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第25讲 空间向量与立体几何
【知识点总结】
一、空间向量的数量积运算
1.两向量夹角
已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 ， 的夹
角，记作 ，通常规定 ，如果 ，那么向量 ， 互相垂直，记作 .
2.数量积定义
已 知 两 个 非 零 向 量 ， ， 则 叫 做 ， 的 数 量 积 ， 记 作 ， 即
.零向量与任何向量的数量积为0，特别地， .
3.空间向量的数量积满足的运算律：
， （交换律）；
（分配律）.
二、空间向量的坐标运算及应用
（1）设 ， ，则 ；
；
；
；
；
.
（2）设 ， ，则 .
这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.
（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.
①已知 ， ，则 ；
；
；；
②已知 ， ，则 ,
或者 .其中 表示 与 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.
（4）向量 在向量 上的射影为 .
（5）设 是平面 的一个法向量， ， 是 内的两条相交直线，则 ，由此
可求出一个法向量 （向量 及 已知）.
（6）利用空间向量证明线面平行：设 是平面的一个法向量， 为直线 的方向向量，证明 ，
（如图8-155所示）.已知直线 （ ），平面 的法向量 ，若 ，则 .
（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量 ， ，只要证明
，即 .
（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.
（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.
（10）空间角公式.
①异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小
则 .
②线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 .③二面角公式：设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根
据具体情况判断相等或互补），其中 .
（11）点 到平面 的距离为 ， ， 为平面 的法向量，则 .
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 中，侧棱 平面BCD，F为线段BD
中点， ， ， .
（1）证明： 平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角 的正弦值为 ，求 的值.
例2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ， ，
分别是 ， 上的点，且 ， ， 分别为 ， 的中点，现将 沿 折起，得到四
棱锥 ，连结 .
（1）证明： 平面 ；
（2）在翻折的过程中，当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值.例3．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， 为
线段 的中点.
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求直线 到平面 的距离.
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为梯形，
， ，且 ．
（Ⅰ）若点 为 上一点且 ，证明： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使得 ?若存在，求出 的长；若不存在，说明理由．例5.（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 到平面 的距离；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ，
分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为（ ）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形，
， 为 的中点， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在圆锥 中， ， 为底面圆的两条直径， ，且
， ， ，异面直线 与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））在正方体 中， 是 的中点，则直线 与平面
所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中， 中点为 ，则二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱柱 的底边长为2， ，E是 的中点，
则 到平面EAC的距离为（ ）A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之间的
距离为
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD AB C D 的棱长为2，点E是AB 的中点，则点A到
1 1 1 1 1 1
直线BE的距离是( )
A． B．
C． D．
9．（2021·浙江·杭州市余杭高级中学高二阶段练习）长方体 中， ， ，
为 的中点，则异面直线 与 之间的距离是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在长方体中， ， ，若 为 中点，则
点 到平面 的距离为________.三、解答题
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ．
（1）求异面直线 和 所成角的大小；
（2）求直线 和平面 所成角的大小．
12．（2022·天津南开·高三期末）如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ，
， ，E为 上一点，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求平面 与平面 的夹角的大小.13．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形为直角梯形， ， ， .且Q为线段 的中点
（1）求直线 与 所成角的大小；
（2）求直线 与平面 所成角的大小
14．（2022·上海·高三专题练习）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆
锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上
底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA、BB 是圆柱的两条母线，C是弧AB的
1 1
中点.
（1）求异面直线PA 与BC所成的角的大小；
1
（2）求点B 到平面PAC的距离.
1
15．（2022·上海·高三专题练习）如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 ,, , 分别为棱 的中点.
（1）求证: 、 、 、 四点共面；
（2）求异面直线 与 所成的角.
16．（2022·天津和平·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，
为正三角形，且侧面 底面 ， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，
， 在底面ABC上的射影是BC的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
18．（2022·全国·模拟预测）如图所示，直三棱柱 的上、下底面的顶点分别在圆柱 的上、
下底面的圆周上，且AB过圆柱下底面的圆心 为 与 的交点.
（1）求证: 平面 ；
（2）若圆柱底面半径为 ，母线长为 ，求直线 与平面 所成角的正切值.
19．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 中， ， ，
， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（2022·全国·高三专题练习（理））如图1，直角梯形ABCD中， ， ，．如图2，将图1中 沿AC折起，使得点D在平面ABC上的正投影G在
内部．点E为AB的中点．连接DB，DE，三棱锥D－ABC的体积为 ．对于图2的几何体．（1）求证： ；
（2）求DE与平面DAC所成角的正弦值．
21．（2022·河北张家口·高三期末）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 、 、 、
分别为 、 、 、 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 平面 ， 为等边三角形，求二面角 的正弦值.
22．（2022·全国·模拟预测）如图①，直角梯形 中， ， ，点 ， 分别在 ，
上， ， ，将四边形 沿 折起，使得点 ， 分别到达点 ， 的位
置，如图②，平面 平面 ， .（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
23．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 面 ， ，且 ，
， ， ， ， 为 的中点.
（1）求证： ∥平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.
24．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中，侧棱 底面
， ，且 是 的中点.（1）求点 到平面 的距离；
（2）设 为棱 上的点，若直线 和平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
25．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 底面 是矩形， 面 ，
， 、 是棱 、 上的点， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）棱 上是否存在点 ，使 面 ？若存在，求出 的值；不存在，请说明理由．
26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形， ，
， ， ， ， 为 的中点，且 .
（1）证明： 平面 ；（2）线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，试确定点 的位置；
若不存在，请说明理由.27．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，
， .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ?若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
28．（2022·河北·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯
形，其中 ， ， ， ，E为棱 上的点，且 .
（1）若F为棱 的中点，求证： 平面 ；
（2）（i）求证 平面 ；
（ii）设Q为棱 上的点(不与C，P重合)，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.29．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱 中，侧面 底面 ，
是边长为2的正三角形，已知 点满足 .（1）求二面角 的大小；
（2）求异面直线 与 的距离；
（3）直线 上是否存在点 ，使 平面？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理
由.
30．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形，
， 与底面 所成角的正切值为 ， 是 的中点， 线段 上的动点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的长.31．（2022·全国·高三专题练习）在直三棱柱ABC-ABC 中，CA＝CB＝4，CC ＝2 ，∠ACB＝90°，点
1 1 1 1
M在线段AB 上．
1 1（1）若AM＝3MB ，求异面直线AM和AC所成角的余弦值；
1 1 1
（2）若直线AM与平面ABC 所成角为30°，试确定点M的位置．
1
32．（2022·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， ， 平面 ， ， ．
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
