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专题 14.2 全等三角形的判定（一）（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】....................................................................................................2
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】....................................................................................................3
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】....................................................................................................4
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】.....................................................................................................5
【题型5 三角形的稳定性】......................................................................................................................................6
【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】........................................................................................8
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】..............................................................................................................9
【题型8 二次证明三角形全等】............................................................................................................................11
知识点 1 基本事实“边角边”（ SAS ）
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”．
{
AB=DE，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠A=∠D，
AC=DF，
∴△ABC≌△≝(SAS)．
知识点 2 基本事实“角边角”（ ASA ）
1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”．
{∠A=∠D，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， AB=DE，
∠B=∠E，
∴△ABC≌△≝(ASA)．
知识点 3 “ 角边角”的推论“角角边”（ AAS ）
1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“角角边”或“AAS”．{∠A=∠D，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， ∠B=∠E，
BC=EF，
∴△ABC≌△≝(AAS)．
知识点 4 基本事实“边边边”（ SSS ）
1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”．
{AB=DE，
2. 数学语言表达：如下图，在△ABC与△DEF中， BC=EF，
AC=DF，
∴△ABC≌△≝(AAS)．
知识点 5 三角形的稳定性
生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形
的这个性质叫做三角形的稳定性．
三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，
利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用．
知识点 6 斜边、直角边定理（ HL ）
1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2. 数学语言表达:如图，在 Rt△ABC与 Rt△A′B′C′中（∠C与∠C′为直角），
{AB=A′B′，
BC=B′C′，
．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
【题型1 “边角边”（SAS）证明三角形全等】
【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图．△ABC中．AB=AC，AD平分∠BAC．点E为
AD上一点．则图中全等三角形有 对．【变式1-1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任
务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，只要测得C，D之间
的距离，就可知道内径AB的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【变式1-2】（2025九年级下·云南·学业考试）如图，在△ABC和△≝¿中，AB=DE，BE=CF，
∠ABC=∠≝¿（点B，E，C，F在同一条直线上）．求证：△ABC≌△≝¿．
【变式1-3】（2025·安徽·一模）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3，CD=6，
则AC= ．
【题型2 “角边角”（ASA）证明三角形全等】
【例2】（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知∠3=∠4，要说明△ABC≌△DCB，若以“
ASA”为依据，则需添加一个条件是 ．【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学
的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【变式2-2】（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，
AB=AD，∠B=∠D．求证：△ABC≌△ADE．
【变式2-3】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线
MN上取A，B两点，再在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，过点D再画出BF的垂线
DE，使点E与A，C在一条直线上，若此时测得DE=16m，AM=0.5m，BN=1.5m，则池塘两岸M，N
两点间的距离为 m．
【题型3 “角角边”（AAS）证明三角形全等】【例3】（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，∠ACB=90°，CA=CB，分别过点A，B作过点C的
直线的垂线AM，BN．若AM=3cm，BN=5cm，则MN的长为（ ）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【变式3-1】（24-25八年级上·重庆万州·期中）如图，AE∥FD,CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要
添加的条件可以是下列选项中的（ ）
A．AB=BC B．∠E=∠F C．∠A=∠D D．AE=DF
【变式3-2】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知AD是△ABC边BC的中线．CE∥BF，
CE、BF与直线AD的交点分别为点E、F，请说明△CDE与△BDF全等的理由．
【变式3-3】如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④AD−BE=DE，其中正确的有 ．
【题型4 “边边边”（SSS）证明三角形全等】
【例4】如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；
(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
【变式4-1】（24-25八年级上·四川泸州·期末）分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理
标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张
开示意图，AE=AF，¿=GF，则△AEG≌△AFG的判定依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【变式4-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，D是BC上一点，AB=AD，BC=DE，AC=AE．
求证：△ABC≌△ADE．
【变式4-3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∠BAD=20°，DE⊥AC于E，求∠EDC的度数．
【题型5 三角形的稳定性】
【例5】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一
端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
【变式5-2】如图，小明做了一个长方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案是
．
【变式5-3】（2025·广东江门·一模）三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要
钉上 根木条．【题型6 斜边、直角边定理（HL）证明三角形全等】
【例6】（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体
操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动
该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m
交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：
．
【变式6-1】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC=CD，点B在CD
上，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（ ）
A．CE=BC B．AB=DE
C．∠A=∠D D．∠ABC=∠E
【变式6-2】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，
∠BCA=∠BAC，F为边AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF
．【变式6-3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段AB上，且AD=BC，分别过
点C，D 在AB 的异侧作FC⊥AB，ED⊥AB，连接EF交AB于点G，AE=BF．
(1)求证：DE=CF．
(2)求证：G是线段AB的中点．
【题型7 灵活选用方法证明三角形全等】
【例7】（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】
我们知道：三角形全等的判定方法有：“SSS，SAS，ASA，AAS”，面对于“SSA”，课本第38页提供了
如下材料：
思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得
到△ABD，这个实验说明了什么？
这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不一定成立．那
么，什么情况下，“SSA”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究．
【初步思考】
我们不妨设这个对应角为∠B，然后对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行
探究．
【深入探究】
(1)第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△≝¿．如图2，在△ABC和△≝¿中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道
Rt△ABC≌Rt△≝¿．
(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△≝¿．
如图3，在△ABC和△≝¿中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，李明由（1）受
到了启发，很快证出了△ABC≌△≝¿．请聪明的你完成李明的推理过程；
(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△≝¿不一定全等．
①如图4，在△ABC和△≝¿中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，则
△ABC≌△≝¿的结论是否仍然成立；请说明成立的理由；
②如图4，△ABC和△≝¿是不全等的，∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△≝¿？请直接写出结
论： ．
【变式7-1】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，已知△ABC各内角的度数和各边的长度．下面是同
学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与△ABC全等的
是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（24-25七年级下·北京·期中）下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 ．
①AB=3，BC=7，CA=11，
②∠A=30°，∠B=70°，AC=3；
③∠A=30°，AB=7，BC=11；
④∠A=30°，AB=14，BC=9．
【变式7-3】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=FC，∠A=∠EDF，请从以下三个选项中①AB=DE，②∠ACB=∠DFE，③∠B=∠E，选择一个选项作
为已知条件，使得△ABC≌△≝¿．
(1)你选择添加的选项是______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明△ABC≌△≝¿．
【题型8 二次证明三角形全等】
【例8】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形ACBD中，E是对角线AB上一点，AC=AD
，BC=BD，求证：△AEC≌△AED．
【变式8-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，△ABC和△DCB的顶点A和D在BC的同侧，
AB=DC，AC=DB，AC交DB于点O，试说明：△ABO≌△DCO．
下面是小明的解答过程：
解：在△ABC和△DCB中，因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB，所以
△ABC−△OBC≌△DCB−△OBC，所以△ABO≌△DCO．
请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来．
【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC>AD，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【变式8-3】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路．
如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在射线ON上截取OB=OA，
连结BC，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上
面的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB，AC上的点，且
∠AED+∠AFD=180°．求证：DE=DF．（两个内角相等的三角形是等腰三角形）
（2）如图3，在非等边△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且
AD、CE交于点F，求证：AC=AE+CD．
