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专题 13.3 三角形的内角（举一反三讲义）
【人教版2024】
【题型1 利用三角形内角和直接求角】..................................................................................................................2
【题型2 三角形内角和的证明】..............................................................................................................................3
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】..............................................................................................................4
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】.........................................................................................................5
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】.........................................................................................6
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】.....................................................................................7
【题型7 直角三角形的性质】..................................................................................................................................9
【题型8 直角三角形的判定】..................................................................................................................................9
知识点 1 三角形内角和定理
定义：三角形三个内角的和等于180°.
如图所示，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°．
图 (1) 图 (2)
【拓展】三角形内角和的倒角模型：
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4．
由 三 角 形 的 内 角 和 定 理 易 得 ∠A+∠B=∠C+∠D．知识点 2 直角三角形的性质及判定
1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°．
2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 ．
【题型1 利用三角形内角和直接求角】
【例1】（24-25七年级下·江西吉安·阶段练习）定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，
我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为48°，则这个三角形中最大
的内角度数为 ．
1 1
【变式1-1】（24-25七年级下·上海·期中）在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则此三角形按角分类是
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三角形．
【变式1-2】（24-25八年级下·山东济南·期中）加图．△ABC平移后得列△≝¿，∠A=55°，∠B=50°，
则∠DFE的度数是 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·江西九江·期中）一个安全用电标识如图①所示，此标识可以抽象为图②中
的几何图形，其中AB∥CD，ED∥BF，点E，F在线段AC上．若∠A=13°，∠B=∠D=50°，则
∠AED的度数为 ．【题型2 三角形内角和的证明】
【例2】（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同
学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
A．如图①所示，过三角形一边上点D作ED∥CB, DF∥AC
B．如图②所示，过三角形内部一点P作QR∥BC,ST∥AC,MN∥AB
C．如图③所示，过点C作CD⊥AB于点D
D．如图④所示，过三角形外部一点P作QR∥BC,ST∥AC,MN∥AB
【变式2-1】如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次
绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了
．
【变式2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）我们在小学就已经知道三角形内角和等于180
度，是通过度量或剪拼得出这一结论的，但是，由于测量和剪拼常常有误差，这种验证不是数学证明，不
能完全让人信服．所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°．请完成下
面证明过程．
已知：如图任意画一个△ABC．求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：
【变式2-3】（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）小明想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过
程，请你帮他把探究过程补充完整．
在△ABC边BC上任取一点E，作DE ∥ AC交AB于点D，作EF ∥ AB交AC于点F．
∵DE ∥ AC，AB ∥ EF
∴∠1=_______，∠3=_______．
∵AB∥EF，
∴∠4=_______．
∵DE∥AC，
∴∠4=_______，
∴∠2=_______．
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C=_______．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合】
【例3】（24-25七年级下·吉林长春·期中）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于
点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG平行AB，过点B作BG⊥DG交
DG于点G．下列结论：①BC平分∠ABG；②∠BDG=2∠CBE；③∠AFB=135°；④
∠BEC=∠FBG．正确结论的序号有 ．【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，D, E分别是BA, BC上的点，满足
∠ACB+∠B+∠BDE=180°．
(1)AC，DE是否平行？说明理由．
(2)若CD平分∠ACB，∠1=35°，求∠2度数．
【变式3-2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD中，点G是BC上一点，过点G作
¿∥AB,GF∥CD，若∠A+∠D=123°，则∠EGF= °．
1
【变式3-3】（23-24七年级下·四川德阳·期末）如图，AB∥CD，∠EAF= ∠EAB，
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1
∠ECF= ∠ECD，则∠AFC= ∠AEC．
4
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合】
【例4】（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，BM、CM分别平分∠ABC和
∠ACB，连接AM，已知∠MBC=25°，∠MCA=30°，则∠MAB的度数为（ ）A．25° B．30° C．35° D．40°
【变式4-1】（24-25七年级下·河南驻马店·期中）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，F是AE
上一动点，FD⊥BC于点D，∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFE的度数为（ ）
A．15° B．8° C．10° D．12°
【变式4-2】（24-25七年级下·北京·期中）如图，AB∥CD，点E是平面内一点，连接EB，EC，
∠DCE的平分线与∠ABE的平分线交于点P．若∠E=α°，则∠BPC= °（用含α的代数式表
示）．
【变式4-3】（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作
DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF
的平分线CQ与DP相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=______°，∠Q______°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数______．
【题型5 利用三角形内角和解决折叠中的角度计算】
【例5】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，
将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2=80°，则∠BPC的度数是（ ）A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式5-1】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大
12°，则∠1的度数为 ．
【变式5-2】（24-25七年级下·云南昭通·期中）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的
点F，若∠BFA=38°．则∠DEA= 度．
【变式5-3】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°．第一步，
将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿
ED折叠，点A落在A′处；第三步，将纸片沿DA′折叠，点E落在E′处，当点E′恰好在原直角三角形纸片
的边上时，∠ADA′的度数为 °．
【题型6 利用三角形内角和解决三角板中的角度计算】
【例6】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的
△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第 秒时，边BC恰好与边
DE平行．【变式6-1】（24-25八年级上·广东东莞·期中）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数
是（ ）
A．75° B．65° C．60° D．55°
【变式6-2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）将一副三角板如图放置，边BC与边EF在同一条直线上，
∠C=∠DFE=90°,∠ABC=60°，∠E=45°．三角板DEF保持不动，将三角板ABC绕点B逆时针旋转
α(0°<α<180°)．当α= 时，AB⊥DE．
【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知一块三角板
CDE,∠CED=90°,∠CDE=30°,∠AOB=α(0°<α<90°)，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落
在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧．若∠MDC的平分线DF交
OB边于点F，以下结论中
①当α=60°且DF∥OA时，CE∥OA；
1
②当CE∥OA时，∠OFD+ α=150°；
2
③当∠OFD+α=150°时，DE⊥OA．正确的有（ ）A．② B．①② C．①③ D．①②③
【题型7 直角三角形的性质】
【例7】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，
∠A=35°，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。
【变式7-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若
∠1=65°，则∠2的大小是 °．
【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，
∠B=60°,∠C=40°，则∠DAE= 度．
【变式7-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC=90°，
DE∥AC．则下列结论：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B=∠CAD；④
∠CFG+∠BDE=90°．正确结论的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【题型8 直角三角形的判定】
【例8】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①∠A+∠B=∠C；②
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∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A= ∠B= ∠C；⑤∠A=2∠B=3∠C中，能
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确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式8-1】（24-25七年级下·上海·期中）若△ABC的三个内角的比为2:5:3，则△ABC的形状是
三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个）
【变式8-2】（22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2．求证：△ABC是直角三角形．
【变式8-3】（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AB边上一
点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE．求证：△AEM是直角三角形．
