
2√3 6
2−√3
（2）原式= = 2−√3；
( 2+√3 )( 2−√3 )
2√3+3√2 2√3+3√2 √3 √2
（3）原式= = − =− − ；
( 2√3+3√2 )( 2√3−3√2 ) 6 3 2
( 7+4√3 )( 2−√3 )
（4）原式= =2+√3；
( 2+√3 )( 2−√3 )
（5）原式 =√a−√b；( )( )
√a+√b √a−√b
（6）原式= =√a+√b.
√a−√b
练5.1 (1)【答案】 1 √2 1 1 √6
① = ② = =
3√2 6 √54 3√6 18
(2)【答案】D
例6 (1)【答案】 1 √7−√6
=
√7+√6 (√7+√6 )(√7−√6 )
= √7−√6
(2)【答案】 1 √n+1−√n
=
( )( )
√n+1+√n √n+1+√n √n+1−√n
= √n+1−√n
(3)【答案】 1 1 1 1 1
+ + +⋯+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
= √2−1+√3−√2+⋯+√99−√98+√100−√99
= −1+√100
= −1+10
= 9
练6.1 【答案】 4 ( 2−√2 ) 4 (√6−2 )
原 式 = +
(√2+2 )( 2−√2 ) ( 2+√6 )(√6−2 )
4
(√8−√6 )
4
(√2n+2−√2n )
+ +⋯+
(√8+√6 )(√8−√6 ) (√2n+√2n+2 )(√2n+2−√2n )
= 2 ( 2−√2 ) +2 (√6−2 ) +2 (√8−√6 ) +…+2 (√2n+2−√2n )
= 4−2√2+2√6−4+4√2−2√6+…+2√2n+2−2√2n
= 2
(√2n+2−√2 )
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】 { 3t−7 ≥ 0
由题，
7−3t ≥ 0
7
得t = ，
3
故s = −5，
7 35
∴st = ×(−5) = − ．
3 3
故选：C．
2 【答案】C
3 【答案】由图可知：a < 0，b > 0，
则a−b < 0，
∴原式 = −a−b−(b−a) = −a−b−b+a = −2b.
4 【答案】C
5 【答案】D
6 【答案】D
7 (1)【答案】√12+√27
√3
2√3+3√3
=
√3
5√3
=
√3
= 5
(2)【答案】( 2√2−√3 )2
= (2√2) 2 −2×2√2×√3+(√3) 2
= 8−4√6+3
= 11−4√6
√
(3)【答案】 1
√48+6 −√75
3
= 4√3+2√3−5√3
= √3√
(4)【答案】 1
( )
2√12−3 ×√6−3√27
3
= ( 4√3−√3 ) ×√6−9√3
= 3√3×√6−9√3
= 9√2−9√3
8 【答案】B
【解析】∵a = 2√2+3，b = 2√2−3，
∴a ≠ b，
ab = ( 2√2+3 )( 2√2−3 ) = 8−9 = −1，
( )
−b = − 2√2−3 = 3−2√2 ≠ a，
即只有选项B正确，选项A、C、D都错误，
故选：B．
9 【答案】C
√ √
【解析】 9 90 √90 √3×√30 ab
√0.9 = = = = =
10 100 √100 10 10
故选：C．
10 【答案】A
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
课堂落实答案
1 【答案】−3
【解析】 1
{x− ≥ 0
2
1
−x ≥ 0
2
1
∴x = ，
2
∴y = 0+0−6 = −6，
∴xy = −3，
故答案为：−32 【答案】D
3 【答案】A
【解析】最简二次根式有√3，共1个，
故选：A．
4 【答案】A
5 (1)【答案】原式 = 12−4√3+1+(3−4)
= 12−4√3
【解析】利用完全平方公式和平方差公式计算；
(2)【答案】原式 = √6×3−2√15×3−3√2
= 3√2−6√5−3√2 = −6√5
【解析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
能力提高 / 初二 / 春季
第 1 讲 二次根式进阶
精选精练
1 【答案】 17
−
4
2 【答案】由题得x−2016 ≥ 0
则x−2015+√x−2016 = x
∴√x−2016 = 2015
解得x = 20152+2016
则x−20152 = 2016．
【解析】根据二次根式有意义的条件求出x的范围，根据绝对值的性质求出x的值，代入计算即可．
3 【答案】解： ∵ √x−2019有意义， ∴ x ≥ 2019，
∴ |2017−x| = x−2017，
|2017−x|+√x−2019 = x−2017+√x−2019 = x
即√x−2019 = 2017，
两边平方，得x−2019 = 20172 ，
∴ x−20172 = 2019.
4(1)【答案】 1 1
解：（1） ∵ x = (√7+√5)，y = (√7−√5)，
2 2
1
∴ x+y = √7，xy = ，
2
∴ x2+y2 = (x+y)2−2xy = 7−1 = 6；
y x x2+y2 6
+ = = = 12；
x y xy 1
2
(2)【答案】 1
解：∵√x+ = 2
√x
1
∴x+ = 2
x
∴x2+1=2x
∴x2+3x+1=5x,x2+9x+1=11x,
√ √ √ √ √ √
x x x x 1 1 √5 √11
∴ − = − = − = −
x2+3x+1 x2+9x+1 5x 11x 5 11 5 11
5 【答案】 y+ √ y2−1
【解析】 1
解：
√
y− y2−1
√
y+ y2−1
=
( √ )( √ )
y− y2−1 y+ y2−1
√
y+ y2−1
√
= =y+ y2−1
y2− ( y2−1 )
6 【答案】4
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理例题练习题答案
例1 (1)【答案】√41
(2)【答案】2√3
(3)【答案】13或√119
练1.1 【答案】C
【解析】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x=√7，此时这个三角形的周长=3+4+√7，
故选：C．
例2 【答案】C
练2.1 【答案】B
练2.2 【答案】100或28
【解析】 解:当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2 = 36+64 = 100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2 = 64−36 = 28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
例3 【答案】A
【解析】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2 +32 =（9−x） 2 ，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故答案为：4．
练3.1 【答案】5
【解析】设BD的长为x，∵AB = 10，AC = 6，
∴BC = 8，∴CD = DE = 8−x，
∵AE = AC = 6，∴BE = 4，
∴x2−42 = (8−x)2 ，解得x = 5．
例4 【答案】C
练4.1 【答案】C
【解析】①一个内角等于另外两个内角之和⇒有一内角是90°，所以是直角三角形，正确；②三个内角之比为3：4：5⇒三个角是45°，60°，75°，所以这个不是直角三角形，错
误；
③三边长分别为9，40，41，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，正确；
④三边之比为8：15：17，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，正确．
故选：C．
练4.2 【答案】解：（1）以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形，
理由是：
∵ ∠ADC = 90∘，AD = 4m，CD = 3m，
√
∴ 由勾股定理得：AC = AD2+CD2 = 5m，
∵ AB = 13m，BC = 12m，
∴ AC2+BC2 = AB2 ，
∴ ∠ACB = 90∘，
即以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形；
（ 2 ） 图 形 的 面 积
1 1 1 1
S = S −S = ×AC×BC− ×AD×CD = ×5×12− ×4×3 = 24m2 ．
ΔACB ΔADC
2 2 2 2
例5 【答案】A
【解析】 解： ∵ (c−a)(c+a)−b2 = 0，
∴ c2−a2−b2 = 0，
∴ a2+b2 = c2 ，
∴ ∠C = 90∘，
故选：A．
练5.1 【答案】C
【解析】 解：∵（a-b）（a2+b2-c2 ）=0，
∴a=b或a2+b2=c2
．
当只有a=b成立时，是等腰三角形．
当只有第二个条件成立时：是直角三角形．
当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形．
故选：C．
例6 【答案】直角三角形
【解析】 ∵AB2 = 32+22 = 13，BC2 = 42+62 = 52，
AC2 = 12+82 = 65．
∴AB2+BC2 = AC2 ，
∴△ABC为直角三角形．
练6.1 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h ，h ，h ，
1 2 3
1 1 1
则h = AC，h = BC，h = AB，
1 2 3
2 2 2
即：阴影部分的面积为：
1 1 1 1 1 1 1
× ×AC×AC+ × ×BC×BC+ × ×AB×AB =
( AC2+BC2+AB2)
，
2 2 2 2 2 2 4
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2 = AB2 ，AB=3，
1 1 9
所以阴影部分的面积为： ×2AB2 = ×32 = ，故选D．
4 2 2
2 【答案】 解： ∵ √ (a−3)2+(b−2)2 = 0，
∴ a−3 = 0，b−2 = 0，
解得：a = 3，b = 2，
①以a为斜边时， 斜边长为 3 ；
√
②以a，b为直角边的直角三角形的斜边长为 32+22 = √13，
综上所述， 即直角三角形的斜边长为 3 或√13．
3 【答案】解：∵正方形AGHF的面积为36，∴AF=6，
又∵正方形CDEF的面积为49，∴FC=7，
∵∠B为直角，BC长为2，AB长为3，∴AC=√13,
∵AC2+FA2 = FC2 ,
∴ΔACF是直角三角形，1 1
故S = AC⋅AF = ×√13×6 = 3√13
ΔACF
2 2
4 【答案】C
【解析】解：设第三条边长为x，
∵三角形是直角三角形，
∴可得，22+72=x2 或22+x2=72
，
解得x=√53或x=3√5．
故选：C．
5 【答案】C
【解析】解：在△ABD中，∠A = 90∘，AB = 4，AD = 4，
∴∠ADB = 45∘，BD = 4√2，
∵BC = 2√10，CD = 2√2，
∴BC2 = BD2+CD2 = 40，
根据勾股定理逆定理得△BDC是直角三角形，∠BDC = 90∘，
∴∠ADC = ∠ADB+∠BDC = 135∘．
6 【答案】B
7 【答案】B
8 【答案】A
9 【答案】B
10 【答案】D
【解析】过A作AF⊥BC，设AD = x，AB = y，则BF = 2-x，AF = 2x，
在RT△ABF中，AB2 = AF2+BF2，即y2 = （2x） 2+ （2-x） 2，
在RT△BEC中，BE2 = BC2+EC2，即y2 = x2+22，
故可得： （2x） 2+ （2-x） 2 = x2+22，
解得x
1
= 0（舍去） ，x
2
= 1（符合题意），
∴AD = 1，故可得AB = √5．
故选：D．
能力提高 / 初二 / 春季第 2 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】D
【解析】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三
角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42=52
，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角
形；
故选：D．
5 【答案】3
能力提高 / 初二 / 春季
第 2 讲 勾股定理
精选精练
1 【答案】4.8
2 【答案】 解：由勾股定理得，阴影部分的边长a = √ 12+32 = √10，
所以图中阴影部分的面积S = (√10)2 = 10．
所以图中阴影正方形的面积是10，它的边长是√10．
3 【答案】8π
4 【答案】3
【解析】解：连接CC ．
1
RtΔABE中，∠BAE = 30∘，AB = √3，
√
设BE = x，则AE = 2x，AB = AE2−BE2 = √3x = √3，
易得BE = 1，AE = 2．
∵∠AEB = ∠AEB = 60∘，
1
由AD//BC，那么∠C AE = ∠AEB = 60∘，
1
所以ΔAEC 为等边三角形，
1那么△CC E也为等边三角形，
1
那么EC = EC = AE = 2，
1
∴ BC = BE+EC = 3，
5 【答案】解：（1）如图，由题意得：∠B = ∠BAE；
∵ ∠CAE:∠BAE = 1:2，
∴ 设∠CAE = α，则∠B = ∠BAE = 2α；
∴ ∠B+∠BAC = 90°，即5α = 90°，
∴ α = 18°，∠B = 2α = 36°．
（2）由题意得：AE = BE，
∴ AE+EC+AC = BE+EC+AC = BC+AC = 14，
即ΔACE的周长为14．
（3）设BE = AE = λ，则EC = 8−λ；
由勾股定理得：λ2 = (8−λ)2+62 ，
25
解得：λ = ，
4
7
∴ CE = ．
4
6 【答案】 解：A＝（n2 ﹣1） 2 +（2n） 2 ＝n4−2n2+1+4n2 ＝n4 +2n2 +1＝（n2 +1） 2 ，
∵A＝B2 ，B＞0，
∴B＝n2
+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2
+1＝4
2
+1＝17；
当n2−1＝35时，n2
+1＝37．
故答案为：17；37
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
例题练习题答案
例1 (1)【答案】解： ∵ 在RtΔABC中，∠C = 90∘，∠A = 30∘，BC 1
∴ = ，
AB 2
∵ BC = 6，
∴ AB = 12．
故答案为12．
(2)【答案】解：（1） ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90∘，
∵ ∠B = 60∘，∠C = 45∘，
∴ ∠BAD = 90∘ −60∘ = 30∘，∠DAC = 90∘ −45∘ = 45∘，
∴ ∠BAC = ∠BAD+∠DAC = 75∘．
（2）在RtΔABD中， ∵ AB = 4，∠BAD = 30∘，
1
∴ BD = AB = 2，AD = √3BD = 2√3，
2
∴ DC = AD = 2√3，
∴ BC = BD+DC = 2+2√3．
练1.1 (1)【答案】C
(2)【答案】√2+√6
练1.2 (1)【答案】3：1
(2)【答案】8cm；4cm
例2 【答案】15
练2.1 【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为(x+1)m
在RtΔABC中，AB2+BC2 = AC2
∴ x2+52 = (x+1)2
解得x = 12
∴ AB = 12
∴ 旗杆的高12m．
练2.2 【答案】解：设荷叶的高度为xm，根据题意可得：
CO = (x−0.6)m，BC = 1.2m，故(x−0.6)2+1.22 = x2 ，
解得：x = 1.5，
答：荷叶的高度为1.5m．
例3 【答案】A
练3.1 【答案】C
练3.2 【答案】D
例4 【答案】2√2
练4.1 【答案】√145cm
练4.2 【答案】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为[(2+3)×3]dm ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2 = 202+[(2+3)×3]2 = 252 ，
解得x = 25．
故答案为25．
【解析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】C
【解析】在△ABC中，∠A = 45∘，CD⊥AB，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD = AD = 1，
又∵∠B = 30∘，∴Rt△BCD中，BC = 2CD = 2，
√
∴BD = BC2−CD2 = √3，
故选：C．
6 【答案】A
7 【答案】C
8 【答案】C
【解析】 1 6
底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为： ×2π× =6（cm），展开得：
2 π
∵BC = 8cm，AC = 6cm，
√
根据勾股定理得：AB = 82+62 = 10（cm）．
故选：C．
9 【答案】C
10 【答案】解：（1）设长方体的高为xcm，则长为3xcm，宽为2xcm，由题意得
3x⋅2x = 30，解得x = √5，
则3x = 3√5，2x = 2√5．
答：这个长方体的长、宽、高分别是3√5cm、2√5cm、√5cm．
（2）长方体的表面积为：(3√5×2√5+3√5×√5+2√5×√5)×2
= (30+15+10)×2
= 110(cm2)，
长方体的体积为：3√5×2√5×√5 = 30√5．
答：长方体的表面积是110cm2 ，体积是30√5cm3
；
（3）展开前面上面由勾股定理得AB2 = (2√5+√5)2+(3√5)2 = 90；
所以最短路径的长为AB = √90 = 3√10(cm)．
故答案为3√10．
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
课堂落实答案1 【答案】C
2 【答案】150a元
3 【答案】A
4 【答案】B
5 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 3 讲 勾股定理综合应用
精选精练
1 【答案】D
2 【答案】解：设旗杆的长度为x米,则绳子的长度为:(x+2) m,
在Rt △ ABC中,由勾股定理得:x2+82 = (x+2)2 ,
解得:x = 15,
x+2 = 17.
答:旗杆的高度为15m,升旗用的绳子的长度为17m.
3 【答案】C
4 【答案】√233cm
【解析】解：如图，有两种展开方法：
√
方法一：PA = 132+82 = √233cm，
√
方法二：PA = 152+62 = √261cm．
故需要爬行的最短距离是√233cm．
故答案为：√233cm ．
5 【答案】3√13
【解析】解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AD即为最短路线．展开后由勾股定理得：AD2 = 92+62 ，
故AD = 3√13dm．
6 【答案】解：（1）第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，．
则这个长方形的长和宽分别是12cm和14cm，
√
则所走的最短线段是 122+(9+5)2 = 2√85cm，
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9cm和17cm，
√
所以走的最短线段是 92+172 = √370cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10cm和4cm，
√
所以走的最短线段是 212+52 = √466cm；
三种情况比较而言，第一种情况最短，
∴ 蚂蚁爬行的最短距离是2√85cm；
（2）如图：
∵ 高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴ A′D = 0.5m，BD = 1.2m，
∴ 将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′ ，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
√
A′B = A′D2+BD2
√
= 0.52+1.22
= 1.3(m)．答：壁虎捕捉到蚊子的最短路程是1.3m．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
例题练习题答案
例1 【答案】B
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C = 180∘，
把∠C = 108∘代入，得∠ABC = 180∘ −108∘ = 72∘．
又∵BE平分∠ABC，
1 1
∴∠ABE = ∠ABC = ×72∘ = 36∘．
2 2
故选：B．
练1.1 【答案】C
【解析】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM = ∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM = ∠BMC，
∴∠BMC = ∠CBM，
∴BC = MC = 2，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD = 7，
∴CD = 5，
则DM = CD−MC = 3，
故选：C．
例2 【答案】4
【解析】∵平行四边形的周长为20cm，
∴AB+BC = 10cm；
又 △ BOC 的周长比 △ AOB 的周长大2cm，
∴BC−AB = 2cm，
解得：AB = 4cm，BC = 6cm．
∵AB = CD，∴CD = 4cm
故答案为：4．
练2.1 【答案】10
【解析】∵AC，BD相交于点O
∴O为BD的中点
∵OE⊥BD
∴BE = DE
1
∴△ABE的周长 = AB+AE+BE = AB+AD = ×20cm = 10cm
2
练2.2 【答案】B
例3 【答案】（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，
AB = DF
{
在△ABC和△DFE中， AC = DE，
BC = EF
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
练3.1 【答案】证明：∵AC//BD，
∴∠C = ∠D，∠CAO = ∠DBO，
∵AO = BO．
∴ΔAOC≌ΔBOD（AAS）．
∴CO = DO．
∵E、F分别是OC、OD的中点，
1 1
∴OF = OD = OC = OE．
2 2
由AO = BO、EO = FO,
得四边形AFBE是平行四边形．
例4 【答案】证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，
∴ ∠EAH = ∠FCG，
AE = CF
{
在ΔAEH和ΔCFG中， ∠EAH = ∠FCG，
AH = CG
∴ ΔAEH ≅ ΔCFG(SAS)，
∴ EH = FG，∠AHE = ∠CGF，
∴ EH//FG，
∴ 四边形EGFH是平行四边形．
练4.1 【答案】证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠CDF，
又 ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，
∴ ∠AEB = ∠CFD = 90∘，
∴AE//CF，
在ΔABE和ΔCDF中，
∠ABE = ∠CDF
{
∠AEB = ∠CFD，
AB = CD
∴ ΔABE≌ΔCDF(AAS)，
∴ AE = CF，
∴四边形AECF是平行四边形
例5 【答案】D
【解析】解： ∵ ∠C = 90∘，AC = 5，BC = 12，
√ √
∴ AB = AC2+BC2 = 52+122 = 13，
∵ AD = DC，CE = EB，
1
∴ DE = AB = 6.5，
2
故选：D．
练5.1 【答案】2cm
练5.2 【答案】C
例6 【答案】是平行四边形，连接BD，由题意可得，EH平行且等于BD的一半，FG平行且等于BD的一
半，所以EH平行且等于FG，那么四边形EFGH为平行四边形
练6.1 【答案】C练6.2 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】A
7 【答案】B
8 【答案】证明：∵BD垂直平分AC，
∴AB = CB，AD = CD，
∴∠BAC = ∠BCA，∠DAC = ∠DCA．
即∠BAD = ∠BCD．
∵∠BCD = ∠ADF，
∴∠BAD = ∠ADF，
∴ AB//FD．
又∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF//BD，
∴四边形ABDF是平行四边形．
9 【答案】解： ∵ ▱ABCD的周长为36，
∴ 2(BC+CD) = 36，则BC+CD = 18．
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，BD = 12，
1
∴ OD = OB = BD = 6．
2
又 ∵ 点E是CD的中点，
1
∴ OE是ΔBCD的中位线，DE = CD．
2
1
∴ OE = BC．
21 1
∴ △ DOE周长 = OD+OE+DE = BD+ (BC+CD) = 6+9 = 15．
2 2
即 △ DOE的周长为15．
10 【答案】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，
∵ M、N分别为AD、BC的中点，
1 1
∴ MG//BD，MG = BD，NG//AC，NG = AC，
2 2
∴ ∠GMN = ∠OFE，∠GNM = ∠OEF，
又 ∵ AC = BD，
∴ MG = NG，
∴ ∠GMN = ∠GNM，
∴ ∠OEF = ∠OFE，
∴ OE = OF．
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠E = ∠F = 90∘
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠BAC = ∠DCA
∴∠BAE = ∠DCF
在△ABE和△CDF中
∠E = ∠F
{
∠BAE = ∠DCF
AB = CD∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE = CF
5 【答案】100
能力提高 / 初二 / 春季
第 4 讲 平行四边形进阶
精选精练
1 【答案】A
【解析】∵在▱ ABCD中，
∴∠A = 180∘ −∠B = 180∘ −40∘ = 140∘，
∵CM⊥AD于M，CN⊥AB于N，
∴∠AMC = ∠ANC = 90∘，
∴∠MCN = 360∘ −90∘ −90∘ −140∘ = 40∘．
故选：A．
2 【答案】8
【解析】解：∵BE = DF，
∴S = S = 3cm2 ，
ΔABE ΔADF
又∵平行四边形ABCD的面积是20cm 2 ，
∴S = 10cm2 ，
ΔABD
∴S = 4cm2 ，
ΔAEF
∴平行四边形AECF的面积是8cm2
，
故答案为：8．
3 【答案】连接EG、AD，如图所示：
∵ED∥AF，且ED = AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE = DF，AE∥FD，
又DG = DF，
∴AE = DG，
∴四边形AEGD是平行四边形，
∴ED，AG互相平分．4 【答案】证明： ∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD = ∠CAD．
∵ EG//AB，
∴ ∠BAD = ∠AGE．
∴ ∠CAD = ∠AGE．
∴ AE = EG．
∵ AE = BF，
∴ EG = BF．
∵ EG//BF，
∴ 四边形BGEF是平行四边形．
∴ BG = EF．
5 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO = ∠FCO，
∠EAO = ∠FCO
{
在△OAE与△OCF中 ∠AOE = ∠COF，
OA = OC
∴△OAE≌△OCF，
∴OE = OF，
同理OG = OH，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱ GBCH，▱ ABFE，▱ EFCD，
▱
EGFH；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥BC，
∴四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH为平行四边形，
∵EF过点O，GH过点O，
∵OE = OF，OG = OH，1
∴▱ GBCH，▱ ABFE，▱ EFCD，▱ EGFH，▱ AGHD它们面积 = ▱ ABCD的面积，
2
∴与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形有▱ GBCH，▱ ABFE，▱ EFCD，▱ EGFH．
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到
∠EAO = ∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE = OF，同理OG = OH，根据对角线互相平
分的四边形是平行四边形得到结论；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．
6 【答案】 证明：如图，取BE的中点H，连接FH、CH．
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
1
∴FH∥AB且FH = AB，
2
又∵点E是DC的中点，
1
∴EC = DC，
2
∵AB＝DC
∴FH＝EC
又∵AB∥DC，
∴FH∥EC．
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴GF＝GC．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
例题练习题答案
例1 【答案】43∘
【解析】如图，∵矩形的对边平行，∠1 = 47∘，
∴∠3 = ∠1 = 47∘，∠4 = ∠3 = 47∘，
∴∠2 = 180∘ −∠4−90∘ = 180∘ −47∘ −90∘ = 43∘．故答案为：43∘．
练1.1 【答案】9
【解析】 在Rt△ABC中，AC = √ AB2+BC2 = 10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
1 1 1 5 1 1
∴EF是△AOD的中位线，EF = OD = BD = AC = cm，AF = AD = BC = 4cm，
2 4 4 2 2 2
1 1 5
AE = AO = AC = cm，
2 4 2
∴△AEF的周长 = AE+AF+EF = 9cm．
故答案为：9．
练1.2 【答案】18∘
例2 【答案】4√3
练2.1 【答案】B
例3 【答案】B
练3.1 【答案】C
例4 【答案】12
【解析】解：∵△AEF由△AEB折叠而成，
∴△AEF≌△AEB，
∴AF=AB，EF=BE，
∴矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．
故答案为：12．
练4.1 【答案】解：设EF = x依题意知：△CDE≌△CFE，
∴ DE = EF = x，CF = CD = 6．
√
∵ 在Rt△ACD中，AC = 62+82 = 10，
∴ AF = AC−CF = 4，AE = AD−DE = 8−x．
在Rt△AEF中，有AE2 = AF2+EF2 ，
即(8−x)2 = 42+x2 ，
解得x = 3，即:EF = 3.
练4.2 【答案】5
例5 【答案】解：在□ABCD中，∠BAD+∠CDA = 180∘，EA，DE为角平分线，
∴∠CDE = ∠ADE,∠DAE = ∠BAE∴∠CDE+∠ADE+∠DAE+∠BAE
= 2∠ADE+2∠DAE = 180∘
∴∠ADE+∠DAE = 90∘
∴∠DEA = 90∘，
同理∠H，∠F也为直角，
∴四边形EFGH是矩形．
练5.1 (1)【答案】 ∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB = CD,AB//CD,
又 ∵ AB = BE,
∴ BE = DC,
又 ∵ AE//CD,
∴ 四边形BECD为平行四边形;
(2)【答案】由(1)知,四边形BECD为平行四边形
∴ OD = OE,OC = OB,
∵ 四边形ABCD为平行四边形,
∴ ∠A = ∠BCD
又 ∵ ∠BOD = 2∠A,∠BOD = ∠OCD+∠ODC,
∴ ∠OCD = ∠ODC,
∴ OC = OD,
∴ OC+OB = OD+OE,即BC = ED,
∴ 平行四边形BECD为矩形.
练5.2 (1)【答案】证明：∵点O是AC中点，
∴AO = OC，
∵OE = OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC = 90∘，
∴四边形ADCE是矩形；
【解析】根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC = 90∘
，根据矩形的判定得出即可；
(2)【答案】解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC = 16，AB = 17，
∴BD = CD = 8，AB = AC = 17，∠ADC = 90∘，
√ √
由勾股定理得：AD = AC2−CD2 = 172−82 = 15 ，∴四边形ADCE的面积是AD×DC = 15×8 = 120 ．
【解析】求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．
例6 【答案】 （1）证明： ∵ ∠C = 90∘ ，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴ 四边形PECF是矩形；
（2）解：如图，连接CP．
∵ 四边形PECF是矩形，
∴ EF = CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，
1 1
此时，S = BC⋅AC = AB⋅CP，
ΔABC
2 2
∵AB = AC = 4， ∴ AB = 4√2，
1 1
即 ×4×4 = ×4√2⋅CP，
2 2
解得CP = 2√2．
故答案为：2√2．
练6.1 【答案】12
5
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】解：∵黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%；
∴矩形的面积 = 21÷(50%−15%) = 21÷35% = 60cm2 ．
故选：A．
2 【答案】B
【解析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD，OA = OC，OB = OD，
∴OA = OB═OC，
∴∠OAD = ∠ODA，∠OAB = ∠OBA，
∴∠AOE = ∠OAD+∠ODA = 2∠OAD，
∵∠EAC = 2∠CAD，
∴∠EAO = ∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO = 90∘，
∴∠AOE = 45∘，
1
∴∠OAB = ∠OBA = ( 180∘ −45∘) = 67.5∘，
2
∴∠BAE = ∠OAB−∠OAE = 22.5∘．
故选：B．
3 【答案】B
4 【答案】D
5 【答案】C
6 【答案】C
7 【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，
又∵AD = DE，
∴DE∥BC，且DE = BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB = BE，DE = AD，∴BD⊥AE，∴▱ DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB = 90∘，∴∠EDB = 90∘，∴▱ DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED = 90∘，∴▱ DBCE为矩形，故本选项错误．
故选：B．
8 (1)【答案】 如图1，由折叠的性质可知AB＝CD＝C′D，
又∠A＝∠C′ ＝90∘，∠AFB＝∠C′FD，
∴△ABF≌△C′DF，
∴BF＝DF，
∴重合部分△BDF为等腰三角形；
设AF＝x，则BF＝DF＝8−x，在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2+AF2 ＝BF2 ，即42+x2 ＝(8−x)2
，
解得AF＝x＝3；
【解析】 如图1，由折叠的性质可证△ABF≌△C′DF，可得BF＝DF，可判断重合部分为等腰三角
形；设AF＝x，则BF＝DF＝8−x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AF；
(2)【答案】如图2，由折叠的性质可知BE＝BC＝10，又AB＝6，
√
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE = BE2−AB2 = 8；
设DF＝x，由折叠的性质得EF＝FC＝6−x，DE＝AD−AE＝2，
在Rt△DEF中，由勾股定理得DE2+DF2 ＝EF2 ，即22+x2 ＝(6−x)2
，
8
解得DF＝x = ．
3
【解析】如图2，由折叠的性质可知BE＝BC＝10，又AB＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理可求
AE，设DF＝x，由折叠的性质得EF＝FC＝6−x，在Rt△DEF中，由勾股定理可求DF．
9 【答案】证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A = ∠C，
又∵AE = CG，AH = CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH = GF．
在平行四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC，
∴AB−AE = CD−CG，AD−AH = BC−CF，
即BE = DG，DH = BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B = ∠D，∴△BEF≌△DGH．
∴GH = EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB = CD．
设∠A =α ，则∠D = 180∘ −α ．
180∘ −α α
∵AE = AH，∴∠AHE = ∠AEH = = 90∘ − ．
2 2
∵AD = AB = CD，AH = AE = CG，
∴AD−AH = CD−CG，即DH = DG．
180∘ − ( 180∘ −α ) α
∴∠DHG = ∠DGH = = ．
2 2
∴∠EHG = 180∘ −∠DHG−∠AHE = 90∘．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．10 (1)【答案】证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ DF//BE,
又 ∵ DF = BE,
∴ 四边形DEBF是平行四边形,
又 ∵ DE⊥AB,
∴ ∠DEB = 90∘,
∴ 平行四形DEBF是矩形;
(2)【答案】解: ∵ 四边形DEBF是矩形,
∴ DF//AB,DE = BF = 4,DF = BE,
∴ ∠DFA = ∠FAB,
又 ∵ AF平分∠DAB,
∴ ∠DAF = ∠FAB,
∴ ∠DFA = ∠DAF,
∴ DA = DF,
又 ∵ DE⊥AB,
∘
∴ ∠DEA = 90 ,
在RtΔADE中
√ √
AD = AE2+DE2 = 32+42 = 5,
∴ BE = 5,
∴ AB = AE+BE = 3+5 = 8,
∴ ABCD的面积 = AB⋅BF = 8×4 = 32.
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
课堂落实答案
1 【答案】C
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】12
5 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD = BC，AB = DC，∵CE = BC，
∴AD = CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB = DC，AE = AB，
∴AE = DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∵四边形ACED是矩形，
1 1
∴OA = AE，OC = CD，AE = CD，
2 2
∴OA = OC，
∵∠AOC = 180∘ −∠AOD = 180∘ −120∘ = 60∘，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC = AC = 4，
∴CD = 8．
能力提高 / 初二 / 春季
第 5 讲 矩形进阶
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】2.4
3 【答案】 1 1
解:根据题意得:S = 6ab− ×6ab− a×2b
阴影
2 2
= 6ab−3ab−ab = 2ab
4 【答案】 1 1 1
证 明 ： 连 接 EP ， S +S = S ∴ ED⋅PG+ EB⋅PF = ED⋅AB∴
ΔEPD ΔEPB ΔEDB
2 2 2
PF+PG = AB
5 (1)【答案】证明: ∵ ABCD是矩形,
∴ AB//CD,
∴ ∠FCH = ∠EAG,
在△AGE和△CHF中AG = CH
{
∠EAG = ∠FCH
AE = CF
∴ △AGE ≅ △CHF(SAS);
(2)【答案】解:连接AF,
∵ GH平分∠FGE,
∴ ∠FGH = ∠EGH,
∵ FH//GE,
∴ ∠EGH = ∠FHG,
∴ ∠FGH = ∠FHG,
∴ FG = FH,∠FGA = ∠FHC,
在△FGA和△FHC中
AG = CH
{
∠FGA = ∠FHC
FG = FH
∴ △FGA ≅ △FHC(SAS),
∴ FC = FA,
设FC = x,则FA = x,FD = 8−x,
在Rt△ADF中,x2 = (8−x)2+42,
解得:x = 5,
即CF的长为5.
6 (1)【答案】证明: ∵ CE平分∠ACB,
∴ ∠1 = ∠2,
又 ∵ MN//BC,
∴ ∠1 = ∠3,
∴ ∠3 = ∠2,
∴ EO = CO,
同理,FO = CO,∴ EO = FO.
(2)【答案】解:当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:
∵ EO = FO,点O是AC的中点.
∴ 四边形AECF是平行四边形,
∵ CF平分∠BCA的外角,
∴ ∠4 = ∠5,
又 ∵ ∠1 = ∠2,
1
∴ ∠2+∠4 = ×180∘ = 90∘.
2
即∠ECF = 90∘,
∴ 四边形AECF是矩形.
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
例题练习题答案
例1 【答案】D
练1.1 【答案】C
【解析】解：∵菱形的对角线互相垂直，
∴AC⊥BC．
例2 (1)【答案】B
(2)【答案】B
练2.1 【答案】40
例3 (1)【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠AOD = 90∘．1 1
∵DO = BD = ×10 = 5(cm)，
2 2
√
∴AO = AD2−DO2 = 12(cm)，
∴AC = 2AO = 2×12 = 24(cm)．
(2)【答案】 1 1
解：S = S +S = BD⋅AO+ BD⋅CO
菱形ABCD △
ABD
△
BDC
2 2
1 1 1
= BD(AO+CO) = BD⋅AC = ×10×24
2 2 2
= 120
( cm2)
，
即：S = 120
( cm2)
．
菱形ABCD
练3.1 【答案】18√3
例4 【答案】A
练4.1 【答案】OA = OC
例5 (1)【答案】证明： ∵ 在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB = 5，AC = 6，BD = 8，
1 1
∴ AO = AC = 3，BO = BD = 4，
2 2
∵ AB = 5，且32+42 = 52 ，
∴ AO2+BO2 = AB2 ，
∴ ΔAOB是直角三角形，且∠AOB = 90∘，
∴ AC⊥BD，
∴ 四边形ABCD是菱形；
(2)【答案】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴ BC = AB = 5，
1 1
∵ S = AC⋅BO = BC⋅AH，
ΔABC
2 21 1
∴ ×6×4 = ×5×AH，
2 2
24
解得：AH = ．
5
练5.1 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B = ∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB = ∠AFD = 90∘，
∵BE = DF，
∴ △ AEB≌ △ AFD，
∴AB = AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，AC = 6，
∴AC⊥BD，
1 1
AO = OC = AC = ×6 = 3，
2 2
∵AB = 5，AO = 3，
√ √
∴BO = AB2−AO2 = 52−32 = 4，
∴BD = 2BO = 8，
1
∴S = ×AC×BD = 24．
平行四边形ABCD
2
【解析】
练5.2 【答案】证明：∵AC平分∠BAD交DE于点C，
∴∠DAC = ∠CAB，
∵AF//DE，
∴∠DCA = ∠CAB，
∴∠DAC = ∠DCA，
∴AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC交AF于点B，
∴∠ADB = ∠BDC，
∵AF//DE，
∴∠ADC+∠DAB = 180∘，
∴∠ADB+∠DAC = 90∘，
∴DB⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
例6 (1)【答案】3√3
(2)【答案】√3
【解析】解：连接DE交AC于P，连接DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD = PB，
∴PE+PB = PE+PD = DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC = 120∘，
∴∠BAD = 60∘，
∵AD = AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE = BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
√
在Rt△ADE中,DE = AD2−AE2 = √3．
∴PB+PE的最小值为√3．
练6.1 【答案】C
【解析】 ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC、BD互相垂直平分，
∴ 点B关于AC的对称点为D，
∴ F′D = F′B，
∴ FE+F′B = FE+F′D ≥ DE．
只有点F运动到点F′
时取等号，
∵ DE⊥AB，∴△AED是直角三角形，
∵ AB = 5，BE = 2，
∴ AE = AB−BE = 3，
√
∴ DE = AD2−AE2 = 4，
∴ EF+BF的最小值是DE = 4．
练6.2 【答案】B
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
自我巩固答案
1 【答案】D
【解析】∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，
∴二者都具有，故此三个选项都不正确，
由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，
故选：D．
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】A
5 【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
∵∠B = 60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC = AB = BC = a．
∴菱形较短的对角线长等于a．
故选：C．6 【答案】D
【解析】 ∵ DE = DF,DB = DC， ∴ 四边形BECF是平行四边形， ∵ AB = AC ，
∴ AD⊥BC， ∴ 四边形BECF为菱形．
7 【答案】解：四边形AEDF是菱形．
∵DE//AC，DF//AB．，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵DF//AE ，
∴∠ADF = ∠EAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD = ∠EAD，
∴∠FAD = ∠ADF，
∴AF = FD，
∴四边形AEDF是菱形．
8 【答案】（1）证明：在Rt △ ADE中，∵∠ADE = 90∘，AB = BE，
1
∴DB = AE = AB = BE，
2
∵DC//BE，DC = AB = BE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵BD = BE，
∴四边形BECD是菱形．
（2）连接BC交DE于O．
∵四边形DBEC是菱形，
∴BC⊥DE，
∴BO//AD，∵AB = BE，
∴DO = OE，
1
√
∴OB = AD = 4，OD = BD2−OB2 = 2√5，
2
∴BC = 8，DE = 4√5，
1
∴S = ⋅BC⋅DE = 16√5．
菱形BDCE
2
【解析】9 【答案】3
√3
2
【解析】解：先连接BD，交AC于点P′，连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BE=DE，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，点D是点B关于AC的对称点，则BP′=DP′，
∴当P于P′重合时PM+PB的值最小，最小值为MD，
∵M是AB的中点，△ABD是等边三角形，
∴DM⊥AB，
√
3 3 3
√ 2
∴DM= AD2−AM2= 32−( ) = √3，即PM+PB的最小值为 √3．
2 2 2
3
故答案为： √3．
2
10 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】解：∵菱形的两条对角线的长分别为5和8，
1
∴这个菱形的面积是 ×5×8 = 20，
2
故选：B．
2 【答案】B
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
1 1 1 1
∴OD = BD = ×6 = 3，OA = AC = ×8 = 4，AC⊥BD，
2 2 2 2√ √
由勾股定理得，AD = OD2+OA2 = 32+42 = 5，
∵OE = CE，
∴∠DCA = ∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD = CD，
∴∠DCA = ∠DAC，
∴∠DAC = ∠EOC，
∴OE//AD，
∵AO = OC，
∴OE是 △ ADC的中位线，
1 1
∴OE = AD = ×5 = 2.5．
2 2
3 【答案】B
【解析】A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
4 【答案】证明：∵AE//BD，BE//AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD，
∴OA = OB，
∴四边形AEBO是菱形．
【解析】
5 【答案】A
能力提高 / 初二 / 春季
第 6 讲 菱形
精选精练
1 【答案】 1
解：菱形ABCD的面积S = ×16×12 = 96cm2 ，
2∵AC⊥BD，∴AB = 10cm，
∴CD = AB = 10cm，
∴CD×BE = 96cm 2 ，
48
∴BE = cm，
5
48
所以菱形ABCD的面积为96cm 2 ，BE的长为BE = cm．
5
【解析】由菱形的性质知，菱形的面积等于底乘以高也等于它的两条对角线的乘积的一半
2 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形．
3 【答案】（1）证明：∵AG//BD，BD = FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CE⊥BD
∴CE⊥AG，
又∵BD为AC的中线，
1
∴BD = DF = AC，
2
∴四边形BDFG是菱形；
（2）解：∵四边形BDFG是菱形，∠ABC = 90∘，点D为AC的中点，
1
∴GF = DF = AC = 5，
2
∵CF⊥AG，
√ √
∴AF = AC2−CF2 = 102−62 = 8，
∴AG = AF+GF = 8+5 = 13．
【解析】4 【答案】（1）解：由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC⊥BD；是轴对称图形，对称轴为AC
；
故答案为：对角线互相垂直，是轴对称图形；
（2）证明： ∵ AC垂直平分BD，
∴ AB = AD，BO = DO，
同理：BC = DC，
∵ AB//CD，
∴ ∠ABO = ∠ODC，
∠ABO = ∠ODC
{
在ΔABO和ΔCDO中， BO = DO ，
∠AOB = ∠DOC
∴ ΔAOB ≅ ΔCDO(ASA)，
∴ AB = CD，
∴ AB = CD = BC = AD，
∴ 四边形ABCD为菱形．
5 【答案】C
6 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 【答案】D
【解析】 1 1 √2 √2
= = = ．
√18 3√2 3√2×√2 6
故选：D．
2 【答案】A
【解析】在Rt △ ABC中，
∵∠C = 90∘，∠A = 30∘，
AC 2√3
∴AB = = = 4．
cos30∘ √3
3
故选：A．3 【答案】C
【解析】∵0 < x < 1，
∴−1 < x−1 < 0，
√ √
∴ x2+ (x−1)2 = x+1−x = 1．
故选：C．
4 【答案】C
【解析】根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得斜边长为8cm，
1
则面积为 ×8×4 = 16cm2 ．
2
故选：C．
5 【答案】C
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等．
故选：C．
6 【答案】B
【解析】∵A(−3,0)，B(0,2)，C(3,0)，D(0, −2)，
∴OA = 0C = 3，OB = OD = 2，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形．
故选：B．
7 【答案】A
【解析】因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可求得BO = 3，则BD = 6．
故选：A．
8 【答案】C
9 【答案】A
【解析】∵平行四边形ABCD的周长为40cm，
∴AB+BC = 20cm，
∵△ABC的周长为25cm，
∴AB+BC+AC = 25cm，
∴AC = 5cm．
故选：A．
10 【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC = AB，AD = BC，
∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE = CE，
∵ △ CED的周长为6，
∴DE+CE+DC = DE+AE+DC = 6，
即AD+DC = 6，
∴平行四边形ABCD的周长为6×2 = 12．
故选：B．
11 【答案】1
【解析】根据题意得，1+a = 4a−2，
移项合并，得3a = 3，
系数化为1，得a = 1．
故答案为：1．
12 【答案】√5
13 【答案】√3
14 【答案】2√3
15 【答案】4.8
16 【答案】16
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA = OC，
∵点E是CD的中点，
∴CE = DE，
∴OE是△ACD的中位线，
1
∵OE = 2cm，OE = AD，
2
∴AD = 4，
∴菱形ABCD的周长为16，
故答案为16
17 【答案】12
18 【答案】3√10
5
19 【答案】（1）5√3；（2）3．
20 【答案】证明：（1）∵BE = FC，
∴BC = EF，AB = DF
{
在 △ ABC和 △ DFE中， AC = DE，
BC = EF
∴ △ ABC ≅△ DFE（SSS）；
（2）解：由（1）知 △ ABC ≅△ DFE
∴∠ABC = ∠DFE，
∴AB//DF，
∵AB = DF，
∴四边形ABDF是平行四边形
21 【答案】 证明：连接AD，EG
∵ DE//AF,DE = AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE = DF,AE//DF
又DF = DG,AE = DG
四边形ADGE是平行四边形，
∴DE、AG互相平分．
22 【答案】设AE = x，则BE = DE = 8−x，
在直角△ABE中，AB2+AE2 = BE2，
即42+x2 = (8−x)2，
解得：x = 3，
则AE = 3，DE = 8−3 = 5，
1 1
则S = AB⋅DE = ×4×(8−3) = 10．
ΔBDE
2 2
【解析】设AE = x，则BE = DE = 8−x，在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后
根据三角形面积公式求解．
23 【答案】证明：（1）由条件可得，BN//MD，BM//DN ，
∴四边形BNDM为平行四边形
在△AMB和△EMD中，∠A = ∠E
{
∠AMB = ∠EMD
AB = ED
∴△AMB≌△EMD（AAS）
∴BM = DM
∴四边形BNDM为菱形
（2）由（1）及勾股定理可得，BM = DM = 5，AM = 3，
√
故BD = AB2+AD2 = 4√5
24 【答案】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B = ∠ACD ，
∵AE//BC ，
∴∠EAC = ∠ACD ，
∴∠B = ∠EAC ，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC ，
∵CE⊥AE
∴∠ADC = ∠CEA = 90∘
在 △ ABD和 △ CAE中
∠B = ∠EAC
{
∠ADB = ∠CEA
AB = CA
∴ △ ABD ≌ △ CAE ；
（2）AB = DE，AB//DE，如图所示，
∵AD⊥BC，AE//BC
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC = DE ，
∵AB = AC ，
∴AB = DE ．
∵AB = AC ，
∴BD = DC ，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AE//CD，AE = DC∴AE//BD ，AE = BD
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB//DE且AB = DE．
25 【答案】证明： ∵ AD⊥BC,
∴ ∠ADB = 90∘,
∵ ∠BAC = 90∘,
∴ ∠B+∠BAD = 90∘,∠BAD+∠CAD = 90∘,
∴ ∠B = ∠CAD,
CE平分∠ACB,EF⊥BC,
∠BAC = 90∘(EA⊥CA),
∴ AE = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ CE = CE
∴由勾股定理得：AC = CF,
∵在 △ ACG △ FCG中，
AC = CF
{
∠ACG = ∠FCG,
CG = CG
∴△ ACG ≅△ FCG,
∴ ∠CAD = ∠CFG,
∵ ∠B = ∠CAD,
∴ ∠B = ∠CFG,
∴ GF//AB,
∴ AD⊥BC,EF⊥BC,
∴ AD//EF,
即AG//EF,AE//GF,
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵ AE = EF,
∴四边形AEFG是菱形.26 【答案】 7
（1） ；
2
（2）S
ΔABC
1 1 1
= 3a×4a− ×3a×2a− ×a×4a− ×2a×2a
2 2 2
= 5a2 ．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
例题练习题答案
例1 (1)【答案】B
(2)【答案】A
练1.1 【答案】C
练1.2 【答案】C
例2 【答案】112.5
【解析】解：∵CE = AC，
∴∠E = ∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB = 45∘，
∴∠E+∠CAE = 45∘，
1
∴∠E = ×45∘ = 22.5∘，
2
在△CEF中，∠AFC = ∠E+∠ECF = 22.5∘ +90∘ = 112.5∘．
练2.1 【答案】22.5∘
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAE = 45∘ = ∠ACB．∵AE = AC，
∴∠ACE = ( 180∘ −45∘) ÷2 = 67.5∘．
∴∠BCE = ∠ACE−∠ACB = 67.5∘ −45∘ = 22.5∘．
练2.2 【答案】B
例3 (1)【答案】AC⊥BD
(2)【答案】A
练3.1 【答案】∠BAD = 90∘或AC = BD
【解析】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角
（2）对角线相等．
即∠BAD = 90∘或AC = BD．
例4 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB = AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD，
∴∠ADC = 90∘，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN = ∠CAN，
∴∠DAE = 90∘，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC = 90∘，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足∠BAC = 90∘时，四边形ADCE是正方形．
证明：∵AB = AC，
∴∠ACB = ∠B = 45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD = ∠ACD = 45∘，
∴DC = AD，
∵四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
【解析】
练4.1 (1)【答案】见解析
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴AO = OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴OE⊥AC，则AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
(2)【答案】见解析
【解析】∵△AEC是等边三角形，OA = OC
∴∠AEO = ∠CEO = 30∘，
∵∠AED = 2∠EAD，
∴∠EAD=15∘，
∴∠ADO=45∘，
∴∠ADC=90∘，
∴菱形ABCD是正方形．
例5 【答案】（1）证明：在△BCP和△DCP中，
PC = PC
{
∠PCB = ∠PCD，
BC = DC
∴△BCP≌△DCP.
（2）∵△BCP≌△DCP，
∴PB = PD，∠PBC = ∠PDC．
∵PE = PB，
∴∠E = ∠PBC = ∠PDC．
易得∠DCE = ∠DPE = 90∘，
∴∠DPE = ∠ABC．
练5.1 【答案】C
练5.2 【答案】150°；8−4√3
【解析】解：作PM⊥AD，PN⊥BC，
∵△BCP为等边三角形，∴∠PBC = 60∘，AB = BP，
∵正方形ABCD中∠ABC = 90∘，∴∠ABP = 30∘∴∠BAP = 75∘，
∴∠DAP = 15∘，同理∠ADP = 15∘，故∠APD = 150∘．
因为△BCP为等边三角形，所以M、N、P在一条直线上，
√3
故MP = MN−PN，且MN = AB，PN = ×4 = 2√3，
21
故PM = 4−2√3，S = ×4× ( 4−2√3 ) = 8−4√3．
ΔAPD
2
例6 【答案】D
【解析】如图，连接BM，
∵ 点B和点D关于直线AC对称，
∴ NB = ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵ 正方形ABCD的边长是8，DM = 2，
∴ CM = 6，
√
∴ BM = 62+82 = 10，
∴ DN+MN的最小值是10．
故选：D．
练6.1 【答案】1+√5
【解析】解：找BC的中点F，连接PF，
∵E、F分别是DC、BC的中点，
∴PF = PE，
若要△PED的周长的最小，
故要当D、P、F三点在一直线上时，PD+PF最短，
当D、P、F三点在一直线上时，
DF=√5，
故△PED的周长的最小值为1+√5．
故答案为1+√5．
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
自我巩固答案1 【答案】A
2 【答案】B
【解析】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB = AE，
∴∠BAE = 90∘ +60∘ = 150∘，
∴∠AEB = (180∘ −150∘)÷2 = 15∘．
3 【答案】5
【解析】解：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = BC = CD = AB，
∴EM = AD，BM = CE，
∵△ABE的面积为8，
1
∴ ×AB×EM = 8，
2
解得：EM = 4，
即AD = DC = BC = AB = 4，
∵CE = 3，
√ √
由勾股定理得：BE = BC2+CE2 = 42+32 = 5．
4 【答案】 ∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠DAC = ∠ACB = 45∘，
∵ AC = CE，
∴ ∠E = ∠EAC，
∵ 2∠EAC = ∠E+∠EAC = ∠ACB = 45∘，
∴ ∠EAC = 22.5∘，
∴ ∠DAE = ∠DAC−∠EAC = 45∘ −22.5∘ = 22.5∘
5 【答案】4−2√2
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD = 2，BD = 2√2，∠EBD = 45∘，
∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，
∴DC′ = DC = 2，∠DC′E = ∠C = 90∘，∴BC′ = 2√2−2，∠BC′E = 90∘，
∴BE = √2BC′ = 4−2√2．
6 【答案】C
7 【答案】D
8 【答案】证明：（1）连接GE，
∵AB//CD，
∴∠AEG = ∠CGE，
∵GF//HE，
∴∠HEG = ∠FGE，
∴∠HEA = ∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D = ∠A = 90∘，
∵四边形EFGH是菱形，
AH = DG
{
∴HG = HE，在Rt △ HAE和Rt △ GDH中， ，
HE = HG
∴Rt △ HAE≌Rt △ GDH(HL)，
∴∠AHE = ∠DGH，
又∠DHG+∠DGH = 90∘，
∴∠DHG+∠AHE = 90∘，
∴∠GHE = 90∘，
∴菱形EFGH为正方形．
9 【答案】C
10 【答案】A
【解析】连接CD交OB于P，则CD就是PD+PA和的最小值．
∵在直角△OCD中，∠COD=90°，OD=2，OC=6，
√
∴CD= 22+62 =2√10，
∴PD+PA=PD+PC=CD=2√10．
∴PD+PA和的最小值是2√10．能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
课堂落实答案
1 【答案】B
【解析】矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
2 【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
∵∠B = 60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC = AB = 4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF = 4×4 = 16．
3 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B = ∠D = ∠C = 90∘，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE = AF，∠AEF = ∠AFE = 60∘，
∵∠CEF = 45∘，
∴∠CFE = ∠CEF = 45∘，
∴∠AFD = ∠AEB = 180∘ −45∘ −60∘ = 75∘，
∴ △ AEB≌ △ AFD(AAS)，
∴AB = AD，
∴矩形ABCD是正方形．
【解析】
4 【答案】C
5 【答案】（1）证明：∵正方形ABCD
∴AD = CD，∠ADP = ∠CDP = 45∘
∴ △ ADP≌ △ CDP，∴PA = PC∵PA = PE，∴PC = PE
（2）∵ △ ADP≌ △ CDP
∴∠DAP = ∠DCP
∵PA = PE
∴∠DAP = ∠E，∴∠DCP = ∠E
∵∠PFC = ∠DFE
∴∠CPE = ∠FDE = 90∘（8字模型）
能力提高 / 初二 / 春季
第 8 讲 正方形
精选精练
1 【答案】12
2 【答案】A
3 【答案】证明： ∵ 四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴ AB = AD = DC = BC，GC = EC = FG = EF，
∵ DH = CE = BK，
∴ HG = EK = BC = AD = AB，
在ΔADH和ΔABK中，
AD = AB
{
∠ADH = ∠ABK，
DH = BK
∴ ΔADH≌ΔABK(SAS)，
∴ ∠HAD = ∠BAK．
∴ ∠HAK = 90∘，
同理可得： ∴ ΔHGF≌ΔKEF≌ΔABK≌ΔADH，
∴ AH = AK = HF = FK，
∴ 四边形AKFH是正方形．
4 【答案】A
【解析】解：连接BD，与AC交于点F，∵点B与D关于AC对称，
∴PD = PB，
∴PD+PE = PB+PE = BE最小．
∵正方形ABCD的面积为4，
∴AB = 2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE = AB = 2，
∴所求最小值为2．
5 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC = CD，∠ACB = ∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
BC = CD
{
∠ACB = ∠ACD，
PC = PC
∴△PBC≌△PDC(SAS)，
∴PB = PD，
∵PE = PB，
∴PE = PD；
（2）判断∠PED = 45∘．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD = 90∘，
∵△PBC≌△PDC，
∴∠PBC = ∠PDC，
∵PE = PB，
∴∠PBC = ∠PEB，
∴∠PDC = ∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC = 180∘，
∴∠PDC+∠PEC = 180∘，
在四边形PECD中，∠EPD = 360∘ −(∠PDC+∠PEC)−∠BCD
= 360∘ −180∘ −90∘ = 90∘
又∵PE = PD，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴∠PED = 45∘．
6 【答案】解：（1）在正方形ABCD中，BC＝DC，∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵∠PBC＝α，
∴∠DBP＝45°﹣α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO＝BO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴∠EOP＝∠EBO+∠BEO＝90°﹣2 α；
（2）连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
1
∴CO＝BO = BP，
2
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠COP＝2 α，
由（1）知∠EOP＝90°﹣2α，
∴∠EOC＝∠COP+∠EOP＝90°，
又由（1）知BO＝EO，
∴EO＝CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2 +OC2 ＝EC2
，
√2
∴EC = √2OC = BP，
2
即BP = √2EC，∴BP = √2AE．
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
例题练习题答案
例1 【答案】解：（1）π ；r和S （2）180∘和−2；m和n
（3）C
练1.1 【答案】B
练1.2 【答案】D
例2 【答案】D
练2.1 【答案】B
例3 (1)【答案】①②④⑥⑧
(2)【答案】A
练3.1 【答案】B
例4 【答案】解：（1）∵等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm，
∴2x+y＝10，
∴y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）；
（2）当y＝3时，3＝10﹣2x，
解得：x＝3.5．
练4.1 【答案】h = 20−5t，0 ≤ t ≤ 4
练4.2 (1)【答案】x = 5 时，y＝|x−1| +2=|5−1|+2 = 6
(2)【答案】y = 5 时，|x−1| +2=5 ⇒ |x−1| = 3 ⇒ x−1 = ±3 ⇒ x = 4或x = −2
例5 【答案】（1）图象如图：（2）
3 3
把x = − 代入y = −x = ，所以A在图象上；
2 2
把x = 0代入y = −x = 0，所以B在图象上；
3 3
把x = 代入y = −x = − ，所以C在图象上.
2 2
练5.1 【答案】 解：函数y＝2x﹣4与坐标轴的坐标为（0，﹣4）（2，0），描点即可，如图所示；
根据图象得出A点不在直线y＝2x﹣4的图象上，B点在直线y＝2x﹣4的图象上．
例6 【答案】C
练6.1 【答案】D
练6.2 【答案】B
【解析】解：观察图象知甲乙两地相距300千米，故A选项正确；
相遇时快车行驶了300-100=200千米，故B选项错误；
慢车的速度为300÷6=50千米/小时，故C选项正确；
快车出发后3小时到达乙地，故D选项正确．
故选：B．
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
自我巩固答案
1 【答案】D2 【答案】B
3 【答案】A
4 【答案】D
【解析】解：根据函数的定义可知，只有D不能表示函数关系．
故选：D．
5 【答案】A
【解析】解：根据题意得：x≥0且x+1≠0，
解得x≥0，
故选：A．
6 【答案】B
【解析】 1
解：x = 2时，y = ×2+1 = 1+1 = 2．
2
故选：B．
7 【答案】解：（1）∵矩形周长为18，设其中一边长为x，另一边长为y，
∴2(x+y) = 18，
则y = 9−x；
（2）由题意可得：9−x > 0，x > 0
解得：0 < x < 9．
8 【答案】A
【解析】解：①离家至轻轨站，y由0缓慢增加；
②在轻轨站等一会，y不变；
③搭乘轻轨去奥体中心，y快速增加；
④观看比赛，y不变；
⑤乘车回家，y快速减小．
结合选项可判断A选项的函数图象符合小华的行程．
故选：A．
9 【答案】D10 【答案】
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】B
3 【答案】A
4 【答案】1
【解析】
5 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 9 讲 函数初步
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】D
【解析】解：（1）三角形面积与它的底边（高为定值），对于底边的每一个取值，面积都有唯一
确定的值，故（1）正确；
（2）x-y=3中的x与y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故（2）正确；（3）圆的面积与圆的半径，对于半径的每一个取值，面积都有唯一确定的值，故（3）正
确；
（4）y=|x|中的x与y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故（4）正确；
故选：D．
3 【答案】3
4 【答案】A
【解析】解：根据题意得，x-1≥0且x-3≠0，
解得x≥1且x≠3．
故选：A．
5 【答案】A
6 【答案】B
【解析】由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米，故①正确；
由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，相遇时两车之间的距离为0，相遇后两车
之间的距离开始增大直到快车到达甲地，之后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知相
遇后快车又经过3个小时到达甲地，此段路程慢车需要行驶4个小时，因此慢车和快车的速
度之比为3：4，故②错误；
∴设慢车速度为3xkm/h，快车速度为4xkm/h，
∴(3x+4x)×4 = 560，x = 20，
∴快车的速度是80km/h，慢车的速度是60km/h．
由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60 = 240km，故④错误；
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240−3×60 = 60km，
故③正确．
故选：B．
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
例题练习题答案
例1 【答案】−2
【解析】 2
∵函数y = (m−2)xm −3 是正比例函数，
∴m2−3 = 1，m−2 ≠ 0，
解得：m = ±2，m ≠ 2，
故m = −2．
故答案为：−2．练1.1 【答案】B
例2 【答案】B
练2.1 【答案】C
例3 【答案】二、四；减小
练3.1 【答案】k > 3
【解析】因为正比例函数y = (k−3)x的图象经过第一、三象限，
所以k−3 > 0，
解得：k > 3．
例4 【答案】D
练4.1 【答案】m ≠ −2，n为任意实数；m ≠ −2且n = 1
例5 【答案】D
【解析】A、k = 1 > 0，y随x的增大而增大，所以A选项错误；
B、k = 0.5 > 0，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、k = 3 > 0，y随x的增大而增大，所以C选项错误；
D、k = −2 < 0，y随x的增大而减小，所以D选项正确．
故选：D．
练5.1 【答案】D
例6 (1)【答案】三
(2)【答案】a < −5
练6.1 (1)【答案】C
(2)【答案】<；<
例7 【答案】>
练7.1 【答案】<
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
自我巩固答案
1 【答案】B
2 【答案】A
【解析】解：A、函数y＝2x中的k＝2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项符合题意；
B、函数y＝2x中的k＝2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、函数y＝2x中的k＝2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；D、函数y＝2x中的k＝2＞0，则其图象经过第一、三象限，故本选项不符合题意；
故选：A．
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】D
6 【答案】C
7 【答案】B
【解析】观察图象可得，一次函数y = kx+b的图象过一、三、四象限；
故k > 0，b < 0；
故选：B．
8 【答案】D
9 【答案】D
10 【答案】A
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
课堂落实答案
1 【答案】A
2 【答案】A
3 【答案】B
【解析】A、不是一次函数，故此选项错误；
B、是一次函数，故此选项正确；
C、不是一次函数，故此选项错误；
D、不是一次函数，故此选项错误；
故选：B．
4 【答案】C
5 【答案】＞
能力提高 / 初二 / 春季
第 10 讲 一次函数的图象与性质
精选精练1 【答案】1
【解析】 解：∵函数y＝(2m−1)x3m−2
是正比例函数，
∴3m−2＝1，
解得：m＝1．
故答案为：1．
2 【答案】-1
3 【答案】如图
1
把x = −2代入y = x = −1，所以P(−2,3)不在图象上，
2
1
把x = 4 代入y = x = 2，所以Q(4,2)在图象上．
2
4 【答案】 1
是，k = ，b=−1
2
5 【答案】D
6 【答案】B
【解析】解：由图象可得：a > 0，b > 0，c < 0，d < 0，
且a > b，c > d，
故选：B．
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
例题练习题答案
例1 【答案】C
【解析】A、当x = −5时，y = −2x+3 = 13，点在函数图象上；
B、当x = 0.5时，y = −2x+3 = 2，点在函数图象上；
C、当x = 3时，y = −2x+3 = −3，点不在函数图象上；D、当x = 1时，y = −2x+3 = 1，点在函数图象上；
故选：C．
练1.1 【答案】D
【解析】 1 1
A、将(3,1)代入解析式y = x−1得， ×3−1 ≠ 1，故本选项错误；
3 3
1 1
B、将(−3,1)代入解析式y = x−1得， ×(−3)−1 ≠ 1，故本选项错误；
3 3
1 1
C、将(−3,0)代入解析式y = x−1得， ×(−3)−1 ≠ 0，故本选项错误；
3 3
1 1
D、将(3,0)代入解析式y = x−1得， ×3−1 = 0，故本选项正确；
3 3
故选：D．
练1.2 【答案】D
例2 【答案】解：∵函数y = 3x−1的图象过(n,2)，
∴ 3n−1 = 2；
∴ n的值为1．
练2.1 【答案】解：∵函数y = −2x−4的图象过(a,0)，(−1,b)，
∴ −2a−4 = 0，2−4 = b；
∴ a的值为−2，b的值为−2．
例3 (1)【答案】解：令y = 0代入y = −2x+2，
∴x = 1，
∴一次函数与x轴的交点坐标为(1,0)
故答案为(1,0)
(2)【答案】解：①函数y = −x+3与坐标轴的两个交点的坐标分别为(3,0)，(0,3)
②如图：
1 9
③此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积 = ×3×3 = ．
2 2
练3.1 【答案】5
练3.2 【答案】C例4 【答案】 4 1
( )
, −
3 3
【解析】 y = 2x−3
解：联立两个一次函数的解析式有： ，
y = −x+1
4
{x =
3
解得 ；
1
y = −
3
4 1
( )
所以两个函数图象的交点坐标是 , − ．
3 3
练4.1 【答案】(2, −3)
【解析】 1
{
y = x−4
方程组 2 ，
y = −3x+3
x = 2
{
解得 ，
y = −3
所以交点坐标为(2, −3)．
故答案为：(2, −3)．
例5 【答案】 { b = 2， { k = 2，
根据题意得 解得
k+b = 4， b = 2．
所以一次函数解析式为y = 2x+2．
【解析】把(0,2)，(1,4)代入y = kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可．
练5.1 【答案】把(0,0)代入y = kx−3k+6得−3k+6 = 0，
解得k = 2．
所以一次函数为y = 2x；
故答案为2，y = 2x．
练5.2 【答案】（1）设一次函数解析式为y = kx+b(k ≠ 0)，
3k+b = 1， k = 1，
{ {
把(3,1)，(2,0)代入得 ，解得
2k+b = 0 b = −2．
所以一次函数解析式为y = x−2；
（2）当x = 6时，y = x−2 = 6−2 = 4．
例6 (1)【答案】①y = −3x−1
②y = −3x+7③y = −3x+5
(2)【答案】3 ，−3
(3)【答案】1
练6.1 【答案】①y = 2x−5 ② y = 2x−5③ y = 2x+6
【解析】①y = 2x−1−4
②y = 2(x−2)−1
③y = 2(x+3)−1+1
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
自我巩固答案
1 【答案】A
【解析】解：A、当x = 1时，y = −1，故(1, −1)在直线y = 2x−3上；
B、当x = 0时，y = −3，故(0, −2)不在直线y = 2x−3上；
C、当x = 2时，y = 1，故(2, −1)不在直线y = 2x−3上；
D、当x = −1时，y = −5，故(−1,6)不在直线y = 2x−3上．
故选：A．
2 【答案】−3
【解析】 5
将M(3,m)代入y = − x+2中，
3
m = −5+2 = −3．
3 【答案】A
【解析】把点A(2,4)代入y = kx−2中，
得2k−2 = 4，解得k = 3；
所以，y = 3x−2，
四个选项中，只有A符合y = 3×0−2 = −2．
故选：A．
4 【答案】(0,3)
【解析】当x = 0时，y = −2x+3 = 3，
∴一次函数y = −2x+3的图象与y轴的交点坐标是(0,3)．
故答案为：(0,3)．5 (1)【答案】因为点A(2，0)在函数y = kx+3的图象上，
所以2k+3 = 0，
3
解得k = − ，
2
3
∴函数解析式为y = − x+3．
2
【解析】将点代入，运用待定系数法求解即可．
(2)【答案】 3
在y = − x+3中，令y = 0，
2
3
即− x+3 = 0，
2
得x = 2，
令x = 0，得y = 3，
所以，函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0)和(0，3)
1
函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ×2×3 = 3．
2
【解析】求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据面积公式求解即可．
6 (1)【答案】(3,0)
(0,3)
(2)【答案】交点坐标(1,2)
7 【答案】B
【解析】设经过两点（0，3）和（﹣2，0）的直线解析式为y=kx+b，
3
{
{ b = 3 k = 3
则 ，解得 2，∴y= x+3；
-2k+b = 0 2
b = 3
3
A、当x=4时，y= ×4+3=9≠6，点不在直线上；
2
3
B、当x=﹣4时，y= ×（﹣4）+3=﹣3，点在直线上；
2
3
C、当x=6时，y= ×6+3=12≠9，点不在直线上；
23
D、当x=﹣6时，y= ×（﹣6）+3=﹣6≠6，点不在直线上；
2
故选：B．
8 【答案】D
【解析】∵B点在正比例函数y=2x的图象上，横坐标为1，
∴y=2×1=2，
∴B（1，2），
设一次函数解析式为：y=kx+b，
∵一次函数的图象过点A（0，3），与正比例函数y=2x的图象相交于点B（1，2），
b = 3
{
∴可得出方程组 ，
k+b = 2
b = 3
{
解得 ，
k = −1
则这个一次函数的解析式为y=﹣x+3，
故选：D．
9 【答案】（1）y = 3x+6；
（2）y = 3x+2；
（3）y = 3x−4.
【解析】（1）y = 3(x+2)；
（2）y = 3x+2；
（3）y = 3(x−3)+5 .
10 【答案】k = 1,b = 2
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
课堂落实答案
1 【答案】1
2 【答案】A(2,0)、B(0, −4)．
3 【答案】(1, −3)
4 【答案】B
5 【答案】B
【解析】解：一次函数y = 2x−3向下平移3个单位长度得到的函数解析式为y = 2x−3−3 = 2x−6
．故选：B．
能力提高 / 初二 / 春季
第 11 讲 一次函数的解析式与平移
精选精练
1 【答案】解：（1）将点(−1,4)代入解析式中求得k = 1，故函数表达式为y = −x+3
（2）将点(9, −6)代入解析式中−6 = −9+3，显然成立，故在此函数图象上．
2 (1)【答案】列表：
x 0 4
1
y = − x+2 2 0
2
描点，连线：
(2)【答案】 1
在一次函数y = − x+2中，
2
令y = 0，则x = 4；令x = 0，则y = 2，
∴ A(4,0)，B(0,2)．
(3)【答案】由A(4,0)，B(0,2)，可得AO = 4，BO = 2，
1
∴△AOB的面积 = ⋅AO⋅BO = 4．
2
3 【答案】D
4 【答案】 { 2k+b = 0，
由已知条件，得
b = 2，
k = −1,
{
解得
b = 2．
∴一次函数解析式为y = −x+2，∵一次函数y = −x+2过点C(m,3)，
∴3 = −m+2，
∴m = −1．
【解析】将两个已知点A(2,0)，B(0,2)分别代入y = kx+b，分别求出k、b的解析式，再将未知点
C(m,3)代入一次函数解析式，求出m的值．
5 【答案】因为一次函数的增减性与k的符号有关，所以此题应分为两种情况进行讨论：
x = −1 x = 3
{ {
（1）当k > 0时，y随着x的增大而增大，因此把 ， 代入解析式得：
y = 2 y = 4
−k+b = 2
{
，
3k+b = 4
1
{k =
2
解方程组得： ，
5
b =
2
1 5
∴解析式为y = x+ ；
2 2
（2）当k < 0时，y随着x的增大而减小，
x = −1 x = 3
{ {
因此把 ，与 ，
y = 4 y = 2
−k+b = 4
{
代入解析式得 ，
3k+b = 2
1
{k = −
2
解方程组得： ，
7
b =
2
1 7
所以解析式为y = − x+ ．
2 2
【解析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为−1 ≤ x ≤ 3时，值域为2 ≤ y ≤ 4，进行
分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．
6 【答案】 （1）y = x−7
（2）y = 4x−3
（3）y = 2x−1能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
例题练习题答案
例1 【答案】 1
x = −
2
练1.1 【答案】C
例2 (1)【答案】−2．
【解析】解：∵直线y = 3x+b 与y = ax−2 的交点的横坐标为−2，
∴当x = −2时，3x+b = ax−2，
∴关于x的方程 3x+b = ax−2 的解为x = −2．
(2)【答案】B
练2.1 【答案】(−2,3)
练2.2 【答案】C
【解析】 x−2y = 4 1
{
解方程组 的两个方程可以转化为：y = x−2和y = −2x+4；
2x+y = 4 2
只有C符合这两个函数的图象．
故选：C．
例3 【答案】D
练3.1 【答案】x > 2
【解析】由图象可得：关于x的不等式kx+b > 2的解集应是x > 2；
故答案为：x > 2
例4 【答案】x < 2
【解析】解：当x < 2时，直线y = −x+5在直线y = kx+b的上方，
所以不等式−x+5 > kx+b的解集为x < 2．
练4.1 【答案】x＜2
【解析】解：将点A(0,4)代入一次函数y = −x+b
1
得：0+b = 4，
解得：b = 4，
故函数解析式为y = −x+4；
1
将点B(1,0)代入y = kx−2
2得：k−2 = 0，
解得：k = 2，
故函数解析式为y = 2x−2，
2
再将y = −x+4和y = 2x−2组成方程组
1 2
y = −x+4
{
得： ，
y = 2x−2
x = 2
{
解得： ．
y = 2
故两函数图象交点坐标为(2,2)．
于是可知，使y > y 成立的自变量x的取值范围是x < 2．
1 2
故答案为：x < 2．
例5 (1)【答案】(3,0)
(0,3)
(2)【答案】交点坐标(1,2)
(3)【答案】1 < x < 3
练5.1 (1)【答案】 ∵ 直线y = kx+b经过点A(5,0),B(1,4),
5k+b = 0
{
∴ ,
k+b = 4
k = −1
{
解得 ,
b = 5
∴ 直线AB的解析式为:y = −x+5;
(2)【答案】 ∵ 若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C,
y = −x+5
{
∴ ,
y = 2x−4
x = 3
{
解得 ,
y = 2
∴ 点C(3,2);
(3)【答案】根据图象可得x ≥ 3.
例6 (1)【答案】解:把x = 0,代入y = 2x+3,得y = 3
∴ A(0,3)
把x = 0代入y = −2x−1,得y = −1
∴ B(0, −1)(2)【答案】由题意得方程组 ,
y = 2x+3
{
,
y = −2x+1
x = −1
{
解之得 ,
y = 1
∴ C(−1,1)
(3)【答案】由题意得AB = 4,点C到AB边的高为1,
1
∴ S = ×4×1 = 2.
△ABC
2
练6.1 【答案】 2
（1）把x = 0代入y = x+4得：
3
y = 4，
即点B的坐标为：(0,4)，
2
把y = 0代入y = x+4得：
3
2
x+4 = 0
3
解得：x = −6，
即点A的坐标为：(−6,0)，
1
S = ×6×4 = 12，
△AOB
2
即△AOB的面积为12，
（2）根据题意得：
点B到AC的距离为4，
1
S = ×4AC = 16，
△ABC
2
解得：AC = 8，
即点C到点A的距离为8，
−6−8 = −14，−6+8 = 2，
即点C的坐标为：(−14,0)或(2,0)．
【解析】
能力提高 / 初二 / 春季第 12 讲 一次函数进阶
自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】∵一次函数y = −2x+3的图象和y = kx−b的图象相交于点A(m,1)，
∴1 = −2m+3，
解得：m = 1，
∴A(1,1)，
2x+y = 3 x = 1
{ {
∴二元一次方程 的解为 ，
kx−y = b y = 1
故选：C．
2 【答案】D
【解析】根据给出的图象上的点的坐标，(0, −1)、(1,1)、(0,2)；
分别求出图中两条直线的解析式为y = 2x−1，y = −x+2，
x+y−2 = 0
{
因此所解的二元一次方程组是 ．
2x−y−1 = 0
故选：D．
3 【答案】D
4 【答案】A
【解析】当x > −1时，x+b > kx−1，
即不等式x+b > kx−1的解集为x > −1．
故选：A．
5 【答案】D
6 【答案】B
7 (1)【答案】解：∵一次函数y ＝kx+b与y＝−2x的图象平行 且过A(2,0)，
1
∴k＝−2，2k+b＝0，
∴b＝4，
∴一次函数的表达式为y ＝−2x+4；
1
(2)【答案】解：如图，y = x+1
{
解方程组
y = −2x+4
x = 1
{
得 ，
y = 2
所以一次函数y ＝kx+b与y = x+1图象的交点坐标为(1,2)；
1 2
(3)【答案】解：x＜1．
8 (1)【答案】解：当x = 0时，y = 4；当y = 0时，x = −2，
∴A(0,4)，B(−2,0)，
作直线AB：
由图象得：方程2x+4 = 0的解为：x = −2；
(2)【答案】解：由图象得：不等式2x+4＜0的解为：x＜−2；
(3)【答案】解：由图象得：−2≤y≤6，x的取值范围为：−3 ≤ x ≤ 1．
9 (1)【答案】解：∵直线y = −2x+10与y轴交于点A，
∴A(0,10)．
设直线AD的解析式为y = kx+b，
∵直线AD过A(0,10)，C(−2,8)，
b = 10 k = 1
{ {
∴ ，解得 ，
−2k+b = 8 b = 10
∴直线AD的解析式为y = x+10．(2)【答案】解：∵直线y = −2x+10与x轴交于点B，
∴B(5,0)，
∵直线AD与x轴交于点D，
∴D(−10,0)，
∴BD = 15，
∵A(0,10)，
1 1
∴△ABD的面积 = BD⋅OA = ×15×10 = 75．
2 2
【解析】
10 【答案】解：（1）∵A(−6,0)，
∴OA = 6，
∵OA = 2OB，
∴OB = 3，
∵B在y轴正半轴，
∴B(0,3)，
∴设直线l 解析式为：y = kx+3(k ≠ 0)，
1
A(−6,0)在此图象上，代入得
6k+3 = 0，
1
解得k = ．
2
1
∴y = x+3；
2
BC×AO
（2）∵S
△ABC
= = 6，
2
∵AO = 6，
∴BC = 2，
∴C(0,5)或(0,1)．
【解析】
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
课堂落实答案1 【答案】A
2 【答案】C
【解析】当x > 1时，x+b > kx+4，
即不等式x+b > kx+4的解集为x > 1．
故选：C．
3 【答案】{ x = 3
y = 4
【解析】函数y = kx+b与y = mx+n的图象，
同时过(3,4)，因此x = 3，y = 4，
同时满足两个函数的解析式，
y = kx+b x = 3
{ {
∴方程组 的解是 ．
y = mx+n y = 4
4 【答案】B
【解析】解：在y = x+3中，令y = 0，得x = −3，
y = x+3 x = −1
{ {
解 得， ，
y = −2x y = 2
∴A(−3,0)，B(−1,2)，
1
∴ △ AOB的面积 = ×3×2 = 3．
2
5 【答案】 { 0+b = 3
解：（1）将A，B代入得： ，
3k+b = 0
k = −1
{
解得 ，
b = 3
∴y = −x+3，
1
联立方程组得−x+3 = 2x，
解得x = 1，
∴P(1,2)；
（2）如图所示：当y > y 时，x的取值范围为x < 1；
1 21 1
| |
（3）∵S = ⋅BQ⋅ y = ⋅BQ×2 = 8，
△PQB P
2 2
∴BQ = 8，
∴Q点坐标为(−5,0)，Q(11,0)．
【解析】
能力提高 / 初二 / 春季
第 12 讲 一次函数进阶
精选精练
1 【答案】−1 < x < 0
【解析】解：∵y = kx+b的图象经过点P(1,m)，
∴k+b = m，
当x = −1时，kx−b = −k−b = −(k+b) = −m，
即(−1, −m)在函数y = kx−b的图象上．
又∵(−1, −m)在y = mx的图象上．
∴y = kx−b与y = mx相交于点(−1, −m)．
则函数图象如图．
则不等式−b < kx−b < mx的解集为−1 < x < 0．
故答案是：−1 < x < 0．2 【答案】A
3 【答案】D
4 (1)【答案】①x = 2；②x ≤ 2；③x > 2；④x ≤ 0.
(2)【答案】x > 1；
(3)【答案】A
5 【答案】解：（1）当x = 1时，y = 3x = 3，
∴点C的坐标为(1,3)．
将A(−2,6)、C(1,3)代入y = kx+b，
−2k+b = 6
{
得： ，
k+b = 3
k = −1
{
解得： ．
b = 4
（2）当y = 0时，有−x+4 = 0，
解得：x = 4，
∴点B的坐标为(4,0)．
设点D的坐标为(0,m)(m < 0)，
1 1 1 1
∵S = S ，即− m = × ×4×3，
△COD △BOC
3 2 3 2
解得：m = −4，
∴点D的坐标为(0, −4)．
【解析】
6 【答案】 3
（1）
4
9
（2）S = x+18(−8 < x < 0)
4
4 44
（3）能；(− ,5)或(− , −5)
3 3【解析】（1）点E的坐标为(−8,0)，且在直线y = kx+6上，则−8k+6 = 0，
3
解得，k = ；
4
（2） ∵ 点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点，
3
∴ y = x+6，
4
1 3 9
∴ S = ×6×( x+6) = x+18(−8 < x < 0)；
2 4 4
1 3
（3）当点P在x轴的上方时，由题意得， ×6×( x+6) = 15，
2 4
9
整理，得 x+18 = 15，
4
4
解得，x = − ，
3
3 4
则y = ×(− )+6 = 5．
4 3
4
此时点P的坐标是(− ,5)；
3
44
当点P在x轴的下方时，y = −5，此时x = −
3
4 44
综上所述，ΔOPA的面积是15时，点P的坐标为(− ,5)或(− , −5)．
3 3
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合
例题练习题答案例1 【答案】 12 4
（1）平均速度 = = km/ min ；
9 3
（2）从9分到16分，路程没有变化，停车时间t = 16−9 = 7min．
（3）设函数关系式为S = kt+b，
将(16,12)，C(30,40)代入得，
16k+b = 12
{
，
30k+b = 40
k = 2
{
解得 ．
b = −20
所以，当16 ≤ t ≤ 30时，求S与t的函数关系式为S = 2t−20．
【解析】
练1.1 【答案】D
例2 【答案】 4
解：（1）∵30﹣15＝15，4÷15 = ，
15
4
∴小明在图书馆查阅资料的时间和小明返回学校的速度分别是15分钟， 千米/分钟．
15
（2）由图象可知，s是t的正比例函数
设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0）
代入（45，4），得
4＝45k
4
解得k = ，
45
4
故s与t的函数关系式s = t（0≤t≤45）．
45
（3）由图象可知，小明在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为
s＝mt+n（m≠0）
30m+n = 4
{
代入（30，4），（45，0），得 ，
45m+n = 0
4
{
m = −
解得 15．
n = 12
4
∴s = − t+12（30≤t≤45）
154 4 135
令− t+12 = t，解得t =
15 45 4
135 4 135
当t = 时，S = × = 3．
4 45 4
答：当小明和小红迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
练2.1 【答案】C
练2.2 【答案】解：（1）由图可知，
A、B两城相距300千米；
（2）设甲对应的函数解析式为：y＝kt，
300＝5k，
解得，k＝60，
即甲对应的函数解析式为：y＝60t (0 ≤ t ≤ 5)
设乙对应的函数解析式为y＝mt+n，
m+n = 0
{
4m+n = 300
解得：m＝100，n＝−100，
即乙对应的函数解析式为y＝100t−100(1 ≤ t ≤ 4)
y = 60t t = 2.5
{ {
（3）解方程组 得： ，
y = 100t−100 y = 150
2.5−1＝1.5，
即乙车出发后1.5小时追上甲车．
例3 (1)【答案】y = 4000x(x ≥ 0)；
1
y = 3000x+4000(x ≥ 0)；
2
【解析】根据题意可以直接得到y 与y 的函数关系式；
1 2
(2)【答案】由4000x = 3000x+4000，解得x = 4，
因此当学校添置4台计算机时，两种方案的费用相同；
【解析】构建方程即可解决问题
(3)【答案】当x = 50时，y = 4000×50 = 200000； y = 3000×50+4000 = 154000，
1 2
因为154000 < 200000，所以采用方案2较省钱．
【解析】分别求出x = 50时的函数值即可判断．
练3.1 【答案】（1）当游泳次数为x时，
方式一费用为：y ＝30x+200，
1
方式二的费用为：y ＝40x；
2（2）由y ＜y 得：30x+200＜40x，
1 2
解得x＞20时，
当x＞20时，选择方式一比方式二省钱．
练3.2 (1)【答案】解：设甲库运往A地水泥x吨，则甲库运到B地(100−x)吨，乙库运往A地（70-x）
吨，乙库运到B地[80−(70−x)] = (10+x)吨，
w = 12×20x+10×25(100−x)+12×15(70−x)+8×20(10+x) = −30x+39200(0 ≤ x
，
∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w = −30x+39200(0 ≤ x ≤ 70)，
∵一次函数中w = −30x+39200中，k = −30 < 0，
∴w的值随x的增大而减小，
∴当x = 70吨时，总运费w最省，
最省的总运费为：−30×70+39200 = 37100（元），
答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，
总运费最省为37100元；
【解析】根据题意和表格中的数据可以得到w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最
小；
(2)【答案】解：由题意可得，
w = −30x+39200 ≤ 38000，
解得，x ≥ 40，
∵0 ≤ x ≤ 70，
∴40 ≤ x ≤ 70，
∴满足题意的x值为40，50，60，70，
即总共有4种方案．
【解析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据（1）中的x的取值范围，即可得到共有几
种运送方案．
例4 【答案】2 2018
【解析】解：OA ＝1＝2 0 ，
1
则A B ＝1，OA ＝2＝2 1 ，
1 1 2
则A B ＝2，则A A ＝2，则OA ＝1+1+2＝4＝2 2 ，
2 2 2 3 3
A B ＝OA ＝4，则OA ＝8＝2 3 ，
3 3 3 4
…
则OA ＝2 2018 ，
2019
2018
故答案为：2 ．练4.1 【答案】√3 4
2n−2
×( )
6 3
【解析】 √3
解：直线l：y = x+1，
3
当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x = −√3
∴A（−√3，0）A （0，1）
1
∴∠OAA ＝30°
1
又∵A B ⊥l，
1 1
∴∠OA B ＝30°，
1 1
√3 √3
在Rt△OA B 中，OB = •OA = ，
1 1 1 1
3 3
1 √3
∴S = OA ⋅OB = ；
1 1 1
2 6
4 4 √3
同理可求出：A B = ，B B = × ，
2 1 1 2
3 3 3
1 1 4 4 √3 √3 4
( )
2
∴S = A B ⋅B B = × × × = ×( ) ；
2 2 1 1 2
2 2 3 3 3 6 3
√3 4
4
依次可求出：S = ×( ) ；
3
6 3
√3 4
6
S = ×( ) ；
4
6 3
√3 4
8
S = ×( ) ⋯⋯
5
6 3
√3 4
2n−2
因此：S n = ×( )
6 3
√3 4
2n−2
故答案为： ×( ) ．
6 3
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合自我巩固答案
1 【答案】C
【解析】（2）（3）（4）对
2 【答案】B
3 (1)【答案】根据函数图象可知，B出发时与A相距10千米，
故答案为：10；
【解析】根据函数图象可以直接看出B出发时与A相距的路程；
(2)【答案】根据函数图象可知，走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是
1.5−0.5 = 1小时，
故答案为：1；
【解析】根据函数图象可以得到走了一段路后，自行车发生故障进行修理所用的时间；
(3)【答案】3
(4)【答案】根据函数图象可知直线l 经过点(0,10)，(3,25)．
A
b = 10
{
设直线l 的解析式为：S = kt+b，则
A
3k+b = 25
解得，k = 5，b = 10
即A行走的路程S与时间t的函数关系式是：S = 5t+10(t ≥ 0)；
【解析】根据直线l 经过点(0,10)，(3,25)可以求得它的解析式；
A
(5)【答案】设直线l 的解析式为：S = kt，
B
∵点(0.5,7.5)在直线l 上，
B
∴7.5 = k×0.5
得k = 15
∴S = 15t．
S = 5t+10
{
∴
S = 15t
解得S = 15，t = 1．
故若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，1小时时与A相遇．
【解析】根据函数图象可以求得l 的解析式与直线l 联立方程组即可求得相遇的时间．
B A
4 (1)【答案】l 是描述小凡的运动过程．
1
理由：因为小凡在路边超市买了一些学习用品，需要停留一段时间，此时间段小凡距
学校的路程没有变化，所以l 是描述小凡的运动过程．
1
【解析】根据小凡在中途停留一段时间，结合函数图象即可得出结论；(2)【答案】观察两函数图象，发现：小凡先出发，比小光先出发了10分钟．
【解析】观察函数图象的t（时间）轴，根据出发时间不同即可得出结论；
(3)【答案】60−50 = 10（分钟），
所以小光先到达图书馆，比小凡先到了10分钟．
【解析】当s=5千米时，将两函数对应的t（时间）做差，即可得出结论；
(4)【答案】 60−30
小凡的平均速度为：5÷ = 10（千米/小时），
60
40
小光的平均速度为：5÷ = 7.5（千米/小时）．
60
答：小凡从学校到图书馆的平均速度是10千米/小时，小光从学校到图书馆的平均速
度是7.5千米/小时．
【解析】根据“速度=路程÷时间”结合两函数图象，即可求出小凡与小光的速度．
5 【答案】解：（1）设招聘甲工种工人x名，则设招聘乙工种工人(150−x)名，
150−x ≥ 2x
{
依题意得： ，
x ≥ 0
解得：0 ≤ x ≤ 50；
设每月所支付工人工资y元，则
y = 600x+1000(150−x)
= −400x+150000(0 ≤ x ≤ 50)；
（2）因为k = −400 < 0，所以一次函数y随x的增大而减少，
所以当x = 50时，y有最少值
y = −400x+150000
= −400×50+150000
= 130000（元），
故招聘甲工种工人50名，则招聘乙工种工人(150−50) = 100（名），
答：招聘甲、乙工种工人各50名，100名，支付工人工资的最少值为130000元．
【解析】（1）根据题中不等关系是：甲、乙两种工种的工人共150人，乙工种的人数不少于甲工种
人数的2倍，据此列出不等式组并解答，
（2）利用一次函数的增减性求出总工资最少时甲、乙工种的工人数．
6 (1)【答案】解:由题意可得,
w = 400(10−x)+800(2+x)+300x+500(6−x) = 200x+8600.10−x ⩾ 0
{
2+x ⩾ 0
由 解得0 ⩽ x ⩽ 6.
x ⩾ 0
6−x ⩾ 0
(2)【答案】由题意200x+8600 ⩽ 9000,
解得x ⩽ 2,
∴ x = 0或1或2
∴ 有三种调运方案:①B市运往C市的联合收割机为0台,B市运往D市的联合收割机为6
台,A市运往C市的联合收割机为10台,A市运往D市的联合收割机为2台;
②B市运往C市的联合收割机为1台,B市运往D市的联合收割机为5台,A市运往C市的联
合收割机为9台,A市运往D市的联合收割机为3台;
③B市运往C市的联合收割机为2台,B市运往D市的联合收割机为4台,A市运往C市的联
合收割机为8台,A市运往D市的联合收割机为4台.
(3)【答案】 ∵ w = 200x+8600,
∵ 200 > 0,
∴ w随x的增大而增大,
∵ 0 ⩽ x ⩽ 6,
∴ x = 0时,w最小,最小值为8600元.
7 【答案】解：（1）30元；
（2）设y = kt+b过(400,30)，(500,70)，
代入解得y = 0.4t−130(t > 400)．
30(0 ≤ t ≤ 400)
{
（3）甲公司：y = ，
0.4x−130(t > 400)
2×0+0.1×1+0.9×1 t
乙公司：y = 50+ t = 50+ ，
4 4
t
由于t > 400，0.4t−130 ≥ 50+ ，解得t ≥ 1200，
4
答：t不少于1200分钟时，乙通讯公司比入甲公司更合算．
8 【答案】C
【解析】解：∵点A 的坐标是(1,0)
1
∴OA = 1
1
∵点B 在直线y = √3x上
1
∴A B = √3
1 1∴OB = 2
1
∴OA = 2
2
得出OA = 23−1 = 22 = 4
3
∴OA = 26−1 = 25 = 32
6
∴A 的坐标是(32,0)．
6
9 【答案】A
【解析】 √3
解：直线y = x，点A 坐标为（1，0），过点A 作x轴的垂线交 直线于点B 可知B 点
1 1 1 1
3
√3
的坐标为（1， ），
3
以原O为圆心，OB 长为半径画弧x轴于点A ，OA ＝OB ，
1 2 2 1
√
√3 2√3 2√3
2
OA = 1+( ) = ，故点A 横坐标为 ，
2 2
3 3 3
2√3 2 4
按照这种方法可求得B 的坐标为（ ， ），故点A 坐标为 ，
2 3
3 3 3
2√3
n−1
以此类推便可求出点A n的横坐标为( ) ．
3
10 【答案】解：y＝x+2交y轴于点A ，
1
∴A （0，2），
1
∵△A OB 是等腰直角三角形，
1 1
∴B （2，0），
1
∵若△A OB ，△A B B ，△A B B ，…均为等腰直角三角形，
1 1 2 1 2 3 2 3
∴A （2，4），B （6，0），A （6，8），B （14，0），…
2 2 3 3
1 1
∴S = ×2×2 = 2 1 ，S = ×4×4 = 2 3 ，
△A OB △A B B
1 1 2 1 2
2 2
1
S = ×8×8 = 2 5 ，…，S = 2 2n﹣1 ，
△A B B △A B B
2 1 2 n n−1 n
2
∴△A B B 的面积为＝2 4037 ．
2019 2018 2019
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合课堂落实答案
1 【答案】D
2 【答案】A
3 【答案】C
4 【答案】C
【解析】解：对于直线y＝x+2，令x＝0，求出y＝2，即A （0，2），
0
∵A B ∥x轴，∴B 的纵坐标为2，
0 1 1
将y＝2代入y＝0.5x+1中得：x＝2，即B （2，2），
1
∴A B ＝2＝2 1 ，
0 1
∵A B ∥y轴，∴A 的横坐标为2，
1 1 1
将x＝2代入直线y＝x+2中得：y＝4，即A （2，4），
1
∴A 与B 的纵坐标为4，
1 2
将y＝4代入y＝0.5x+1中得：x＝6，即B （6，4），
2
∴A B ＝4＝2 2 ，
1 2
同理A 2 B 3 ＝8＝2 3 ，…，A n﹣1 B n＝2 n ，
则A B 的长为2 8 ＝256．
7 8
5 【答案】 22016 22016
（ ，− ）
3 3
【解析】 1
解：由题意得：A ，B 的纵坐标相同，即y = − ，
1 1 B
1
3
1 1
( )
B 在直线y = ﹣x上，则点B , − ，
1 1
3 3
故各个点B横、纵坐标大小相等，符号相反，
2 4 8
同理可得：B ，B ，B 纵坐标分别为：− ，− ，− ，
2 3 4
3 3 3
22016
故B 的纵坐标为− ，
2017
3
(22016 22016
)
所以B 的坐标为（ , − ．
2017
3 3
能力提高 / 初二 / 春季
第 13 讲 一次函数综合精选精练
1 (1)【答案】设甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为：
y = kx+b ，
∵点(0,15) 和点(1,10) 在此函数的图象上，
15 = b
{
∴
10 = k+b
解得k = −5 ，b = 15 ．
∴y = −5x+15(0 ≤ x ≤ 1.2)．
即甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为：
y = −5x+15(0 ≤ x ≤ 1.2)．
【解析】根据函数图象可知点(0,15)和点(1,10)在甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时
间x（h）之间的函数图象上，从而可以解答本题；
(2)【答案】设乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y = kx ，
将(1,15)代入可得k = 15 ，
∴乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y = 15x(0 ≤ x ≤ 1)，
y = −5x+15
{
∴
y = 15x
解得x = 0.75 ．
即第一次相遇时间为0.75 h．
【解析】根据函数图象可以分别求得甲乙刚开始两端对应的函数解析式，联立方程组即可求得
第一次相遇的时间；
(3)【答案】乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km．
【解析】设甲休息了0.6小时后仍按原速继续行走对应的函数解析式为：y = kx+b．
将x = 1.2代入y = −5x+15得，y = 9．
∵点(1.8,9)，(3.6,0)在y = kx+b上，
1.8k+b = 9
{
∴ ，
3.6k+b = 0
解得k = −5，b = 18．
∴y = −5x+18(1.8 ≤ x ≤ 3.6)．
将x = 2.2代入y = −5x+18，得y = 7．
即乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km．
2 (1)【答案】由题意，可知96t+s = 2400，即s = −96t+2400．
2 2
(2)【答案】由题意，可知A(10,2400)，B(12,2400)，D(22,0)．设直线BD的函数关系式为s = kt+b，
1
12k+b=2400 k=−240
{ {
∴ ∴ ∴s = −240t+5280．
1
22k+b = 0 b = 5280
当s = s 时，−240t+5280 = −96t+2400．解得t = 20．
1 2
∴小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸．
3 (1)【答案】10
50
(2)【答案】解：由表格可得，
当0 < t ≤ 25时，y = 7，
A
当t > 25时，y = 7+(x−25)×0.01×60 = 0.6x−8，
A
7 0 < x ≤ 25
即y 与x之间的函数关系式是y = {
A A
0.6x−8 x > 25
(3)【答案】某同学每月上网学习时间为70小时,那么选择B种方式上网学习合算;
理由:设当x > 50时,y 与x之间的函数关系式是y = kx+b,
B B
50k+b = 10
{ ,
75k+b = 25
k = 0.6
得{ ,
b = −20
∴ 当x > 50时,y 与x之间的函数关系式是y = 0.6x−20,
B B
∴ 当x = 70时,y = 0.6×70−8 = 34,
A
当x = 70时,y = 0.6×70−20 = 22,
B
∵ 34 > 22,
∴ 某同学每月上网学习时间为70小时,那么选择B种方式上网学习合算.
4 【答案】( 2√3 )
( )2019
0,
3
【解析】解：直线l ，l ，l ，l ，
1 2 3 4
∴x轴，l ，l ，y轴l ，l ，依次相交成30∘角，
1 2 3 4
各点的位置12个一循环，
∵2020 = 12×168+4，
∴点A 的位置在y轴正半轴上，
20202√3
(
2√3
)2 (
2√3
)3 (
2√3
)n−1
OA = 1，OA = ，OA = ，OA = ，…，OA = ，
1 2 3 4 n
3 3 3 3
( 2√3 )
( )2019
∴A 0, ．
2020
3
5 【答案】 ( 47,16√3 )
【解析】解：∵OA = 1，
1
∴OC = 1，
1
∴∠C OA = ∠C A A = ∠C A A = ⋯ = 60∘，
1 1 2 1 2 3 2 3
√3 1
∴C 的纵坐标为：sin60∘ ⋅OC = ，横坐标为cos60∘ ⋅OC = ，
1 1 1
2 2
1 √3
( )
∴C , ，
1
2 2
∵四边形OA B C ，A A B C ，A A B C ，…，都是菱形，
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
∴A C = 2，A C = 4，A C = 8，…，
1 2 2 3 3 4
√3 √3
∴C 的纵坐标为：sin60∘ ⋅A C = √3，代入y = x+ 求得横坐标为2，
2 1 2
3 3
( )
∴C 2,√3 ，
2
√3 √3
C 的纵坐标为：sin60∘ ⋅A C = 2√3，代入y = x+ 求得横坐标为5，
3 2 2
3 3
∴C ( 5,2√3 ) ，
3
( )
∴C 11,4√3 ，
4
( )
C 23,8√3 ，
5
∴C ( 47,16√3 ) ．
6
6 (1)【答案】 1
±
2
【解析】∵点A（a+1，0），B（1，﹣a），满足d（A，B）＝1
√ √
∴ [(a+1)−1]2+ [0−(−a)]2 = 1
1
解得，a = ±
2
(2)【答案】2√2015−2√3【解析】题意可得：
√ √
a = (1−√2) 2 + (1−√2) 2 = 2（√2−1）
1
√ √
a = (√2−√3) 2 + (√2−√3) 2 = 2（√3−√2）
2
……
a n＝2（√n+1−√n）
∴a +a +…+a
3 4 2014
＝2（√4−√3）+2（√5−√4）+…+（√2015−√2014）
＝2（√4−√3+√5−√4+⋯+√2015−√2014）
＝2（√2015−√3）
＝2√2015−2√3
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
例题练习题答案
例1 【答案】D
【解析】∵8名学生的平均成绩是78
∴(80+82+79+69+74+78+x+81)÷8 = 78
解得：x = 81
则x的值为81
故选：D．
练1.1 【答案】4
【解析】 1+3+4+8+x
ˉ
根据题意，平均数x = = x，
5
解得x = 4，
即x的值为4．
例2 【答案】90
【解析】解：设孔明物理得分是x分，则
95×60%+40%x = 93，
解得x = 90，
故答案为：90．
练2.1 【答案】解：（1）形体、口才、专业水平、创新能力按照4:6:5:5的比确定，86×4+90×6+96×5+92×5
则甲的平均成绩为 = 91.2，
4+6+5+5
92×4+88×6+95×5+93×5
乙的平均成绩为 = 91.8，
4+6+5+5
乙的成绩比甲的高，所以应该录取乙．
（2）面试成绩中形体占15%，口才占20%，笔试成绩中专业水平占40%，创新能力占
25%，
则甲的平均成绩为86×15%+90×20%+96×40%+92×25% = 92.3，
乙的平均成绩为92×15%+88×20%+95×40%+93×25% = 92.65，
故甲的成绩比乙的低，应该录取乙．
例3 【答案】A
练3.1 【答案】D
例4 【答案】解：中位数为3kg，
众数为2.96kg，
平均数：
1
ˉ
x = (2.93×4+2.96×12+3×10+3.02×8+3.03×6)
40
≈ 2.99kg
练4.1 (1)【答案】54∘
(2)【答案】
【解析】由总人数减去其他的人数求出人均用水量为3吨的人数，补全统计图即可；
(3)【答案】解：中位数为3（吨），众数为2（吨）．
【解析】将人均用水量按照从小到大顺序排列，找出第60、61个数字，求出平均值即可得到
中位数；人均用水量的各个数值中，人数最多的即为众数．
(4)【答案】解：人均用水量为：
1×10+41×2+20×3+33×4+16×5
≈ 3.033（吨）
120
则该全校学生家庭用水总量为：3.033×3000 ≈ 9100（吨）
例5 【答案】<
练5.1 【答案】（2）（3）
【解析】两个班的平均成绩均为135次，故（1）错误；
方差表示数据的波动大小，甲班的方差大于乙的，说明甲班的成绩波动大，故（2）正
确；
中位数是数据按从小到大排列后，中间的数或中间两数的平均数，甲班的中位数小于乙班
的，且甲班中位数未达到优秀标准，乙班中位数达到优秀标准，说明甲班学生成绩优秀人
数不会多于乙班学生的成绩优秀的人数，故（3）正确．
故答案为（2）（3）．
例6 【答案】D
练6.1 【答案】C
练6.2 【答案】D
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
课堂落实答案
1 【答案】88.4分
2 【答案】B
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】2
【解析】五次射击的平均成绩为：
1
ˉ
x = (5+7+8+6+9) = 7，
5
方差为：
1
s2 = [(5−7)2+(8−7)2+(7−7)2+(6−7)2+(9−7)2] = 2．
5
故答案为：2．
能力提高 / 初二 / 春季第 14 讲 数据的分析
自我巩固答案
1 【答案】C
2 【答案】C
3 【答案】B
4 【答案】B
5 【答案】A
【解析】 由表格可知，节水量为0.4m3 的家庭数最多，为4个，则众数为：0.4；
这组数据的平均数为：
1
×(0.2+0.25+0.25+0.3+0.3+0.4+0.4+0.4+0.4+0.5) = 0.34，
10
故选：A．
6 【答案】B
【解析】∵180出现的次数最多，
∴众数是180．
将这组数据按照由小到大的顺序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、
186、188、192．
所以中位数为180．
故选：B．
7 【答案】B
8 【答案】B
9 【答案】C
10 【答案】D
能力提高 / 初二 / 春季
第 14 讲 数据的分析
精选精练
1 【答案】A
2 【答案】解：（1）由题意可得，
91+80+78
甲组的平均成绩： = 83（分），
381+74+85
乙组的平均成绩： = 80（分），
3
79+83+90
丙组的平均成绩： = 84（分），
3
从高分到低分小组的排名顺序是：丙>甲>乙；
（2）由题意可得：
甲组的成绩是：
91×40％+80×30％+78×30％ = 83.8（分）
乙组的成绩是：
81×40％+74×30％+85×30％ = 80.1（分）
丙组的成绩是：
79×40％+83×30％+90×30％ = 83.5（分）
故甲组的成绩最高．
【解析】（1）根据表格可以求得各小组的平均成绩，从而可以将各小组的成绩按照从大到小排
列；
（2）根据题意可以算出各组的加权平均数，从而可以得到哪组成绩最高．
3 【答案】解：（1）该数据平均数为：
1
( )
x +3+x +3+... +x +3 ⋅
1 2 n
n
1
( )
= x +x +... +x ⋅ +3 = m+3；
1 2 n
n
（2）该数据平均数为：
1
( )
2x −3+2x −3+... +2x −3 ⋅
1 2 n
n
1
( )
= 2 x +x +... +x ⋅ −3 = 2m−3．
1 2 n
n
4 【答案】解：（1）平均数：1148（元）；中位数：800（元）；众数：800（元）．
（2）众数．
【解析】（1）表中数据之和：
5000+4000×2+2000×5+1000×10+800×28+500×4 = 57400，
57400
故表中数据的平均值为 = 1148（元）；
1+2+5+10+28+4
表中共统计50名员工，工资从低到高排序，第25、26名员工的工资均为800元，故中位数
为800（元）；50名员工中，工资为800元的最多，为28人，故众数为800（元）；
（2）众数出现的次数最多，能代表大部分员工的工资水平．
5 (1)【答案】解：初中部的平均数为：
1
(75+80+85+85+100) = 85（分），
5
初中部的众数为85（分）；
高中部的中位数为80（分），填入表中对应位置即为所求．
(2)【答案】初中部成绩好些．
因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，
所以在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些．
6 【答案】C
能力提高 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 【答案】B
【解析】√40 = √4×√10 = 2√10，
故选：B．
2 【答案】C
3 【答案】D
4 【答案】C
5 【答案】A
6 【答案】B
7 【答案】D
8 【答案】D
9 【答案】A
10 【答案】A
11 【答案】x > 1
12 【答案】24
13 【答案】5
14 【答案】(−2,0)
15 【答案】y = −x−216 【答案】4
17 【答案】16
【解析】 ∵S = 4，∴BC2 = 4，
1
∵S = 12，∴AC2 = 12，
2
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2 = AB2 = 4+12 = 16，
∴S = AB2 = 16．
3
故答案为：16．
18 【答案】 2
( )
,0
3
19 【答案】（1）6；（2）2√3+4 .
20 【答案】解：（1）∵ABCD是菱形，
∴BC∥AD，BC = AD．
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴CE = AF，CE∥AF ，
∴四边形AECF是平行四边形 ，
∵AB = AC ，
∴△ABC是等边三角形 ，
∴AE⊥BC ，
∴四边形AECF是矩形 .
（2）∵△ABC是等边三角形，AB = 8 ，
∴BC = 8，AE = 4√3 ，
∴菱形的面积S = 8×4√3 = 32√3 .
21 【答案】解：证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
1
∴MN∥AD，MN = AD，
2
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
1
∴BM = AC，
2
∵AC = AD，
∴BM = MN．
22 【答案】解：由题意，可得a = (11+14+15+ 2+11+11+14+15+14+14)÷10=12.1
10个数据中，14出现了3次，次数最多，所以b＝14；
（2）我认为小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸．因为爸爸和妈妈的众数相同，但是爸爸的平均数高于妈妈，且最小值10高于妈妈的最小值
2，所以小明会把4月份的“运动达人”奖章颁发给爸爸．
23 【答案】解：（1）y = −x+5 ；
（2）(3,2) ；
（3）x ≥ 3 .
24 【答案】解：设甲校购进x棵A种树苗，两校所需要的总费用为w元．
根据题意得：w = 24x+18(35−x) = 6x+630 ，
∵35−x < x，
∴x > 17.5，且x为整数，
在一次函数w = 6x+630中，
∵k = 6 > 0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x = 18时，w有最小值，最小值w = 6×18+630 = 738，
此时35−x = 17 .
答：甲校购买A种树苗18棵，乙校购买B种树苗17棵，所需的总费用最少，最少为738
元．
25 【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD = 90∘，AC平分∠BAD，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM = PN，∠PMA = ∠PNA = 90∘，
∴四边形PMAN是矩形，
∵PM = PN，
∴四边形PMAN是正方形；
（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，
∴PM = PN，∠MPN = 90∘，
∵∠EPB = 90∘，
∴∠MPE+∠EPN = ∠NPB+∠EPN = 90∘，
∴∠MPE = ∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
∠PMA = ∠PNB = 90∘
{
PM = PN ，
∠MPE = ∠NPB
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM = BN．26 【答案】−1 ≤ m ≤ 2
27 【答案】 1
解：（1）设平移后的直线方程为y = x+b，
2
把点A的坐标(5,3)为代入，得:
1
3 = ×5+b，
2
1
解得 b = ．
2
1 1
则平移后的直线方程为：y = x+ ．
2 2
1
则−2+m = ，
2
5
解得m = ；
2
（2）∵正方形ABCD的边长为2，且点A的坐标为(5,3)，
∴B(3,3)．
1 1
把x = 3代入，得y = x+ ，
2 2
1 1
y = ×3+ = 2，
2 2
即E(3,2)．
∴BE = 3−2 = 1，
1
∴△ABE的面积 = ×2×1 = 1．
2
