文档内容
1.1 锐角的三角函数
第1课时 正切与坡度
教学内容 第1课时 正切与坡度 课时 1
1. 理解正切的定义以及与现实生活的联系，能够用tan A表示直角三角形中
两.
核心素养 边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算；
目标 2. 经历操作、观察、思考、求解等探索直角三角形中边角关系的过程，渗透
函数思想与数形结合思想，培养理性思维习惯；
3.培养多角度思考问题和提出问题的能力以及合作意识与创新精神.
1．理解正切的意义，并能举例说明；
知识目标 2．能够根据正切的概念进行简单的计算；
3．能运用正切、坡度解决问题．
教学重点 1．理解正切的意义，并能举例说明；
2．能够根据正切的概念进行简单的计算；
教学难点 能运用正切、坡度解决问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入
设计意图：
引入生活问题情境，使学
生对 “山的倾斜程度”
有初步的了解。激发学生
的求知欲望，调动学生的
积极性，把生活中的问题
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么
转化为数学问题.
呢？
二、探究
新知 二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：正切的定义
设计意图：
梯子是我们日常生活中常见的物体.
借助对具体事物——梯子
从梯子的顶端 A 到墙角C 的距离，称为梯子的
的顶端和底端到墙角的距
铅直高度. 离的具体描述，使学生从
从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的 感性到理性等角度来刻画
水平宽度. 这一现象.
梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角.
设计意图：利用直观，可
使学生比较容易地认识到
梯子与地面所成的角度越
问题1 ：在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 大，梯子越陡，角度越
你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 小，梯子越缓；
预设： 当梯子的顶端与地面距离
（梯子的垂直高度）一定
倾斜角越大——梯子越陡
时，梯子底部离墙距离
1（梯子的水平宽度）越
小，梯子越陡，距离越
思考：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？ 远，梯子越缓；
预设：
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
设计意图：利用直观不易
判断，使学生产生认知冲
突；启发学生联系（1）
的结论，探究出可以通过
问题2 ：在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更 梯子的垂直高度与水平宽
陡？你是怎样判断的？ 度的比值来判断梯子的陡
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 或缓；将判断梯子的陡或
倾斜角越大，梯子越陡. 缓的问题转化为计算比
总结：铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小 值，也就时由“看”转化
都可用来判断梯子的倾斜程度. 为“算”即学生的思维由
感性上升到理性。
使学生初步感受到角度与
比值之间具有某种关系.
师生活动：同学们大胆讨论、交流，发表自己的
见解。
设计意图：学生会用
“算”来判断梯子的
“陡”或“缓”,问题深
入，为学生形成概念准
想一想
备.
如图，小明想通过测量 B C 及 AC ，
1 1 1
算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮
则认为，通过测量 B C 及 AC ，算出它们的
2 2 2
比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法
吗？
（1）Rt△AB C 和 Rt△AB C 有什么关系？
1 1 2 2
2(3) 如果改变 B 在梯子上的位置.(如 B C )呢？
2 3 3
师生活动：学生思考片刻，举手回答问题.
预设：（1）两个直角三角形相似
（2）相等 设计意图：正切概念的定
（3）相似三角形的对应边成比例 义与分析，并使学生明确
到三角函数定义方式的特
殊性。
议一议
在图中，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？
在 Rt△ABC 中，如果锐角 A 确定，那么 ∠A
的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A
的正切，记作 tanA，即
结论：tanA 的值越大，梯子越陡.
① tanA 是在直角三角形中定义的，∠A 是一个
锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
② tanA 是一个完整的符号，表示∠A 的正切，
习惯省去“∠”号（注意 tanA 不表示 tan 乘以
A ）.
③ tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三
角形中∠A 的对边与邻边的比.
④ tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角 设计意图：让学生运用新
三角形的边长无关. 知识能解决与直角三角形
⑤ 角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相 有关的实际问题，并将进
等，则这两个锐角相等. 一步感受数形结合的思
想，体会数形结合的方
法。学生能够用 tanA 表
典例精析 示直角三角形中两边的
比，表示生活中物体的倾
例1 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比
斜程度、坡度等，并能够
较陡？
用正切进行简单的计算.
提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子
的倾斜程度.
师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3. 对板演的内容进行评价纠错。
预设：
3知识点二：坡度、坡角
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 设计意图：使学生知道正
切在日常生活中的应用很
坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角； 广泛，例如建筑，工程技
术等．培养学生用数学眼
坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
光认识世界，用数学方法
为坡度 (或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
解决实际问题。
设计意图：让学生运用新
知识解决与直角三角形有
关的实际问题，并进一步
感受数形结合的思想，体
例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m 会数形结合的方法，加深
学生对正切的理解，正切
就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是：
的前提是必须在直角三角
形中.
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度
为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(
)米.
三、当堂
A. 2√5 B. 2√10 C. 4√5 D. 6
练习，巩
固所学
设计意图：学以致用，当
方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的 堂检测及时获知学生对所
计算题的关键． 学知识掌握情况，并最大
限度地调动全体学生学习
数学的积极性，使每个学
生都能有所收益、有所提
高，明确哪些学生需要在
课后加强辅导，达到全面
提高的目的.
三、当堂练习，巩固所学
1. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角A的对边和邻边
4同时扩大 100 倍，tanA 的值（ ）
A. 扩大 100 倍
B. 缩小 100 倍
C. 不变
D. 不能确定
2. 完成下列填空：
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AC =
12，tanA = ( ).
(2) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5， AB =
13，tanA= ( ),tanB = ( ).
(3) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tanA =
，AC = ( ).
3
4
3. 在等腰 △ABC 中，AB = AC = 13， BC = 10
，求tanB.
正切与坡度
1．正切的概念
在直角三角形ABC中，tanA＝.
板书设计
2．坡度的概念
坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，也就是坡角的正切值．
课后小结
5在教学中，要注重对学生进行数学学习方法的指导．在数学学习中，有
一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了，结果
教学反思 往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知
识梳理，教会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解和掌握
基本概念、基础知识
6
