第24讲平行垂直问题（原卷版）_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2023年复习资料_一轮复习_通用版2023届数学高考一轮教案（Word版，含解析）

第24讲 平行垂直问题 【知识点总结】 1.证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线 与平面 没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向 进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面. （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 2.证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； a,bab ⑥线面垂直的性质（ ）； ac,a b bc ⑦平行线垂直直线的传递性（ ∥ ）. （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ab,ac,c,b,bc Pa ②线面垂直的判定（ ）； ,b,a b,aa  ③面面垂直的性质（ ）；a,b a b 平行线垂直平面的传递性（ ∥ ）； ,,l l  ⑤面面垂直的性质（ ）.（3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； a,a ②面面垂直的判定定理（ ）. 【典型例题】 例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边 长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD. （1）求证： 平面PAD； （2）求三棱锥C-PBD的体积. 例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ∥ ， ， ， 分别是棱 的中点． （1）求证： ∥平面 . （2）求证：平面 ⊥平面 .例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形， ， ， 平面ABED，M为AD中点（1）求证：平面 ⊥平面PBM （2）探究在PD上是否存在点G，使得 平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由． 例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 为线段 上非端点的动点，且 ， ，设而 与底面 的 交线为直线 ， （1）证明： ； （2）当 时，证明： 为平面 的一条垂线. 【技能提升训练】1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形 所在平面外一点，， 分别是 ， 的中点，平面 平面 于直线 . （1）判断 与平面 的位置关系，并证明你的结论； （2）判断 与 的位置关系，并证明你的结论. 2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 分 别为 ， ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）记平面 与底面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并证明. 3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA = AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF. 4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体 中， 为 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）判断 与平面 的位置关系，并说明理由. 5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平 面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2． （1）求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由． 6．（2021·江苏·高一专题练习）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， 、 分别是 、 的中点．（1）证明： ； （2）判断直线 和平面 的位置关系，并加以证明． 7．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD﹣ABC D 中，M，N分别是AB，AD 的中点.判断直 1 1 1 1 1 1 线MN与平面BBDD的位置关系，并说明理由. 1 1 8．（2021·四川·石室中学高三期末（文））如图（1），在矩形 中， ， 在边 上， .沿 ， ，将 和 折起，使平面 和平面 都与平面 垂直， 如图（2）. （1）试判断图（2）中直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若平面 平面 ，证明 平面 . 9．（2020·北京·高一期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形， ， 平面 ABCD， ， ， .（1）求证：直线 平面PNC； （2）在AB上是否存在一点E，使 平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理 由； （3）求三棱锥 的体积. 10．（2020·福建·高二学业考试）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，且 ， ． （1）求四棱锥 的体积； （2）若 分别是棱 的中点，则 与平面 的位置关系是______，在下面三个选项中选取一 个正确的序号填写在横线上，并说明理由． ① 平面 ； ② 平面 ； ③ 与平面 相交． 11．（2021·广东·佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形 中， ， ， 为 中点， 在 上，且 ，已知 ，现沿 把四边形 折起（如图乙），使平面平面 . （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 . 12．（2022·上海长宁·高二期末）在矩形 中， 是 的中点， 是 上， ，且 ，如图，将 沿 折起至 ： （1）指出二面角 的平面角，并说明理由； （2）若 ，求证：平面 平面 ； （3）若 是线段 的中点，求证：直线 平面 ； 13．（2021·辽宁大连·高三学业考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， ， 平面 ， 、 分别为 、 的中点.（1）求三棱锥 的体积； （2）证明： 平面 . 14．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马” 中，侧棱 底面 ， ，点 是 的中点，作 交 于点 . （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 . 15．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形 ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAD； （2）在线段BD上是否存在点F，使得EF//平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由； （3）若AB=1，DC= ，PA=2，求四棱锥P—ABCD的体积． 16．（2021·全国·高二单元测试）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点. （1）证明：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，说明理由. 17．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习）如图，直三棱柱 中， ， ．（1）求证： ； （2）在棱 上是否存在点K，使得 平面 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， . （1）求证： 平面 . （2）求证：平面 平面 . （3）设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由. 19．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形 所在平面外一点， M，N，Q分别 ， ， 的中点，平面 平面 ． （1）证明平面 平面 ； （2）求证： ． 20．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯 形， ， ， ，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点．（1）求证：平面 平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 21．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥 中，底面 直角梯形， ， ， 是等边三角形，且 ， . （1）设平面 平面 ，求证： 平面 ； （2）若 ，求证：平面 平面 . 22．（2021·全国·高一单元测试）如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形， ， ，平面 平面ABCD，O，M分别为AB，FC的中点． （1）求证： ；（2）求证： 平面DAF；（3）若过EF的平面交BC于点G，交AD于点H，求证： ． 23．（2020·广东揭东·高一期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， ， ， 为 与 的交点， 为棱 上一点 （1）证明： 平面 ； （2）若 平面 ，求三棱锥 的体积. 24．（2021·全国·高一课时练习）在三棱柱 中， （1）若 分别是 的中点，求证：平面 平面 . （2）若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值． 25．（2021·上海浦东新·高二期中）已知 是矩形 所在平面外一点， ， 分别是 ， 的中 点，求证： 平面 .26．（2021·全国·高一课前预习）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， 和 均为等腰直角三角形，且 .（1）求证：平面 平面 ； （2）若点 为线段 上任意一点，求证： 平面 . 27．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，点 D，E，F分别为棱 ， ， 的中点．求证： (1) 平面DEF； (2)平面 平面DEF． 28．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱台 中，底面 为直角梯形， ， ， ， 为棱 的中点，证明： 平面 . 29．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中， 是矩形， 是正方形，点 为的中点，求证： 平面 .30．（2021·河南·高三阶段练习（文））如图所示，在四棱锥 中， ， ， 为等边三角形，且平面ADE 平面BCDE，F为棱AC的中点． （1）求四棱锥 的体积； （2）证明： ． 31．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图，直四棱柱 中，上下底面为 等腰梯形， ． ， ， 为线段 的中点． （1）证明：平面 平面 ； （2）设 为线段 上一点，试确定点 的位置，使平面 平面 ． 32．（2021·贵州·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥 中，已知 ， ， ， ，且 平面 .（1）证明：平面 平面 . （2）若 是 上一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积. 33．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））如图1，正方形 中， ， ，将四 边形 沿 折起到四边形 的位置，使得 (如图2)． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 分别为 的中点，求三棱锥 的体积． 34．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））图1是 ， ， ， 、 分别是边 、 上的两点，且 ，将 沿 折起使得 ，如图2.（1）证明：图2中， ； （2）图2中，求三棱锥 的体积.35．（2021·广西玉林·模拟预测（文））如图所示的四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． 36．（2019·广东·顺德一中高二期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ， 平面 平面 ， ， 是 的中点.求证： （1） 底面 ； （2） 平面 ． 37．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（文））如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， 是 的中点．（1）证明： ； （2）求三棱锥 的体积． 38．（2021·四川·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面为直角梯 形， ， ，且 ， ， 为 的中点． （1）证明： 平面 ． （2）过 ， ， 作四棱锥 的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积． 39．（2021·云南·高三阶段练习（文））已知ABCD是边长为2的正方形，平面 平面DEC，直线 AE，BE与平面DEC所成的角都为45°.（1）证明： . （2）求四棱锥E-ABCD的体积V.