文档内容
专题 13.15 等腰三角形八大几何模型与九类题型（模型梳理与题型
分类讲解）
第一部分【模型归纳与题型目录】
模型1:角平分线+平行线→等腰三角形
模型2:角平分线+垂线→等腰三角形
模型3:三角形一个外角等于其中一个内角2倍 等腰三角形模型4:直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
模型5:等边三角形中含定角问题
模型6:等边三角形中含“手拉手”模型7:倍半角+角平分线→等腰三角形
模型8:倍长中线构造等腰三角形
题型目录
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形..................................3
【题型2】角平分线+垂线（中线）→等腰三角形............................4
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍 等腰三角形..............4
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形..............5
【题型5】等边三角形中含定角问题.......................................6
【题型6】等边三角形中含“手拉手”.....................................7
【题型7】倍半角+角平分线→等腰三角形..................................8
【题型8】倍长中线构造等腰三角形.......................................9
【题型9】拓展延伸.....................................................9
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】角平分线+平行线→等腰三角形
【例1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，
交 于点 ，若 ，则 ．【变式1】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在 中， 平分 ， ．若 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，在 中， 的平分线交 于点 ，
平分 ，且 交 于点 ，若 ，则 cm．
【题型2】角平分线+垂线→等腰三角形
【例2】（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， ，垂足
为 ， ，若 ，则 的长为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为 内一点， 平分 ，
，垂足为 ，交 于点 ， ， ， ，则 的长为（ ）A．1 B． C．2 D．
【变式2】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图， 平分 且 于E， ，
若 ， 的周长为20，则 的长为 ．
【题型3】三角形一个外角等于其中一个内角2倍 等腰三角形
【例3】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，在 中， ， ．在 上取一点
C，延长 到点 ，使 ，连结 ；在 上取一点D，延长 到点 ，使 ，
连结 ；……，按此操作进行下去，在以点 为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， ， ， ，
则 的大小为 ．【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， ， 平分
交 于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，则图中等腰三角形共有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【题型4】直角三角形中一锐角平分线+斜边上高线→等腰三角形
【例4】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在 中， ， ，高 与
角平分线 相交于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求 的长度．
【变式1】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在 中， ， 是 边上的高，
是 的角平分线， 与 交于点F，求证： 是等腰三角形．
【变式2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图， 中， 的平分
线 交 于点 ， 平分 ．给出下列结论：① ；② ；③；④ ；⑤ ．正确结论有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型5】等边三角形中含定角问题
【例5】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，等边 中， ， 和 相交于 ，
垂足为 ，求 的度数．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知：如图，点D，E 分别是等边三角形 的两边
上的点，且 .
（1）求证： ；
（2）求 的度数.
【变式2】（2024·浙江杭州·二模）如图， 是等边三角形，D，E分别是 ， 边上的点，且
，连接 ， 相交于点F，则下列说法正确的是（ ）
① ；② ；A．① B．② C．①② D．都错
【题型6】等边三角形中含“手拉手”
【例6】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，A、C、B三点共线， 与 都是等
边三角形， 相交于点P，且分别与 交于点M，N．
（1）求证：
（2）求 的度数
【变式1】（2024·重庆南岸·模拟预测）如图， 都是等边三角形，将 绕点 旋转，
使得点 在同一直线上，连接 ．若 ，则 的长是 ．
【变式2】（23-24八年级上·福建南平·期末）如图， 和 都是等边三角形，点E，F分别在
边 和 上，且 ，若 的周长最小时，则 的大小是 ．【题型7】倍半角→等腰三角形
【例7】（22-23八年级上·北京·期中）如图，在 中， ， 为 上一个动点．
（1）已知 ，求证： ．
下面是两位同学分享的思路：
小快同学：从求证目标出发，倍长 到 ，即 ，又 ，则只需证 ．
小乐同学：从已知条件角的关系出发，发现若将 关于直线 对称得到 ，则可证 为
等腰三角形．
请你选择一种思路，完成证明
（2）已知 ， ，请直接写出 的大小（用含 式子表示）．
【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， 中， ， 分别为
的高，角平分线，下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【题型8】倍长中线构造等腰三角形模型
【例8】（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，AD是 的中线， 是AD上一点， 交 于，若 ， ， ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【变式】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在 中，D是 的中点，E是 上一点，
， 的延长线交 于点F，若 ， ，则求 的度数为 ．
第三部分【拓展延伸】
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·北京·期末）如图， 中， 分别平分 和 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ，那么下列结论：
① ；
② 为等腰三角形；
③ 的周长等于 的周长；
④ ．其中正确的是
【例2】（23-24八年级上·上海普陀·期末）【图形新发现】小普同学发现：如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系．
如图1，已知在 中，BD是 的角平分线， 是 的中线， ，垂足为点F．
（1）根据图1，写出 中小普同学所发现的结论，并给出证明；
【图形再探究】现将小普同学所研究的三角形称为“线垂”三角形，并将被这条内角平分线所平分的内
角叫做“分角”．下面我们跟着小普同学再探究：
（2）在如图1中，“线垂”三角形 是否可以是直角三角形？如果可以，求 的度数；如果不
可以，请说明理由；
（3）已知线段 ，是否存在一点P，使得以 为一边的“线垂”三角形PMN为等腰三角形？如果存
在，请在图2中用直尺和圆规做出 为“分角”的“线垂”等腰三角形 （不写作法，仅保留作
图痕迹，在图中清楚地标注出点P），并用文字语言归纳表述成一条与“线垂”等腰三角形的边或角有关
的真命题；如果不存在，请说明理由．
