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第33讲 直线方程
【知识点总结】
一、基本概念
斜率与倾斜角
我们把直线 中 的系数 （ ）叫做这条直线的斜率，垂直于 轴的直线，其斜率不存在。
轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。倾斜角 ，规定与 轴平行或重合的
直线的倾斜角为0，倾斜角不是 的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用 表示，即 。
当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角 随的增大而减小；
二、基本公式
1. 两点间的距离公式
2. 的直线斜率公式
3.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线的斜率 存在且过 ，
注：①当 时， ；②当 不存在时，
（2）斜截式：直线的斜率 存在且过 ，
（3）两点式： ，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注： 可表示经过两点 的所有直线
（4）截距式： 不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式： ，能表示平面上任何一条直线（其中，向量 是这条直线的一个法向量）
三、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定.两直线方程 平行 垂直
(斜率存在) 或 或 中有一个
为0，另一个不存在.
(斜率不存在)
四、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点 的距离公式为 .
特别地，原点O(0,.0)与任一点P(x,y)的距离
2．点到直线的距离
点 到直线 的距离
特别地,若直线为l:x=m,则点 到l的距离 ;若直线为l:y=n,则点 到l的距离
3.两条平行线间的距离
已知 是两条平行线,求 间距离的方法:
(1)转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.
(2)设 ,则 与 之间的距离
注:两平行直线方程中,x,y前面对应系数要相等.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）直线 经过点 ，在 轴上的截距的取值范围是 ，则其斜率
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））设 ，直线 恒过定点A，则点A到直线的距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知点 到直线 的距离为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A．PQ∥SR B．PQ⊥PS
C．PS∥QS D．PR⊥QS
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，直线 ，若直线 关于直线l的对
称直线为 ，则直线 的方程为_______________．
例6．（2022·上海·高三专题练习）坐标原点 关于直线 对称的点的坐标是________.
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线 与直线 之间的距离为__________．
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 ，试分别确定 的
值，使：
（1） 与 相交于一点 ；
（2） 且 过点 ；
（3） 且l 在y轴上的截距为 .
1
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知 的三个顶点分别为 ， ， ，BC中点为
D点，求：
（1） 边所在直线的方程
（2） 边上中线AD所在直线的方程
（3） 边的垂直平分线的方程.
例10．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过点P(4，3)，且与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点.
（1）若点O到直线l的距离为4，求直线l的方程；
（2）求△OAB面积的最小值.【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）若图中的直线l，l，l 的斜率分别是k，k，k，则有（ ）
1 2 3 1 2 3
A．k<k<k B．k<k<k
1 2 3 3 1 2
C．k<k<k D．k<k<k
3 2 1 2 3 1
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，直线 经过点 和 ，且直线 与
平行，则实数 的值为（ ）
A．0 B．1 C．6 D．0或6
4．（2022·全国·高三专题练习）若直线 的斜率 ，则直线 的倾斜角的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，且直线 与 平行，
则 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．0或1
6．（2022·全国·高三专题练习）已知两点A(-2，4)，B(2，3)，过点P（1，0）的直线 与线段AB有公共点，则直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
8．（2021·云南昆明·模拟预测（理））若等边三角形一边所在直线的斜率为 ，则该三角形另两条边所
在直线斜率为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．（2022·全国·高三专题练习）直线 的倾斜角为 ， 经过点 ， ，则直线 与直线
的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合
10．（2022·全国·高三专题练习）直线 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 平行，则实数 的值是（
）
A． B． C． 或 D．不存在
12．（2022·全国·高三专题练习）直线 与直线 平行，那么 的值是（
）
A． B． C． 或 D． 或13．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 与直线 垂直，则实数a
的值为（ ）
A． B． C． 或 D．不存在
14．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则“ ”是“直线 与直线
垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
15．（2022·上海·高三专题练习）过点 且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）过点 且垂直于 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线 和直线 都过点 ，则过点
和点 的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，当 变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2022·全国·高三专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A． B．C． 或 D． 或
20．（2022·全国·高三专题练习）直线l经过点 ，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中
点时，直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）经过两直线 与 的交点，且在两坐标轴上的截距互
为相反数的直线方程是（ ）
A． 或 B． 或C． D．
22．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线l：3x﹣y﹣1＝0，l：x＋2y﹣5＝0，l：x﹣ay﹣3＝0不能围成
1 2 3
三角形，则实数a的取值不可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
23．（2022·全国·高三专题练习）点 关于直线 的对称点是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 ，则点P(2，2)关于 对称的点 的坐标为
（ ）
A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)
25．（2022·全国·高三专题练习）若入射光线所在直线的方程为 ，经x轴反射，则反射光线
所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习）两条平行直线3x+4y-10=0与ax+8y+11=0之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）直线 关于点 对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
28．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点 且在 轴截距相等的直线方程为B．直线 在y轴上的截距是 ；
C．直线 的倾斜角是
D．过点 并且倾斜角为 的直线方程为
29．（2022·全国·高三专题练习）对于直线 ： ，下列说法错误的是（ ）
A． 时直线 的倾斜角为 B．直线 斜率必定存在
C．直线 恒过定点 D． 时直线 与两坐标轴围成的三角形面积为30．（2022·全国·高三专题练习）关于直线 ，下列说法正确的有（ ）
A．过点 B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在 轴上的截距为1
31．（2022·江苏·高三专题练习）已知直线 过 ，且 ， 到直线 的距离相等，则 的
方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A．直线 与线段 有公共点
B．直线 的倾斜角大于
C． 的边 上的中线所在直线的方程为
D． 的边 上的高所在直线的方程为
33．（2022·全国·高三专题练习）(多选)若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为 ，则
实数c的值是（ ）
A．2 B．-4
C．5 D．-6
34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 过点 且与点 、 等距离，则直线 的方程
为（ ）
A．
B．
C．D．
35．（2022·全国·高三专题练习）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
36．（2022·全国·高三专题练习）与直线 平行且到直线l的距离为2的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题37．（2022·全国·高三专题练习）若直线经过点A(－ ,3)，且倾斜角为直线 x＋y＋1＝0的倾斜角的一
半，则该直线的方程为___________．
38．（2022·江苏·高三专题练习）若经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，则 ________.
39．（2022·全国·高三专题练习）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直
线的斜率分别为______．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ，若直线 过点 与线段 相交，则直线 的
斜率 的取值范围________
41．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）直线 和直线 夹角的余弦值为
________．
42．（2022·全国·高三专题练习）若点 在直线 上，则 与 的位置关系
是________．
43．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 则直线 与 的夹角是
________．
44．（2022·全国·高三专题练习）已知点 和点 ，P是直线 上的一点，则 的
最小值是__________．
45．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射
后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是_________．46．（2020·全国·高三专题练习）已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2），则直线l关于点A对称
的直线的方程为____________.
47．（2022·全国·高三专题练习）直线 恒过定点 ，则直线 关于点对称的直线方程为_________．
48．（2022·上海·高三专题练习）直线 关于直线 对称的直线方程是__________.
四、解答题
49．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试）已知 ， ，线段 的垂直平分线为直线 ．
（1）求直线 的一般式方程；
（2）若点 在直线 上，且 ，求点 坐标．
50．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：2x+y+3＝0，l：x﹣2y＝0．
1 2
(1) 求直线l 关于x轴对称的直线l 的方程，并求l 与l 的交点P；
1 3 2 3
(2)求过点P且与原点O（0，0）距离等于2的直线m的方程．
51．（2022·上海·高三专题练习）两平行线 ， 分别过点 与 ．
（1）若 与 距离为2，求两直线方程；
（2）设 与 之间距离是 ，求 的取值范围．
52．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l：y＝x－2关于直线l对称的直线l 的方程；
1 2
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．53．（2022·上海·高三专题练习）已知直线 和直线 ，若直线 被 和 截得
的线段 的中点恰为坐标原点，求直线 的方程．
