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专题 16.2 期中易错题专项复习【31 大考点 90 题】
（考试范围：第11~13章）
【人教版】
【考点1 三角形的角平分线、中线和高】..............................................................................................................2
【考点2 三角形的面积】..........................................................................................................................................3
【考点3 三角形的稳定性】......................................................................................................................................3
【考点4 三角形的三边关系】..................................................................................................................................4
【考点5 三角形的内角和定理】..............................................................................................................................4
【考点6 三角形的外角性质】..................................................................................................................................5
【考点7 直角三角形的性质】..................................................................................................................................6
【考点8 多边形】......................................................................................................................................................6
【考点9 多边形内角与外角】..................................................................................................................................7
【考点10 全等图形】..................................................................................................................................................7
【考点11 全等三角形的性质】..................................................................................................................................8
【考点12 全等三角形的判定】..................................................................................................................................9
【考点13 直角三角形全等的判定】........................................................................................................................10
【考点14 全等三角形的判定与性质】....................................................................................................................10
【考点15 全等三角形的应用】................................................................................................................................12
【考点16 角平分线的性质】....................................................................................................................................12
【考点17 尺规作角平分线】....................................................................................................................................13
【考点18 角平分线的判定】....................................................................................................................................13
【考点19 轴对称】....................................................................................................................................................14
【考点20 垂直平分线的性质】................................................................................................................................15
【考点21 尺规作垂直平分线】................................................................................................................................15
【考点22 垂直平分线的判定】................................................................................................................................16
【考点23 画轴对称图形】........................................................................................................................................17
【考点24 等腰三角形的判定】................................................................................................................................18
【考点25 等腰三角形的性质】................................................................................................................................19
【考点26 等腰三角形的判定与性质】....................................................................................................................20
【考点27 等边三角形的判定】................................................................................................................................21
【考点28 等边三角形的性质】................................................................................................................................21
【考点29 等边三角形的判定与性质】....................................................................................................................22
【考点30 含30°角的直角三角形】.........................................................................................................................23
【考点31 轴对称——最短路径问题】....................................................................................................................24【考点1 三角形的角平分线、中线和高】
1．（23-24八年级·湖南邵阳·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E为AC上的两点，且AE=DE，BD
平分∠EBC，则下列说法不正确的是（ ）
A．BC是△ABE的高 B．BE是△ABD的中线
C．BD是△EBC的角平分线 D．∠ABE=∠EBD=∠DBC
2．（23-24八年级·江苏无锡·期中）在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024河北石家庄·八年级期中）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用
折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
4.（23-24八年级·江苏淮安·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，CE是AB边上的高，若AB=3，S =6，则CE的长度为（ ）
△ADC
A．4 B．8 C．7 D．6
【考点2 三角形的面积】
5.（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在
网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则满足条件的点C个数是（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点3 三角形的稳定性】
6.（23-24八年级·四川自贡·期中）下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
7.（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使
框架稳固且不活动，至少还需要添 根木条．【考点4 三角形的三边关系】
8．（23-24八年级·河南许昌·期中）在△ABC中，AB=5，BC=2a−1，AC=8，则a的取值范围是
（ ）
A．1<a<6 B．2<a<7 C．3<a<8 D．4<a<14
9．（23-24八年级·湖南株洲·期中）以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（ ）
A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16
10．（23-24八年级·甘肃嘉峪关·期中）已知a、b、c为三角形三边的长，化简：|a−b+c)+|a−b−c)=
．
11．（23-24八年级·辽宁鞍山·期中）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一
点O，测得OA=11米，OB=3米，A、B间的距离可能是 ．（写出一个即可）
【考点5 三角形的内角和定理】
12．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，量出图中∠1=60°，
∠2=70°，就能求出直线a，b所成的角为 度．
13．（23-24八年级·上海青浦·期中）如图，△ABC中∠A=25°，点E在AC上，先将△ABE沿着BE翻折，
使AE∥BC，AB交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，此时C点恰好落在BE上，则原三角形中
∠C= °．
14．（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，
∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.【考点6 三角形的外角性质】
15．（23-24八年级·重庆万州·期中）如图，BD,CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，
∠D=20°，则∠A的度数为 ．
16．（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠≝=121°，DE与地面平行，
∠ABD=48°，则∠DCE= ．
17．（23-24八年级·湖南岳阳·期中）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满
足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF
(1)求∠EOB的度数；
(2)若平行移动AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；
若不变，求出这个比值．
(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
【考点7 直角三角形的性质】
18．（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，直线a∥b，在Rt△ABC,∠ABC=90°，它的顶点A、B分
别在直线a,b上，且AB平分∠CAE，若∠1=62°，则∠2的度数为（ ）
A．62° B．59° C．60° D．58°
19．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）直角三角形的三个内角之比为2:m:5，则m的值是 ．
20．（23-24八年级·江苏苏州·期中）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们
称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“灵动三角形”．如图
∠MON=40°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线
段OB于点C（规定0°<∠OAC<60°）．当△ABC为“灵动三角形”时，∠OAC的度数为 ．
【考点8 多边形】
21．（23-24八年级·黑龙江佳木斯·期中）从五边形的一个顶点出发的对角线，把这个五边形分成( )个三
角形.
A．5 B．4 C．3 D．2
22．（23-24八年级·湖北武汉·期中）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（
）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
23．（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十
八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ．【考点9 多边形内角与外角】
24．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）一个n边形减去一个角后，得到的一个多边形的内角和是720° ，则
n= ．
25．（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，在六边形ABCDEF中，若
∠A+∠B+∠C+∠D=480°,∠≝¿与∠AFE的角平分线交于点G，则∠G等于 °．
26．（23-24八年级·吉林长春·期中）如图，用n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使
相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈
后，中间会形成一个正多边形，则n的值为 ．
27．（23-24八年级·贵州遵义·期中）（1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数；
（2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为13∶2，求n的值．
【考点10 全等图形】
28．（23-24八年级·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（ ）．
A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形
C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等
29．（23-24八年级·江苏南京·期中）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形
的有 ．【考点11 全等三角形的性质】
30．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G．
若∠AED=105°，∠CAD=20°，∠B=30°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．65° C．60° D．55°
31．（2024八年级·广东佛山·期中）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
32．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=35°，则∠AC A′的度数为
．
33．（23-24八年级·河南安阳·期中）三个全等三角形按下图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于
．【考点12 全等三角形的判定】
34．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，不能判定
△ABC≌△ADC的是（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC
C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°
35．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格
线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 ．
36．（2024八年级·广东佛山·期中）如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，
EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．
37．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作
CF∥AB交ED的延长线于点F．求证：△BDE≌△CDF．【考点13 直角三角形全等的判定】
38．（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则
△AEO≌△AFO的依据是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
39．（23-24八年级·山东聊城·期中）如图所示，已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F，AE⊥EC于
E，则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
40．（23-24八年级·河北邢台·期中）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用HL判定Rt△ABD和
Rt△BCD全等，则需要添加的条件是（ ）
A．AD=CB B．∠A=∠C C．BD=DB D．AB=CD41．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：如图，∠ABC=45°，AD为△ABC的高，E为AC上一点，
BE交AD于F且有BF=AC．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【考点14 全等三角形的判定与性质】
42．（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为
（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
43．（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=CD，
BE=4，DE=3，CE=1，则△ABD的面积是（ ）
A．4.5 B．6 C．9 D．12
44．（23-24八年级·江苏扬州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，
P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使△ABC和△QPA全等，则AP=
．45．（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，AG⊥BD，
AF⊥CE、垂足分别为G、F，且AG=AF．求证：AD=AE．
46．（23-24八年级·江西宜春·期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上
截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．试猜想线段AD与AG的关系，并证明
你的猜想．
【考点15 全等三角形的应用】
47．（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小
与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
48．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的
工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽AB=A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的
理由是 ．【考点16 角平分线的性质】
49．（23-24八年级·四川达州·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE=DG，
S =12，S =9，则△≝¿的面积为（ ）
△ADG △AED
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【考点17 尺规作角平分线】
50．（23-24八年级·湖北荆州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径
1
画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点
2
P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC=6，CD=2，AB=7，当DE最小时，△BDE的面积
是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．7
51．（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交
BC于点D，CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
52．（23-24八年级·广西来宾·期中）如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高．(1)求作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若∠B=35°,∠C=65°，求∠DAE的度数．
【考点18 角平分线的判定】
53．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、AC的距离
OF=OD=OE，若∠BAC=68°，∠BOC= ．
54．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且
∠ADC=100°，则∠MAB的度数是（ ）
A．50° B．40° C．45° D．55°
【考点19 轴对称】
55．（23-24八年级·新疆阿克苏·期中）在平时的生活中我们应遵守交通规则，注意交通安全．下列交通标
志图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
56．（23-24八年级·山东德州·期中）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，
画出对称点E、F，并连接AE、AF，根据图中标示的角度，∠EAF的度数为（ ）A．126° B．128° C．130° D．132°
【考点20 垂直平分线的性质】
57.（23-24八年级·福建厦门·期中）如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三
个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处
C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处
58．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂
直平分线EN交BC于点E．
(1)已知△ADE的周长为7cm，求BC的长；
(2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数．
【考点21 尺规作垂直平分线】
59．（2024广西河池·八年级期中）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（ ）
A． B．C． D．
60．（2024吉林长春·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．按下列步骤作图：①
分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边
AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（ ）
A．∠BDN=∠CDN B．∠ADC=2∠B C．∠ACD=∠DCB D．
2∠B+∠ACD=90°
61．（23-24八年级·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路OA、OB和C，D两个城镇（如图），准备建立一
个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．
【考点22 垂直平分线的判定】
62．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图所示的仪器中，OD=OE，CD=CE．小州把这个仪器放在直
线l上，使点D，E落在直线l上，作直线OC，则OC⊥l，其中蕴含的道理是63．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边
分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，下列选项中正确的一项是（ ）
A．AC与BD互相垂直平分 B．AC垂直平分BD
C．BD平分一组对角 D．AC平分一组对角
【考点23 画轴对称图形】
64．（23-24八年级·陕西榆林·期中）点P关于x轴的对称点为(4,−8)，则点P关于y轴对称点的坐标为
（ ）
A．(−4,−8) B．(4,8) C．(−4,8) D．(4,−8)
65．（23-24八年级·贵州遵义·期中）如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为(m,n)，则(−m,n−1)
对应的点可能是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
66．（23-24八年级·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，A(4,−4)，B(1,−1)，C(3,−1)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)直接写出点A ，B ，C 的坐标；
1 1 1
(3)在△A B C 中，∠A ≈27°，求B C 边上的高与A C 所夹角的度数．
1 1 1 1 1 1 1 1
【考点24 等腰三角形的判定】
67．（23-24八年级·浙江杭州·期中）在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在
小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（ ）
A．12个 B．16个 C．20个 D．24个
68．（23-24八年级·河北承德·期中）AD是△ABC的中线同时平分∠BAC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
69．（23-24八年级·山西吕梁·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=126°，∠B=42°，边AB的垂直平分
线DE与AB交于点E，与BC交于点D，连接AD．求证：△ACD是等腰三角形．
【考点25 等腰三角形的性质】
70．（23-24八年级·河南郑州·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC =AD，则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．36° C．45° D．54°
71．（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，在 △ABC中，AB=AC，点M，N分别在BC所在直线上，
且 AM=AN，则BM=CN吗？请说明理由．
72．（23-24八年级·四川绵阳·期中）如图，在△ABC中，AC=BC，点F是AB的中点，且
∠ACF=∠ABE,BE与CF交于点O,OE=OF．
(1)证明：BE=CF；
(2)证明：AO平分∠BAC．
73．（23-24八年级·山东淄博·期中）如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC，F是
DE的中点，求证：CF⊥DE．【考点26 等腰三角形的判定与性质】
74．（23-24八年级·广东茂名·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C=60°，AD平分∠BAC交BC
于D，AC=a，AB=b，BP⊥AD于P，则BP的长为（ ）
b a−b a−b
A．a−b B．a− C． D．
2 2 3
75．（23-24八年级·江西赣州·期中）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=150°，将一块足够大的直角三角
尺PMN(∠M=90°、∠MPN=30°)按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始
终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等
腰三角形，则夹角α的大小是 ．
76．（23-24八年级·江西赣州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点
（点D与A，B不重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CD=CE，连接DE交BC于点F，连接BE．
(1)求证：△CAD≌△CBE；
(2)当AD=BF时．判断△CDF的形状，并说明理由．【考点27 等边三角形的判定】
77．（23-24八年级·贵州六盘水·期中）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若
∠1=60°，则△ABC是（）
A．不等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
78．（23-24八年级·河南商丘·期中）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角
形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定是等边三角形的是 ．
79．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别
交AB、AC于点E、F，连结DE，若DE=EF，试判断△AEF的形状，并说明理由．
【考点28 等边三角形的性质】
80．（23-24八年级·浙江金华·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B,C重
合），连接AD，点E,F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程
中，△BED周长的变化规律是（ ）
A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大
81．（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠ACE=15°，则∠EBC= °．
82．（23-24八年级·河南洛阳·期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使
CE=CD．
(1)求证：DB=DE；
(2)若F是BE的中点，连接DF，且CF=2，求△ABC的周长．
【考点29 等边三角形的判定与性质】
83．（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC
的延长线交AP于点M，连接BM；下列结论：①AP=CE；②∠PME=60°；③BM平分∠AME；④
AM+MC=BP，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
84．（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点
P，NM⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB=12cm，则CM的长为 cm．85．（2024河北保定·三模）如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD=CD，过点D作
DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
(1)判断△CEF的形状，并说明理由；
(2)连接BD，若BC=10，CF=4，求DE的长．
【考点30 含30°角的直角三角形】
86．（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D是AB的中点；过点
D作DE⊥AB交BC于点E，DE=2，则CE的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
87．（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，点F在CD上，E在
△ABC内部，且满足EF=BF,∠E=60°，EF交AD于G，若BE=a,EG=b，则FC的长为 ．
（用含字母的代数式表示）88．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，
BQ⊥AD于Q．
(1)求证：△ADC≌△BEA；
(2)若PQ=4，PE=1，求AD的长．
【考点31 轴对称——最短路径问题】
89．（23-24八年级·广东东莞·期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，且
CD=5，AD=13，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为
．
90．（23-24八年级·湖南湘西·期中）如图，阳光明媚的周六，小明在学校（A）练习篮球，他接到妈妈的
电话，要先去C街快递公司取包裹，再去D街购买文具，然后回到家里（B）．请画出小明行走的最短路
径．
