专题 13.9 分类讨论思想与等腰三角形的综合运用【八大题型】
【人教版】
【题型1 与边有关的讨论】......................................................................................................................................1
【题型2 与角有关的讨论】......................................................................................................................................3
【题型3 与中线有关的讨论】..................................................................................................................................6
【题型4 与高有关的讨论】......................................................................................................................................8
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】....................................................................................................................14
【题型6 与动点有关的讨论】................................................................................................................................18
【题型7 与三角形形状有关的讨论】....................................................................................................................21
【题型8 与构造三角形有关的讨论】....................................................................................................................26
【题型1 与边有关的讨论】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优
美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
1 4 4 4 1
A． B． C． 或2 D． 或
2 3 3 3 2
【答案】D
【分析】分8为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．
【详解】解：当8为腰长时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴△ABC的底边长为：20−8−8=4，
4 1
∴“优美比”为 = ；
8 2
当8为底边长时，
1
△ABC的腰长为： ×(20−8)=6，
2
8 4
∴“优美比”为 = ；
6 3
故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的定义．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意，分类讨
论．
【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）已知等腰三角形的一边等于10cm另一边等于6cm，则它的周
长为 ．
【答案】22cm或26cm
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是
解题的关键．
分情况讨论即可．
【详解】解：①当6cm为腰，10cm为底时，
∵6+6>10，6+10>6，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长=6+6+10=22cm；
②当10cm为腰，6cm为底时，
∵10+10>6，10+6>10，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长=10+10+6=26cm；
故答案为：22cm或26cm．
【变式1-2】（23-24八年级·四川遂宁·期末）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足
|2a−b−1)+(b−a−2) 2=0，则此等腰三角的周长是（ ）
A．8 B．11 C．13 D．11或13
【答案】D
【分析】首先根据|2a-b-1|+（b-a-2）2=0求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【详解】解：∵|2a-b-1|+（b-a-2）2=0，
{2a−b−1＝0)
∴ ，
b−a−2＝0
{a＝3)
解得： ，
b＝5
当3为腰时，三边为3，3，5，由三角形三边关系定理可知，周长为：3+3+5=11．
当5为腰时，三边为5，5，3，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+3=13．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据3，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是
另一边长的2倍，则腰长为 cm.
【答案】8
【分析】可设一边长为x，则另一边长为2x，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长解出x，再利用三
角形三边关系进行验证即可．
【详解】解：设一边为xcm，则另一边为2xcm，
①当长为xcm的边为腰时，此时三角形的三边长分别为xcm、xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+x+2x=20，
解得x=5，
此时三角形的三边长分别为：5、5和10，
因为5+5=10，不符合三角形三边之间的关系，所以不符合题意；
②当长为xcm的边为底时，此时三角形的三边长分别为：xcm、2xcm、2xcm，
由题意可列方程：x+2x+2x=20，
解得：x=4，
此时三角形的三边长分别为：4、8、8，满足三角形的三边之间的关系，
∴这个三角形的腰长为8cm；
故答案为8.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．
【题型2 与角有关的讨论】
【例2】（23-24八年级·云南昆明·期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个
等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=75°，则它的特征值k= ．
10 2
【答案】 或
7 5
【分析】分∠A为顶角和底角两类进行讨论，计算出其他角的度数，根据特征值k的定义计算即可．
180°−75° 75° 10
【详解】当∠A为顶角时，等腰三角形的两底角为 =52.5°，∴特征值k= = ；
2 52.5° 7
30° 2
当∠A为底角时，等腰三角形的顶角为180°−75°×2=30°，∴特征值k= = ．
75° 5
10 2
故答案为： 或
7 5
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，等腰三角形的分类讨论是解题中易错点．一般可以考虑从角或边两类进行讨论．
【变式2-1】（23-24·重庆沙坪坝·八年级期末）已知等腰三角形的一个底角为35°，则等腰三角形的顶角的
度数为 ．
【答案】110°/110度
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，等腰三角形两底角相等的性质．
利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握．
已知给出了一个底角为35°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．
【详解】解：因为其底角为35°，所以其顶角=180°−35°×2=110°．
故答案为：110°．
【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·周测）在等腰三角形ABC中，CA=CB，过点A作△ABC的高
AD．若∠ACD=30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（ ）
A．2:5或10:1 B．1:10 C．5:2 D．5:2或1:10
【答案】D
【分析】分等腰三角形顶角是钝角和锐角两种情况讨论即可.
【详解】解：情况1：如图：
∵∠ACD=30°，
∴∠ACB=180°−∠ACD=150°，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=15º，
底角与顶角的度数比为：15º:150º=1:10；
情况2：如图：∵∠ACD=30°，CA=CB，
180°−30°
∴∠B=∠CAB= =75°，
2
底角与顶角的度数比为：75º:30º=5:2，
综上，这个三角形的底角与顶角的度数比为5:2或1:10，
故选：D.
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用.分情况讨论是解答此题的关键.
1
【变式2-3】（23-24八年级·浙江·期末）若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的 ，则称这个三角
2
形是“差半角三角形”．若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角度数是 度．
360
【答案】72或
7
【分析】设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，根据差半角三角形的定义得出方程，由此
解方程即可求得答案．
【详解】解：设底角为α°，则另一个底角为α°，顶角为180°－2α°，
1
当α°－（180°－2α°）＝ α°时
2
解得：α＝72，
1
当（180°－2α°）－α＝ α°时
2
360
解得：α＝ ，
7
360
故答案为：72或 ．
7
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，读懂题意，设出未知数列出方程是解答
此题的关键．
【题型3 与中线有关的讨论】
【例3】（23-24八年级·山东日照·阶段练习）已知在△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线
BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为（ ）
A．10、10、4 B．6、6、12 C．4、5、10 D．10、10、4或6、6、12
【答案】A
【分析】结合图形可知两周长的差就是腰长与底边的差的绝对值，因为腰长与底边的大小不明确，所以分
腰长大于底边和腰长小于底边两种情况讨论．【详解】解：如图，由题意可知，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差的绝对值．
分两种情况：
（1）若AB>BC，则AB−BC=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=10，BC=4，
10、10、4三边能够组成三角形；
（2）若AB<BC，则BC−AB=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=6，BC=12，
6、6、12三边不能够组成三角形；
因此三角形的各边长为10、10、4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；做题中利用了分类讨论的思想，注意运用三
角形三边关系对三角形的组成情况作出判断，这是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成12，9
两部分，则等腰三角形的腰长为 ．
【答案】6或8
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一
腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为12和9两部分，列方程解得即可．
【详解】解：设腰长为x，底边长为y，则
x x
{ x+ =12) { x+ =9)
2 2
或 ，
x x
y+ =9 y+ =12
2 2{x=8) {x=6)
解得： 或 ，
y=5 y=9
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为9或5，等腰三角形的腰长为6或8．
故答案为：6或8
【变式3-2】（23-24八年级·江苏南通·周测）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三
角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
【答案】9cm或21cm
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联
立方程组，进而可求得等腰三角形的腰长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是
否满足三角形的三边关系．
【详解】解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm.
x 3 x 2
{ x+ =45× ) { x+ =45× )
2 3+2 2 3+2
根据题意得 ，或 ，
x 2 x 3
y+ =45× y+ =45×
2 3+2 2 3+2
{x=18) {x=12)
解得 或 ，
y=9 y=21
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的腰长为18cm或12cm.
故答案为：18cm或12cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底
边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常
重要，也是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，△ABC为等边三角形，AD是中线，点E是AC边上一
点，若△ADE是等腰三角形，则∠EDC的度数是 ．
【答案】15°或60°【分析】先证明AD⊥BC,∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=30°,再分三种情况讨论即可．
【详解】解：如图，∵△ABC为等边三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC,∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=30°,
∵△ADE为等腰三角形，
1
当AD=AE, 则∠ADE= (180°−30°)=75°,
2
∴∠EDC=90°−75°=15°,
当EA=ED, 则∠ADE=∠EAD=30°,
∴∠EDC=90°−30°=60°,
当DA=DE, 此时E不在边AC上，舍去，
综上：∠EDC为15°或60°.
故答案为：15°或60°.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，掌握“等腰三角形的两个底角相等，三线合一以及清晰的分类
讨论”是解本题的关键．
【题型4 与高有关的讨论】
【例4】（23-24八年级·河南驻马店·期末）已知等腰△ABC 的周长为16，其中一边长为6，AD 为底边
BC 上的高，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 或 6 D．2 或 3
【答案】D
【分析】分BC=6，和AB=AC=6，两种情况进行讨论，根据等腰三角形三线合一的性质，即可求解，
本题考查了，等腰三角形三线合一，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：当BC=6时，
∵AD⊥BC，AB=AC，
1 1
∴BD= BC= ×6=3，
2 2
当AB=AC=6时，BC=16−6−6=4，
∵AD⊥BC，1 1
∴BD= BC= ×2=2，
2 2
故选：D．
1
【变式4-1】（23-24八年级·河北邢台·期末）已知等腰△ABC，AD为BC边上的高，且AD= BC，则
2
等腰△ABC的底角的度数为（ ）
A．45° B．75°或60° C．45°或75° D．以上都不对
【答案】D
【分析】分三种情况讨论，先根据题意分别画出图形，当AB=AC时，根据已知条件得出AD=BD=CD
，从而得出底角的度数；当AB=BC时，先求出∠ABD的度数，再根据AB=BC求出底角的度数，当
AB=BC时，求出底角．
【详解】解：①当AB=AC时，如图，
则∠B=∠C；
∵AD为BC边上的高，
∴BD=CD ，
1
∵AD= BC，
2
∴AD=BD=CD，
∴∠DAB=∠B，∠C=∠DAC，
∴∠DAB=∠B=∠C=∠DAC，
而这四个角和为180°，
∴底角为∠B=∠C=45°；
②当AB=BC时，如图，1
∵AD= BC，
2
1
∴AD= AB，
2
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=75°，
∴底角为75°；
③当AB=BC时，如图，
1
∵AD= BC，
2
1
∴AD= AB，
2
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠BCA=15°，
∴底角为15°；
故选：D．
【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，关键是根据题意画出图形，注意不要漏
解．
【变式4-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的
夹角等于（ ）
90°−n° n° n°
A． B．90− C． D．90°−n°
2 2 2【答案】C
【分析】分两种情况：当高在等腰三角形内时；当高在等腰三角形外时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：分两种情况：
当高在等腰三角形内时，如图：
在△ABC中，AB=AC，∠A=n°，BD⊥AC，
∵AB=AC，∠A=n°，
180°−n° n°
∴∠ABC=∠C= =90°− ，
2 2
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
n°
∴∠DBC=90°−∠C= ；
2
当高在等腰三角形外时，如图：
在△ABC中，AB=AC，∠A=n°，BD⊥AC，
∵AB=AC，∠A=n°，
180°−n° n°
∴∠C= =90°− ，
2 2
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
n°
∴∠DBC=90°−∠C= ；
2n°
综上所述：若等腰三角形的顶角为n°，则它一腰上的高与底边的夹角等于 ，
2
故选：C
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，分两种情况讨论是解题的关键．
【变式4-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）已知△ABC是等腰三角形，BC边上的高恰好等于BC边长的
一半，则∠BAC的度数为（ ）
A．15°或90° B．75° C．15°或75° D．15°或75°或90°
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理、三角形的外角的性质；本题要分情况讨
论，根据等腰三角形的性质来分析：①当AD在三角形的内部，②AD在三角形的外部以，③BC边为等腰
三角形的底边三种情况．
【详解】解：如图，分三种情况：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
延长BD到点E，使DE=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠EDB，
又BD=BD,
∴△ADB≌△EDB,
∴AB=EB,∠ABD=∠EBD,
1 1
又AD= BC= AB，
2 2
∴AB=AE=BE,即△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60°,
∴∠BAC=30°,
∵AB=BC,1
∴∠BAC= (180°−30°)=75°；
2
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
同理可得∠ACD=30°,
∵AC=BC,
∴∠B=∠CAB，
又∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合知，点D为BC的中点，
1
由题意知，AD= BC=CD=BD，
2
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故选：D．
【题型5 与垂直平分线有关的讨论】
【例5】（23-24八年级·四川成都·期末）在△ABC中，AB=AC，过AB的中点D作AB的垂线，交直线
AC于点E，若∠AED=58°，则∠B= °．
【答案】74或16
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，难点在于要分情况
讨论，作出图形更形象直观．分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论即可．
【详解】解：分两种情况：
①如果△ABC是锐角三角形，如图1，
∵DE⊥AB
，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=58°，
∴∠A=90°−∠AED=90°−58°=32°，
∵AB=AC，
180°−∠A
∴∠B=∠C= =74°；
2
②如果△ABC是钝角三角形，如图2，
∵DE⊥AB
，
∴∠ADE=90°，
∵∠AED=58°，
∴∠BAC=∠ADE+∠AED=90°+58°=148°，
∵AB=AC，
180°−∠A
∴∠B=∠C= =16°；
2
综上所述，∠B的度数为74°或16°．
故答案为：74或16．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江绍兴·阶段练习）已知线段AB的垂直平分线上有两点E，F，直线EF交
AB于点C，且∠AEC=70°，∠AFC=45°，则∠EAF= ．
【答案】25°或65°
【分析】根据垂直的定义得到∠ACE=90°，根据三角形的内角和得到∠FAC=45°,∠EAC=20°，当点E，F在直线AB的同旁时；当点E，F在直线AB的两旁时，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵线段AB的垂直平分线上有两点E，F，直线EF交AB于点C，
∴∠ACE=90°，
∵∠AEC=70°，∠AFC=45°，
∴∠FAC=45°,∠EAC=20°，
如图1，当点E，F在直线AB的同旁时，∠EAF=∠FAC−∠EAC=25°；
如图2，当点E，F在直线AB的两旁时，∠EAF=∠FAC+∠EAC=65°，
综上所述，∠EAF的度数为25°或65°，
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）在△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于
D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于 ．
【答案】80°或100°
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是运
用角的和差关系：∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC或∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠CAE．分两种
情况讨论：∠BAC为锐角，∠BAC为钝角．先根据线段垂直平分线的性质，得出DA=DB，EC=EA，
得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再根据关系式∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC或
∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠CAE，即可求得∠BAC的度数．
【详解】解：①如图，当∠BAC为锐角时，
∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线，∴DA=DB，EC=EA，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC，且∠DAE=20°，
∴20°=∠B+∠C−∠BAC，
即20°=(180°−∠BAC)−∠BAC，
解得∠BAC=80°．
②如图，当∠BAC为钝角时，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
同理∠C=∠EAC，
∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE=180°，
1
∴∠DAB+∠EAC= (180°−20°)=80°，
2
∴∠BAC=180°−80°=100°，
故答案为：80°或100°
【变式5-3】（23-24八年级·上海黄浦·期末）已知等腰△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线交直线
AC于点D，若∠BDC=48°，则∠BAC的度数为 ．
【答案】24°或66°或114°
【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，
分当△ABC是锐角三角形时，当△ABC是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线
的性质得到AD=BD，再根据等边对等角得到∠BAD=∠ABD，再根据角度之间的关系进行求解即可．
【详解】解：如图所示，当△ABC是锐角三角形时，且点D在线段AC上，
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=48°，
∴∠A=24°；如图所示，当△ABC是锐角三角形时，且点D在线段AC的延长线上，
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵∠BDC+∠A+∠ABD=180°，∠BDC=48°
180°−∠BDC
∴∠A= =66°；
2
如图所示，当△ABC是钝角三角形时，点D在线段CA的延长线上，
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
180°−∠BDC
∴∠BAD=∠ABD= =66°，
2
∴∠BAC=180°−∠BDA=114°；
综上所述，∠BAC的度数为24°或66°或114°．
故答案为；24°或66°或114°．【题型6 与动点有关的讨论】
【例6】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动
点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三
角形时，则t的值为 秒．
【答案】1或3/3或1
【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与
数形结合思想的应用．
由等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，可求得AQ的长，然后∠A=60°，可得△APQ为等边三
角形，分析△APQ为等边三角形即可求得答案．
【详解】解：∵等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，
1
∴AQ= AC=2cm，∠A=60°，
2
∴当△APQ是等腰三角形时，可得三角形APQ为等边三角形，
∴AP=AQ=PQ，
∵AQ=2，
∴AP=2，
∵动点P的速度为2cm/秒，
∴当P从A→B时，t=2÷2=1，当P从B→A时，t=(4+2)÷2=3．
故答案为：1或3．
【变式6-1】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12cm，
动点M从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点N从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，
如果点M、N同时出发，设运动的时间为ts，那么当t= s时，△MON是等腰三角形．【答案】4或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．熟练掌握等腰
三角形的性质，等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用是解题的关键．
由题意知，当0<t≤6时，OM=12−2t；当6<t时，OM=2t−12，ON=t，由△MON是等腰三角形，
可知当0<t≤6时，OM=ON，即12−2t=t，计算求解即可；当6<t时，证明△MON是等边三角形，则
OM=ON，即2t−12=t，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，当0<t≤6时，OM=12−2t；
当6<t时，OM=2t−12，
ON=t，
∵△MON是等腰三角形，
∴当0<t≤6时，OM=ON，即12−2t=t，
解得，t=4，
当6<t时，△MON是等腰三角形，
∴△MON是等边三角形，
∴OM=ON，即2t−12=t，
解得，t=12，
综上所述，t的值为4或12，
故答案为：4或12．
【变式6-2】（23-24八年级·江西赣州·阶段练习）如图，B是射线AD上动点，∠A=50°，若△ABC为等
腰三角形，则∠C的度数可能是 ．
【答案】80°，65°或50°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质；
分情况讨论：当∠C是顶角时；当∠C是底角，∠A是顶角时；当∠C、∠A都是底角时；分别利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：当∠C是顶角时，∠A=∠B=50°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=80°；
当∠C是底角，∠A是顶角时，
180°−∠A
∴∠C= =65°；
2
当∠C、∠A都是底角时，
∴∠C=∠A=50°；
综上，∠C的度数可能是80°，65°或50°，
故答案为：80°，65°或50°．
【变式6-3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，
AC=10cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒
1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t
秒．当点Q在边CA上运动时，出发 秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
【答案】5.5或6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定；利用等腰三角形的性质可分为：CQ=BC和 BQ=CQ两
种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】①当 △BCQ是以BC为底边的等腰三角形时∶ BQ=CQ,如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,∴BQ=AQ,
1
∴CQ=AQ= AC=5(cm),
2
∴BC+CQ=11(cm),
∴t=11÷2=5.5(秒)；
②当 △BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时∶ CQ=BC, 如图2所示，
则 BC+CQ=12(cm),
∴t=12÷2=6(秒)．
故答案为：5.5或6．
【题型7 与三角形形状有关的讨论】
【例7】（23-24·上海·模拟预测）如果两个不全等的等腰三角形的腰长相等、面积也相等，那么我们把这
两个等腰三角形称为一对合同三角形．设一对合同三角形的底角分别为x°和y°，那么y=
．（用x的代数式表示）
【答案】90−x/−x+90
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题
关键．根据题意，两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，则腰上的高相等，分两种情况讨论：这两个
三角形都是锐角或钝角三角形；两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，分别求解即可获得答
案．
【详解】解：∵两个等腰三角形的腰长相等，面积也相等，
∴腰上的高相等，
可分两种情况讨论：
①当这两个三角形都是锐角或钝角三角形时，如下图，则有AB=AC=DF=DE，CG=FH，∠B=∠ACB=x°，∠E=∠DFE= y°，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
{AC=DF)
，
CG=FH
∴Rt△ACG ≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A=∠D，
1 1
∠B= (180°−∠A)= (180°−∠D)=∠E，
2 2
即有y=x；
此时两个等腰三角形全等，不符合题意；
②当两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，如下图，
则有AB=AC=DF=DE，CG=EH，∠B=∠ACB=x°，∠F=∠≝= y°，
在Rt△ACG和Rt△DEH中，
{AC=DF)
，
CG=FH
∴Rt△ACG ≌Rt△DFH(HL)，
∴∠CAG=∠D，
∴∠CAG=∠B+∠ACB=2x°，∠D=180°−¿，
∴2x°=180°−2y°，
∴y=90−x，
此时两个等腰三角形不全等，符合题意．
故答案为：90−x．
【变式7-1】（23-24春·山东威海·八年级统考期末）若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形
顶角的度数为( )A. 30° B. 30°或150° C. 60° D. 60°或120°
【答案】B
【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积等有关知识，先求出BD，再结合含30°的直角三角形等定
理，得出结果；当三角形为钝角三角形时，可求得顶角的邻补角为30°，可求得其顶角，综合得出结果．
【解答】
解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
过点B作BD⊥AC于D，
1
∵ ×BD×4=4，
2
∴BD=2，
∵在Rt△ABD中，AB=2BD=4，
∴∠A=30°，即△ABC的顶角为30°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
过点B作BD⊥AC于D，
1
∵ ×BD×4=4，
2
∴BD=2，在Rt△ABD中，∵AB=2BD=4，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=150°，即△ABC的顶角为150°；
综上可知该三角形的顶角为30°或150°，
故选B
【变式7-2】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）若等腰三角形的腰长为8，腰上的高为4，则此三角形
的顶角是( )
A. 30° B. 150° C. 30° 或150° D. 30°或120°
【答案】C
【分析】
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两腰相等的性质，难点
在于要分情况讨论．作出图形，然后分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论求解．
【解答】
解：如图1，∵腰长AB=8，高线BD=4，
∴∠A=30°，即顶角是30°，
如图2，∵腰长AC=8，高线CD=4，
∴∠CAD=30°，
∴顶角∠BAC=180°−30°=150°，
所以，此三角形的顶角是30°或150°．故选：C．
【变式7-3】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）从一个等腰三角形纸片的顶角顶点出发，能将其剪成
两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角等于( )
A. 90° B. 72° C. 108° D. 90°或108°
【答案】D
【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用，根据等腰三角形的
性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠BAC与∠B的关系，再根据三角形内角和定
理即可求得顶角的度数．
【解答】
解：当是等腰钝角三角形时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
设∠B=∠C=x，
∵AB=BD，AD=DC，
∴∠BAD=∠BDA，∠DAC=∠C，
∴∠ADB=2∠C，
∴∠BAC=3x，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5x=180°，
∴x=36°，
∴∠BAC=3x=108°，
当是等腰直角三角形时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD=BD，AD=DC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∵∠B+∠C+∠BAD+DAC=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°，
故选：D．
【题型8 与构造三角形有关的讨论】
【例8】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满
足△OCE是等腰三角形，∠AEC的度数为 ．
【答案】60°或105°或150°
【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE=CE，OC=OE，OC=CE，根据等腰三角形性质和三角形
内角和定理求出即可．
【详解】解：如图，
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=30°，
①当E在E 时，OE=CE，
1
∵∠AOC=∠OCE=30°，
∴∠OEC=180°−30°−30°=120°，
∴∠AEC=180°−∠OEC=60°；
②当E在E 点时，OC=OE，
2
1
则∠OEC=∠OCE= (180°−30°)=75°
2
∴∠AEC=180°−∠OEC=105°；
③当E在E 时，OC=CE，
3
则∠OEC=∠AOC=30°
∴∠AEC=180°−∠OEC=150°；
故答案为：60°或105°或150°．
【变式8-1】（23-24八年级·云南普洱·期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D在线段BC上
运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三
角形时，∠BAD的度数为 ．
【答案】60°或30°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关
键，注意分情况讨论．根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，△ADE是等腰三角形，分情况讨论：
①AD=AE时，②EA=ED时，③DA=DE时，分别求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠ABC=40°，
∴∠ACB=∠ABC=40°，
∴∠BAC=100°，
∵∠ADE=40°，
△ADE是等腰三角形，分情况讨论：
①AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∴∠DAE=100°，
此时D点与B点重合，不符合题意；
②EA=ED时，∠EAD=∠ADE=40°，
∴∠BAD=100°−40°=60°；
③DA=DE时，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BAD=100°−70°=30°，
综上，∠BAD的度数为60°或30°，
故答案为：60°或30°．
【变式8-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知在△ABC中，∠A=40°，D为边AC上一点，△ABD和
△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是 ．
【答案】80°或50°或20°或35°
【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理，分情况画出图形进行解答即可．
【详解】解：如图1所示：
当DA=DB时，
∵∠A=40°，∴∠ABD=40°，
∴∠ADB=180°−40°×2=100°，
∴∠BDC=180°−100°=80°，
当BD=BC 时，∠BC D=∠BDC =80°；
1 1 1
当DB=DC 时，∠DBC =∠DC B=（180°−80°）÷2=50°；
2 2 2
当BC =DC 时， ∠BC D=180°−80°×2=20°；
3 3 3
如图2所示：
当AB=AD时，
∵∠A=40°，
∴∠ABD=∠ADB=(180°−40°)÷2=70°，
∴∠BDC=180°−70°=110°，
当DB=DC 时，∠DBC =∠DC B=(180°−110°)÷2=35°；
4 4 4
如图3所示：
当AB=DB时，
∵∠A=40°，
∴∠ADB=40°，
∴∠BDC=180°−40°=140°，
当DB=DC 时，∠DBC =∠DC B=(180°−140°)÷2=20°．
5 5 5综上所述，∠C的度数可能是80°或50°或20°或35°
故答案为：80°或50°或20°或35°．
【变式8-3】（2024八年级·江苏·专题练习）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰
三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A=36°,∠B为钝角，则使得△ABC是特
异三角形所有可能的∠B的度数为 ．
【答案】108°或126°或132°
【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角
形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用．
根据题意三角形得到△ABD和△CBD都是等腰三角形，讨论：①当AB=AD时，DB=DC，利用等腰三
角形的性质和三角形外角性质可计算；②当DA=DB，DB=DC时，CD=CB时；③当BA=BD时，
DB=DC，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当BA=BD，DA=DC，设设
∠BAD=x，则∠ADB=x，根据题意列方程即可．
【解答】解：∵△ABC是特异三角形，
∴△ABD和△CBD都是等腰三角形，
1 1
①当AB=AD时，则∠ABD=∠ADB= (180°−∠A)= (180°−36°)=72°，
2 2
1
若DB=DC，则∠C=∠CBD= ∠ADB=36°，
2
此时∠ABC=72°+36°=108°；
由于∠CDB=108°，则CD=CB与BD=BC不成立；
②当DA=DB，则∠ABD=∠A=36°，所以∠CDB=36°+36°=72°，
1
若DB=DC，则∠C=∠CBD= (180°−72°)=54°，
2
此时∠ABC=54°+36°=90°，不合题意舍去；
若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=72°，此时∠ABC=72°+36°=108°；
③当BA=BD时，则∠ADB=∠A=36°，∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
1
若DB=DC，则∠C=∠CBD= ∠ADB=18°，此时∠ABC=108°+18°=126°；
2由于∠CDB=144°，则CD=CB与BD=BC不成立；
④当BA=BD，DA=DC，
设∠BAD=x，则∠ADB=x，
∵DC=DA，
1
∴∠C=∠DAC= x，
2
1
∴x+ x=36°，解得x=24°，
2
∴∠B=180°−24°−24°=132°；
综上所述，∠B的度数为108°或126°或132°．
故答案为108°或126°或132°．
