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专题 27.9 相似全章专项复习【3 大考点 14 种题型】
【人教版】
【考点1 比例的性质】..............................................................................................................................................1
【题型1 成比例线段的计算】..................................................................................................................................3
【题型2 比例性质的应用】......................................................................................................................................3
【题型3 平行线分线段成比例的应用】..................................................................................................................4
【考点2 相似三角形】..............................................................................................................................................5
【题型4 相似三角形的判定】..................................................................................................................................6
【题型5 利用相似三角形的性质求值】..................................................................................................................7
【题型6 与相似多边形有关的计算】......................................................................................................................8
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】..............................................................................................................9
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】................................................................................................11
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】...................................................................................................12
【题型10 相似三角形中的运动问题】....................................................................................................................14
【题型11 利用相似三角形测物体的高度】............................................................................................................15
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】...............................................................................................17
【考点3 位似】........................................................................................................................................................19
【题型13 位似图形】................................................................................................................................................19
【题型14 位似变换作图与计算】............................................................................................................................21
【考点1 比例的性质】
1.成比例线段
（1）比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
（2）成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
3.黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中
项（即 ），则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）4.平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图：如果 ，则 ， ， ．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
【题型1 成比例线段的计算】
【方法总结】根据成比例线段的定义,可知只要两条线段的比等于另外两条线段的比,则这四条线段是成比
例线段,而比例式中各项有一定的顺序,不同的顺序会有不同的结果,切记进行分类讨论.
【例1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足a:b=3:2，且a+2b=42．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距
离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是 cm.
【变式1-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2
，则d的值是 .
【变式1-3】（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它
❑√5−1 ❑√5−1
的平面图可看作宽与长的比是 的矩形，我们将这种宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图
2 2
①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
(1)黄金矩形ABCD的长BC= ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形
DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE，求点D到线段AE的距离．
【题型2 比例性质的应用】
2a 2b 2c
【例2】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
a c
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若 = ，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（ ）
b d
b d a−b c−d a c a+c a
A． = B． = C． = D． =
a c b d a+b c+d b+d b
【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足
a+b−c a−b+c −a+b+c
= = =k，则k的值为 ．
c b a
a−1 b+1 c−2
【变式2-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足 = = ，试求a2+b2−c2的
2 3 4
最大值 ．
【题型3 平行线分线段成比例的应用】
【方法总结】求线段的比,通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段,然后再进行转
化得到所求两线段的比.遇到平行线时,要联想到借助辅助线构造基本图形:“A”型与“X”型.
【例3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线l ∥l ∥l ，直线m与直线l 、l 、l 分别交于点
1 2 3 1 2 3
AD 4 CE
A、D、F，直线n与直线l 、l 、l 分别交于点B、C、E．若 = ，则 = ．
1 2 3 DF 5 BC
【变式3-1】（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=3cm，则线段AB的长是( )2 3
A．1cm B． cm C． cm D．2cm
3 2
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1，AD与
EF AF
CE相交于点F，则 + = .
FC FD
【变式3-3】（2024·河南周口·一模）在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2，点
E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为 ．
【考点2 相似三角形】
1.相似多边形
名称 定义 性质
形状相同的图形叫做相似图形两个边数相同的多边形，如果它们的 角分别
相似多边形 相等，边成比例，那么这两个 多边形叫做相 相似多边形的对
似多边形.相似多边形 对应边的比叫做相似比 应角 相等，对
应边成比例
2.相似三角形的判定
相似三角形的判定
定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成
判定1
的三角形与原三角形相似
判定2 三边成比例的两个三角形相似
判定
判定3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定4 两角分别相等的两个三角形相似
3.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例
对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比
性质 对应线段的比等于相似比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
【题型4 相似三角形的判定】
【例4】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在 ▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线
段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【变式4-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三
角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形
与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对
【变式4-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知∠BAD=∠CAE，添加一个条件 ，使得
△ABC∽△ADE．
【变式4-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A
、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB
【题型5 利用相似三角形的性质求值】
【方法总结】利用相似三角形的性质求周长和面积的方法:
利用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方这一性质,可在已知两个相似三角形的相似
比和其中一个三角形的周长(面积)时,求另一个三角形的周长(面积),不必求出三角形的每一条边及高进行求
解,通常会用方程的思想来解决问题.
【例5】（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，面
积差为30，则它们的面积和为（ ）
A．74 B．76 C．78 D．81【变式5-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
AB BC AC AB AB AC
A． = B． = C．AC2=AD⋅AB D． =
AC CD AD AC BC AD
【变式5-2】（23-24九年级·广西贺州·期中）若△ABC与△A B C 相似，已知AB=3，AC=5，
1 1 1
A C =15，则A B = ．
1 1 1 1
【变式5-3】（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形
的最长边为21cm，则最短边为 cm．
【题型6 与相似多边形有关的计算】
【例6】（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次
后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（
）
A．a＝❑√2b B．a＝2b C．a＝2❑√2b D．a＝4b
【变式6-1】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，点E、F
是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是
菱形，且与菱形ABCD是相似菱形，那么菱形AECF的边长是 ．（用a的代数式表示）．【变式6-2】（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】（23-24九年级·全国·课后作业）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每
一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】
【例7】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作
图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结BD，CD，使△BDC与△ABC全等．（画出两个）
(2)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE ∽△CBA；
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽ △ACB，且相似比为3:5．
【变式7-1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点
A、B、C、D均在格点上．
PD
(1)在图1中， =________；
PA
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
PA 2
①如图2，在线段AB上找一点P，使 = ；
PB 3
②如图3，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
【变式7-2】（23-24九年级·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均在
格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC；
(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB′C′．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列
要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．直接写出△ABE与△CBA的相
似比为______；
(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点M，在边AC上确定一点N，连结MN，使△AMN∽△ABC，且相
似比为1:2．直接写出S =______；
△AMN
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB且相似比
为3:5．直接写出PQ的长度为______．
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】
【例8】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=5，点E是CD边上一点，且
DE 2
= ，点F是BD上一点，若∠FAE=45°，则AF的长为（ ）
CE 3
❑√58 3❑√6 9
A．3❑√2 B． C． D．
2 2 2
【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC,∠ABC=90°,AD=CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．
(1)当点E在CD上，
①求证：AC2=2AD⋅BC；
AD
②若BE⊥CD，求 的值；
BC
(2)若DE=1,OE=2，直接写出CD的长．
【变式8-2】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分
线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点HAG
是AC的中点，则 的值为 ．
FD
【变式8-3】（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在
射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
(1)求证：△PFA∽△ABE；
(2)当P也是AD边中点时，求AF的值；
(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
(4)当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】
【方法总结】由于相似三角形对应边成比例,借助比例的基本性质,可以把比例式转化为等积式.利用相似三
角形的性质解决等积式问题的方法:
(1)三点定形法:观察等积式或比例式,式子所涉及的四个字母中,如有一个字母重复出现3次,就可以找出相似
CD DF
的三角形,如:CD2=DE·DF根据比例的性质变换为 = 三点定形△CDE和△FDC相似.
DE CD
(2) 等量代换法:根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的线段来代替,如果没有,可考虑添加辅助线,常
见辅助线有垂线、角平分线、中线等.
【例9】（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠BCD，点E在边BC上，连
接AC、DE，满足∠CDE=∠CAD，且CE⋅CB=AB⋅CD．(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)当AD=DE时，求证；AF2=CF⋅CA．
【变式9-1】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD
于点F，∠DCE=∠ADB．
(1)求证：AB⋅BC=BF⋅CE；
(2)如果AD=3DE=6．
①求CF的长；
②若BD=10，求CD的长．
【变式9-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，BC=a，BC>AB，点P是AD边上的
任意一点（不与端点A，D重合），连接PC，且PE⊥PC交AB于点E．
(1)求证：CD⋅AE=AP⋅DP；
(2)若点Q也在AD上，满足QC⊥QE，如图所示(AP>AQ)．求证：AP+AQ=a．
【变式9-3】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，∠BAC=∠AED=90°，AB=AC，EA=ED．(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E落在BC边上，求证：AD2=2EF2+2BF⋅EF；
(3)如图3，若点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，判断IJ与HE的数量关系及夹角度数（锐角）．
【题型10 相似三角形中的运动问题】
【例10】（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=3，
AB=4，BC=6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单
位/秒的速度沿CB运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ，当点Q与B重合时，两动点均停止运
动，设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，求线段EP的长；
(2)当运动t秒时线段BE的长（用含t的式子表示）；
(3)运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不
存在，请说明理由．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，
点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q
两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm？
(3)几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？
【变式10-2】（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D
沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C
时运动终止．连接DE、CD、AE．
(1)当动点运动时间t= 秒时，△BDE与△ABC相似．
(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知矩形ABCD中，BC＝8cm，点G是对角线AC上一
点，且CG=❑√5cm．点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A−B−C方向运动，速度为3cm/s，点E从点
A出发，沿A−D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x．若△FHG面积记为S ，
1
△HEG面积记为S ，△FEG面积记为S ．当点F运动到点G的正上方时，E，F两点运动停止．
2 3
(1)如图①，点F在线段AB(包含端点)上运动时，S 与x的函数图像如图②所示，则AB的长为
1
___________cm；
(2)如图③，点F在线段BC上运动；
①若EF=2❑√5cm，求此时x的值；
②若S ·S ＝68，求此时x的值．
2 3
【题型11 利用相似三角形测物体的高度】
【方法总结】利用相似三角形测量高度的方法：【例11】（23-24九年级·山东东营·期末）某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼
睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地
面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米，请根据以上数据求
出城楼的高度．
【变式11-1】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.5m．现要在
屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB=2.4m．求天窗高度AC的长．
【变式 】（ 九年级安徽安庆期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距
离或人与11标-2尺的距23离-2，4使标尺·刚好挡住旗· 杆，此方法可测量旗杆的高度． 若人与标尺EF的水平距离
CG=20cm，人与旗杆AB的水平距离CH=12.6m，标尺的长度EF=22cm，根据测量结果，试求旗杆的
高度．
【变式11-3】（23-24九年级·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上点F处，再把镜子水平放置在支架
EF上点E处，然后观测者沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．用皮尺分别测
得BF=8m，DF=2m．若观测者目高CD为1.6m，支架EF的高为0.6m，求这棵树的高度．
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】
【方法总结】利用相似三角形解决影子部分不落在地面上求物体的高度的方法：
【例12】（23-24九年级·四川巴中·期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在
同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为
BD=9米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米
【变式12-1】（23-24九年级·河南郑州·期中）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他
们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面
上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在
地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为 ．【变式12-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面
和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸
的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一
下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示
牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安
亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【变式12-3】（23-24九年级·山东济南·期中）物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利
用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解
答下列问题．
(1)如图1，乙同学测得旗杆AB在地面上的影长BC为6米，那么旗杆AB的高度为 米．
(2)如图2，丙同学想测量一棵树DE的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF为3
米，墙上的影长GF长为1米，则树DE的高度为多少？
(3)如图3，丁同学想测量一根电线杆HI的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长IJ为4米，坡面上的影长JK为2米，已知斜坡的坡角为30°，则电线杆的高度是多少？
【考点3 位似】
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那
么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应
点的坐标的比等于k或-k。
注意:
(1)位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定
是位似图形；
(2)两个位似图形的位似中心只有一个；
(3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
(4)位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
(5)位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形
的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位
似图形也会随着位似中心的位变而位变。
(6)根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两
侧,并且关于位似中心对称。
【题型13 位似图形】
【方法总结】1.判定位似图形的方法
如果两个图形是位似图形,应具备:
(1)每组对应点的连线所在的直线都经过同一点.
(2)对应边互相平行或在同一条直线上.
2.相似图形与位似图形的联系
位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,位似图形的相似比和相似图形的相似比是一样的,
都是对应边长的比.
【例13】（23-24九年级·河北邢台·开学考试）在下列四个三角形中，与△ABC是位似图形且O为位似中
心的是（ ）A．① B．② C．③ D．④
【变式13-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，△ABC与△≝¿位似，则下列说法
正确的是（ ）
A．位似中心是点D B．位似中心是点G
C．位似比为2:1 D．位似比为1:2
【变式13-2】（2024·河北唐山·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，
1 1 1
E，F，使OD＝ AO，OE＝ BO，OF＝ CO，得△DEF．下列说法中，错误的是（ ）
3 3 3
A．△DEF与△ABC是位似三角形 B．△OAC与△ODF是位似三角形
C．△DEF与△ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【变式13-3】（2024九年级·浙江嘉兴·学业考试）如图，已知 ▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作
2
▱ABCD的位似图形 ▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为 ，连接AG、DG．则△ADG的面积为
3
．【题型14 位似变换作图与计算】
【方法总结】画位似图形的“五个步骤”：
【例14】（23-24九年级·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和
△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．
(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．
【变式14-1】（2024九年级·广东茂名·竞赛）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(−1,3)．
(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△≝¿；
(2)点A的对应点D的坐标是______；
(3)S :S = ______．
△ABO 四边形ABED
【变式14-2】（23-24九年级·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC
的三个顶点的坐标分别为A(3,5)，B(2,2)，C(4,0)．(1)画出△ABC关于原点O对称的△A B C ，并分别写出A ,B ,C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)在网格内，画出以点A为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍后的△AB C ；
2 2
(3)若△AB C 也是△A B C 的位似图形，点P是位似中心，在图中画出点P．
2 2 1 1 1
【变式14-3】（23-24九年级·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A B C ；
1 1 1
(2)以点M(1,2)为位似中心，作出△A B C 按2:1放大后的位似图形△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________．
