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专题 13.9 分类讨论思想与等腰三角形的综合运用【八大题型】
【人教版】
【题型1 与边有关的讨论】......................................................................................................................................1
【题型2 与角有关的讨论】......................................................................................................................................3
【题型3 与中线有关的讨论】..................................................................................................................................6
【题型4 与高有关的讨论】......................................................................................................................................8
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】....................................................................................................................14
【题型6 与动点有关的讨论】................................................................................................................................18
【题型7 与三角形形状有关的讨论】....................................................................................................................21
【题型8 与构造三角形有关的讨论】....................................................................................................................26
【题型1 与边有关的讨论】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优
美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
1 4 4 4 1
A． B． C． 或2 D． 或
2 3 3 3 2
【答案】D
【分析】分8为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：当8为腰长时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴△ABC的底边长为：20−8−8=4，
4 1
∴“优美比”为 = ；
8 2
当8为底边长时，
1
△ABC的腰长为： ×(20−8)=6，
2
8 4
∴“优美比”为 = ；
6 3
故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨
论．
【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）已知等腰三角形的一边等于10cm另一边等于6cm，则它的周
长为 ．
【答案】22cm或26cm
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是
解题的关键．
分情况讨论即可．
【详解】解：①当6cm为腰，10cm为底时，
∵6+6>10，6+10>6，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长=6+6+10=22cm；
②当10cm为腰，6cm为底时，
∵10+10>6，10+6>10，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长=10+10+6=26cm；
故答案为：22cm或26cm．
【变式1-2】（23-24八年级·四川遂宁·期末）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足
|2a−b−1)+(b−a−2) 2=0，则此等腰三角的周长是（ ）
A．8 B．11 C．13 D．11或13
【答案】D
【分析】首先根据|2a-b-1|+（b-a-2）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【详解】解：∵|2a-b-1|+（b-a-2）2=0，
{2a−b−1＝0)
∴ ，
b−a−2＝0
{a＝3)
解得： ，
b＝5
当3为腰时，三边为3，3，5，由三角形三边关系定理可知，周长为：3+3+5=11．
当5为腰时，三边为5，5，3，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+3=13．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据3，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是
另一边长的2倍，则腰长为 cm.
【答案】8
【分析】可设一边长为x，则另一边长为2x，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长解出x，再利用三
角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设一边为xcm，则另一边为2xcm，
①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+x+2x=20，
解得x=5，
此时三角形的三边长分别为：5、5和10，
因为5+5=10，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意；
②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、2xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+2x+2x=20，
解得：x=4，
此时三角形的三边长分别为：4、8、8，满足三角形的三边之间的关系，
∴这个三角形的腰长为8cm；
故答案为8.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．
【题型2 与角有关的讨论】
【例2】（23-24八年级·云南昆明·期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个
等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=75°，则它的特征值k= ．
10 2
【答案】 或
7 5
【分析】分∠A为顶角和底角两类进行讨论，计算出其他角的度数，根据特征值k的定义计算即可．
180°−75° 75° 10
【详解】当∠A为顶角时，等腰三角形的两底角为 =52.5°，∴特征值k= = ；
2 52.5° 7
30° 2
当∠A为底角时，等腰三角形的顶角为180°−75°×2=30°，∴特征值k= = ．
75° 5
10 2
故答案为： 或
7 5
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，等腰三角形的分类讨论是解题中易错点．一般可以考虑从角或边两类进行讨论．
【变式2-1】（23-24·重庆沙坪坝·八年级期末）已知等腰三角形的一个底角为35°，则等腰三角形的顶角的
度数为 ．
【答案】110°/110度
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，等腰三角形两底角相等的性质．
利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
已知给出了一个底角为35°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
【详解】解：因为其底角为35°，所以其顶角=180°−35°×2=110°．
故答案为：110°．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·周测）在等腰三角形ABC中，CA=CB，过点A作△ABC的高
AD．若∠ACD=30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
【答案】D
【分析】分等腰三角形顶角是钝角和锐角两种情况讨论即可.
【详解】解：情况1：如图：
∵∠ACD=30°，
∴∠ACB=180°−∠ACD=150°，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15º，
底角与顶角的度数比为：15º:150º=1:10；
情况2：如图：∵∠ACD=30°，CA=CB，
180°−30°
∴∠B=∠CAB= =75°，
2
底角与顶角的度数比为：75º:30º=5:2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5:2或1:10，
故选：D.
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用.分情况讨论是解答此题的关键.
1
【变式2-3】（23-24八年级·浙江·期末）若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的 ，则称这个三角
2
形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是 度．
360
【答案】72或
7
【分析】设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，根据差半角三角形的定义得出方程，由此
解方程即可求得答案．
【详解】解：设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，
1
当α°－（180°－2α°）＝ α°时
2
解得：α＝72，
1
当（180°－2α°）－α＝ α°时
2
360
解得：α＝ ，
7
360
故答案为：72或 ．
7
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，读懂题意，设出未知数列出方程是解答
此题的关键．
【题型3 与中线有关的讨论】
【例3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线
BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为（ ）
A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12
【答案】A
【分析】结合图形可知两周长的差就是腰长与底边的差的绝对值，因为腰长与底边的大小不明确，所以分
腰长大于底边和腰长小于底边两种情况讨论．【详解】解：如图，由题意可知，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差的绝对值．
分两种情况：
（1）若AB>BC，则AB−BC=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=10，BC=4，
10、10、4三边能够组成三角形；
（2）若AB
