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专题 14.1 全等三角形及其性质（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 全等三角形的概念】..................................................................................................................................2
【题型2 由全等三角形的性质判断正误】..............................................................................................................4
【题型3 由全等三角形的性质求角度】..................................................................................................................7
【题型4 由全等三角形的性质求线段长度】.......................................................................................................10
【题型5 由全等三角形的性质求周长】................................................................................................................12
【题型6 由全等三角形的性质求面积】................................................................................................................15
【题型7 由全等三角形的性质证明结论】...........................................................................................................18
【题型8 分割全等三角形】....................................................................................................................................22
知识点 1 全等三角形
1. 全等三角形的有关概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互
相重合的角叫做对应角．
2. 全等三角形的表示方法
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．
表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图
中的△ABC与△DEF全等，记作“△ABC≌△DEF”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶
点．
知识点 2 全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2. 全等三角形的其他性质
（1）全等三角形的周长相等；
（2）全等三角形的面积相等；
（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．知识点 3 全等变换
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后
的图形全等．
如图（1），把△ABC沿BC所在直线向右平移一段距离，得到△DEF，则△ABC≌△DEF．
如图（2），把△ABC沿BC所在直线翻折，得到△DBC，则△ABC≌△DBC．
如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△AED，则△ABC≌△AED．
【题型1 全等三角形的概念】
【例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，△ABC≌△CDA，下列结论：①AB与AD是对应
边；②AD与CB是对应边；③∠CAB与∠ACD是对应角；④∠BAC与∠DAC是对应角．其中正确的有
（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等
三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可．
【详解】解：由△ABC≌△CDA得：
①AB与CD是对应边，故①不符合题意；
②AD与CB是对应边，故②符合题意；
③∠CAB与∠ACD是对应角，故③符合题意；
④∠BAC与∠DCA是对应角，∠BCA与∠DAC是对应角，故④不符合题意；
故正确的有②③，
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个图形全等 B．完全重合的两个图形全等C．面积相等的两个图形全等 D．所有的等边三角形全等
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等图形、全等三角形的定义等知识点，掌握全等形的概念是解题的关键．
根据全等形的概念以及全等三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、形状相同的两个图形不一定全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形
全等，故不符合题意；
B、完全重合的两个图形全等，说法正确，符合题意；
C、面积相等的两个图形全等，说法错误，不符合题意；
D、所有的等边三角形全等，说法错误，不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC和△EAD全
等，则下列表示正确的是（ ）
A．△ABC≌△AED B．△ABC≌△EAD C．△ABC≌△DEA D．
△ABC≌△ADE
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出
对应点，即可解题．
【详解】解：∵ ∠1=∠2，
∴ E与C相对应，
∵ ∠B=∠D，
∴ B与D相对应，
∴ △ABC≌△ADE，
故选：D．
【变式1-3】（2024八年级·全国·竞赛）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同
三角形和镜面合同三角形．假如△ABC和△A′B′C′是全等三角形，且点A与点A′对应，点B与点B′对
应，点C与点C′对应．如下图，当沿周界A→B→C→A及A'→B'→C'→A'环绕时，若运动方向相
同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【答案】 /③①
【分析】①本题③主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求
解．
【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③．
【题型2 由全等三角形的性质判断正误】
【例2】如图，点A在直线l上，△ABC与△AB′C′关于直线l对称，连接BB′，分别交AC，AC′于点
D，D′，连接CC′，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAC=∠B′ AC′ B．CC′∥BB′
C．BD=B′D′ D．AD=DD′
【答案】D
【分析】利用轴对称的性质和全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵△ABC与△AB′C′关于直线l对称，
∴△ABC≅△AB′C′，BB′⊥l，CC′⊥l，AB=AB′，AC=AC′，
∴∠BAC=∠B′ AC′，CC′∥BB′，即选项A、B正确；由轴对称的性质得：OD=OD′,OB=OB′，
∴OB−OD=OB′−OD′，即BD=B′D′，选项C正确；
由轴对称的性质得：AD=AD′，但AD不一定等于DD′，即选项D不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
【变式2-1】如图，在△ABC与△EMN中，BC=MN=a，AC=EM=b，AB=c，∠C=∠M=54°
．若∠A=66°，下列结论正确的是（ ）
A．EN=c B．EN=a C．∠E=60° D．∠N=66°
【答案】A
【分析】根据SAS证明△ABC≌△ENM，再根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理逐一判断即
可．
【详解】解：∵BC=MN=a，AC=EM=b，∠C=∠M=54°，
∴△ABC≌△ENM（SAS），
∴EN=AB=c，∠E=∠A=66°，∠N=∠B=180°−54°−66°=60°，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关
键．
【变式2-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图：D、E是△ABC的边AC、BC上的点，
△ADB≌△EDB≌△EDC，下列结论：①AD=ED；②BC=2AB；③∠1=∠2=∠3；④
∠4=∠5=∠6．其中正确的有 （填序号）．【答案】①②③④
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】∵△ADB≌△EDB，
∴AD=ED，AB=BE，∠1=∠2，∠5=∠4，故①正确
∵△EDB≌△EDC，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，故③④正确
∵E是BC的中点，
∴BC=2BE，
又AB=BE，
∴BC=2AB；所以②正确
故答案为：①②③④．
【变式2-3】（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知△ABC≌△ADE，且点D恰好在△ABC的边BC
上，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD=AB B．∠E=∠C C．∠ADE=∠ADB D．AE=BD
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的
对应角相等，对应边相等．根据全等三角形的性质得出∠E=∠C，AD=AB，∠ADE=∠ABC，根据
等腰三角形的性质得到∠ADE=∠ABC，继而得到∠ADE=∠ADB，从而得解；
【详解】∵△ABC≌△ADE
∴∠E=∠C，∠ADE=∠ABC，
AD=AB，∴△ABD是等腰三角形，
∴∠ADB=∠ABC
∴∠ADE=∠ADB，
故正确的为：A，B，C，不正确的为D
故选：D
【题型3 由全等三角形的性质求角度】
【例3】（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，△OAD≌△OBC，且∠AEB=120°，∠D=25°，则
∠AOB的度数是（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解
题关键．
利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠C=∠D=25°，
∵∠AEB=120°，∠D=25°，
∴∠BED=∠AEC=120°−∠AEB=60°，
∴∠DAO=∠C+∠AEC=60°+25°=85°，
∴∠AOB=180°−∠D−∠DAO=180°−25°−85°=70°．
故选：B．
【变式3-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知图中两个三角形全等，则∠1的度数是 ．【答案】48°
【分析】本题考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．由
三角形内角和及全等的性质可得∠1=∠B=180°−60°−72°=48°，即可求解．
【详解】解：如图，
已知图中的两个三角形全等，
∴∠1=∠B=180°−60°−72°=48°，
所以∠1的度数为48°．
故答案为：48°．
【变式3-2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，若∠B=80°，∠C=30°
，∠DAB:∠DAC=4:3，则∠EFC的度数为 °．
【答案】70
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌
握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出
∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，然后根据全等三角形的性质得到∠DAE=∠BAC=70°，
∠E=∠C=30°，最后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
∵∠DAB:∠DAC=4:3，
∴∠DAC=30°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，∠E=∠C=30°，∴∠EAF=∠DAE−∠DAC=40°，
∴∠EFC=∠E+∠EAF=70°．
故答案为：70．
【变式3-3】（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，△ABC≌△DEB，顶点A、C分别与顶点D、B对
应，点E在边AB上，边DE与边AC相交于点F．
(1)若DE=10,BC=4，求线段AE的长；
(2)若∠D=20°,∠C=60°，求∠DBC的度数
【答案】(1)6
(2)40°
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对
应角相等是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得AB=DE=10,BE=BC=4，再由AE=AB−BE进行计算即可得到答案；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAC=∠D=20°,∠DBE=∠C=60°，再由三角形内角和定理可得
∠ABC=100°，最后由∠DBC=∠ABC−∠DBE进行计算即可．
【详解】（1）解：∵△ABC≌△DEB,DE=10,BC=4，
∴AB=DE=10,BE=BC=4，
∴AE=AB−BE=6；
（2）解：∵△ABC≌△DEB,∠D=20°,∠C=60°，
∴∠BAC=∠D=20°,∠DBE=∠C=60°，
∴∠ABC=180°−∠A−∠C=180°−20°−60°=100°，
∴∠DBC=∠ABC−∠DBE=40°．
【题型4 由全等三角形的性质求线段长度】
【例4】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，AB=8，已知△ABC≌△ADE，点D落
在边BC上，P是线段BD上一点，若△AEF的面积比△CDF的面积大25，点P到线段AB和线段AD的距
离之和为 ．25
【答案】
4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到
AD=AB=8,S =S ，再根据图形面积之间的关系可得S =S −S =25，设点P到线段
△ABC △ADE △ABD △AEF △CDF
1 1
AB和线段AD的距离分别为ℎ ,ℎ，连接AP，根据三角形面积计算公式可得 ×8ℎ + ×8ℎ =25，据
1 2 2 1 2 2
此求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AB=8,S =S ，
△ABC △ADE
∴S +S +S =S +S ，
△ABD △ADF △CDF △ADF △AEF
∴S =S −S ，
△ABD △AEF △CDF
∵△AEF的面积比△CDF的面积大25，
∴S =S −S =25，
△ABD △AEF △CDF
设点P到线段AB和线段AD的距离分别为ℎ，ℎ，连接AP，
1 2
∵S =S +S ，
△ABD △ABP △ADP
1 1
∴ ×8ℎ + ×8ℎ =25，
2 1 2 2
25
∴ℎ + ℎ = ，
1 2 4
25
∴点P到线段AB和线段AD的距离之和为 ，
4
25
故答案为： ．
4【变式4-1】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知△ABC≌△FDE（∠A与∠F，∠C与∠E分
别对应），AD=2，BD=3，则FD的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相
等，即可得到答案．
【详解】解： AD=2，BD=3，
AB=AD+B∵D=5，
∴△ABC≌△FDE，
∵FD=AB=5．
∴故答案为：5．
【变式4-2】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点
D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE=8，BC=12，则线段DE的长是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据△ABC≌△DEB，得出BE=BC=12，DE=AB，根
据AE=8，得出AB=AE+BE=12+8=20，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DEB，
∴BE=BC=12，DE=AB，
∵AE=8，
∴AB=AE+BE=12+8=20，
∴DE=20．
故答案为：20．
【变式4-3】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△≝¿的三边长分别为3，x−2，2y−1，若这两个三角形全等，则x+ y= ．
【答案】11或12/12或11
【分析】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关
键．
根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x，y值判断即可．
【详解】解：∵△ABC和△≝¿全等，
{ x−2=5 ) {x=7)
∴当 时，解得： ，
2y−1=7 y=4
∴x+ y=7+4=11；
{ x−2=7 ) {x=9)
当 时，解得： ，
2y−1=5 y=3
∴x+ y=9+3=12；
∴综上所述，x+ y=11或12．
故答案为：11或12．
【题型5 由全等三角形的性质求周长】
【例5】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是CD上的一点．若
△BDE≌△CDA，AB=14，AC=10，则△BDE的周长为 ．
【答案】24
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形
的性质可得DE=DA，BE=CA，即可得△BDE的周长BD+DE+BE=BD+DA+CA=BA+CA，即可
求解．
【详解】解：∵△BDE≌△CDA，
∴DE=DA，BE=CA，
∴△BDE的周长BD+DE+BE=BD+DA+CA=BA+CA，
∵AB=14，AC=10，
∴△BDE的周长为BA+CA=14+10=24．故答案为：24．
【变式5-1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，△ AOB ≌△ DOC，△ AOB的周长为10，且
BC=4，则△ DBC的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】A
【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质得出△DOC的周长为10．由全等三角
形的性质得出△DOC的周长为10，进而得出△DBC的周长=△DOC的周长+BC即可．
【详解】解：∵△ AOB ≌△ DOC，△AOB的周长为10，
∴△DOC的周长为10，OB=OC，
∴△DBC的周长=DO+OB+DC+BC
=DO+OC+DC+BC
=△DOC的周长+BC
=10+4
=14．
故选：A．
【变式5-2】（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知△ABC≌△≝¿，AB=2,AC=4，若△≝¿的周长
为偶数，则EF的取值为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．3或4或5
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，以及三角形的三边关系．首先根据
△ABC≌△≝¿得到DE=AB=2，AC=DF=4，然后利用三角形三边关系得到2<EF<6，然后利用
△≝¿的周长为偶数求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△≝¿
∴DE=AB=2，AC=DF=4，
∴4−2<EF<4+2，即2<EF<6
∴△≝¿的周长为DE+EF+DF=2+4+EF=6+EF∵△≝¿的周长为偶数
∴6+EF为偶数
∴EF为偶数
∴EF=4．
故选：A．
【变式5-3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B
，C重合），DE与AB交于点F．
(1)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数；
(2)若AD=10，BE=CE=4.5，求△ADF与△BEF的周长和；
(3)已知∠C=∠AEC=70°，若△ABC是锐角三角形，请直接写出∠B的取值范围．
【答案】(1)40°
(2)33.5
(3)20°<∠B<70°
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠CAE=∠BAD，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出AB=AD=10，BC=DE=9，然后利用三角形的周长公式求解即可；
（3）设∠B=x°，利用三角形的内角和定理可求出∠BAC=110°−x°，然后利用三角形外角的性质以及
锐角三角形的特点列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解∶∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠BAD，
∵∠CAD=110°，∠BAE=30°，
∴∠CAE+∠BAD=∠CAD−∠BAE=80°，
∴∠CAE=∠BAD=40°
（2）解：∵AD=10，BE=CE=4.5，△ABC≌△ADE，
∴AB=AD=10，BC=DE=BE+CE=9，
△ADF与△BEF的周长和为AD+DF+AF+BF+EF+BE=AD+(DF+EF)+(AF+BF)+BE
=AD+DE+AB+BE
=10+9+10+4.5
=33.5；
（3）解：设∠B=x°，
∵∠C=∠AEC=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=110°−x°，∠ACE>∠B，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠B<90°，∠BAC<90°，
{
x°<70°
)
∴ x°<90° ，
110°−x°<90°
解得20°<x°<70°，即20°<∠B<70°．
【题型6 由全等三角形的性质求面积】
【例6】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面
积为2，则△ABF的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得
BD=CD，S =S =2，求出S =S =5，即可得解．
△CDE △BDF △ABD △ACD
【详解】解：∵△BFD≌△CED，
∴BD=CD，S =S =2，
△CDE △BDF
∴S =S =S +S =3+2=5，
△ABD △ACD △ACE △CDE
∴S =S +S =7，
△ABF △ABD △BDF
故答案为：7．
【变式6-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，若△ABC≌△EBD，且BD=4,AB=8，则阴影部
分的面积S = ．
△ACE【答案】16
【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知AB=EB=8,BC=BD=4，然后结合三角形的面积公式
作答．
【详解】解：∵△ABC≌△EBD，BD=4,AB=8，
∴AB=EB=8,BC=BD=4，
∴EC=EB−BC=8−4=4．
1 1
∴S = EC×AB= ×4×8=16．
ΔACE 2 2
故答案为：16．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键．
【变式6-2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，将
Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△≝¿，DE交BC于G，已知AD=5，BG=4，则阴影部分的面积为
．
【答案】35
【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键．
由平移得△ABC≌△≝¿，于是阴影部分面积等于梯形EFCG的面积，求得梯形EFCG的面积=
1
×（9+5）×5=35，于是阴影部分的面积=35．
2
【详解】解：∵△ABC沿着点A到点C的方向平移到△≝¿的位置，
∴△ABC≌△≝¿，
∴阴影部分面积等于梯形EFCG的面积，由平移的性质得，EF=BC=9，DF=AC，
∴DF−CD=AC−CD，
∴CF=AD=5，
∵BG=4，
∴CG=BC−BG=5，
1
∴梯形EFCG的面积= ×（9+5）×5=35，
2
∴阴影部分的面积=35．
故答案为：35．
【变式6-3】（24-25九年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角
形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作
AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．已知DE=6，AF=3，则△ABC的面积为
．
【答案】36
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键．
由题意可知△ADF≌△BDG，△AEF≌△CEH，于是可得AF=BG，DF=DG，AF=CH，EF=EH
，进而可得BG=CH=AF=3，BC=GH=12，然后根据△ABC的面积=长方形BCHG面积即可得解．
【详解】解：由题意可知：
△ADF≌△BDG，△AEF≌△CEH，
∴AF=BG，DF=DG，AF=CH，EF=EH，△ABC的面积=四边形BCHG面积
∴BG=CH=AF=3，
GH=DG+DF+EF+EH=2DE=12
∵四边形BCHG是长方形，
∴∠H=90°，BC=GH=12
∴S =S =BC⋅BG=12×3=36，
△ABC 长 方 形BCHG
故答案为：36．
【题型7 由全等三角形的性质证明结论】
【例7】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知△ABD≌△CFD,AD⊥BC于D．(1)判断CE与AB的位置关系，并说明理由．
(2)已知BC=7,AD=5，求AF的长．
【答案】(1)CE⊥AB，理由见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂线的定义得到∠ADC=90°，由全等三角形的性质得到∠DAB=∠DCF，据此可利用三角
形内角和定理证明∠AEF=∠CDF=90°，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得BD=FD，AD=DC=5，从而求得BD=FD=2，即可求解．
【详解】（1）解：CE⊥AB，理由如下：
∵AD⊥BD，
∴∠ADC=90°，
∵△ABD≌△CFD，
∴∠DAB=∠DCF，
又∵∠AFE=∠CFD，∠AEF+∠AFE+∠EAF=∠DFC+∠DCF+∠CDF=180°，
∴∠AEF=∠CDF=90°，即CE⊥AB。
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD=FD，AD=DC，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC−DC=7−5=2，
∴FD=2，
∴AF=AD−FD=5−2=3．
【变式7-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知△ABC≌△≝¿，∠A=85°，∠B=60°，
AB=8，EH=2．(1)求∠F的度数与DH的长；
(2)求证：AB∥DE．
【答案】(1)35°，6
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能
根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠B=∠≝¿，∠ACB=∠F，注意：全等三角形的对应边相等，
对应角相等，难度适中．
（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得
出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠≝¿，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）解：∵∠A=85°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=35°，
∵△ABC≌△≝¿，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，
∴DH=8−2=6；
（2）证明：∵△ABC≌△≝¿，
∴∠≝=∠B，
∴AB∥DE．
【变式7-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，△ABC≌△EDF，点A，F，C，E在一条直线
上．
(1)求证：AF=CE；
(2)连接AD．若∠DAF=∠AFD=∠ADE=2∠B，求∠E的度数．
【答案】(1)见详解(2)36°
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据△ABC≌△EDF得出AC=EF,根据AF+FC=CE+CF，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质得出∠B=∠EDF，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC≌△EDF，
∴AC=EF，即AF+FC=CE+CF，
∴AF=CE；
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴∠B=∠EDF，
∵∠DAF=∠AFD=∠ADE=2∠B，
∴∠ADE=2∠EDF，
∴DF平分∠ADE，
1
∠ADF= ∠ADE，
2
设∠ADF=x°，则∠DAE=∠AFD=∠ADE=2x°
在△ADF中，根据三角形内角和定理，得
∴x+2x+2x=180，
∴∠E=36°
【变式7-3】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的
高．
(1)求证：∠ABE=∠ACF；
(2)当△ABD≌△GCA时，AD与AG的位置关系如何，请说明理由．
【答案】(1)∠ABE=∠ACF
(2)AD⊥AG，理由见详解
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．（1）先由三角形的高线，得出∠AEB=∠AFC=90°，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答．
（2）先由△ABD≌△GCA得出∠AGF=∠DAF，根据三角形的高线，得出∠AFC=90°，再结合直角
三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答．
【详解】（1）解：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高．
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠BAC=∠BAC，
∴∠ABE=90°−∠BAC,∠ACF=90°−∠BAC,
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：AD⊥AG，理由如下：
∵△ABD≌△GCA，
∴∠AGF=∠DAF，
∵CF是AB两边上的高．
∴∠AFG=90°，
∴∠AGF+∠GAF=90°，
即∠DAF+∠GAF=90°，
∴∠GAD=90°，
∴AD⊥AG．
【题型8 分割全等三角形】
【例8】你能把一个等边三角形分成2个、3个、4个、6个全等三角形吗？在图中分别画出分割图形．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形、等边三角形、中线等知识根据要求画出图形即可．
【详解】解：如图所示，能分成两个、三个、四个、六个全等的三角形．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计，重点考查了全等三角形、等边三角形、中线线等知识，理解相关知
识，熟知等边三角形性质并根据要求灵活应用是解题关键．【变式8-1】如图：网格中每个小正方形的边长均为1，等腰△ABC的三个顶点在小正方形的顶点上，按要
求完成以下问题：
在图中，用一条线段AD将△ABC分成2个全等的直角三角形；
【答案】见详解
【详解】解：依题意，如图所示：AD即为所求，
【变式8-2】小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长
方形，于是他对含60°的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等
的直角三角形．
请你在图中依次画出分割线；
【答案】图形见详解
【分析】本题考查了作图—应用与设计，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
根据要求画出图形即可；
【详解】解：分割线如图所示：【变式8-3】如图，在△ABC中，∠B=∠C=30°．请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成四个小三
角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是不全等的直角三角形、请画出分割线段，并在两个全等
三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查作图—应用与设计作图，全等三角形性质．
【详解】解：作图如下，
