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第13讲 基本不等式
【知识点总结】
1. 几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果 ，则 (当且仅当“ ”时取“ ”).
特例： 同号 .
）
（3）其他变形：
① (沟通两和 与两平方和 的不等关系式)
② (沟通两积 与两平方和 的不等关系式)
③ (沟通两积 与两和 的不等关系式)
④重要不等式串： 即
调和平均值 几何平均值 算数平均值 平方平均值(注意等号成立的条件).
2. 均值定理
已知 .
（1）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即“和为定值，
积有最大值”.
（2）如果 (定值)，则 (当且仅当“ ”时取“=”).即积为定值，和有
最小值”.
【典型例题】
例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了
后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，
也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设 ，可得圆 的半径为 ，
又由 ，
在直角 中，可得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号．
故选：D.
例2．（2022·全国·高三专题练习（文））若实数 满足 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解： ，
又 ，
，令 ，则 ，
，即 ，当且仅当 时，取等号，
的取值范围是 ， ．
故选：A．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【详解】
由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝ ，
代入得a＋b＋c＝a＋b＋ ＝ ＋ ≥2 ＋2 ＝8，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
所以a＋b＋c的最小值为8.
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． C． ， D．
【答案】A
【详解】
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 时取“ ”，
所以 的取值范围是 ， .
故选：A.
例5．（2021·山西大同·高三阶段练习（理））已知点 在直线 上，则 的最小值
为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【详解】∵点 在直线 上，
∴ ，
所以当且仅当 时，等号成立
故选：C.
例6．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））已知 ， ，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知 ，乘“ ”得 ，当且仅当
时，取等号，则 的最小值为 .
故选：A
例7．（2021·贵州遵义·高三阶段练习（文））已知a，b为正实数，且满足 ，则 的最
小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【详解】
由 ，可得 ，
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立．
故选：C．
例8．（2021·重庆·西南大学附中高三阶段练习）已知 ，则 的最大值为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【详解】
解：因为 ，所以 ，
即 ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 最大为3.故选：C.
例9．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知 、 ，若 恒成立，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 、 ，由已知可得 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故实数 的取值范围为 ，
故选：D．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 在 时取得最小值，则
等于（ ）
A．6 B．8 C．16 D．36
【答案】D
【分析】
利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可
【详解】
因为 ，故 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故
故选：D
【点睛】均值不等式 ：
一正： ，二定： 为定值，三相等：当且仅当 时等号成立
2．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三阶段练习（文））三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三
角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A．如果 ，那么 ；
B．如果 ，那么 ；
C．对任意实数 和 ，有 ，当且仅当 时等号成立；
D．如果 ， ，那么 ．
【答案】C
【分析】
设图中直角三角形的直角边长分别为 ，则斜边长为 ，进而可表示出阴影面积以及外围正
方形的面积，由图可得结果.
【详解】
设图中全等的直角三角形的直角边长分别为 ，则斜边长为 .
图中四个直角三角形的面积和为 ，外围正方形的面积为 .
由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以 ，当且仅当
时，等号成立.
故选：C.
3．（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】
应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有 ，即可确定C的正误.
【详解】A：当 时，有 ，故不等式不一定成立；
B：当 ，即 时，有 ，故不等式不一定成立；
C： 恒成立；
D：当 时，有 ，故不等式不一定成立；
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D
【分析】
将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
【详解】
，
当且仅当 ,即 等号成立.
故选：D.
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
5．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
【分析】构造基本不等式 即可得结果.
【详解】
∵ ，∴ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 有最小值2.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.
6．（2022·浙江·高三专题练习）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式 m2+7m恒成立，则实
数m的取值范围是（ ）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
【答案】A
【分析】
由题意可得 （x+2y）（ ） 4≥4+2 8，不等式 m2+7m成立⇔m2+7m＜
（ ） ，即可求得实数m的取值范围．
min
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴ （x+2y）（ ） 4≥4+2 8．（当 ，即x＝2y 时取等号），
∵不等式 m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知非负数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【答案】B
【分析】
根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.【详解】
由 ，可得 ，当且仅当 取等号，
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）设 均为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
【答案】A
【分析】
根据题中条件，将所求式子化为 ，展开后，再利用基本不
等式，即可得出结果.
【详解】
因为 均为正实数 ，
所以
，当且仅当 ，即 时取等
号.
因此 的最小值为 .
故选：A.
【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值
就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
9．（2022·全国·高三专题练习）若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将已知条件化简得到 ，然后将 变换成 ，然后化简整理结合均值不等
式求解即可.
【详解】
由 ，有 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）若对满足 的任意正数 及任意 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求得 的最小值，即可转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求
得实数 的取值范围即可.
【详解】
∵正数 满足 ，
∴ ， ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
∴ ，即 对任意实数 恒成立，
∴ ，解得 ．故选：A．
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——
积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为正数，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由 得 ，再利用基本等式“1”的代换进行求解.
【详解】
由 得 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
故选：D.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——
积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
二、多选题
12．（2022·江苏·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（
）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用基本不等式逐一判断四个选项的正误即可得正确答案.
【详解】对于选项A： ，所以 ，当且仅当 时等号成立，故选项A正确；
对于选项B： ，因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，故选项B不正确；对于选项C： ，故选项C正确；
对于选项D：因为 ，所以 ，，当且仅当 时等号成立，故选项D正
确；
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·浙江·高三专题练习）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填
序号）.
① ；② ；③ ≥2；④a2＋b2≥8.
【答案】④
【分析】
结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.
【详解】
因为 （当且仅当a＝b时，等号成立），
即 ≤2，ab≤4， ，故①③不成立；
，故②不成立；
故④成立.
故答案为：④.
14．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最大值是 _______
【答案】
【分析】
即可求得最值.【详解】
，故 ，则 ，
当且仅当 即 时取“=”，故答案为： .
15．（2022·全国·高三专题练习）若正数 满足 ，则 的最大值是________．
【答案】2
【分析】
利用基本不等式进行转化即可得解.
【详解】
由 ，得 ，
当且仅当 时等号成立，
∴ ，即 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为：2
16．（2022·全国·高三专题练习）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中 ， ，则mn的最大值为___________.
【答案】
【分析】
根据指数函数的图像性质求出A点坐标，代入直线方程，利用均值不等式即可求解.
【详解】
解： 函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，
，
点A在直线 上，
，
又 ， ，
，，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以mn的最大值为 ，
故答案为： .
17．（2022·全国·高三专题练习）当 时， 的最小值为______．【答案】
【分析】
将所求代数式变形为 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为： .
18．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且满足 ，则 的最小值为
_________
【答案】
【分析】
将 展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为 ，
所以
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
19．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为______．
【答案】18
【分析】等式 变形为 ，则 根据基本不等式即可得到答案．
【详解】
解：已知 ， ，且 ．
，即： ．
则 ，
当且仅当 ， 时取等号，
所以 的最小值为18．
故答案为：18．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为___________.
【答案】
【分析】
首先根据题意得到 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
由 得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故答案为：
21．（2022·上海·高三专题练习）若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【分析】
两次利用基本不等式即可求出.
【详解】
，，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
22．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是________．
【答案】
【分析】
将函数 的解析式变形为 ，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】
当 时， ， ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，
因此，函数 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解函数的最小值，解答的关键就是对函数解析式进行化简变形，考查计算
能力，属于基础题.
23．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， 为正实数，满足 ，则 的最小值是
__________．
【答案】8
【详解】
解：由题意可得： ，则：
，
当且仅当 时等号成立，即： 的最小值是8.
点睛：应用基本不等式要有两个防范意识：一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三
个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．对于公式a＋b≥2 ， ，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，
两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，
则一定要保证它们等号成立的条件一致.
24．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是_______．
【答案】
【分析】
将函数 进行化简，得到 ，分别对 和 ，利用基
本不等式，得到答案.
【详解】
函数
，
当 ，由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
当 时，由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数的值域为 ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查求具体函数的值域，属于简单题.
25．（2021·四川·成都七中一模（文））已知实数 满足 ，则 的最大值为
___________.【答案】
【分析】
利用基本不等式，即可求解.
【详解】
解：
，即 ，(当且仅当 ，即 时，取等号)
故答案为：
26．（2020·辽宁·开原市第二高级中学三模）如图，将一矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花
坛 ，要求点 在 上，点 在 上，且对角线 过点 ，已知 ， ，那么当
_______时，矩形花坛的 面积最小，最小面积为______.
【答案】4 48
【分析】
设 ，则 ，则 ，结合基本不等式即可得解.
【详解】
解：设 ，则 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故矩形花坛的 面积最小值为 ．
即当 时，矩形花坛的 面积最小，最小面积为48.
故答案为：4；48.
