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专题 14.2 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】....................................................................................................2
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】....................................................................................................6
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】....................................................................................................8
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】...................................................................................................11
【题型5 三角形的稳定性】....................................................................................................................................14
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】......................................................................................15
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】...........................................................................................................18
【题型8 二次证明三角形全等】............................................................................................................................24
知识点 1 基本事实“边角边”（ SAS ）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．
{
AB=DE，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠A=∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△≝(SAS)．
知识点 2 基本事实“角边角”（ ASA ）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．
{∠A=∠D，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， AB=DE，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△≝(ASA)．
知识点 3 “ 角边角”的推论“角角边”（ AAS ）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．{∠A=∠D，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠B=∠E，
BC=EF，
∴△ABC≌△≝(AAS)．
知识点 4 基本事实“边边边”（ SSS ）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
{AB=DE，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， BC=EF，
AC=DF，
∴△ABC≌△≝(AAS)．
知识点 5 三角形的稳定性
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形
的这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，
利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．
知识点 6 斜边、直角边定理（ HL ）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达:如图，在 Rt△ABC与 Rt△A′B′C′中（∠C与∠C′为直角），
{AB=A′B′，
BC=B′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)．
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．△ABC中．AB=AC，AD平分∠BAC．点E为
AD上一点．则图中全等三角形有 对．【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可
得∠BAD=∠CAD，然后利用SAS可判定△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质可得BD=CD，
∠ADB=∠ADC，再判定△BDE≌△CDE，最后证明△ABE≌△ACE即可．
【详解】解：∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=∠CAD，
∴在△ABD和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠BAD=∠CAD ，
AD=AD
∴ △ABD≌△ACD(SAS)，
∴ BD=CD，∠ADB=∠ADC，
在△BED和△CED中，
{
BD=CD
)
∠ADB=∠ADC ，
DE=DE
∴ △BDE≌△CDE(SAS)，
在△ABE和△ACE中，
{
AB=AC
)
∠BAE=∠CAE ，
AE=AE
∴ △ABE≌△ACE(SAS)，
∴共3对全等三角形，
故答案为3．
【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任
务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间
的距离，就可知道内径AB的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】A
【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的判定定理“SAS”解答即可．
【详解】解：在△AOB和DOC中，
{
OA=OD
)
∠AOB=∠DOC ，
OB=OC
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴AB=CD，
∴此方案依据的数学定理或基本事实是“SAS”，
故选：A．
【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC和△≝¿中，AB=DE，BE=CF，
∠ABC=∠≝¿（点B，E，C，F在同一条直线上）．求证：△ABC≌△≝¿．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．根据“SAS
”判定即可．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，{ AB=DE )
，
∠ABC=∠≝¿BC=EF
∴△ABC≌△≝(SAS)．
【变式1-3】（2025·安徽·一模）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3，CD=6，
则AC= ．
【答案】9
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全
等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC，进而代
入数值解答即可．
【详解】解：在AC上截取AE=AB=3，连接DE，如图：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，
{
AE=AB
)
∠BAD=∠EAD ，
AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，
从而∠BDE=2∠ADB，
又∠B=2∠ADB，
∴∠AED=∠BDE，从而∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=6，
∴AC=AE+CE=3+6=9，
故答案为：9．
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
【例2】（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知∠3=∠4，要说明△ABC≌△DCB，若以“ASA”为依据，则需添加一个条件是 ．
【答案】∠ABC=∠BCD
【分析】根据ASA证明△ABC≌△DCB，即可．
【详解】解：添加∠ABC=∠BCD，理由如下：
∵∠3=∠4，BC=CB，∠ABC=∠BCD，
∴△ABC≌△DCB．
故答案为：∠ABC=∠BCD
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学
的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定；
根据ASA即可解答．
【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因
此符合ASA．
故选D．
【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，
AB=AD，∠B=∠D．求证：△ABC≌△ADE．【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定；
先求出∠BAC=∠DAE，再根据ASA即可证得结论．
【详解】证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
{∠BAC=∠DAE
)
AB=AD ，
∠B=∠D
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
【变式2-3】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线
MN上取A，B两点，再在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，过点D再画出BF的垂线
DE，使点E与A，C在一条直线上，若此时测得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，则池塘两岸M，N
两点间的距离为 m．
【答案】14
【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理ASA证出△ABC≌△EDC是解题的关
键．由垂线的定义可得出∠B=∠EDC=90°，结合BC=DC，∠ACB=∠ECD，即可证出
△ABC≌△EDC(ASA)，利用全等三角形的性质可得出．
【详解】解：∵AB⊥BF,DE⊥BF，
∴∠B=∠EDC=90°．在△ABC和△EDC中，
{
∠B=∠EDC
)
BC=DC
∠BCA=∠DCE
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=ED=16m，
∵AM=0.5m,BN=1.5m，
∴MN=16−0.5−1.5=14m，
故答案为：14．
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】
【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，∠ACB=90°，CA=CB，分别过点A，B作过点C的
直线的垂线AM，BN．若AM=3cm，BN=5cm，则MN的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS，SSS
，直角三角形的判定方法还有HL，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性
质是解题的关键．
由AM⊥MN，BN⊥MN可得∠M=∠N=90°，进而可得∠A+∠ACM=90°．又由∠ACB=90°可
得∠ACM+∠BCN=90°，进而可得∠A=∠BCN．再根据AAS可得△ACM≌△CBN，则可得
AM=CN=3cm，BN=CM=5cm，进而可求得MN的长．
【详解】解：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠M=∠N=90°，
∴∠A+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠A=∠BCN．
在△ACM和△BCN中，{
∠M=∠N
)
∠A=∠BCN ，
AC=CB
∴△ACM≌△CBN(AAS)，
∴AM=CN=3cm，BN=CM=5cm，
∴MN=CM+CN=5+3=8cm．
故选：B．
【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，AE∥FD,CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要
添加的条件可以是下列选项中的（ ）
A．AB=BC B．∠E=∠F C．∠A=∠D D．AE=DF
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，再根据选项进行
判断即可．
【详解】解：∵AE∥FD,CE∥FB，
∴∠A=∠D，∠ACE=∠DBF，
选项中只有当AE=DF时，△EAC≌△FDB(AAS)，添加其它选项都不能证明△EAC≌△FDB．
故选：D．
【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知AD是△ABC边BC的中线．CE∥BF，
CE、BF与直线AD的交点分别为点E、F，请说明△CDE与△BDF全等的理由．
【答案】理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到
CD=BD，平行得到∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，利用AAS，即可得证．
【详解】解：△CDE与△BDF全等的理由如下：∵AD是△ABC边BC的中线，
∴CD=BD，
∵CE∥BF，
∴∠F=∠CED,∠DCE=∠DBF，
∴△CDE≌△BDF(AAS)．
【变式3-3】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④AD−BE=DE，其中正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】由BE⊥CE于E， AD⊥CE于D，得BE∥AD，则∠ABE=∠BAD，可判断①正确；根据
“同角的余角相等”推导出∠BCE=∠CAD，即可证明△CBE≌△ACD， 可判断②正确；由垂线段最
短可证明AB>BC， BC>CE，则AB>CE，可判断③错误；由CE=AD， BE=CD，且
CE−CD=DE，得AD−BE=DE，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴AD∥BE，
∴∠ABE=∠BAD，故①正确；
∵∠E=∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD=90°−∠ACD，
在△CBE和△ACD中，
{
∠E=∠ADC
)
∠BCE=∠CAD ，
BC=CA
∴△CBE≌△ACD(AAS)，故②正确；
∵BC⊥AC，CE⊥BE，
∴AB>BC，BC>CE，
∴AB>CE，故③错误；
∵△CBE≌△ACD，
∴CE=AD，BE=CD，∵CE−CD=DE，
∴AD−BE=DE，故④正确；
故答案为： ①②④．
【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知
识，证明∠BCE=∠CAD及△CBE≌△ACD是解题的关键．
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】
【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF
(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.
【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根
据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，
不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.
【详解】（1）∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，
{AD=CB
)
在△ADE和△CBF中 DE=BF ，
AE=CF
∴△ADE≌△CBF.
（2）成立.理由如下：
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，
{AD=CB
)
在△ADE和△CBF中 DE=BF ，
AE=CF
∴△ADE≌△CBF.
（3）AD与CB不一定平行，理由如下：∵只给了两组对应相等的边，
∴不能判定△ADE≌△CBF，
∴不能判定∠A与∠C的大小关系，
∴AD与CB不一定平行，
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、
AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若
有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.
【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理
标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张
开示意图，AE=AF，¿=GF，则△AEG≌△AFG的判定依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定定理推出即可解答．
【详解】解：在△AEG和△AFG中，
{AE=AF
)
AG=AG ，
EG=FG
∴△AEG≌△AFG(SSS)．
故选：D．
【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE．
求证：△ABC≌△ADE．
【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．
由SSS即可证明即可．
【详解】证明：在△ABC和△ADE中，
{AB=AD
)
BC=DE
AC=AE
∴△ABC≌△≝(SSS)．
【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∠BAD=20°，DE⊥AC于E，求∠EDC的度数．
【答案】20°
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质
求出∠ADC的度数．
证明△ADB≌△ADC，可得∠CAD=∠BAD=20°,∠ADB=∠ADC=90°，由DE⊥AC和三角形的
内角和定理求出∠ADE=70°，即可求解．
【详解】解：∵AB=AC,BD=CD,AD=AD，
∴△ADB≌△ADC(SSS)，
∴∠CAD=∠BAD=20°,∠ADB=∠ADC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°−∠CAD=70°，
∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−70°=20°．
【题型5 三角形的稳定性】
【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左
肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ）A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案．
【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角
形的稳定性；
故选：D．
【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一
端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可．
【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形，
∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是
．【答案】③
【详解】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性可知最好的加固方案是③．
【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要
钉上 根木条．
【答案】2
【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过
五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线，
∴至少要钉上2根木条，
故答案为：2．
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】
【例6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体
操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动
该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m
交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：
．【答案】HL
【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等
直角三角形，进而得出角平分线．
过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N．因为直尺的宽度相等，所以PM=PN，同时OP=OP（公
共边），∠PMO=∠PNO=90°，证明Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，
可得∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB，因此这种画法的依据是HL．
【详解】解：如图2中，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．
∵尺的宽度相等，
∴PM=PN，
∵PM⊥OA.PN⊥OB，
∴∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△OPM和Rt△OPN中，
{OP=OP)
，
PM=PN
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，
∴∠POM=∠PON，
∴OP平分∠AOB，
画法的依据是：HL．
故答案为：HL．
【变式6-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD
上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（ ）A．CE=BC B．AB=DE
C．∠A=∠D D．∠ABC=∠E
【答案】B
【分析】本题考查运用“HL”证明三角形全等，根据“HL”证明三角形全等的条件即可解答．
【详解】解：∵DC⊥AE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
当AB=DE时，
在Rt△ABC和Rt△DEC中
{AB=DE)
，
AC=DC
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．
故选：B
【变式6-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，
∠BCA=∠BAC，F为边AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关
键．
根据题意得到∠CBF=∠ABC=90°，AB=BC，即可证明Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
【详解】证明：∵ ∠ABC=90°，F为边AB延长线上的一点，
∴∠CBF=∠ABC=90°，
∵∠BCA=∠BAC，
∴ AB=BC．
{AB=AC)
在Rt△ABE和Rt△CBF中， ，
AE=CF
∴ Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
【变式6-3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段AB上，且AD=BC，分别过点C，D 在AB 的异侧作FC⊥AB，ED⊥AB，连接EF交AB于点G，AE=BF．
(1)求证：DE=CF．
(2)求证：G是线段AB的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）由FC⊥AB，ED⊥AB得∠FCB=90°，∠EDA=90°，证明△FCB≌△EDA(HL)，即可证明
DE=CF；
（2）证明△FCG≌△EDG(AAS)，得到CG=DG即可．
【详解】（1）∵FC⊥AB，ED⊥AB，
∴∠FCB=90°，∠EDA=90°，
∵AD=BC，AE=BF，
∴△FCB≌△EDA(HL)，
∴DE=CF；
（2）∵DE=CF，∠FCG=∠EDG=90°，∠FGC=∠EGD，
∴△FCG≌△EDG(AAS)，
∴CG=DG，
即G是线段AB的中点．
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】
【例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“SSS，SAS，ASA，AAS”，面对于“SSA”，课本第38页提供了
如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得
到△ABD，这个实验说明了什么？这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不一定成立．那
么，什么情况下，“SSA”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为∠B，然后对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行
探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△≝¿．
如图2，在△ABC和△≝¿中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道
Rt△ABC≌Rt△≝¿．
(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△≝¿．
如图3，在△ABC和△≝¿中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，李明由（1）受
到了启发，很快证出了△ABC≌△≝¿．请聪明的你完成李明的推理过程；
(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△≝¿不一定全等．
①如图4，在△ABC和△≝¿中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，则
△ABC≌△≝¿的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；
②如图4，△ABC和△≝¿是不全等的，∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△≝¿？请直接写出结
论： ．
【答案】(1)HL
(2)见解析
(3)①见解析；②∠B≥∠A或∠B+∠C=90°
【分析】（1）直接利用HL定理得出 Rt △ABC≌ Rt △≝¿；
（2）首先得出△CBG≌△FEH，则CG=FH，进而得出Rt △ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△≝¿；
（3）①利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；
②利用①中方法可得出当∠B≥∠A或∠B+∠C=90°
【详解】（1）解：∵∠B=∠E=90°，
∴△ABC和△≝¿是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△≝¿中，
{AC=DF)
BC=EF
∴Rt △ABC≌ Rt △≝,
故答案为：HL；
（2）证明：在△ABC和△≝, AC=DF,BC=EF,∠B=∠E，且∠B,∠E都是钝角，如图，过点C作
CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠≝, ∠ABC,∠≝¿
且 都是钝角，
∴180°−∠ABC=180°−∠≝,
∴∠CBG=∠FEH,
在△CBG和△FEH中
{∠CBG=∠FEH
)
∠G=∠H=90°,
BC=EF
∴△CBG≌△FEH
∴CG=FH,
在Rt △ACG和Rt △DFH
{AC=DF)
CG=FH
∴Rt △ACG≌ Rt △DFH
∴∠A=∠D,
在△ABC和△≝¿中
{ ∠A=∠D )
∠ABC=∠≝¿AC=DF
∴△ABC≌△≝¿；（3）解：①在△ABC和△≝¿中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E，且∠B,∠E都是锐角，如图，△≝¿和
△ABC不全等；
②由①图可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A>∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△≝¿．
当∠B+∠C=90°，∠E+∠F=90°时，
即∠A=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△≝¿中，
{AC=DF)
BC=EF
∴Rt △ABC≌ Rt △≝，
故答案为：∠B≥∠A或∠B+∠C=90°．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角
形全等的判定方式解题的关键．
【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同
学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与△ABC全等的
是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键．
根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可．
【详解】解：A、根据“ASA”可证明与原三角形全等，不符合题意；
B、根据“SAS”可证明与原三角形全等，不符合题意；
C、根据“SSS”可证明与原三角形全等，不符合题意；
D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意；
故选：D．
【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 ．
①AB=3，BC=7，CA=11，
②∠A=30°，∠B=70°，AC=3；
③∠A=30°，AB=7，BC=11；
④∠A=30°，AB=14，BC=9．
【答案】②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根
据三角形的判定和性质进行判定即可求解．
【详解】解：①AB=3，BC=7，CA=11，3+7<11，不能画出三角形；
②∠A=30°，∠B=70°，AC=3，根据“AAS”能画出唯一的△ABC；
③∠A=30°，AB=7，BC=11，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC；
④∠A=30°，AB=14，BC=9，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC；
综上所述，能画出唯一的△ABC的有②，
故答案为：②．
【变式7-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=FC，
∠A=∠EDF，请从以下三个选项中①AB=DE，②∠ACB=∠DFE，③∠B=∠E，选择一个选项作
为已知条件，使得△ABC≌△≝¿．(1)你选择添加的选项是______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明△ABC≌△≝¿．
【答案】(1)①或②或③
(2)见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，
（1）添加①或②或③均可证明全等；
（2）由平行线的性质可得∠D=∠A，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明
三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等．
【详解】（1）解：选择①或②或③
（2）选择①，证明如下：
∵AD=FC，
∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，
在△ABC和△≝¿中
{
AC=DF
)
∠A=∠EDF ，
AB=DE
∴△ABC≌△≝(SAS)．
选择②，证明如下：
∵AD=FC，
∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，
在△ABC和△≝¿中
{
∠A=∠EDF
)
∠ACB=∠DFE ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(ASA)．
选择③，证明如下：
∵AD=FC，
∴AD+DC=DC+CF即AC=DF，
在△ABC和△≝¿中{∠A=∠EDF
)
∠B=∠E ，
AC=DF
∴△ABC≌△≝(AAS)．
【题型8 二次证明三角形全等】
【例8】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形ACBD中，E是对角线AB上一点，AC=AD
，BC=BD，求证：△AEC≌△AED．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明
△ABC≌△ABD(SSS)得出∠CAB=∠DAB，再证明△AEC≌△AED．
【详解】证明：在△ABC和△ABD中，
{AC=AD
)
BC=BD ，
AB=AB
∴△ABC≌△ABD(SSS)，
∴∠CAB=∠DAB，
在△AEC和△AED中，
{
AC=AD
)
∠CAE=∠DAE ，
AE=AE
∴△AEC≌△AED(SAS)．
【变式8-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，△ABC和△DCB的顶点A和D在BC的同侧，
AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O，试说明：△ABO≌△DCO．
下面是小明的解答过程：
解：在△ABC和△DCB中，因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以
△ABC−△OBC≌△DCB−△OBC，所以△ABO≌△DCO．
请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来．【答案】不正确，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键；
根据已知条件得出△ABC≌△DCB，得∠A=∠D，在△ABO和△DCO中，利用AAS即可得出结论.
【详解】解：不正确，正确步骤为：
在△ABC和△DCB中，
{AB=DC
)
AC=DB ，
BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SSS)，
∴∠A=∠D．
在△ABO和△DCO中，
{
∠A=∠D
)
∠AOB=∠DOC ，
AB=DC
∴∠ABO≌∠DCO(AAS)．
【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【答案】证明见解析．
【分析】连接AC，证明△ABC≌△DCB(SAS)，得出BD=AC，
再证，即可△ABD≌△DCA(SSS)．
【详解】连接AC，BDAB=CD
在△ABC与△DCB中，{∠B=∠C，
BC=BC
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
BD=AC，
AB=DC
在△ABD与△DCA中，{BD=AC，
AD=AD
∴△ABD≌△DCA(SSS)，
∴∠BAD=∠CDA．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分
线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．
如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在射线ON上截取OB=OA，
连结BC，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上
面的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB，AC上的点，且
∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．（两个内角相等的三角形是等腰三角形）
（2）如图3，在非等边△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且
AD、CE交于点F，求证：AC=AE+CD．
【答案】SAS（1）见解析；(2)见解析
【分析】本题考查了角的平行线，三角形全等的判定和性质，探索线段之间的关系．
阅读中的判定方法为SAS
(1)在AE上截取AP=AF，连结DP，证明△ADP≌△ADF，再利用等腰三角形的判定证明即可．
(2)在AC上截取AM=AE，连结MF，证明△AFE≌△AFM，△CFD≌△CFM即可．
【详解】根据题意，得判定方法为SAS，
故答案为：SAS．(1)在AE上截取AP=AF，连结DP，
{AP=AF
)
∵ ∠1=∠2 ，
AD=AD
∴△ADP≌△ADF(SAS)，
∴∠APD=∠AFD,DP=DF，
∴180°−∠APD=180°−∠AFD，
∵∠AED+∠AFD=180°，∠DPE+∠APD=180°，
∴∠AED=∠DPE，
∴DE=DP，
∴DE=DF．
（2）在AC上截取AM=AE，连结MF，
{AM=AE
)
∵ ∠3=∠4 ，
AF=AF
∴△AFE≌△AFM(SAS)，
∴AE=AM，∠AFE=∠AFM，
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE交于点F，
1 1
∴∠4+∠6= (∠BAC+∠BCA)= (180°−∠B)=60°，
2 2
∴∠AFC=120°，
∵∠AFE=∠4+∠6，
∴∠AFE=∠AFM=60°，
∴∠AFE=∠DFC=60°，∠MFC=60°，
∴∠MFC=∠DFC，
{∠MFC=∠DFC
)
∵ FC=FC ，
∠6=∠5
∴△CFD≌△CFM(ASA)，∴CD=CM，
∵AC=AM+CM
∴AC=AE+CD．
