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专题 13.2 三角形的中线、角平分线、高（举一反三讲义）
【人教版2024】
题型归纳
【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】..............................................................................................................2
【题型2 利用三角形的中线求长度】......................................................................................................................5
【题型3 利用三角形的中线求面积】......................................................................................................................8
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】...........................................................................................................12
【题型5 等积法求值】............................................................................................................................................16
【题型6 与角平分线有关的求值】........................................................................................................................19
【题型7 与角平分线有关的证明】........................................................................................................................25
举一反三
知识点 1 三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，三角
形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的重心在三角形内部.
知识点 2 三角形的角平分线
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线.任
意一个三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点，且在三角形的内部.
知识点 3 三角形的高
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
2.三角形的三条高的特性名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位
三角形内部 直角顶点 三角形外部
置
【题型1 中线、角平分线、高概念辨析】
【例1】（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足
与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的
垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A不符合题意，∵BE⊥AC，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意；
∵CF⊥AB于点F，
∴CF是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部
C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线
【答案】B
【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分
析即可．
【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意；
B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意；
C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意；
D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定AD是△ABC的角平分
线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据AD是△ABC的角
平分线，可推出AD是∠BAC 的角平分线，再根据翻折可知道C 与C' 是对称点，即可求出答案．
【详解】解：由图形可知，若AD是△ABC的角平分线，根据折叠关系可得∠C' AD=∠CAD ，选项中符合这一条件只有B．
故选：B．
【变式1-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AD，AE，BF分
别是△ABC的高线，中线和角平分线，且AD与BF相交于点G，下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BAD=∠C B．∠AGF=∠AFG C．S =S D．AC−AE<DE
△ABE △AEC
【答案】D
【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形内角和定理，利用高线的定义得
出AD⊥BC，得出∠ABC+∠BAD=90°，再结合∠BAC=90°，即可判断选项A；利用角平分线的定
义判断选项B；利用中线定义得出BE=CE，即可判断选项C；无法得出选项D．
【详解】解：A、∵AD是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB+∠CAD+∠ADC=180°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴结论A正确，故该选项不符合题意；
B、∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠ABF+∠AFB=∠DBG+∠BGD，
∴∠BGD=∠AGF，
∵∠BGD=∠AGF，
∴∠AGF=∠AFG，
∴结论B正确，故该选项不符合题意；
C、∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE，
1 1
∴ BE⋅AD= CE⋅AD，
2 2
即S =S ，
△ABE △AEC
∴结论C正确，故该选项不符合题意；
D、∵AC−AE<CE，但不一定小于DE，
故选项D错误，符合题意，
故选：D．
【题型2 利用三角形的中线求长度】
【例2】（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把△ABC的周长分成24
和12的两部分，则AB的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论
思想是解题的关键．
1
设AB=AC=x，BC= y，则AD=BD= x，再分AD+AC=24且BD+BC=12和AD+AC=12且
2
BD+BC=24两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答．
1
【详解】解：设AB=AC=x，BC= y则AD=BD= x，
2
1
{ x+x=24)
2 {x=16)
当AD+AC=24且BD+BC=12时，即 ，解得： ，
1 y=4
x+ y=12
2
∴AB=AC=16，BC=4，
∵16+4≥16，
∴能组成三角形，即AB=16符合题意；1
{ x+x=12)
2 { x=8 )
当AD+AC=12且BD+BC=24时，即 ，解得： ；
1 y=20
x+ y=24
2
∴AB=AC=8，BC=20，
∵8+8=16<20，
∴三边不能组成三角形，即AB=8不符合题意；
综上，AB的长是16．
故选A．
【变式2-1】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若
CE=9cm，则BC= ．
【答案】12
1 1
【分析】根据AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，得到CD=BD= BC，DE= BD，再根据
2 2
3
CE=DE+CD= BC，即可得到答案．
4
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
1 1
∴CD=BD= BC，DE= BD，
2 2
1 1 3
∴CE=DE+CD= BC+ BC= BC．
4 2 4
∵CE=9cm，
4
∴BC=9× =12cm
3
故答案为：12．
【点睛】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识．
【变式2-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，△ABC中，AB=10,AC=8，AD为BC边上的中
线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是 ．【答案】24
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据
三角形的中线的概念得到BD=DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：∵AD为BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵△ACD的周长为22，
∴AC+AD+CD=22，
∴AC+AD+BD=22，
∵AC=8，
∴AD+BD=14，
∵AB=10，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=10+14=24，
故答案为：24．
【变式2-3】（24-25八年级上·广西·期中）如图①是一张三角形纸片ABC，将BC对折使点C与点B重
合，如图②所示，折痕与BC的交点记为D．
(1)请在图②中画出△ABC边BC上的中线；
(2)若AB=10cm，AC=15cm，求△ACD与△ABD的周长差．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【分析】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到BD=DC是解题的关键．
（1）由翻折的性质可知BD=DC，然后连接AD即可；
（2）由BD=DC可知△ABD与△ACD的周长差等于AB与AC的差．【详解】（1）解：连接AD，如图所示，边BC上的中线AD为所求；
（2）解：∵△ACD周长等于AC+AD+CD，△ABD周长等于AB+AD+BD，
由题意得，BD=CD
△ACD与△ABD的周长差等于(AC+AD+CD)−(AB+AD+BD)
=AC−AB=15−10=5(cm)
∴△ACD与△ABD的周长差5cm．
【题型3 利用三角形的中线求面积】
【例3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，已知△ABC的面积为36，点D,E分别在边BC，AC
上，且BD=CD，CE=2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，和三角形中线的性质，作出正确的辅助线是解此题的关键．
连接CF，由△AEF与△CEF等高，CE=2AE，可得到S =2S ．又因为△ABD与△ACD等底等
△CEF △AEF
1
高，故可得S =S = S =18，从而S =18−3−6=9，又△BFD与△CFD等底等高，即可
△ABD △ACD 2 △ABC △CFD
得出阴影部分的面积．
【详解】连接CF，∵ CE=2AE，△AEF的面积为3
∴ S =2S =6，
△CEF △AEF
∵ BD=CD，△ABC的面积为36，
1
∴ S =S = S =18，
△ABD △ACD 2 △ABC
∴ S =18−3−6=9，
△CFD
∵ △BFD与△CFD等底等高，
∴ S =S =9，
△BFD △CFD
∴图中阴影部分的面积为9，
故选：C．
【变式3-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图所示，AM是△ABC的中线，CN是△ACM的中线．
(1)在△CMN中作CM边上的高；
(2)若△ABC的面积为36，CM=6，则点N到BC边的距离是多少？
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了作三角形的高，三角形中线的性质：
（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
1 1
（2）首先根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得出S = S = ×36，再利用
△CMN 4 △ABC 4
三角形的面积公式进而得到点N到BC边的距离．
【详解】（1）解：如图所示，NG为CM边上的高；
（2）解：∵AM是△ABC的中线，CN是△ACM的中线，1 1
∴S = S ，S = S ，
△ACM 2 △ABC △CMN 2 △ACM
1
∴S = S ，
△CMN 4 △ABC
∵△ABC的面积为36，CM=6，
1 1 1
∴S = CM⋅NG= ×6NG= ×36，
△CMN 2 2 4
解得NG=3，
即点N到BC边的距离为3．
【变式3-2】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，△ABC的面积为S，作△ABC的中线AC ，
1
取AB的中点A ，连接A C 得到第一个△A BC ；作△A BC 的中线A C ，取A B的中点A ，连接
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
A C 得到第一个△A BC …；重复这样的操作，则第2024个△A BC 的面积为 ．
2 2 2 2 2024 2024
1
【答案】 S
42024
【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，熟练掌握三角形中线平分三角形面积是关键．由三角形的
1 1 1 1
中线平分三角形的面积得：△ABC 的面积= S，同理中线A C 得：△A BC 的面积= × S= S，
1 2 1 1 1 1 2 2 4
……重复这样的过程，可得结论．
【详解】解：∵△ABC的面积为S，△ABC边中线AC ，
1
1
∴△ABC 的面积= S，
1 2
∵取AB的中点A ，
1
1 1 1
∴ △A BC 的面积= × S= S，
1 1 2 2 4
1 1 1 1
同理得△BC 的面积 = × S= S= S，
2 2 4 4 16 42
…1
则2024个三角形△A BC 的面积为 S；
2024 2024 42024
1
故答案为： S．
42024
【变式3-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）【问题呈现】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部
分．
已知：如图1，在△ABC中，点D是边BC上的中点，连接AD．求证： S =S ．
△ABD △ACD
证明：过点A作AE⊥BC于E，
∵点D是边BC上的中点，
∴BD=CD，
1 1
∵S = BD⋅AE，S = CD⋅AE，
△ABD 2 △ACD 2
∴S =S ．
△ABD △ACD
【拓展探究】
（1）如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，若S =6，则S =_____；
△ABC △ABD
S
（2）如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点，且CD=2BD，求 △ABD 的值；
S
△ABC
【问题解决】
（3）现在有一块四边形土地ABCD，如图4，甲、乙两人要均分这块土地，请通过作图均分四边形
ABCD的面积．
（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行说明，可利用带刻度的直尺．）S 1
【答案】（1）3；（2）
△ABD=
，理由见解析；（3）见解析．
S 3
△ABC
【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积；
1
（1）根据S = S 即可求解；
△ABD 2 △ABC
（2）取CD中点E，连接AE，则CE=DE=BD，从而得S =S =S ，由此可求得结果；
△ACE △ADE △ABD
（3）连接AD，取AD中点E，连接AE，CE，则S =S ，S =S ，从而均分了四边形
△ADE △ABE △CDE △CBE
ABCD．
【详解】解：（1）∵点D是BC边上的中点，
∴S =S ，
△ABD △ACD
1 1
∴S = S = ×6=3；
△ABD 2 △ABC 2
故答案为：3；
（2）取CD中点E，连接AE，则CE=DE，
∴S =S ；
△ACE △ADE
∵CD=2BD，
∴DE=BD=CE，
∴S =S ，
△ADE △ABD
∴S =S =S ，
△ACE △ADE △ABD
S 1
∴
△ABD=
；
S 3
△ABC
（3）连接AD，取AD中点E，连接AE，CE，
则S =S ，S =S ，
△ADE △ABE △CDE △CBE
∴S +S =S +S ，
△ADE △CDE △ABE △CBE
即S =S ，
四边形ADCE 四边形ABCE∴四边形ABCD被平均分．
【题型4 依据高的位置分类讨论求角度】
【例4】（24-25七年级下·河北保定·期末）有一道题目“在△ABC中，AD是边BC上的高，∠ABC的平
分线与边AC交于点F．若∠ABC=50°，∠CAD=20°，求∠BFA的度数．”对于其答案．甲答：
∠BFA=110°．乙答：∠BFA=95°．丙答：∠BFA=135°．则正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有乙
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和，高的性质以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质即可得到
答案．根据题意画出图形进行计算即可．
【详解】解：①∵ ∠ABC=50°，
AD是边BC上的高，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF=∠CBF=25°
∠ADC=90°
∵ ∠CAD=20°
∴∠C=70°
∴∠BFA=∠CBF+∠C=25°+70°=95°，乙同学正确，
②∵ ∠ABC=50°，
AD是边BC上的高，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF=∠CBF=25°
∠ADC=90°∵ ∠CAD=20°
∴∠ACD=70°
∴∠ACB=110°
∴∠BFA=∠CBF+∠ACB=25°+110°=135°，丙同学正确．
故选B．
【变式4-1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知AD是△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求
∠BAC的度数．
【答案】90°或50°
【分析】分高AD在△ABC的内部和外部两种情况讨论求解即可．
【详解】当高AD在△ABC的内部时，如图1，
∵∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°；
当高AD在△ABC的外部时，如图2，
∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°﹣20°=50°，
综上，∠BAC的度数为90°或50°．
【点睛】本题考查了三角形的高，分三角形的高在三角形的外部还是内部时解答的关键．
【变式4-2】（24-25七年级下·北京·阶段练习）在△ABC中，∠B=35°，AD是BC边上的高且
∠CAD=∠B，则∠BCA的度数是
【答案】55°或125°
【分析】此题考查了三角形内角和，三角形的高的含义.根据题意分两种情况：高AD在△ABC内部和高AD在△ABC外部，然后根据三角形的内角和，结合角的和差求解即可．
【详解】解：如图所示，当高AD在△ABC内部时，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∵∠B=35°，∠CAD=∠B=35°，
∴∠BCA=90°−∠CAD=55°．
如图所示，当高AD在△ABC外部时，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=55°，
∵∠CAD=∠B=35°，
∴∠BAC=∠BAD−∠CAD=55°−35°=20°，
∴∠BCA=180°−∠B−∠BAC=180°−35°−20°=125°.
综上所述，∠BCA=55°或125°．
故答案为：55°或125°．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）已知：BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交
所成的角中有一个角为56°，则∠BAC的度数为 ．（提示：四边形内角和为360°）
【答案】56°或124°
【分析】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键；
分两种情况：∠A为锐角与∠BAC为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可．【详解】解：当∠A为锐角时，如图，设三角形的两条高BD,CE交于点O，
则∠DOC=56°，∠AEC=∠ADB=90°，
∴∠DOE=124°，
∴∠A=360°−90°−90°−124°=56°；
当∠BAC为钝角时，如图，设三角形的两条高BD,CE所在的直线交于点O，
则∠DOC=56°，∠AEO=∠ADO=90°，
∴∠BAC=∠DAE=360°−90°−90°−56°=124°；
故答案为：56°或124°．
【题型5 等积法求值】
【例5】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8
，BC=6，点D是边AB上一动点，作直线MN经过点C、点D，分别过点A，B作AF与MN垂直，BE与
MN垂直，垂足分别为点F，E．设线段BE，AF的长度分别为d ，d ，则d +d 的最大值为 ．
1 2 1 2
【答案】10
AC×BC
【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出d +d = ，确定d +d
1 2 CD 1 2取最大值时，CD取最小值，并掌握垂线段最短的性质．
1 1 1 AC×BC
根据S =S +S ，即 AC×BC= CD×AF+ CD×BE得到d +d = ，则d +d
△ABC △ACD △BCD 2 2 2 1 2 CD 1 2
的最大值就是CD的最小值，由垂线段最短可得当CD⊥AB时，CD最小，即可求解．
1 1 1
【详解】解：由题意可得：S =S +S ，即 AC×BC= CD×AF+ CD×BE
△ABC △ACD △BCD 2 2 2
化简可得：CD×(d +d )=AC×BC
1 2
AC×BC
解得d +d = ，
1 2 CD
则d +d 取最大值时，CD取最小值，
1 2
由垂线段最短可得当CD⊥AB时，CD最小，
1 1 AC×BC
由S = AC×BC= AB×CD可得，CD=
△ABC 2 2 AB
AC×BC
=AB=10
∴d +d 的最大值为 AC×BC ．
1 2
AB
故答案为：10．
【变式5-1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，AC⊥BC，垂足为C，AC=15，BC=20，
AB=25．P是线段AB上的任意一点，连接PC，PC的长不可能是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线
段最短可知，当PC⊥AB时，PC取得最小值，利用等面积法求出PC的最小值，即可从选项中找出答
案．
【详解】解：作CD⊥AB于点D，
如图，∵ AC⊥BC，垂足为C，AC=15，BC=20，AB=25，
1 1
∴S = AC⋅BC= AB⋅CD，即15×20=25×CD，
△ABC 2 2
∴CD=12，
∵ P是线段AB上的任意一点，连接PC，
∴当点P与点D重叠时取得最小值，最小值为12，
∴PC的长不可能是11，
故选：A．
【变式5-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°(∠A<∠ABC)，点D，P
分别在边AB，AC上，且BP=AP，DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E．F．若S =24，AC=8
△ABC
，则DE+DF的值 ．
【答案】6
1
【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出S = AP⋅BC，再根据
△ABP 2
1
S =S +S ，得出S = AP(DE+DF)，即可得出DE+DF=BC=6．
△ABP △ADP △BDP △ABP 2
【详解】解：∵∠C=90°，S =24，AC=8，
△ABC
1 1
∴S = AP⋅BC，S = AC⋅BC，
△ABP 2 △ABC 2
1
∴24= ×8⋅BC，
2
∴BC=6，∵DE⊥BP，DF⊥AP，
1 1
∴S =S +S = AP⋅DF+ BP⋅DE，
△ABP △ADP △BDP 2 2
∵BP=AP，
1 1 1
∴S = AP⋅DF+ AP⋅DE= AP(DE+DF)，
△ABP 2 2 2
1 1
∴ AP(DE+DF)= AP⋅BC，则DE+DF=BC=6，
2 2
故答案为：6．
【变式5-3】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，过点D作
DP⊥AB，DP=3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM=4.2，则EN= ．
【答案】1.8
【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出
1 1
S =S +S = AB⋅DF+ AC⋅EF是解此题的关键．连接AD，AE，根据D为BC中点，得
△ABC △ABF △ACF 2 2
1
出S =S = AB⋅DP，从而得出S =S +S =2S =AB⋅DP，根据三角形面积得
△ABD △ACD 2 △ABC △ABD △ACD △ABD
1 1 1 1
出S =S +S = AB⋅EM+ AC⋅EN，从而得出AB⋅DP= AB⋅EM+ AB⋅EN，代入
△ABC △ABE △ACE 2 2 2 2
数据计算即可．
【详解】解：如图，连接AD，AE，
∵ BC
， D为 中点，1
∴S =S = AB⋅DP，
△ABD △ACD 2
∴S =S +S =2S =AB⋅DP，
△ABC △ABD △ACD △ABD
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
1 1
∴S =S +S = AB⋅EM+ AC⋅EN，
△ABC △ABE △ACE 2 2
1 1
∴AB⋅DP= AB⋅EM+ AB⋅EN，
2 2
∵DP=3，EM=4.2，
1 1
∴3AB= ×4.2×AB+ AB⋅EN，
2 2
解得：EN=1.8．
故答案为：1.8．
【题型6 与角平分线有关的求值】
【例6】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD是△ABC的（ ）
A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是
【答案】B
【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出∠BAD=∠CAD，即可解答．
【详解】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是△ABC的角平分线．
故选：B．
【变式6-1】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图△ABC中，已知∠ACB=60°，CM平分∠ACB，则
∠BCM的度数是（ ）A．15° B．30° C．35° D．45°
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，三角形其中一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的
顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
根据三角形角平分线的定义求解即可．
【详解】解：∵∠ACB=60°，CM平分∠ACB，
1 1
∴∠BCM= ∠ACB= ×60°=30°．
2 2
故选：B．
【变式6-2】（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）填写下列证明过程中的推理根据：已知：如图所示，
AC，BD相交于O，DF平分∠CDO与AC相交于F，BE平分∠ABO与AC相交于E，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C（ ），
∴AB∥CD（ ），
∴∠ABO=∠CDO（ ），
∵BE，DF分别是∠ABO和∠CDO的平分线，
∴∠ABO=2∠2，∠CDO=2∠1，（ ）
∴2∠2=2∠1（ ），
即∠2=∠1．
【答案】已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，由∠A=∠C可得AB∥CD，即得
∠ABO=∠CDO，再根据角平分线的定义即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵∠A=∠C（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠ABO=∠CDO（两直线平行，内错角相等），
∵BE，DF分别是∠ABO和∠CDO的平分线，
∴∠ABO=2∠2，∠CDO=2∠1，（角平分线的定义）
∴2∠2=2∠1（等量代换），
即∠2=∠1，
故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换．
【变式 】（ 七年级下重庆期中）如图，在△ABC中，点O为∠ABC和∠ACB的角平分线的交
点，连接6-O3A,O2B4-,2O5C，作△A·OB的·一条角平分线AD．若∠BAC=α，则∠1+∠2的度数为（ ）
3 1 1
A．90°+ α B．120°+ α C．160° D．180°− α
4 2 4
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得
α α
∠2=90°+ ，∠1= ，从而可求出∠1+∠2．
2 4
【详解】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°−α，
∵BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线，
1 1
∴∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB，
2 2
1 1 1 1 α
∴∠CBO+∠BCO= ∠ABC+ ∠ACB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−α)=90°− ，
2 2 2 2 2
∵∠OCB+∠OBC+∠2=180°，
( α) α
∴∠2=180°−(∠OCB+∠OBC)=180°− 90°− =90°+ ，
2 2
∵AO是∠BAC和平分线，
1 1
∴∠BAO= ∠BAC= α，
2 2
∵AD是∠BAO的平分线，1 1 1 1
∴∠1= ∠BAO= × α= α，
2 2 2 4
1 1 3
∴∠1+∠2= α+90°+ α=90°+ α,
4 2 4
故选：A．
【题型7 与角平分线有关的证明】
【例7】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，△ABC中，AD是角平分线，BE⊥AD，垂足为E．
(1)已知∠ABC=70°，∠C=30°，求∠ADB的度数；
(2)若∠ABC=3∠C，求证：∠DBE=∠C．
【答案】(1)70°
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）由三角形内角和得出∠BAC=80°，由角平分线的定义得出∠DAC=40°，最后再由
∠ADB=∠DAC+∠C，进行计算即可得出答案；
（2）设∠C=x，则∠ABC=3x，由三角形内角和得出∠BAC=180°−4x，再由角平分线的定义得出
1
∠BAD= ∠BAC=90°−2x，计算出∠ABE=90°−∠BAE=2x，∠DBE=∠ABD−∠ABE=x，
2
即可得证．
【详解】（1）解：∵∠ABC=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−70°−30°=80°，
∵AD是角平分线，
1 1
∴∠DAC= ∠BAC= ×80°=40°，
2 2
∴∠ADB=∠DAC+∠C=40°+30°=70°；
（2）证明：设∠C=x，则∠ABC=3x，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−4x，
∵AD是角平分线，1
∴∠BAD= ∠BAC=90°−2x，
2
又∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°−∠BAE=2x，
∴∠DBE=∠ABD−∠ABE=3x−2x=x，
∴∠DBE=∠C．
【变式7-1】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分
∠BAC交BC于点D，点E是边AC上一点，若∠ADE=40°，求证：DE∥AB．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形内角和、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和得出∠BAC=80°
1
，由角平分线的定义得出∠BAD= ∠BAC=40°，从而得出∠ADE=∠BAD=40°，即可得证．
2
【详解】证明：∵在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°−46°−54°=80°．
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=40°．
2
∵∠ADE=∠BAD=40°．
∴DE∥AB．
【变式7-2】（24-25八年级上·贵州黔南·期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CF是
∠ACB的平分线，交AD于E，交AB于F，求证：∠AEF=∠AFE．
【答案】证明见解析【分析】本题考查了三角形的角平分线，余角性质，由∠BAC=90°，AD⊥BC可得
∠ACF+∠AFE=90°，∠BCF+∠CED=90°，进而由角平分线的定义和余角性质可得
∠AFE=∠CED，再根据对顶角相等即可求证，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】证明：∵∠BAC=90°，
∴∠ACF+∠AFE=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠AFE=∠CED，
∵∠AEF=∠CED，
∴∠AEF=∠AFE．
【变式7-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP=40°，
∠PFD=130°，求∠EPF的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P作PM∥AB．
【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，求∠EPF的度数；
【应用】（3）如图③，在（2）条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】（1）90°，过程见解析；（2）70°；（3）35°
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，平行公理及推论，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定
和性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质与判定进行证明即可；
（2）过点P作PM∥AB，根据平行的性质进行计算即可；
（3）在（2）条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，即可求出答案．
【详解】解（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1=∠AEP=40°，
∵AB∥CD
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°，
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°−130°=50°，
∴∠1+∠2=40°+50°=90°，
即∠EPF=90°；
（2）过点P作PM∥AB，
∴∠MPE=∠AEP=50°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠PFC=∠MPF=120°，
∴∠EPF=∠MPF−∠MPE=120°−50°=70°；
（3）∵ ∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
1
∴∠AEG= ∠AEP=25°，
2
1
∠GFC= ∠PFC=60°，
2
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
∴∠GFC=∠MGF=60°，
∠G=∠MGF−∠MGE=60°−25°=35°．
