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第一章 丰富的图形世界
1.1 生活中的立体图形
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·江苏·七年级专题练习）下列判断正确的有（ ）
（1）正方体是棱柱，长方体不是棱柱；（2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱；（3）正方体是柱体，圆
柱也是柱体；（4）正方体不是柱体，圆柱是柱体．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据棱柱的定义：有两个面平行，其余面都是四边形，并且相邻的两个四边形的公共边都互相平行；柱体
的定义：一个多面体有两个面互相平行且相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，进行判断即可．
【详解】
解：（1）正方体是棱柱，长方体是棱柱，故此说法错误；
（2）正方体是棱柱，长方体也是棱柱，故此说法正确；
（3）正方体是柱体，圆柱也是柱体，故此说法正确；
（4）正方体是柱体，圆柱是柱体，故此说法错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了棱柱和柱体的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关定义．
2．（2021·全国·七年级单元测试）下图中的几何体（圆锥）是由下列（ ）平面图形绕轴旋
转一周得到的．A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据面动成体逐项判断即得答案．
【详解】
圆锥能由直角三角形绕轴旋转一周得到，
故选A．
【点睛】
本题考查了点、线、面、体的相关知识，熟练掌握面动成体是解题关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成
体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．
【详解】
解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关
键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）直角三角板绕它的一条直角边旋转一周所形成的几何体是（ ）
A．棱锥 B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面动成体，可得一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥．
【详解】
解：圆锥的轴截面是直角三角形，因而圆锥可以认为直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周得
到．
故直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线动成面，面动成体的知识，学生应注意空间想象能力的培养．解决本题的关键是掌握各种
面动成体的特征．
5．（2022·全国·七年级课时练习）将如图所示的直角三角形 绕直角边 旋转一周，所得几何体从左
面看为（ ）．
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先将直角三角形旋转得到立体图形，再判断其左视图．
【详解】
解：将直角三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，从左面看为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点、线、面、体，根据平面图形得到立体图形是解决问题的关键．
6．（2022·全国·七年级课时练习）圆柱与圆锥的体积之比为2：3，底面圆的半径相同，那么它们的高之比
为（ ）
A．2：3 B．4：5 C．2：1 D．2：9
【答案】D
【解析】
【分析】
利用圆柱、圆锥的体积公式，即可算出它们的高之比；
【详解】
由题意可知，圆柱的体积=π h，圆锥的体积= π h，
1 2
∵圆柱与圆锥的体积之比为2：3，
∴ ，
∴ =2：9．
故选：D．
【点睛】
本题考查圆锥和圆柱的体积公式，熟练掌握圆锥和圆柱的体积公式计算是解决本题的关键．二、填空题
7．（2022·全国·七年级课时练习）“枪打一条线，棍打一大片”从字面上理解这句话所描述的现象，用数
学知识可解释为：____________．
【答案】点动成线，线动成面
【解析】
【分析】
子弹可看作一个点，棍可看作一条线，由此可得出这个现象的本质．
【详解】
解：“枪打一条线，棍打一大片”，用数学知识可解释为：点动成线，线动成面
故答案为：点动成线，线动成面．
【点睛】
本题考查了点、线、面的关系，难度不大，注意将生活中的实物抽象为数学上的模型．
8．（2022·陕西渭南·七年级期末）直角三角形纸片绕它的直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是
_____________.
【答案】圆锥
【解析】
【分析】
根据：面动成体，将直角三角形纸片绕它的直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆锥．
【详解】
解：将直角三角形纸片绕它的直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆锥．
故答案为：圆锥．
【点睛】
本题考查几何体， 解题的关键是有一定的空间想象能力，理解面动成体．
9．（2021·全国·七年级单元测试）将一根长4m的圆柱体木料锯成2段(2段都是圆柱体)，表面积增加
60dm2，这根木料的体积是______m3．
【答案】1.2
【解析】
【分析】
将一根长4m的圆柱体木料锯成2段，增加两个底面，又知表面积增加60dm2，由此求出这根木料的底面积，
根据圆柱的体积公式即可计算．
【详解】解：60dm2=0.6m2
0.6÷2=0.3(m2)
0.3×4=1.2(m3)，
故这根木料的体积是1.2m3．
故答案为：1.2．
【点睛】
本题考查了计算圆柱的体积．解题的关键是掌握圆柱的体积公式 ．
10．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的立体图形是由_____个面组成的，其中有_____个平面，有
_____个曲面；图中共有_____条线，其中直线有_____条，曲线有_____条．
【答案】 4 3 1 6 4 2
【解析】
【分析】
观察图形是半圆柱，即可得到答案．
【详解】
立体图形是由4个面组成的，其中有3个平面，有1个曲面；图中共有6条线，其中直线有4条，曲线有2
条．
故答案为：4，3，1，6，4，2．
【点睛】
本题考查立体图形相关的概念，解题的关键是仔细观察已知图形，掌握相关概念．
三、解答题
11．（2021·全国·七年级课时练习）围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？【答案】（1）是平的；（2）是平的；（3）侧面是曲的；（4）是曲的；（5）包围一个圆柱和一个半球
的组合体的是一个半球面､一个圆柱的侧面和一个圆面，前两者是曲的，后者是平的．
【解析】
【分析】
根据几何体面的形状进行解答即可．
【详解】
解：（1）四棱柱的各面是矩形，是平的；（2）三棱柱的各面是三角形，是平的；（3）圆锥的底面是平
的，侧面是曲的；（4）包围球的面是球面，是曲的；（5）包围一个圆柱和一个半球的组合体的是一个半
球面､一个圆柱的侧面和一个圆面，前两者是曲的，后者是平的．
【点睛】
此题主要考查了认识几何体，关键是认识常见的立体图形，掌握平面和曲面的不同．
12．（2022·全国·七年级课时练习）（1）如果将图①～⑤的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到图Ⅰ～Ⅴ
的几何体，请你把有对应关系的平面图形与几何体用线连接起来；
（2）在图Ⅰ～Ⅴ的几何体中，有顶点的几何体是______，没有顶点的几何体是________；
（3）图Ⅴ中的几何体由几个面围成？面与面相交成几条线？它们是直的还是曲的？
【答案】（1）见解析；（2）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；Ⅳ、Ⅴ；（3）Ⅴ中的几何体有2个面，其中一个是平面，一个
是曲面，面与面相交有一条线，是一条曲线
【解析】
【分析】
（1）利用空间感，解决平面图形通过旋转构成立体图形；
（2）观察立体图形特征，找出相应的点即可解决此问；（3）观察图形特征，判断出面和线即可．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）在图I～Ⅴ的几何体中，有顶点的几何体是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，没有顶点的几何体是Ⅳ、Ⅴ；
故答案为：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；Ⅳ、Ⅴ．
（3）Ⅴ中的几何体有2个面，其中一个是平面，一个是曲面，面与面相交有一条线，是一条曲线．
【点睛】
本题主要考查的是点、线、面、体、认识几何体，根据平面图形的特点，判断出旋转后的几何体的形状是
解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2020·江苏·泰州市姜堰区南苑学校七年级阶段练习）一个六棱柱的顶点数、面数和棱数的总和是
______．
【答案】38．
【解析】
【分析】
六棱柱一共有 12个顶点，有 8个面，有 18条棱，可得答案．
【详解】
解：六棱柱一共有 12个顶点，有 8个面，有 18条棱，所以六棱柱顶点数、面数和棱数的总和=12+8+18=38．
故答案为：38．
【点睛】
本题考查了认识立体图形，观察出顶点数、面数、棱数是解题关键．
2．（2021·辽宁盘锦·七年级期末）如图，长方形的长为 、宽为 ，分别以该长方形的一边所在直线
为轴，将其旋转一周，形成圆柱，其体积为_____ ．（结果保留 ）
【答案】 或 ．
【解析】
【分析】
根据圆柱体的体积=底面积×高求解，再利用圆柱体侧面积求法得出答案．
【详解】
若以 为轴，旋转一周，
则 为半径，
所以 ，
若以 为轴，旋转一周，
则 为半径，
所以 ，
故答案为 或
【点睛】
此题主要考查了面动成体，关键是掌握圆柱体的体积和侧面积计算公式．
3．（2021·四川·成都市第二十中学校七年级阶段练习）已知一个直角三角形的两直角边分别是6cm，
8cm．将这个直角三角形绕它的一直角边所在直线旋转一周，可以得到一个圆锥，则这个圆锥的体积是
___cm3．（结果用π表示）
【答案】 或
【解析】
【分析】如果以这个直角三角形的短直角边为轴，旋转后组成的图形是一个底面半径为 ，高为 cm的一个圆锥；
如果以这个直角形的长直角边为轴，旋转后所组成的图形是一个底面半径为 cm，高为 cm的圆锥．根据
圆锥的体积公式 即可求出圆锥的体积．
【详解】
解：分两种情况：
① cm3；
② cm3．
这个圆锥的体积是 或 立方厘米．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查的是将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，即面动成体，解题的关键是掌握
圆锥的体积计算公式．
4．（2021·四川·成都市金牛中学校七年级期中）六个长方体包装盒按“规则方式”打包，所谓“规则方
式”是指每相邻两个长方体必须以完全一样的面对接，最后得到的形状是一个更大的长方体，已知每一个
小包装盒的长宽高分别为 5、4、3 则按“规则方式”打包后的大长方体的表面积最小是__．
【答案】314
【解析】
【分析】
把不同的三个面排放罗列得出两种方法：“1×6”和“2×3”．要使表面积最小，减少的面大且多，由此画图
得出答案即可．
【详解】
1个长方体如图甲所示，又因为有6个长方体，6=1×6=2×3，因此，规则方式打包有两类：“1×6”和“2×3”．
S①=2×4×5+12×5×3+12×3×4=364，
S =4×4×5+6×3×4+12×5×3=332，
②
S =4×4×5+12×3×4+6×5×3=314
③
S =6×4×5+4×3×5+6×4×6=324
④
因为S ＞S ＞S ，所以最小表面积是314．
① ②＞S④ ③
故答案为：314．
【点睛】
本题考查了几何体的表面积，平面图形的有关知识，培养学生的观察能力和图形的组合能力；注意其中的
一个面被上面的立方体覆盖．
5．（2021·全国·七年级专题练习）观察下列由长为1，的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1.个小立
方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8.个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如
图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放：
（1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个：
（2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个．
【答案】 27
【解析】
【分析】
（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个．
（2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个
数．
【详解】
解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03；
当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3；
当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23；
当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33；
当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43；
∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个．
故答案为：（1）27；（2）（n-1）3．
【点睛】
本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体
时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答．
二、解答题
6．（2020·全国·七年级课时练习）把如图图形沿虚线折叠，分别能折叠成什么几何体(图中的五边形均为
正五边形)？观察折成的几何体，回答下列问题：
（1）每个几何体有多少条棱？哪些棱的长度相等？
（2）每个几何体有多少个面？它们分别是什么图形？哪些面的形状、大小完全相同？
【答案】（1）第一个图形能折成一个正五棱锥，有10条棱，侧棱相等，底面上的五条棱相等；第二个图
形能折成一个正五棱柱，有15条棱，上下底面上的棱相等，侧棱相等；（2）第一个几何体有6个面，分
别是5个等腰三角形，1个正五边形，等腰三角形的形状、大小相同；第二个几何体有7个面，分别是5个
长方形，2个正五边形，长方形的形状、大小相同，正五边形的形状、大小相同
【解析】
【分析】
（1）由五棱锥与五棱柱的折叠及五棱锥与五棱柱的展开图解题．
（2）根据五棱锥与五棱柱的特征即可求解．【详解】
解：（1）图形（1）有10条棱，底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；
图形（2）有15条棱，两个底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；
（2）图形（1）有6个面，底面是五边形，侧面是形状、大小完全相同的三角形；
图形（2）有7个面，底面是形状、大小完全相同的五边形，侧面是形状、大小完全相同的长方形．
【点睛】
本题考查了展开图折叠成几何体的知识，有一定难度，同时考查了学生的想象和动手能力．
7．（2020·全国·七年级课时练习）如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：
（1）得到什么几何体？
（2）长方形的长和宽分别为6cm和4cm，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它
们的体积分别为多少？（结果保留 ）
【答案】（1）圆柱；（2）它们的体积分别为 ，
【解析】
【分析】
(1)矩形旋转一周得到圆柱；
(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为6cm，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm，高为4cm，从
而可以计算出体积．
【详解】
解：(1)圆柱
(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm，高为4cm，
绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm，高为6cm，∴它们的体积分别为 ，
【点睛】
本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键．
8．（2021·福建·古田县玉田中学七年级阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数
（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单
多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型得
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面
20 12 30
体
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系是__________________．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24
个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据分析即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系；
（2）根据（1）的结论求解即可；（3）先求得棱数，再代入（1）的关系式求解即可．
【详解】
（1） ，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）由题意得： ，
解得 ，
故答案为： ；
（3） 有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线，
共有 条棱，
，
解得 ；
设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，则 即为多面体的面数，
．
【点睛】
本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，理解题意，找到规律是解题的关键．
