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第03讲 函数的概念
【知识点总结】
一、函数的概念
设集合A，B是非空的数集，对集合A中任意实数x按照确定的法则f集合B中都有唯一确定的实数值y与
它对应，则这种对应关系叫做集合A到集合B上的一个函数记作y＝f(x)
x∈A·其中f
2015
(x)叫做自变量，其取值范围（数集A）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a，则由法则f确
定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，记作 y＝f（a）或 y|x=2，所有函数值构成的集合
叫做该函数的值域，可见集合C是集合B的子集 .
注 函数即非空数集之间的映射
注 构成函数的三要素
构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数
的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，
就是不同的函数.
二、函数的定义域
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循两
点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
三、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：
（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；
（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
四、函数的解析式
求函数的解析式，常用的方法有：（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出 ，
再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；
（2）换元法：主要用于解决已知复合函数 的表达式求 的解析式的问题，令 ，解出
，然后代入 中即可求得 ，从而求得 ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将 右端的代数式配凑成关于 的形式，进而求出 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的
变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，
则 的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若实数 满足 ，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
例3．（2022·全国·高三专题练习）函数的 值域为（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）例4．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．式子 可表示自变量为 、因变量为 的函数
B．函数 的图象与直线 的交点最多有 个
C．若 ，则
D． 与 是同一函数
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f
不是函数的是________．(填序号)
①f：x→y＝ x；②f：x→y＝ x；③f：x→y＝ x；④f：x→y＝ .
例6．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为______．例7．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 的定义域为 ，求函数 的定义域；
（2）已知 的定义域为 ，求 的定义域；
（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域．例8．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：
（1）已知f( ＋1)＝x＋2 ；
（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）以下从M到N的对应关系表示函数的是（ ）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N*}，N＝{y|y≥0，y∈N*}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y＝
2．（2022·全国·高三专题练习（理））下列函数中，不满足： 的是
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝ 的定义域是（ ）
A． B． C． D． ．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数y 的定义域为（ ）
A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3]
C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列各组函数中，表示同一函数的是（
）
A． B． C． D．
9．（2021·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
10．（2022·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．
11．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，若实数 满足 ，则
（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)= ，则f(4)+f(-4)=（ ）A．63 B．83 C．86 D．91
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）= 的值域为R，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． ， D．14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，满足对任意x≠x，都有
1 2
0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1) B．a∈[ ,1) C．a∈(0, ] D．a∈[ ,2)
15．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ，函数 ，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值
为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足 的 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 则不等式 的解集为（
）
A． B．C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，若 ，则 的取值范围是（
）
A． B．
C． D．20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．3
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，请根据函数定义，下列四个对
应法则能构成从 到 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数 在区间 上有意义，则实数 可能的取值
是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是一次函数，满足 ，则 的解析式可
能为（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
24．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，若 ，则 ________，若方程
有三个不同的实根，则实数b的取值范围是________.
25．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 若 ，则 ______；若关于 的方
程 有两个不同零点，则实数 的取值范围是______.
四、填空题26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 ______.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对于任意的实数 ， 满足 ，且
恒大于 ，若 ，则 ____．
28．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 ， 分别由下表给出1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
则 的值为________________；满足 的 的值是______________．
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则 ________．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是
_________．
31．（2022·全国·高三专题练习）已知 是一次函数，且满足 ，求
_____．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为_______
33．（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f( )＝3x，则f(x)＝
_________.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的解析式是________．
35．（2022·全国·高三专题练习）设 是定义在 上的函数，且满足对任意 等式
恒成立，则 的解析式为_____________．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的值为_________．
37．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是
_______________.
38．（2022·全国·高三专题练习）已知 是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.
五、解答题
39．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
40．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知 是二次函数且 ， ，求 ；
（2）已知 ，求 .
