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第十四章 全等三角形·培优卷
【人教版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键．
根据全等三角形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个
图形全等，故不符合题意；
B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意；
D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意．
故选：B．
2．（3分）（2025·贵州铜仁·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可
以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的∠AOB的两边分别取OM=ON，将无弹性的绳子对
折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面
∠AOB内，则OP平分∠AOB．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出
∠AOP=∠BOP．这里三角形全等的判定方法是（ ）
A． SSS B． SAS C． AAS D． ASA
【答案】A【分析】根据题意，得OM=ON，PM=PN，结合OP=PO即可证明△PMO≌△PNO(SSS)，即可得证
∠AOP=∠BOP．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得OM=ON，PM=PN，
{OM=ON
)
∵ PM=PN ，
PO=PO
∴△PMO≌△PNO(SSS)，
∴∠AOP=∠BOP，
故选：A．
3．（3分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是∠AOB的角平分线上的一点，CD⊥OA于点
D，CD=3，OD=5，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（ ）
A．2 B．5 C．3 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等、垂线段最短的性质．熟记全等三角形的判定是解题的关键．当CP⊥OB
时，根据三角形全等可得CD=CP，再根据全等的性质解答即可．
【详解】解：根据垂线段最短可知：当CP⊥OA时距离最小，
∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CP⊥OB，
∴∠AOC=∠BOC，∠ODC=∠OPC，
∵OC=OC，
∴△COD≅△COP，
∴CD=CP，
∵CD=3，
∴CP=3．
故选：C．
4．（3分）（24-25七年级下·山西晋中·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．
在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD、∠BAE=∠DAC、AC=AE．则可以直接判定（ ）
A．ΔADG≅ΔABF B．△ABC≌△ADE
C．ΔAFC≅ΔAGE D．ΔAED≅ΔACF
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
根据已知条件，分析△ABC和△ADE，易得△ABC≌△ADE(SAS)．
【详解】解：∵∠BAE=∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中，
{
AB=AD
)
∠BAC=∠DAE ，
BC=DE
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
故选B．
5．（3分）（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC=CD，
连接AB、ED，AB=DE．若AC=3.5，BD=9，则CE的长为（ ）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，得到AC=CD，
BC=CE，即可求解．【详解】解：∵EC⊥BD，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
{AB=DE)
，
AC=CD
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴AC=CD，BC=CE，
∵AC=3.5，BD=9，
∴CE=BC=BD−CD=BD−AC=9−3.5=5.5，
故选：A．
6．（3分）（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，DF交AC于点E，
DE=EF，FC∥AB，若BD=1，CF=3，则AB的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“AAS”
证明△AED≌△CEF，得到AD=CF=3，即可求出AB的长．
【详解】解：∵FC∥AB，
∴∠F=∠ADE，∠A=∠ECF，
∵DE=EF，
∴△AED≌△CEF(AAS)，
∴AD=CF=3，
∵BD=1，
∴AB=AD+BD=4，
故选：B．
7．（3分）（2025·四川成都·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AB，BC上，添
加下列条件后不能判定△ACE与△CBD全等的是（ ）A．AD=BE B．∠ADC=∠AEB C．∠CAE=∠BCD D．CD=AE
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB，AB=BC=AC，
A、由AD=BE，AB=BC得到BD=CE，由SAS判定△ACE≌△CBD，故A不符合题意；
B、由∠ADC=∠AEB，得到∠BDC=∠AEC，由AAS判定△ACE≌△CBD，故B不符合题意；
C、由ASA判定△ACE≌△CBD，故C不符合题意；
D、∠B和∠ACE分别是CD和AE的对角，不能判定△ACE≌△CBD，故D符合题意．
故选：D．
8．（3分）（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE为AC边上中线，
AD与BE交于点F，连接CF．若CF平分∠ACB，DF=3，AC=10，则△AEF的面积为（ ）
15 15
A．30 B．15 C． D．
2 4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．作FG⊥AC于点G，根据三角形的角平分线的性质定理求得
FG=DF=3，利用三角形的面积公式得到S =15，再根据三角形的中线性质即可求解．
△ACF
【详解】解：作FG⊥AC于点G，∵AD⊥BC，CF平分∠ACB，DF=3，
∴FG=DF=3，
∵AC=10，
1 1
∴S = AC×FG= ×10×3=15，
△ACF 2 2
∵BE为AC边上中线，
1 15
∴S = S = ，
△AEF 2 △ACF 2
故选：C．
9．（3分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，△ABC中，点D为AC的中点．点E是AC下方一点，
连接BE，CE．BD平分∠ABE，CE ∥AB，若CE=3，BE=7，则AB的长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】连接ED并延长交AB于点F，在BD的延长线上取一点H，使DH=DB，连接FH，证明
△ADF≌△CDE(ASA)，得AF=CE=3，DE=DF，再证明△DHF≌△DBE(SAS)得
HF=BE=7，∠H=∠DBE，进而得BF=HF=7，由此即可得出AB的长．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形
的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【详解】解：连接ED并延长交AB于点F，在BD的延长线上取一点H，使DH=DB，连接FH，如图，
∵点D为AC的中点，CE=3，BE=7，
∴AD=CD，∵ CE ∥AB，
∴∠A=∠DCE，
又∵∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE(ASA)，
∴AF=CE=3，DE=DF，
∵DE=DF，∠FDH=∠EDB，DH=DB，
∴△DHF≌△DBE(SAS)，
∴HF=BE=7，∠H=∠DBE，
∵BD平分∠ABE，
∴∠DBE=∠DBF，
∴∠H=∠DBF，
∴BF=HF=7，
∴AB=AF+BF=3+7=10，
故选：B．
10．（3分）（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平
分∠BAD．有下列结论：①DE=BE；②∠EAB=∠CED；③∠AED=90°；④AD=AB+CD．
其中正确的是（ ）
A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】过E作EF⊥AD于F，易证得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到
BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，得到EC=EF=BE，则可证得
Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC=DF，∠FDE=∠CDE，也可得到AD=AF＋FD=AB＋DC，
1
∠AED=∠AEF＋∠FED= ∠BEC=90°，即可判断出正确的结论．
2
【详解】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，DC⊥BC，
∴BE=EF，AE=AE，∠B=∠C=90°，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，∠BAE+∠AEB=90°，
∴AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以①错误；
∵EC=EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，
1
∴AD=AF＋FD=AB＋DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF＋∠FED= ∠BEC=90°，所以③
2
正确，
∴∠AEB+∠CED=90°，
∴∠EAB=∠CED，所以②正确．
综上：②③④正确．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与
性质．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，点F,A,D,C在同一直线上，EF∥BC，且
EF=BC,DE∥AB，已知AD=4，CF=13，则AC的长为 ．
【答案】8.5【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段的和与差．掌握三角形全等的判定定理
和性质定理是解题关键．根据平行线的性质结合题意易证明△BAC≌△EDF(AAS)，得出AC=DF，从而
可证CD=AF，结合AD=4，CF=13，即可求出CD=AF=4.5，从而可求出AC=AD+CD=8.5．
【详解】解：∵EF∥BC，DE∥AB，
∴∠C=∠F，∠BAC=∠EDF，
又∵EF=BC，
∴△BAC≌△EDF(AAS)，
∴AC=DF，
∴AC−AD=DF−AD，即CD=AF
∵AD=4，CF=13，
1 1
∴CD=AF= (CF−AD)= ×(13−4)=4.5，
2 2
∴AC=AD+CD=4+4.5=8.5．
故答案为：8.5．
12．（3分）（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块
（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的 块带去，就能配一块大小和形状与原来
都一样的三角形．
【答案】2
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故答案为：2．
13．（3分）已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
【答案】3【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到
难，逐个验证．
【详解】解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
14．（3分）（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在△PAB中，∠A=∠B，M、N、K分别是PA，
PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK．若∠MKN=40°，则∠P的度数为 ．
【答案】100°/100度
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定
△AMK≌△BKN是解题的关键．由条件可证明△AMK≌△BKN，再结合外角的性质可求得
∠A=∠MKN，再利用三角形内角和定理即可求得∠P．
【详解】解：在△AMK和△BKN中，
{AM=BK
)
∠A=∠B ，
AK=BN
∴△AMK≌△BKN(SAS)，
∴∠AMK=∠BKN．
∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，
∴∠A=∠MKN=40°，
∴∠P=180°−∠A−∠B=180°−40°−40°=100°．
故答案为：100°．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
【答案】3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
{AD=AD)
，
AF=AC
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决
问题，属于中考常考题型．
16．（3分）（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6，延长BC到点E，使CE=3，连接DE，动点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设
点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP和△DCE全等．
13
【答案】1或
3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在BC上时，若BP=CE=3；当点P在
AD上时，若AP=CE=3，结合全等三角形的判定解答即可．
【详解】解：在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠BCD=90°，AB=CD=4,,AD=BC=6，
∴∠DCE=90°=∠B=∠A，
当点P在BC上时，若BP=CE=3，
∵AB=CD，∠DCE=∠B，BP=CE，
∴△ABP≌△DCE，满足条件，
此时t=3÷3=1；
当点P在AD上时，若AP=CE=3，
∵AB=CD，∠DCE=∠B，AP=CE，
∴△ABP≌△CDE，满足条件，
13
此时t=(4+6+6−3)÷3= ；
3
13
综上所述，当t的值为1或 秒时，△ABP和△DCE全等．
3
13
故答案为：1或 ．
3
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级上·北京·期中）如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF，
AE=DF，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DFB；
(2)若∠A=45°，∠ECD=120°，求∠F的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠F=75°
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形全等的性质与判定，掌握全等知识点的应用
是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得∠A=∠D，根据线段的和差关系可得AC=DB，进而根据即证明；
（2）由全等三角形的性质得∠E=∠F，再通过三角形外角性质求出∠E即可；
【详解】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中
{
AC=DB
)
∠A=∠D ，
AE=DF
∴△AEC≌△DFB(SAS)；
（2）解：由（1）得△AEC≌△DFB，
∴∠E=∠F，
∵∠ECD=∠A+∠E，∠A=45°，∠ECD=120°，
∴∠E=120°−45°=75°，
∴∠F=75°．
18．（6分）（24-25七年级下·四川成都·期末）如图所示，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，
连接DE并延长至点F，使得EF=ED，连接CF．(1)求证：CF∥AB；
(2)若BE⊥AC，BD=2，CF=3，求BC．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是
解题的关键．
（1）可证明△AED≌△CEF得到∠A=∠ECF，据此可证明CF∥AB；
（2）证明△ABE≌△CBE得到BC=AB；再由全等三角形的性质得到AD=CF=3，据此求出AB的长即
可得到答案．
【详解】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE=CE，
又∵EF=ED，∠AED=∠CEF，
∴△AED≌△CEF(SAS)，
∴∠A=∠ECF，
∴CF∥AB；
（2）解；∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
又∵BE=BE，AE=CE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴BC=AB；
∵△AED≌△CEF，
∴AD=CF=3，
∵BD=2，
∴AB=AD+BD=5，
∴BC=5．
19．（8分）（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【主题】：军事训练中的距离测量问题：
【素材】：在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点A）与对岸目标（点B）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处
野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方
法来解决这一难题．
【实践操作】：如图所示：
步骤1：面向点B竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点B；
步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点C；
步骤3：步测得AC=28米，已知小王身高为AO，帽顶O到眼睛D的垂直距离为OD．
【问题解决】：
(1)由上面实践操作可以知道AB距离是______米；
(2)请用你所学数学知识，说明（1）中所填结论的正确性．
【答案】(1)28
(2)见解析
【分析】(1)根据全等三角形的性质求解；
(2)根据全等三角形的性质求解．
本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由上面实践操作可以知道AB距离是28米；
故答案为：28；
（2）解：在△BAD和△CAD中，
{∠BAD=∠CAD=90°
)
AD=AD ，
∠BDA=∠CDA
∴△BAD≌△CAD(ASA)，
∴AB=AC=28米．
20．（8分）（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，点B、
C在DE的两侧，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E，且AD=CE．(1)求证：AB⊥AC；
(2)若CE=7，BD=4，请求出DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得出∠ADB=∠AEC=90°，再由全等三角形的判定得出Rt△ABD≅Rt△CAE，结合其
性质及等量代换确定∠BAC=90°，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
{AB=AC)
∵ ，
AD=CE
∴Rt△ABD≅Rt△CAE(HL)．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
（2）解：由（1）得，Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴BD=AE，
∵AD=CE．
而DE=AD−AE，CE=7，BD=4，
∴DE=7−4=3，
答：DE的长为3．
21．（10分）（24-25八年级上·吉林·期末）如图，已知△ABC中AB=AC，点D在AC上，连接BD，并
延长至点E，使AE=AB．(1)画图：作∠EAC的平分线交DE于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE=∠ACF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练
掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）作出∠EAC的平分线即可；
（2）证明△EAF≌△CAF得出∠E=∠ACF，进而即可得证．
【详解】（1）解：如图，AF即为所求：
；
（2）证明：∵AB=AC，AE=AB，
∴AC=AB=AE，∠E=∠ABE，
由（1）知：AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠CAF，
在△EAF和△CAF中，
{
AE=AC
)
∠EAF=∠CAF ，
AF=AF∴△EAF≌△CAF(SAS)，
∴∠E=∠ACF，
∴∠ABE=∠ACF．
22．（10分）（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，
过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED的高．
(1)若∠BED=40°，∠BAD=25°，求∠ABD的度数；
(2)若AB=16，BD=8，△ABC的面积为64，求EM的长．
【答案】(1)30°
8
(2)
3
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，
灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）由三角形外角的性质可得∠ABE=15°，再根据角平分线的定义即可解答；
（2）由三角形中线的性质可得△ABD的面积为32，再根据角平分线的性质可得NE=ME，再根据
S =S +S =32列方程求解即可．
△ABD △ABE △BDE
【详解】（1）解：∵∠BAD=25°，∠BED=40°，
∴∠ABE=∠BED−∠BAD=40°−25°=15°，
∵BE为△ABD的角平分线，
∴∠ABD=2∠ABE=30°．
（2）解：∵AD为△ABC的中线，△ABC的面积为64，
∴△ABD的面积为32，
∵BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB，EM为△BED的高，
∴NE=ME，
∵S =S +S =32，
△ABD △ABE △BDE
1 1
∴ AB·NE+ BD·ME=32，
2 2
∵AB=16，BD=8，NE=ME，1 1 8
∴ ×16ME+ ×8ME=32，解得：ME= ．
2 2 3
23．（12分）（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=90∘，延长AC
到点D，连接BD，过点B作BE⊥BD，过点A作AE⊥AC，连接DE，点F是DE的中点，连接AF，过
点D作DG⊥AD，交AF的延长线于点G．
(1)请说明线段AE与线段DG平行吗？并说明理由．
(2)请说明△AEF与△GDF全等吗？并说明理由．
(3)请说明线段CD与线段DG的关系？并说明理由．
【答案】(1)线段AE与线段DG平行，理由见解解析
(2)△AEF与△GDF全等，理由见解解析
(3)CD⊥DG，CD=DG，理由见解解析
【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质与判定，熟练掌握
等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
（1）根据AE⊥AC，DG⊥AD，点D在AC的延长线上即可得出答案；
（2）根据AE∥DG得∠FEA=∠FDG，∠FAE=∠FGD，根据点F是DE的中点得EF=DF，由此可
判定△AEF≌△GDF；
（3）根据DG⊥AD得CD⊥DG，由等腰直角三角形性质得∠BAC=∠BCA=45°，进而得
∠BAE=∠BCD=135°，证明∠ABE=∠CBD，则可依据“ASA”判定△ABE≌△CBD得AE=CD，
再由（2）的结论得AE=DG，由此得CD=DG．
【详解】（1）线段AE与线段DG平行，理由：
∵AE⊥AC，DG⊥AD，点D在AC的延长线上，
∴AE∥DG；
（2）△AEF与△GDF全等，理由：
∵AE∥DG，∴∠FEA=∠FDG，∠FAE=∠FDE，
∵点F是DE的中点，
∴EF=DF，
在△AEF与△GDF中，
{∠FEA=∠FDG
)
∠FAE=∠FGD ，
EF=DF
∴△AEF≌△GDF(AAS)；
（3）线段CD与线段DG的关系是：CD⊥DG，CD=DG，理由：
∵DG⊥AD，
∴CD⊥DG，
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∴∠BCD=180°−∠BCA=135°，
∵AE⊥AC，
∴∠BAE=90°+∠BAC=135°，
∴∠BAE=∠BCD=135°，
∵BE⊥BD，
∴∠ABC=∠EBD=90°
∴∠ABC−∠EBC=∠EBD−∠EBC
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE和CBD中，
{∠BAE=∠BCD
)
AB=BC ，
∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD(ASA)，
∴AE=CD，
由（2）知：△AEF≌△GDF，
∴AE=DG，
∴CD=DG，
综上可知，线段CD与线段DG的关系是：CD⊥DG，CD=DG．
24．（12分）（24-25七年级下·广东深圳·期末）定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共
角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”．例如，在图1中，△MPQ与△MPN有公共边MP和公共角∠M，且PQ=PN，则△MPQ与△MPN是双赢三角形．如图2，在△ABC
中，D是AB边上任意一点．
(1)若△ACD和△ACB是“双赢三角形”，∠BCD=42°，则∠B= ；
(2)如图3，延长CD到点E，连接AE和BE，∠ACD=∠ECB，∠CDB+∠CBE=180°，AD=EB．
①试说明：△ACD与△ACB是“双赢三角形”；
②若BC=12，AC=18，求DE的长；
③若∠CAB=54°，∠ABC=78°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)69°
(2)①证明见解析；②DE=6；③132°
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角性质，熟
练掌握相关的知识和方法并读懂新定义概念是解题的关键．
（1）利用新定义可得CB=CD，根据等边对等角求解；
（2）①根据AAS证明△ADC≌△EBC可得CD=CB，据此证明即可；
②由△ADC≌△EBC得CE=AC=18，再利用线段和差求解即可；
③根据等腰三角形的性质，结合外角性质求∠ACE，再利用等腰三角形的性质求∠AEC，最后利用角的
和差求解即可．
【详解】（1）∵△ACD和△ACB是“双赢三角形”，
∴CB=CD，
180°−∠BCD
∴∠B=∠CDB= =69°，
2
故答案为：69°；
（2）①∵∠CDB+∠CBE=180°，∠CDB+∠CDA=180°，
∴∠CDA=∠CBE，
在△ADC和△EBC中，{∠ACD=∠BCE
)
∵ ∠CDA=∠CBE ，
AD=EB
∴△ADC≌△EBC(AAS)，
∴CD=CB，
∴△ACD与△ACB是“双赢三角形”；
②由①得△ADC≌△EBC，
∴CE=AC=18，
又∵CD=CB=12，
∴DE=CE−CD=18−12=6；
③由①得CD=CB，
∴∠CDB=∠ABC=78°，
∵∠CDB=∠ACE+∠CAB，
∴∠ACE=∠CDB−∠CAB=78°−54°=24°，
由②得CE=AC，
180°−∠ACE
∴∠AEC=∠CAE= =78°，
2
由由①得△ADC≌△EBC，
∴∠CEB=∠CAB=54°，
∴∠AEB=∠AEC+∠CEB=78°+54°=132°．
