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第十一章 三角形(B 卷·能力提升练)
(时间：90分钟，满分：120 分)
一、选择题(本题共13小题，每小题3分，共39分。)
1.下列各组图形中， 是 的高的图形是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，根据题中各个选项所给的图形可知只有D选项符合，
故选：D．
2.在△ABC中，若∠A+∠B－∠C＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】
解：∵∠A+∠B－∠C＝0，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
故选择：A.
3.如图，AD，BE，CF依次是 ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是( )A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【答案】C
【解析】
解：A、BE是 ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是 AB△C的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角△形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是 ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．△
4.下列命题中真命题是( )
A．三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形
B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等
C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合
D．三角形的外角等于它的两个内角之和
【答案】B
【解析】
解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意；
B、三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等，是真命题，符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
5.△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为E上一点，FD⊥DC于点D，则∠EFD=( )
A．5° B．10° C．12° D．20°【答案】B
【解析】
∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故选：B．
6.设三角形三边之长分别为2，9，5＋a，则a的取值范围为( )
A．2<a<9 B．7<a<11 C．7<a<9 D．2<a<6
【答案】D
【解析】
解：根据三角形三边关系可得：
，
即 ，
∴ ，
故选：D．
7.(2022·海南海口·七年级期末)如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于( )
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【解析】
∵ABCDE为正五边形∴∠C=∠ABC= =108°
∵FB⊥AB
∴∠FBC=108°-90°=18°
在△FBC中，∠BFC=180°-108°-18°=54°
故选：B
8..(2022·河南洛阳·七年级期中)如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝( )
A．30° B．35° C．36° D．40°
【答案】A
【解析】
解：∵CE∥DF，
∴
∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，
，
故选A．
9.等腰三角形底边长为17，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为9，则腰长为( )．
A．8 B．26 C．8或26 D．以上结论都不正确
【答案】B
【解析】
解：设等腰三角形腰长为x，
由题意得： 或 ，解得 或8，
当 时，8，8，17无法构成三角形，
∴ ，
故选：B．
10.一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【答案】A
【解析】
解：设新多边形的边数为n，
则(n-2)•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
11.(2022·广东深圳·七年级期末)如图，在 中， ， ．若 是 的高，与
角平分线 相交于点 ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：∵∠BCA=40°，∠ABC=60°
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝40°，∵BF⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF＝10°，
∴∠BOE＝∠BAO＋∠ABO＝40°＋10°＝50°，
∴ ＝130°，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线，高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于
中考常考题型．
12.如下图， 的面积为10， 为 边上的中线， 为 上任意一点，连接 ， ，图中阴影
部分的面积为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
解：∵D是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
13.如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形
ABDF的面积为10，则△ABC的面积为( )A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】
设 ，
∵AF为△ADE的中线．
∴
∵E分别为△ABC的边AC的中点，
∴
∵D分别为△ABC的边BC的中点，
∴
∴四边形ABDF的面积=
解得
∴
故选：B
二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分。)
14.(2022·山东菏泽·八年级期末)如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一
个外角是______ ．
【答案】30°
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：(n-2)×180°=1800°，解得：n=12，
360°÷12=30°．
故答案为：30°．
15.(2022·北京通州·八年级期中)如图，点 、 、 、 、 在同一平面内，连接 、 、 、 、
，若 ，则 ______．
【答案】310°
【解析】
解：连接AC，
∵∠ABC=130°，
∴∠BAC+∠BCA =180°-130°=50°，
∴ ．
故答案为： ．
16．(2022·广西玉林·八年级期末)如图，小王在玩拼图游戏时，将等边三角形，正方形，正五边形按图示的
位置摆放，他发现若测得∠2＝24°，∠3＝28°，那么∠1的度数就可以不用测量了，则∠1等于 _____．【答案】50°
【解析】
解：等边三角形的一个内角的度数是60°，正方形的一个内角度数是90°，
正五边形的一个内角的度数是： (5﹣2)×180°＝108°，
则∠1＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠3﹣∠2＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣28°﹣24°＝50°．
故答案是：50°．
17.一个三角形的三个内角的度数的比是1:2:3，这个三角形是________三角形；
【答案】直角
【解析】
解： ，
因为三角形中有一个角是90°，所以该三角形是直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和定理以及三角形的分类方法．
18.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是_____．
【答案】10
【解析】
解： BD是 的中线，即点D是线段AC的中点，
，
， 的周长为12，
，即 ，
解得： ，
，
则 的周长是 ．故答案为：10．
19.在 中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若 的面积是14，则 的面
积为_________．
【答案】2
【解析】
解：如图，连接 ， ， ，
∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ 是 的中线， 是 的中线，
∴ ， ，
∴ ；
同理可得 ； ；
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为：220. 中， ， 于 ， ，则 ______．
【答案】 或
【解析】
解：分两种情况讨论：
当 是锐角三角形时，如图，
于 ， ，
；
当 是钝角三角形时，如图，
于 ， ，
；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
21.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．
【答案】
【解析】
解：设三角形三边长为 且 由于 得到
为整数，c 为：11，12，13，14，
①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10
6；14，9，7；
②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9
8；
③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8；
④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个．
故答案为：12．
【点睛】
本题利用了三角形中三边的关系求解，注意不要漏掉哪一种情况．
22.如图，在 中， ， 平分 ， 平分 ， 平分 ， 平分 ，
则 的度数是_______．
【答案】110°
【解析】
解：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：110°
【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，
即“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”．
23.如图，已知 ，那么 的度数是
【答案】320°
【解析】
解：如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
三、解答题(本题共6小题，共51分。)
24.(6分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD．【答案】见解析
【解析】
证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点睛】
本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关
键．
25．(8分)在 中， ， 边上的中线 把三角形的周长分为10和18两部分，求腰长 ．
【答案】12
【解析】
解：如图，
∵AB=AC，BD是AC边上的中线，
即AD=CD，
∴|AB-BC|=18-10=8，AB+BC+AC=2AB+BC=10+18=28，
若AB＞BC，则AB-BC=8，又∵2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB=12，BC=4，
12、12、4三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC-AB=8，
又2AB+BC=28，
联立方程组：
，
解得：AB= ，BC= ，
、 、 三边不能够组成三角形；
∴腰长AB为12．
26.(8分)如图，已知 ， 分别是 的高和角平分线， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)5°；
(2)4.8cm；
【解析】
(1)
解：∵ 平分 ， ，
∴ ，∵ ⊥ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
(2)
解：∵ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ cm；
27.(9分)如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若
∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
【答案】∠AEC=75°、∠DAE=15°
【解析】
∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，∠ABC＝42°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝ ∠BAC＝33°，
∵∠EAC＋∠AEC＋∠C＝180°
∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝75°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠AEC＝15°．
28.(2021·河南商丘·八年级期末)(10分)如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角的平分线相交于点E，且
∠A=60°．(1)①若∠ABC=40°，则∠E=________；
②若∠ABC=100°，则∠E=________．
(2)嘉嘉说∠E的大小与∠B的度数无关，你认为他说得对吗？请说明理由．
【答案】(1)①30°；②30°
(2)嘉嘉说得对，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)①根据角平分线的定义及三角形外角的性质，即可解答；②同①解答即可；
(2) 根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可得∠E= ∠A，据此即可判定．
(1)
解：①∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE= ∠ABC=20°，∠DCE= ∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=60°+40°=100°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE= ∠ACD=50°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=50°-20°=30°；
②∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE= ∠ABC=50°，∠DCE= ∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A=100°+60°=160°，∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠DCE= ∠ACD=80°，
∴∠E=∠DCE-∠DBE=80°-50°=30°；
故答案为：①30°；②30°；
(2)解：嘉嘉说得对．
理由如下：
∵BE，CE分别是△ABC的内角和外角的平分线
∴∠DBE= ∠ABC，∠DCE= ∠ACD
∵∠DCE=∠DBE+∠E
∴∠E=∠DCE－∠DBE= ∠ACD－ ∠ABC= (∠ACD－∠ABC)
又∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠E= (∠ABC+∠A-∠ABC)= ∠A
∴∠E的大小与∠B的度数无关．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，结合题意和图形准确找到相关角之间的关系是解决本题
的关键．
29.(2022·陕西咸阳·八年级期末)(10分)我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在
图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，
根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A十∠B=∠C十∠D．
(1)如图1，在“对顶三角形”△AOB与△OOD中，∠AOB=70°，则∠C十∠D= °．
(2)如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C=60°，∠ADE比∠BED大6°，求
∠BED的度数．
【答案】(1)110
(2)27°
【解析】
【分析】
(1)由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；(2)根据角平分线的性质可得∠1=∠2，∠3=∠4，根据三角形内角和定理可得到∠BAC+∠ABC=180°-
∠C=180°-60°=120°，进而得到∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF为对顶三角形得出
∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°，由题意知∠ADE比∠BED大6°，联立方程组即可解得答案．
(1)解：由对顶三角形可得∠A+∠B=∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B=180°-∠AOB=180°-70°=110°，
∴∠C+∠D=110°；
(2)∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=180°-
∠C=180°-60°=120°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=120°，∴2∠1+2∠3=120°，∴∠1+∠3=60°，由图知△ABF与△DEF
为对顶三角形，∴∠1+∠3=∠ADE+∠BED=60°①，又∵∠ADE比∠BED大6°，∴∠ADE-∠BED=6°②，联
立①②得 ，解得： ，∴∠BED=27°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．
