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第18讲 平面向量
【知识点总结】
一、向量的基本概念
1.向量概念
既有大小又有方向的量叫向量，一般用 ， ， 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表
示，如 （其中A为起点，B为终点）.
注：谈到向量必须说明其方向与大小.
向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作 或 .
2.零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量
零向量：长度为零的向量，记为 ，其方向是不确定的.
单位向量：模为1个单位长度的向量.当 时，向量 是与向量 共线（平行）的单位向量.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为 .
平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移
到同一条直线上.
规定零向量与任何向量 平行（共线），即 .
注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几
何中平行不可以重合；③ ， ，不一定有 ，因为 可能为 .
二、向量的线性运算
1.向量的加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量 ， ，在平面内任取一点A，作 ， ，
则向量 叫做向量 与 的和（或和向量），即 .
向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则.如图所示，向量 = .
2．向量的减法（1）相反向量.
与 长度相等、方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 .
（2）向量的减法.
向量 与 的相反向量的和叫做向量 与 的差或差向量，即 = .
向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图所示， ， 则向量 .3.向量的数乘
（1）实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，它的长度和方向规定
如下：
①
②当λ>0时， 的方向与 的方向相同；当λ<0时， 的方向与 的方向相反；当 时，
方向不确定； 时， 方向不确定.
（2）向量数乘运算的运算律.
设 、 为 任 意 向 量 ， 、 为 任 意 实 数 ， 则 ； ；
.
三、平面向量基本定理和性质
1.共线向量基本定理
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，使 .
2.平面向量基本定理
如果 和 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量 ，都存在唯一的一对
实数 ，使得 ，我们把不共线向量 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记
为 . 叫做向量 关于基底 的分解式.
3.三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数 ，使 ，其中 ，O为
平面内一点.
四、平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示.
在平面直角坐标中，分别取与 轴， 轴正半轴方向相同的两个单位向量 作为基底，那么由平面
向量基本定理可知，对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 使 ，我们把有序实数对
（ ）叫做向量 的坐标，记作 =（ ）.
(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量（ ） 向量 点 （ ）.
（3）设 ， ，则 ，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
若 =（ ），
为实数，则
，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的
相应坐标.
（4）设A ，B ，则 = ， 即一个向量的坐标等于该向量的
有向线段的终点的坐标减去始点坐标.
五、向量的平行
设 ， . 的充要条件是 .除了坐标表示 外，下面两
种表达也经常使用：当 时，可表示为 ；
当 时，可表示为 ，即对应坐标成比例.
六、平面向量的数量积
(1) 已知两个非零向量 和 ，作 ＝ ， ＝ ， 叫作向量
与 的夹角．记作 ，并规定 .如果 与 的夹角是 ，就称 与 垂直，记为 .
(2) 叫作 与 的数量积，记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量 与 垂直的充要条件是 =0.
两个非零向量 与 平行的充要条件是 .
七、平面向量数量积的几何意义
数量积 等于 的长度| |与 在 方向上的射影| |cos θ的乘积．即 ＝| || |cos θ.( 在
方向上的射影| |cos θ ; 在 方向上的射影| |cosθ ).
八、平面向量数量积满足的运算律
（1） （交换律）；
（2） 为实数）；
（3） （分配律）。
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律 ，不可约分 .
九、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量 由此得到（1）若 ；（2）设 两点间距离
（3）设 的夹角，则
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， 的夹角为60°， ， ，则
（ ）
A．2 B．
C． D．12
【答案】C
【详解】
，
所以 .
故选：C.
例2．（2022·全国·高三专题练习）向量 不共线，点P、Q、S共线，已知
，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，
又因为点P、Q、S共线，所以 ，
所有 ，因此 ，故 ，解得 ，
故选：D.
例3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形 ABCD 中， ，AD⊥DC，
AD=DC=2AB，E 为AD 的中点，若 ，则 的值为（ ）A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
依题意： ，
，
，
所以 ，解得 .
所以 .
故选：B
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，若（λ
+ ）⊥ ，则实数λ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．3
【答案】A
【详解】
解：设 ＝（x，y），∵向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，（λ + ）⊥ ，，
∴ ，解得λ＝ ．
故选：A．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于
M、N两点，且 ＝x ， ＝y ，求 的值为________．
【答案】3
【详解】
根据条件： ，
如图设D为BC的中点，则
因为G是 的重心， ，
，
又M，G，N三点共线，
，即 .
故答案为：3.
例6．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知点D满足 ，若 ，则
____________．
【答案】
【详解】
∵ ，∴ ．
故答案为：例7．（2022·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ，
的面积之比为______．
【答案】
【详解】
如图所示，由 ，得 ，
取 为 中点， 为 中点，则 ，
所以 ．
故答案为： .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B
【分析】
根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．【详解】
对于①，向量 与向量 ，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量 与 平行时， 或 为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量 与 是共线向量，点 ， ， ， 不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
2．（2022·浙江·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 、 的长度相等且方向相同或相反
B．若向量 、 满足 ，且 与 同向，则
C．若 ，则 与 可能是共线向量
D．若非零向量 与 平行，则 、 、 、 四点共线
【答案】C
【分析】
由向量的模和向量的方向，可判断A；由向量为既有大小又有方向的量，不好比较大小，可判断B；
由共线向量的特点可判断C，D．
【详解】
对于A：若| |＝| |，可得 、 的长度相等但方向不一定相同或相反，故A错误；
对于B：若向量 、 满足| |＞| |，且 与 同向，由于两个向量不能比较大小，故B错
误；
对于C：若 ，则 与 可能是共线向量，比如它们为相反向量，故C正确；
对于D：若非零向量 与 平行，则A、B、C、D四点共线或平行四边形的四个顶点，故D错误．故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量 满足 ， ， ，则
（ ）
A． 或 B． C． D． 或【答案】D
【分析】
由共线向量定义可知 ，分别在 和 时求得结果即可.
【详解】
，又 ， ， ，
当 时， ；当 时， ；
或 .
故选：D.
4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，
设 ， ，则向量 等于（ ）
A． ＋ B．- -
C．- ＋ D． -
【答案】C
【分析】
根据给定条件借助平行线的性质求出 ，再利用向量的加法计算即得.
【详解】
平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，则有 ，如图，
所以 ＝ ＝ ( ＋ )＝ ＝- ＋ .
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于向量的命题正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】C【分析】
利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】
选项A，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出 ，即该选项错误；
选项B，长度相等，向量可能不平行， 该选项错误；
选项C， 显然可得出 ， 该选项正确；
选项D， 得不出 ，比如 不共线，且 ， 该选项错误.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．对于任意向量 ， ，必有
C．若 为实数 ），则
D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】B
【分析】
由 时，得到 与 未必共线，可判定A错误；结合向量的加法的三角形法则和共线向量，可得判
定 正确；由 时，可判定 错误；根据向量 在向量 上的投影向量的计算方法，可得判定D错误.
【详解】
对于A中，当 时，因为 与任意向量共线，所以 与 未必共线，所以A错误；
对于B中，结合向量的加法的三角形法则可知， ，且当 与 同向或 至少有一零向
量时取等号，所以 正确；
对于C中，当 时， ，此时 可以取任意实数，所以 错误；对于 中，向量 在向量 上的投影向量为 ，
所以D错误.
故选：B.
7．（2022·全国·高三专题练习）设平面向量a，b不共线，若 ， ，，则（ ）
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】A
【分析】
计算出 后可判断出A，B，D三点共线，从而可得正确的选项.
【详解】
，故A，B，D三点共线．
又 为不共线向量，故 不共线，从而 也不共线， 也不共线，
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为 所在平面内两点， ， ，则（
）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先根据题意，画出图形，然后利用向量的基本定理进行求解.
【详解】
如图所示，
因为 ，
所以 ，
所以故选：D
9．（2022·全国·高三专题练习）已知平面上不共线的四点 ，若 ，则
等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】
由已知可得 ，即 ，从而可得答案.
【详解】
解：由 ，得 ，即 ，
所以 ，即 ，
故选：C.
10．（2022·全国·高三专题练习）.如图，在 中， ， 是线段 上一点，若
，则实数 的值为（ ）A． B．
C．2 D．
【答案】A
【分析】
设 ，由向量的运算法则得到 ，又由 ，列出方程组，
即可求解.
【详解】
设 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
11．（2022·全国·高三专题练习）如下图， 是线段 的中点，设向量 ， ，那么
能够表示为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】
由题意， ．
故选：B
12．（2022·浙江·高三专题练习）在 中， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量加法和减法计算即可求解.
【详解】
，
故选：B.
13．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形 中， ，设 ， ，则向量
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】
利用向量的加、减法法则计算即可.
【详解】解： .
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是不共线的向量， ， ，
，若 ， ， 三点共线，则实数 的值为（ ）
A． B．10 C． D．5
【答案】A
【分析】
由向量的线性运算，求得 ，根据 三点共线，得到 ，列出方程组，
即可求解.
【详解】
由 ， ，
可得 ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
所以存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
所以 ，解得 ， .
故选：A.
15．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将向量 转化为 ，进而根据平面向量的数量积求得答案.【详解】
由题意，得 ，，
故 .
故选：D.
16．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中，D为 上一点，且 ，设
，则 用 和 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用平面向量的线性运算求解.
【详解】
由题得 .
故选：A
17．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则锐角θ＝（
）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
根据向量平行的条件求出 ，结合 为锐角即可求出角 的值.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
因为 为锐角，所以 ，即 .
故选：B.
18．（2022·江苏·高三专题练习）已知向量 ，且 ，则一定共
线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】
根据三点共线的知识确定正确选项.
【详解】
依题意 ，
，所以 共线，即 三点共线，A正确.
，则 不共线、 不共线，BD错误.
，则 不共线，C错误.
故选：A
19．（2022·全国·高三专题练习）已知两个非零向量 ， 互相垂直，若向量 ，
共线，则实数λ的值为（ ）
A．5 B．3
C． D．2
【答案】C
【分析】根据条件判断 ，然后由 共线，可以知道当且仅当有唯一一个实数 ，使 ，进而求出
答案.
【详解】因为 ， 是非零向量，且互相垂直，所以 ，
因为 共线，所以当且仅当有唯一一个实数 ，使 ，即 ，
所以 ，又因为 ， 不共线，所以 .
故选：C.
20．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在 中， ， 是 上的一点，若
，则实数 的值为( )
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算将条件 化为 ，再根据 、 、 三点共
线，得出 ，解得 .
【详解】
由题意可知， ，所以 ，
又 ，即 .
因为 、 、 三点共线，所以 ，解得 .
故选：A．21．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，D是 上的点，若 ，则
实数x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由 得到 ，然后带入 ，进而得到 ，然后根据
B，D，E三点共线，即可求出结果.
【详解】
解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵B，D，E三点共线，∴ ，∴ ．
故选：D．22．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ，若 ，则 的值
为（ ）A．2 B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
故选：B
23．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C．2 D．-2
【答案】A
【分析】
首先求出 ， 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可；
【详解】
解：因为 ， ，所以 ， ，因为 ，
所以 ，解得
故选：A24．（2022·全国·高三专题练习）正方形 边长为2，点 为 边的中点， 为 边上一点，
若 ，则 （ ）A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，化简可得 ，建立平面直角坐标系，根据 ，利用坐标计算可得
点 坐标，最后计算可得结果.
【详解】
由题意，可知 ，即 ，
即 ，
所以 ，即 ，
建立如图平面直角坐标系
设 ， ，
所以
由 ，所以
则 ，所以故选：D．
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，本题关键在于得到 ，通过建系便于计算，着重考查了
推理与运算能力，属中档题.
25．（2022·全国·高三专题练习（理））已知向量 ， ，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题首先可根据 求出 ，然后根据 求出 ，最后根据
即可得出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ， ，
则 ，
故选：D.
26．（2022·全国·高三专题练习（文））设x∈R，向量 ＝（x，1）， ＝（1，﹣2），且 ∥ ，
则| + |＝（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】
由向量共线求得未知数x，根据模长的坐标表示求得即可.
【详解】解：根据题意，向量 ＝（x，1）， ＝（1，﹣2），
若 ∥ ，则﹣2x＝1，解可得x＝﹣ ，
则 ＝（﹣ ，1），故 + ＝（ ，﹣1），则| + |＝ ＝ ，
故选：A．
27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，且A，B，C三
点共线，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先求向量 和 ，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值.
【详解】
， .
因为A，B，C三点共线，所以 共线，
所以 ，解得 .
故选：A
【点睛】
本题考查根据三点共线求参数的取值范围，重点考查向量共线的公式，属于基础题型.
28．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，则 在 方向上的投影
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由向量线性运算的坐标表示求出 的坐标，进而可得 ，再由投影的计算公式即可求解.
【详解】
由 ， ，得 ，由 ，得 ，解得 ，所以 ，
故 在 方向上的投影为 ．故选：B．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 为单位向量， ，且向量 与向量 的夹角为 ，
则 的值为（ ）
A．-2 B．- C． D．4
【答案】C
【分析】
利用平面向量数量积的定义及运算律即可得出答案.
【详解】
解：因为向量 为单位向量， ，
且向量 与向量 的夹角为 ，得 ，
则 .
故选：C.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 （
）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】
将 两边同时平方展开，结合已知条件由向量数量积的定义得关于 的方程即可求解.
【详解】
因为非零向量 ， 的夹角为 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以
整理可得： ，因为 ，
解得： ，故选：A.
31．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量 ､ ，满足 ，且 与 的夹角为 ，
则 等于（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
由模的数量积运算表示出模 ， ，求出 与 的数量积，利用向量的夹角（数量
积的定义）可得出结论．
【详解】
解： ，且 与 的夹角为
，
由向量夹角公式可得，
故选：B.
32．（2022·全国·高三专题练习）若两个非零向量 ， 满足 ，则向量 与 的
夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】解： 非零向量 与 满足 ，
平方得 ，即 ，
则 ，由 ，
平方得 ，
得 ，即 ，
则 ，
，
设向量 与 夹角为 ，
则向量 与 夹角的余弦值 ，
， ，
故选： ．
33．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 满足 ，则 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据条件求出 和 的值，然后根据向量的夹角公式来求 与 的夹角.
【详解】
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 .故选：A.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，若（λ
+ ）⊥ ，则实数λ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．3【答案】A
【分析】
设 ＝（x，y），由向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，（λ + ）⊥ ，，列方
程组，能求出λ的值．
【详解】
解：设 ＝（x，y），
∵向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，（λ + ）⊥ ，，
∴ ，
解得λ＝ ．
故选：A．
二、多选题
35．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，
设 ， 的夹角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
由已知求解方程组可得 与 ，求模判断A；由 判断B；由数量积求夹角判断C；由数量积不为
0判断D．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ， ，得 ， ，故A错误；又 ，则 ，则 ，故B正确；
，又 ，∴ ，故C正确；
∵ ，∴ 与 不垂直，故D错误.故选：BC．
36．（2022·江苏·高三专题练习）四边形 中， ，
则下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
利用向量的线性运算将 用基底 和 表示，与选项比较即可得正确选项.
【详解】
对于选项A： ，故选项A不正确；
故选项B正确；
，故选项C不正确，
，故选项D正确；
故选：BD
37．（2022·全国·高三专题练习）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．若 ，则存在唯一的实数 ，使得
B．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是C．若 且 ，则
D．若点 为 的垂心，则
【答案】ABC
【分析】
直接利用向量的共线，向量的坐标运算，向量垂直的率要条件，向量的数量积的应用判断A，B，C，
D的结论即可
【详解】
解：对于A，当 时，满足 ，但不满足存在唯一的实数 ，使得 ，所以A错误；
对于B，因为 ， ，所以 ，因为 与 的夹角为
锐角，所以 ，解得 ，而当 时， 与 共线，所以 且 ，所
以B错误；
对于C，由于 ， ，所以当 时，等号成立，所以C错误；
对于D，因为点 为 的垂心，所以 ，所以 ，所以
，同理可得 所以 ，所以D正确，
故选：ABC
38．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判
定，即可求解.
【详解】
对于A中，由 ，所以A不正确；
对于B中，由 ， ，所以B正确；
对于C中，由 ， ，可得 ，所以C不正确；对于D中，由向量的夹角公式，可得 ，所以D正确．
故选：BD．
39．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， ，则（ ）A． B．向量 在向量 上的投影向量为
C． 与 的夹角余弦值为 D．
【答案】BCD
【分析】
利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误，利用平面向量数量积的坐标表示可判断CD选项
的正误，利用平面向量的几何意义可判断B选项的正误.
【详解】
对于A选项， ， ，则 与 不平行，A选项错误；
对于B选项， ， ，则 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 ，B选项正确；
对于C选项，由已知可得 ， ，
C选项正确；
对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：BCD.
40．（2022·全国·高三专题练习）设向量 ， 满足 ，且 ，则以下结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．向量 ， 夹角为
【答案】AC
【分析】
对 进行平方运算，可求出 ， 夹角，可判断AD选项，再对BC选项进行平方运算，代入 ，
夹角，可判断BC选项.【详解】
解： ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以A正确，D不
正确； ，故 ，所以B不正确，同理C正确.故选：AC
41．（2022·全国·高三专题练习）设向量 ， 满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D． 与 的夹角为60°
【答案】BD
【分析】
先通过题目条件求出 ，可以判断A；将B，C的式子展开，将 的值代入即可判断；最后用平面
向量的夹角公式可以判断D.
【详解】
由题意， ，因为 ，所以 ，A错误；
，B正确；
，C错误；
设 与 的夹角为 ， ，D正确.
故选：BD.
三、填空题
42．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，则 在 上的投影向量
的坐标为______．
【答案】
【分析】
首先求 方向上的单位向量，根据向量数量积的几何意义知 在 上的投影 ，
再应用向量夹角的坐标表示求 ，最后即可求 在 上的投影向量的坐标.【详解】
由题设知： 上单位向量为 ，而 在 上的投影为 ，∵ ，
∴ ，故 在 上的投影向量的坐标为 .
故答案为：
43．（2022·全国·高三专题练习）已知单位向量 与向量 共线，则向量 的坐标是
___________．
【答案】 或 .
【分析】
根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，单位向量 与向量 共线，
则向量 ，即向量 的坐标是 或 .
44．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为 的正方形 中， 为 的中点，则
____________________．
【答案】
【分析】
根据给定条件用 表示出 ，再计算数量积得解.【详解】
在边长为 的正方形 中， 为 的中点，则 ，且 ，
所以 ．故答案为：1
45．（2022·全国·高三专题练习）在菱形 中， ， ， ，则
___________.
【答案】
【分析】
利用向量加减法的几何意义可得 、 ，再应用向量数量积的运算律及已
知条件求 即可.
【详解】
由题意， .
故答案为：
46．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，已知 ， ，若 ，则
的坐标为_______.
【答案】
【分析】
由题意知 是线段 的中点，根据向量加法的几何意义有 ，结合向量线性运算的
坐标表示求 的坐标.
【详解】
由题设，点 是线段 的中点，
∴ .
故答案为：
47．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是△ 的边 的中点，点 在边 上，且，则向量 ＝________(用 表示)．【答案】
【分析】
结合题意，根据平面向量的加减法运算和向量共线定理，即可求出结果.
【详解】
解：由题可知，点 是 的边 的中点， ，
故答案为： .
48．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中， ，E为边BC的中点，若
，则 _________．
【答案】
【分析】
首先连接 ，再利用向量加法的几何意义求解即可.
【详解】
连接 ，如图所示：
所以 ，则 .故答案为：
49．（2022·全国·高三专题练习）设向量 ， 是与 方向相反的单位向量，则 的坐标为
__________.【答案】
【分析】
根据相反向量、向量模的概念，求得 相反向量的坐标及模长，即可求 的坐标.
【详解】
由 相反向量为 且模长为 ，
∴ .
故答案为：
50．（2022·全国·高三专题练习）如图，在菱形 中， ， ．已知 ，
， ，则 ______．
【答案】
【分析】
利用向量的线性运算以及向量数量积的定义即可求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．又 ，所以 ．
因为 ， ，
所以
．故答案为：
51．（2022·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ， 且
，则 ___________.
【答案】3
【分析】
根据题意，由向量的三角形法则可得 ，结合平面向量基
本定理可得 、 的值，进而计算可得答案．
【详解】
根据题意， ，
而 ，
则有 ，
若 ，则 ， ，
故 ；
故答案为：3．
【点睛】
方法点睛：平面向量的化简求解，常用的方法有：（1）基底法；（2）坐标法；（3）特取法.要根据
已知条件灵活选择方法求解.
52．（2022·上海·高三专题练习）设向量 ，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围________
【答案】
【分析】与 的夹角为钝角，等价于 ，且 与 不共线，转化为其向量的数量积，与共线坐标关系，
即可求解.
【详解】
与 的夹角为钝角， ，
当 与 共线时， .
故答案为:
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，用向量的数量积正负来判断钝角（或锐角），要注意排除共线情况，属
于基础题.
53．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点（不包含端点），若
，则 的最小值是________.
【答案】9
【分析】
利用平面向量共线的结论 ， 得到 ，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解..
【详解】
∵ 是线段 上一点，∴ 三点共线，
∴ m ＋ n = 1 ， 且 m > 0 ， n > 0 ，
当且仅当 即
又∵ ∴ 时取等号，
的最小值为 9 .
故答案为：9
54．（2022·江苏·高三专题练习）如图所示，矩形 的对角线相交于点 ， 为 的中点，若，则 等于________________【答案】
【分析】
把 作为基底，利用向量的加减法法则和平面向量基本定理把 用基底表示出来，从而可得答
案
【详解】
为 的中点，且 为 的中点，
所以 ，
，
， .
因此， ，
故答案为： .
55．（2022·浙江·高三专题练习）已知向量 的夹角为60°， ，则 = ______ .
【答案】
【分析】
见模平方，结合数量积公式，即可求得答案.
【详解】
试题分析： ，所以 .
故答案为：56．（2022·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹
角为___________.
【答案】 ##
【分析】
设 ，进而根据 求出 ，然后根据平面向量夹角公式求得答案.
【详解】
由题意，设 ，又 ，设 与 的夹角为 ，所以
，所以 .
故答案为： .
57．（2022·上海·高三专题练习）非零向量 ， 满足 ， 且 ， 与 夹角为 ，
则 ___________.
【答案】
【分析】
根据平面向量数量积的运算律及数量积的定义计算可得；
【详解】
解： 且 ， ，
所以 ，
，
即 ，
，，
．
故答案为：
58．（2022·河北·高三专题练习）已知 ，则 与 的夹角的余弦值为__________.
【答案】
【分析】
由 得 ，进而由夹角公式求解即可.
【详解】
由 ，得
可得 ，
代入 ，可得 ，
所以 与 的夹角的余弦值为
故答案为： .
59．（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 为 的外心， ，则 ______.
【答案】18
【分析】
结合图象，利用转化法求得 .
【详解】
因为点 为 的外心，
取点 为 的中点，
则 ，
所以 .
故答案为：60．（2022·全国·模拟预测）已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则 的值为
_________.
【答案】
【分析】
根据条件求出 ， ，再利用数量积公式列方程求解.
【详解】
由 得 ，
由 得 ，
又
所以 ，
即得到 ，解得
故答案为： .
