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第21讲 三角函数的性质
【知识点总结】
1.“五点法”作图原理
在确定正弦函数 的图像时，起关键作用的5个点是 .
在确定余弦函数 的图像时，起关键作用的5个点是 .
2.三角函数的图像与性质
y y
1 1
在 上 2
的图像 O x O 2 x
1 1
定义域
值域（有界性）
最小正周期
（周期性）
奇偶性（对称
奇函数 偶函数
性）
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自
变量值 时 时
最小值及对应自
变量值 时 时
函数
正切函数
y
O x图像
定义
域
值域
周期
性
奇偶
奇函数，图像关于原点对称
性
单调
性 在 上是单调增函数
对称
无
轴
对称
中心
3. 与 的图像与性质
（1）最小正周期： .
（2）定义域与值域： ， 的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设 .
①对于 ，
②对于 ，
（4）对称轴与对称中心.
假设 .
①对于 ，②对于 ，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与 轴交点的位
置.
（5）单调性.
假设 .
①对于 ，
②对于 ，
（6）平移与伸缩
（ ， ）的图象，可以用下面的方法得到：
①画出函数 的图象；
②把 的图象向左（ ）或向右（ ）平移 个单位长度，得到函数 的图
象；
③把 图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图
象；
④把 图象上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），得到函数
的图象.
【典型例题】
例1．（2018·福建省泉州市泉港区第一中学高三期中（文））函数的部分图象如图示，则下列说法不正确
的是A．
B． 的图象关于点 成中心对称
C． 在R上单调递增
D．已知函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数图象关于原点对称
【答案】D
【详解】
根据函数 的部分图象， ，其中 ， ， ，
再根据五点法作图可得 ， ，故 ，故A正确．
当 时， ，即 的图象关于点 成中心对称，故B正确．
， ，故函数 在R上单调递增，故C正确．
把函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，
由于函数 为非奇非偶函数，故它的图象不关于原点对称，故D错误，
故选D．
例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 的定义域为（ ）
A． （ ）B． （ ）
C． （ ）
D． （ ）
【答案】B
【详解】解：要使函数有意义，则 ，即 ，
即 ， ，得 ， ，
即函数的定义域为 （ ）.
故选：B
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (ω>0)，若f(x)在 上恰有两个零点，则
ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为 ，且ω>0，所以 ，又f(x)在 上恰有两个零点，所以
且 ，解之得 .
故选：A.
例4．（2022·全国·高三专题练习）若 在 上是减函数，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
画出 的图象如下图所示，由图可知， 的最大值是 .
故选：B例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝2sin 是偶函数，则θ的值为（
）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由f(x)是偶函数，可得θ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，
即θ＝ ＋kπ，k∈Z.令k＝0，得θ＝ .
故选：B．
（多选题）例6．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的方程 在区间 上
有且只有一个解，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AC
【详解】
整理可得 ，
令 ，因为 ，则 .
所以 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和直线 只有1个交点.
由图可知， 或 ，解得 或 .
故选：AC.例7．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图像向右平移 个单位，可得下列哪些函数（
）
A． B．C． D．
【答案】BC
【详解】
将函数 的图像向右平移 个单位，得到 ，
而 ，
.
故选：BC.
例8．（2021·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知函数 .
x
f(x)
（1）求函数 在区间 上的值域；
（2）用五点法在网格纸中作出 在区间 上的大致图象.
【详解】
（1）依题意， ，
当 时， ， ，故 ，故 ，故函数 在 上的值域为 ；
（2）当 时， ， ，
列表如下：
0
0 0
作出图形如下所示：
例9．（2021·全国·高三专题练习） 已知 ，函数 ．
（Ⅰ）若 ，求 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 的最大值是 ，求 的值．
【详解】
（Ⅰ）由题意
由 ，得 ．
所以单调 的单调递增区间为 ， .（Ⅱ）由题意 ，由于函数 的最大值为 ，即
， 从而 ，又 ，故 ．
例10．（2021·江苏高邮·高三阶段练习）已知函数 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式;
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单
位，得到函数 的图象，当 时，求 值域.
【解析】
（1）由图象可知， 的最大值为 ，最小值为 ，又 ，故 ，
周期 ， ， ，则 ，
从而 ，代入点 ，得 ，
则 ， ，即 ， ，
又 ，则 .
.
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，故可得 ；
再将所得图象向左平移 个单位，得到函数 的图象
故可得 ；， ，
， .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））设点 是函数 的图象C的一个对称中心，若
点 到图象C的对称轴上的距离的最小值 ，则 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
点 到图像 的对称轴的水平距离的最小值就是函数最小正周期的 ，故可得函数的最小正周期.
【详解】
因为对称中心与对称轴水平的最近距离为 ，由题意得 ，所以 .
故选：C.
2．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数 在区间 上的
图象大致如下，且 ；则 图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】
由图象知 求 关于k 的表达式，又 确定 的范围，即可求 的值，进而求对
称轴方程，结合选项判断符合要求的对称轴方程.【详解】
由图，知： ，即 ，于是得 ，解得
①．
又 ，且 ，则有 ，即得 ②；
综合①②知，当且仅当 时，得 ．即 ，
令 ，得 图象的对称轴方程为 ，
当 时，得 为 图象的一条对称轴方程．
故选：B.
3．（2021·河南·高三阶段练习（理）） 的图象向左平移 个单位，恰与
的图象重合，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先得到 平移后的解析式 ，再将 转化为正弦型函数 ，然后根据两函
数图象重合，由 求解.
【详解】
的图象向左平移 个单位得到 ，
，
因为 的图象平移后与 的图象重合，所以 ，
解得 ，
当 时， ，
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为 ，且在区间 单调递增的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据正余弦函数及正切函数的性质，判断函数的周期及其区间单调性即可.
【详解】
A： 的周期为 ， 单调递减，不合要求；
B： 的周期为 ， 、 单调递增，不合要求；
C： 的周期为 ， 单调递增，符合要求；
D： 的周期为 ， 不单调，不合要求；
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象上每一个点向左平移 个单位，得到
函数 的图象，则函数 的单调递增区间为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
首先确定平移后的函数解析式，在求函数的递增区间.
【详解】
由题意可知平移后的解析式：
函数 的单调递增区间：
解得：
【点睛】本题考查了三角函数平移变换及三角函数性质，意在考查学生的变换能力、用算能力，三角函数平移变换
前一定要分清变换前的函数和变换后的函数.
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由被开方式非负，解三角不等式可得答案
【详解】
由题意，得 ，
则 ．
故选：B．
7．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图
象对应的函数 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先利用三角函数图像变换规律求出 ，然后由 ，求得 ，
再利用三角函数的性质可求得其值域
【详解】
解：由题意可得 ，
当 时， ，
所以 ，所以函数 在 上的值域为 ．
故选：B
8．（2021·北京市第五中学高三阶段练习）已知 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】
利用二倍角公式转化为二次函数问题求解最值即可.
【详解】
解：由
设 ，
，
，
，
， ，
即 的值域为 ， .
故选：B．
9．（2021·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
【答案】C
【分析】
令 ，则 ，将原函数变形为 ，再根据 的取值范围及
二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：根据题意，设 ，
则 ，
则原函数可化为 ， ，所以当 时，函数取最大值 .
故选：C.10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， ，若 ，函数 是偶函数，则
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】
根据正余弦函数的奇偶性结合诱导公式即可得出答案.
【详解】
解：因为 是偶函数，
所以 ， . ，又 ，所以 或 .
故选：C.
11．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象向右平移 个单位后得到一个奇函数的图象，则
该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
将各选项所给函数按条件平移，判断平移后的函数奇偶性，即得出结果.
【详解】
A选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，
函数 显然不是奇函数，故A错；B选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，函数
显然是偶函数，故B错；
C选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，
函数 显然是偶函数，故C错；
D选项，将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，函数 显然是奇函数，故D正确.
故选：D.
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数 （ 且 ）．若 ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
设 ，可证明 为奇函数，结合奇函数的性质即可得解.
【详解】
设 ，则 ，
因为 的定义域为R， ，
所以 为奇函数，所以 ，
所以 .
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象相邻的两个对称中
心之间的距离为 ，若将函数 的图象向左平移 后得到偶函数 的图象，则函数 在下列区间上
是单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
两个对称中心之间的距离为半个周期，可得T和ω，由图像平移的知识点可得g(x)＝sin(2x θ)，由偶
函数的性质， ，求得 ，得出 ，然后求出单调减区间即可得到结果.【详解】
函数f(x)＝sin(ωx+θ)(ω＞0， )的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，则T＝π，所以ω＝
2，
将函数f(x)的图象向左平移 后，得到g(x)＝sin(2x θ)是偶函数，
故 ，
解得 ，
由于 ，
所以当k＝0时 ．
则 ，
令 ，
解得 ，
当k＝0时，单调递减区间为 ，
由于 ，
故选：D.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数中，周期为π，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用正弦函数、余弦函数的周期 以及单调性逐一判断即可.
【详解】
A， ， ，
由余弦函数的单调递增区间可得 ，解得 ，当 时， ，故A正确；
B， ， ，
由正弦函数的单调递增区间可得 ，
解得 ，显然在区间 上不单调，故B错误；C， ， ，故C错误；
D，当 时， ，当 时， ，所以周期不是 ，故D错误；
故选：A
15．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 （ ）的图象经过点 ，一条对称轴
方程为 .则函数 的周期可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．
【详解】
由题意， 为函数 的一个对称中心，
所以 ，则 ， ，
当 时，
故选B
【点睛】
小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）=sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识,是基础题.
16．（2022·全国·高三专题练习（文）） ， 是函数 的两个相邻零点.则
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】
从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得 .【详解】
由题意知， 的周期 ，得 ．
故选:B．
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用
方程思想解题．
17．（2022·全国·高三专题练习）函数 图像向右平移 个单位后所得函数图像与
函数 的图像关于 轴对称，则 最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
由函数图象可得 与周期 的关系，解得 ，再由 ，得最小值.
【详解】
由题意知 ，得 ，
又 ，则 最小值为4.
故选：C.
【点睛】
函数 图象向左(右)平移 个单位所得函数图象与原函数图象关于 轴对
称；函数 图象向左(右)平移 个单位所得函数图象与原函数图象重合.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图
象（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
【答案】B【分析】
根据周期可计算出 的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正
误．【详解】
解：∵函数 的最小正周期为 ，∴ ，
∴
令 ，求得 ，且 不是最值，故A、D错误；
令 ，求得 ，为最大值，故函数 的图象关于直线 对称，故B正确，C错误；
故选：B．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，则下列结论中不正确的是（
）
A． 的图象关于点 ， 对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 ， 上单调递减
D． 在 ， 上的最小值为0
【答案】D
【分析】
先利用三角函数公式对函数化简变形可得 ，然后根据正弦函数的图像和性质逐个分析
判断即可
【详解】
解： ，
因为 ，所以对称中心 ， 正确，故 正确；
因为 ，所以函数达到最大值，所以 正确；
， 时， ， ，显然函数单调递减，所以 正确；， 时， ， ，显然函数单调递增，所以函数的最小值为： 时，函数取最
小值，且为 ，所以 不正确；
故选：D.20．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到
的图象关于原点对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于 的等式，结合 的取值范围可求得 的值.
【详解】
将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到的图象对应的函数解析式为
，
由题意可知，函数 为奇函数，则 ，
所以， ， ，因此， .
故选：B.
21．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 （ ）的图象关于点 对称，则
的取值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】
根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为函数 （ ）的图象关于点 对称，所以 ，解得
故
故选：B
22．（2022·全国·高三专题练习（理））下列区间是函数 的单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】
先将 变形为 ，结合函数 的单调递减区间，整体代入即可求出 的单调
递减区间，结合选项判断即可求出结果.
【详解】
因为 ，
且函数 在 上单调递减，
所以 ，
所以函数 的单调递减区间的是 ，
当 ，函数 的单调递减区间的是 ，
结合选项知，D选项符合，
故选：D.
23．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点 对称，那么|φ|的最小值为（
）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.
【详解】
因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点 对称，则有 ，
于是得 ，显然 对于 是递增的，而 时， ， ，当 时， ， ，
所以|φ|的最小值为 .故选：A
24．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数y＝sin 2x的图象向左平移 个单位长度后，得
到函数 的图象，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意得到 ，向左平移 个单位长度后得到
，从而得到 ，再结合 的范
围求解即可.
【详解】
.
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
由题意知 ，则 ，
又 ，所以 .
故选：C
25．（2022·全国·高三专题练习）要得到函数 的图象，则（ ）
A．可将函数 的图象向右平移 个单位得到
B．可将函数 的图象向左平移 个单位得到C．可将函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来 倍得到
D．可将函数 的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
【答案】C
【分析】
对于A选项由于函数名不同，需要利用诱导公式变成同名函数，然后根据四种基本图象变换可以直接得出结果；对于C选项也是函数名不同，可以先根据四种基本图象变换，再利用诱导公式变成同名函数判断是
否一样即可；对于B、D选项函数名相同，则可以直接利用四种基本函数图象变换得出结果.
【详解】
对于A选项： 变换后 ，故A错误；
对于B选项： 变换后 ，故B错误；
对于C选项： 变换后 ，故C正确；
对于D选项： 变换后 ，故D错误.
故选：C.
【点睛】
对于函数名不同的函数，可以先利用诱导公式变成同名函数再根据四种基本图象变换进行变换，也可以先
根据四种基本图象变换进行变换再结合诱导公式判断是否一致即可；对于同名函数则可根据四种基本图象
变换直接得结果.
26．（2022·全国·高三专题练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】B
【分析】
将异名三角函数化为同名三角函数，在根据平移规则，再求解出答案.
【详解】
因为，所以，要得到函数 ，只需要将函数 得图象向右平移 个单位长度即可.
故选：B.
27．（2022·全国·高三专题练习）将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不
变），再将它的图象向右平移 个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则 的最小值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由图象平移可得 ，根据 为奇函数并结合三角函数的性质有 ，进而可得
的最小值.
【详解】
由题设，经过图像平移后的解析式为 且为奇函数，
∴ ，即 ，又 ，则最小值 .
故选：C
28．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的 ，然后将所得图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，则 （ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】
逆用三角恒等变换，由 的图象变换得到 ，即可得到 .
【详解】
先将 向右移 个单位得 ，然后纵坐标不变，横坐
标变为原来的2倍，得 ，故 ，
.故选：C
29．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P 离地
0
面2 m，风车翼片的一个端点P从P 开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间
0
的函数关系式是（ ）A．h(t)＝－8sin t＋10 B．h(t)＝－cos t＋10
C．h(t)＝－8sin t＋8 D．h(t)＝－8cos t＋10
【答案】D
【分析】
由题意得出 的最大值和最小值，以及最小正周期 ，可求出 、 、 的值，再将点 代入函数解析
式求出 的值，由此可得出 与 之间的函数关系式.
【详解】
设 ，
由题意可得 ， ， ，
， ， ，
，
当 时， ，得 ，
可取 ，
所以 .
故选：D.
30．（2022·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在
农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆 的半径为4米，盛水筒 从点 处开始运动， 与水平面的所成
角为 ，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒 距离水面的高度 （单位：米）与时间 （单位：秒）之间
的函数关系式是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
有题意设 ，根据最高、最低高度，周期和初始高度，可得结果.
【详解】
设距离水面的高度H与时间t的函数关系式为 ，
周期为120s， ，
最高点的纵坐标为 ，
最低点的纵坐标为 ，
所以 ，
当t=0时，H=0， ，
所以 .
故选：A.
31．（2021·广西·高三阶段练习（理））函数 （ ， ）的部分图象如图所示，
的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，点 在 的图象上，点 ､ 关于点 对称，则下列
说法中正确的是（ ）A．函数 在区间 上单调递减
B．函数 的最小正周期是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象向右平移 后，得到函数 的图象，则 为偶函数
【答案】A
【分析】
先根据点 ， 关于点 对称求出点 的坐标，则函数的周期可求，可得 的值，结合五点法作图，求
出 ，可得函数解析式，然后利用正弦函数的图象和性质，逐一判断即可．
【详解】
点 ､ 关于点 对称，则 ， ，所以B错误；
由 ，可得 ，代入 ，可得 ，
解得 ， ， ，则 ，即 ，
因为 ，所以 的图象关于点 对称，故C错误；由图象可得 在 ， 递减，则 在 递减，所以A正确；
函数 的图象向右平移 后，可得 ，是奇函数，D错误.
故选：A32．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知 的一段
图象如图所示，则（ ）
A．
B． 的图象的一个对称中心为
C． 的单调递增区间是
D．函数 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
【答案】C
【分析】
首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：由图可知 ， ，所以 ，解得 ，所以 ，又函数
过点 ，即 ，所以 ，解得
，因为 ，所以 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以函数关于 对称，故B错误；令 ，解得 ，故函数的单调递增区间为
，故C正确；
将函数 的图象向左平移 个单位得 为偶函数，故D错
误；
故选：C二、多选题
33．（2021·湖北·高三阶段练习）已知函数了 （ ）在 上有且仅有6个零点，
则实数 的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】BC
【分析】
根据正弦函数的零点得 ，可得函数的零点，建立不等式可得选项.
【详解】
令 ，即 ，故 （ ），所以第1个零点为 ，而第6
个零点为 ，第7个零点为 ，故 ，解得
.
故选：BC.
34．（2021·江苏省滨海中学高三阶段练习）函数 的部分图像如
图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．直线 是函数 图像的一条对称轴B．函数 的图像关于点 对称
C．函数 的单调递增区间为
D．将函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像
【答案】BC【分析】
首先根据函数的图像得到 ，再依次判断选项即可得到答案。
【详解】
由图知： ，所以 ，
因为 ， ，即 ， 。
所以 .
又因为 ，
所以 ， ， .
又因为 ，所以 ，所以 .
对选项A， ，故A错误.
对选项B，令 ，解得 ， .
所以函数 的对称中心为 , ，故B正确.
对选项C， ， ，
解得 ，
所以函数 的增区间为 , ，故C正确.
对选项D， ，故D错误.
故选：BC
35．（2022·全国·高三专题练习）已知三角函数 ，以下对该函数的说法正确的是
（ ）A．该函数周期为 B．该函数在 上单调递增
C． 为其一条对称轴 D．将该函数向右平移 个单位得到一个奇函数
【答案】AD
【分析】
逐一考查各选项中的说法的正确性而得解.【详解】
中， ，周期 ，A正确；
因 ，而 ，原函数在 上不单调，B错误；
又 ， 不是 的对称轴，C错误；
把 向右平移 个单位得 ，所得函数是奇函数，D正确；
故选：AD
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于直线 对称，则
（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．若 ，则 的最小值为
D．函数 的图象关于 中心对称
【答案】ACD
【分析】
首先求出 的值，即可得到函数解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从
而得出结论．
【详解】
解： 函数 的图象关于直线 对称，
， ，因为 ，所以 ，所以 ．函数 为奇函数，故 正确；
当 ， ，函数 没有单调性，故 错误；
若 ，因为 ，所以 或 ，则 的最小值 ，
故 正确；，所以函数 的图象关于 中心对称，故 正确
故选： ．
37．（2022·上海·高三专题练习）设函数 的图像 ，下面结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间上 是增函数
C．函数 图像关于 对称
D．函数 图像可由 右移 个单位得到
【答案】BC
【分析】
直接利用正弦型函数的图象与性质，函数的周期，单调性和三角的图象变换进行判定，即可求解.
【详解】
由函数 ，可得函数 的最小正周期为 ，所以A不正确；
由 ，可得 ，此时函数在 单调递增，
所以函数 在区间上 是增函数，所以B正确；
令 ，可得 ，所以函数图像关于 对称，所以C正确；
函数 右移 个单位，可得 ，所以D不正确.
故选：BC.
38．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数 （其中 ， ， ）的
部分图像，则下列结论正确的是（ ）A．函数 的图像关于直线 对称
B．函数 的图像关于点 对称
C．将函数 图像上所有的点向右平移 个单位，得到函数 ，则 为奇函数
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【分析】
根据函数图象求得 解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.
【详解】
由图象得函数最小值为 ，故 ，
，故 ， ，
故函数 ，
又函数过点 ，
故 ，解得 ，
又 ，即 ，
故 ，对称轴： ，解得 ，当 时， ，故A选项正确；
对称中心： ，解得 ，对称中心为 ，故B选项
错误；函数 图像上所有的点向右平移 个单位，得到函数 ，为奇函数，故C选项正确；
的单调递增区间： ，解得 ，又
，故D选项正确；
故选：ACD.
39．（2021·江苏如皋·高三期中）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如
图所示，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数 为奇函数
D．函数 在区间 上单调递减
【答案】BCD
【分析】
根据图象可得 ， ， ，然后求出 的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】，则 ， ，
，∴ ， ，
， ， ，∴ ，A错.， ，
，B对.
奇函数，C对.
，即 ， 在 上单调递减，而 ，∴D对.
故选：BCD.
三、填空题
40．（2021·北京景山学校远洋分校高三阶段练习）己知函数 部分图象如图所
示，则图中 的值为___________.
【答案】
【分析】
由图象可知 ，可求出 的值，再由 结合函数图象可求得结果
【详解】
由图象可知 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
由图象可知 ，所以 ，
故答案为：
41．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为________.
【答案】
【分析】
由题意得 ，解得即可.
【详解】
由题意，要使函数有意义，则 ，即 ，
解得 ，
所以
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.
42．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是_______________.
【答案】
【分析】求出函数 的所有定义域上的单调递增区间,即可分析出 的单调递增区间.
【详解】
由 得 ,
当 时,得 , ,且仅当 时符合题意,所以函数 的单调递增区间是 ,
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的单调性,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.
43．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值为________．
【答案】
【分析】
由辅助角公式结合正弦函数的性质得出最大值.
【详解】
，其中
故答案为：
44．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在 上的最小值是________．
【答案】1
【分析】
利用二倍角正余弦公式、辅助角公式可得 ，结合给定区间及正弦函数的性质求
最小值即可.
【详解】
，
∴ ，则 ，∴ ，故 在 上的最小值是1.
故答案为：1
45．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的值域为________．
【答案】
【分析】
设 ，则函数化成 ，其中 ，．然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域．
【详解】
解：设 ，则 ，
，
当 时， ；当 时， ；
因此，函数 的值域是 ， ．
故答案为： ， ．
46．（2021·湖南·模拟预测）函数 的最大值为__________.
【答案】4
【分析】
利用配方法将函数表达式进行配方，然后结合 的取值范围以及二次函数的性质，求得函数的最大值.
【详解】
，
且 ，
∴当 时， 取最大值， .
故答案为：
47．（2022·全国·高三专题练习）设当 时，函数 取得最大值，则 ______.
【答案】 ；
【详解】
f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝ sin(x－φ)，其中sin φ＝ ，cos φ＝ ，当x－φ＝
2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋ ＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sinφ＝－ .48．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，若 的图象向右平移
个单位后与 的图象重合，当 最小时，给出下列结论：
① 的最小值为4
② 在 上单调递增
③ 在 上单调递减
④ 的图象关于直线 对称
⑤ 的图象关于点 中心对称
其中，正确结论的编号是__________（填写所有正确结论的编号）．
【答案】①⑤
【分析】
的图象向右平移 个单位后与 的图象重合，从而可得 ， ，求出 ，从而可求出
，然后求解其单调区间和对称轴，对称中心进行判断即可
【详解】
解析：因为 的图象向右平移 个单位后与 的图象重合，所以 是 一个周期，又 ，所
以 ， ，所以 ， 的最小值为 ，所以①正确；
进而 ，由 ，解得 ，当 时，
的单调增区间为 ，当 时， 的单调增区间为 ，所以②③错误，而
，所以④错误， ，所以⑤正确，
故答案为：①⑤．49．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．若 的图象关于直线 对称，则 的
取值集合是__________．
【答案】
【分析】
由正弦型函数的对称性知 ， ，即可求解.【详解】
由题意 ， ，
得 ， ，
故答案为： ．
50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得最小值，则
_________
【答案】
【分析】
由 求得 ，结合 的取值范围求得 的值.
【详解】
∵函数 在 处取得最小值，
∴ ，∴ ，
又 ，令 解求得 .
故答案为：
四、解答题
51．（2021·江西·宁冈中学高三开学考试（理））已知函数 （ ）.（1）请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数 一个周期内的简图；（2）求函数 的单调递增区间；
（3）求 的最大值和最小值及相应 的取值.
【答案】（1）详见解析；（2） （ ）；（3） ，此时 ，（
）； ，此时 ，（ ）.
【分析】
（1）利用列表法，结合五点作图法进行取值作图．
（2）根据正弦函数的图象和性质进行求解即可．
【详解】
（1）列表：
2x 0 π 2π
x
y 0 2 0 ﹣2 0
描点，连线可得对应的图象为：（2）由 ，解得 ，（ ）
所以 的单调递增区间为 （ ）.
（3）由正弦函数的图象和性质可得函数f（x）＝2sin（2x ）的最大值为2．
取得最大值2时满足2x
得到自变量x的集合为：{x|x＝k ，k∈Z}．
最小值为-2．
取得最小值-2时满足2x 自变量x的集合为：{x|x＝ ，k∈Z}．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握相应的三角函数的性质以及五点法作图，属于基本知
识的考查．
52．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））函数 的部分图象如图：
（1）求其解析式
（2）写出函数 在 上的单调递减区间．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）通过图像可得A和函数的周期，进而求得 ，最后代入一个点的坐标得 ，而求得解析式；
（2）根据（1）中的解析式求出其递减区间，再和 取交集即可.
【详解】（1）由图象知 ，所以 ，又过点 ，
令 ，得 所以
（2）由 可得 当 时
故函数在 上的单调递减区间为
53．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（I）若 是第一象限角，且 ．求 的值；
（II）求使 成立的x的取值集合．
【答案】（I） （II）
【详解】
试题分析：该题属于三角函数的综合问题，在解题的过程中，第一问需要先化简函数解析式，在化简的过
程中，应用正余弦的差角公式，化简后利用 ，从而求得 ，根据 是第一象限角，从而
确定出 ，利用倍角公式建立起 所满足的等量关系式，从而求得结果，第二问将相应的函数
解析式代入不等式，化简后得到 ，结合正弦函数的性质，可以求得结果．
试题解析：（1） ，求得
，根据 是第一象限角，所以 ，且 ；
（2）
．考点：正余弦差角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，倍角公式，三角不等式．
54．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 的周期是 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的最值及其对应的 的值.【答案】（1） ；（2）当 时， ；当 时， .
【分析】
（1）先由周期为 求出 ,再根据 , 进行求解即可；
（2）先求出 ,可得 ,进而求解即可
【详解】
（1）解：∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ ,∴ ,
∵ , ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ 的单调递增区间为
（2）解：∵ ,∴ ,∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
当 时, ,
当 ,即 时,
【点睛】本题考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题,属于基础题
55．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ，函数
（ ）的最小正周期是 .
（1）求 的值及函数 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的值域.【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】
（1）将 的解析式化为 ，然后根据周期可求出 的值，然后解出不等式
可得 的单调递减区间；
（2）求出 ，然后根据正弦函数的知识可得答案.
【详解】
（1）
，
又 的最小正周期为 ，∴ .∴ .
令 ，得 ，
∴函数 的单调递减区间为 .
（2）∵ ，∴ ，∴ ，故 的值域为 .
56．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；（2）求函数 在区间 上的值域.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由最大值求得 ，由周期求得 ，代入一个点的坐标求得 ，得解析式；
（2）求出 的范围，然后由正弦函数的性质得出值域．
【详解】解： 1 根据函数 的部分图象，
可得 ，求得 ， 最小正周期 ，
再根据五点法作图可得 ，
∴函数 的解析式为 ．
2 ，
，
函数 在区间 上的值域
57．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）当 ， 时，求 的值域．
【答案】（1）最小正周期为 ；（2） ， ．
【分析】
（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简，可得 ，从而利用周期公式可求出周期；
（2）由 ， 可得 ， ，然后结合正弦函数的性质可求出函数的值域
【详解】
解：（1） 函数 ，
的最小正周期为 ．
（2）当 ， 时， ， ，
所以 ， ，故 的值域 ， ．
58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（1）求函数 的定义域和最小正周期；
（2）若将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，然后再向右平移 ( )个单位长度，所得函数的图象关于 轴对称，求 的最小值.
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）结合正切型函数求定义域即可求出定义域，对函数化简整理结合周期公式即可求出最小正周期；
（2）根据平移伸缩变换求出变换后的解析式，然后结合函数图象的性质即可求出结果.
【详解】
（1）因为 ，即 ，所以函数 的定义域
所以函数 的最小正周期 ，
（2）因为将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，
所以 ，
因为又向右平移 ( )个单位长度，
所以 ，
又因为平移后函数的图象关于 轴对称，所以 ，即 ，所以当 时， 取得最小值，此时 ，
所以 取得最小值为 .59．（2021·福建省福州第一中学高三期中）已知函数 的图象如
图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）首先将函数 的图象上每一点横坐标缩短为原来的 ，然后将所得函数图象向右平移 个单位，
最后再向上平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 内的值域.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）依题意可得 ， ，即可求出 ，再根据函数过点 ，即可求出 ，从而求出
函数解析式；
（2）首先根据三角函数的变换规则得到 的解析式，再由 的取值范围求出 的取值范围，最后
根据正弦函数的性质计算可得；
（1）
解：由图象得 ， ，所以 ，
由 ，所以 ，，
，
（2）解：将函数 的图象上每一点横坐标缩短为原来的 ，得到 ，再将
向右平移 个单位得到 ，最后再向上平移 个单位得到
，即
当 时，所以 ，所以 ，
