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第21讲 三角函数的性质
【知识点总结】
1.“五点法”作图原理
在确定正弦函数 的图像时，起关键作用的5个点是 .
在确定余弦函数 的图像时，起关键作用的5个点是 .
2.三角函数的图像与性质
y y
1 1
在 上 2
的图像 O x O 2 x
1 1
定义域
值域（有界性）
最小正周期
（周期性）
奇偶性（对称
奇函数 偶函数
性）
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自
变量值 时 时
最小值及对应自
变量值 时 时
函数
正切函数
y
O x图像
定义
域
值域
周期
性
奇偶
奇函数，图像关于原点对称
性
单调
性 在 上是单调增函数
对称
无
轴
对称
中心
3. 与 的图像与性质
（1）最小正周期： .
（2）定义域与值域： ， 的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设 .
①对于 ，
②对于 ，
（4）对称轴与对称中心.
假设 .
①对于 ，②对于 ，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与 轴交点的位
置.
（5）单调性.
假设 .
①对于 ，
②对于 ，
（6）平移与伸缩
（ ， ）的图象，可以用下面的方法得到：
①画出函数 的图象；
②把 的图象向左（ ）或向右（ ）平移 个单位长度，得到函数 的图
象；
③把 图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图
象；
④把 图象上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），得到函数
的图象.
【典型例题】
例1．（2018·福建省泉州市泉港区第一中学高三期中（文））函数的部分图象如图示，则下列说法不正确
的是A．
B． 的图象关于点 成中心对称
C． 在R上单调递增
D．已知函数 的图象向右平移 个单位后得到的函数图象关于原点对称
例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 的定义域为（ ）
A． （ ）
B． （ ）
C． （ ）
D． （ ）
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (ω>0)，若f(x)在 上恰有两个零点，则
ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）若 在 上是减函数，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝2sin 是偶函数，则θ的值为（
）
A． B． C． D．
（多选题）例 6．（2022·全国·高三专题练习）若关于 的方程 在区间
上有且只有一个解，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1例7．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图像向右平移 个单位，可得下列哪些函数（
）
A． B．
C． D．
例8．（2021·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知函数 .
x
f(x)
（1）求函数 在区间 上的值域；
（2）用五点法在网格纸中作出 在区间 上的大致图象.
例9．（2021·全国·高三专题练习） 已知 ，函数 ．
（Ⅰ）若 ，求 的单调递增区间；（Ⅱ）若 的最大值是 ，求 的值．例10．（2021·江苏高邮·高三阶段练习）已知函数 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式;
（2）将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 个单
位，得到函数 的图象，当 时，求 值域.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））设点 是函数 的图象C的一个对称中心，若
点 到图象C的对称轴上的距离的最小值 ，则 的最小正周期是（ ）A． B． C． D．2．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知函数 在区间 上的
图象大致如下，且 ；则 图象的一条对称轴方程可以是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南·高三阶段练习（理）） 的图象向左平移 个单位，恰与
的图象重合，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为 ，且在区间 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象上每一个点向左平移 个单位，得到
函数 的图象，则函数 的单调递增区间为
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为（ ）A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图
象对应的函数 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．8．（2021·北京市第五中学高三阶段练习）已知 ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高三专题练习）函数 的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ， ，若 ，函数 是偶函数，则
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
11．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象向右平移 个单位后得到一个奇函数的图象，则
该函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·全国·高三专题练习）设函数 （ 且 ）．若 ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象相邻的两个对称中
心之间的距离为 ，若将函数 的图象向左平移 后得到偶函数 的图象，则函数 在下列区间上
是单调递减的是（ ）A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数中，周期为π，且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数 （ ）的图象经过点 ，一条对称轴
方程为 .则函数 的周期可以是（ ）A． B． C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习（文）） ， 是函数 的两个相邻零点.则
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
17．（2022·全国·高三专题练习）函数 图像向右平移 个单位后所得函数图像与
函数 的图像关于 轴对称，则 最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图
象（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
19．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数 ，则下列结论中不正确的是（
）
A． 的图象关于点 ， 对称
B． 的图象关于直线 对称
C． 在 ， 上单调递减
D． 在 ， 上的最小值为0
20．（2022·全国·高三专题练习）将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后得到
的图象关于原点对称，则 的值为（ ）
A． B． C． D．21．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 （ ）的图象关于点 对称，则
的取值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
22．（2022·全国·高三专题练习（理））下列区间是函数 的单调递减区间的是
（ ）
A． B． C． D．23．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点 对称，那么|φ|的最小值为（
）
A． B．
C． D．
24．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数y＝sin 2x的图象向左平移 个单位长度后，得
到函数 的图象，则 等于（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）要得到函数 的图象，则（ ）
A．可将函数 的图象向右平移 个单位得到
B．可将函数 的图象向左平移 个单位得到
C．可将函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来 倍得到
D．可将函数 的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来2倍得到
26．（2022·全国·高三专题练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
27．（2022·全国·高三专题练习）将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将它的图象向右平移 个单位长度，得到了一个奇函数的图象，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习（理））将函数 图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的 ，然后将所得图象向左平移 个单位，可得函数 的图象，则 （ ）
A．2 B．0 C． D．
29．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个大风车的半径为8 m，12 min旋转一周，它的最低点P 离地
0
面2 m，风车翼片的一个端点P从P 开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(m)与时间t(min)
0之间的函数关系式是（ ）
A．h(t)＝－8sin t＋10 B．h(t)＝－cos t＋10
C．h(t)＝－8sin t＋8 D．h(t)＝－8cos t＋10
30．（2022·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在
农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车
抽象为一个几何图形，如图所示，圆 的半径为4米，盛水筒 从点 处开始运动， 与水平面的所成
角为 ，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒 距离水面的高度 （单位：米）与时间 （单位：秒）之间
的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2021·广西·高三阶段练习（理））函数 （ ， ）的部分图象如图所示，
的图象与 轴交于 点，与 轴交于 点，点 在 的图象上，点 ､ 关于点 对称，则下列说法中正确的是（ ）A．函数 在区间 上单调递减
B．函数 的最小正周期是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 的图象向右平移 后，得到函数 的图象，则 为偶函数
32．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））已知 的一段
图象如图所示，则（ ）
A．
B． 的图象的一个对称中心为
C． 的单调递增区间是
D．函数 的图象向左平移 个单位后得到的是一个奇函数的图象
二、多选题33．（2021·湖北·高三阶段练习）已知函数了 （ ）在 上有且仅有6个零点，
则实数 的值可能为（ ）
A． B． C．3 D．
34．（2021·江苏省滨海中学高三阶段练习）函数 的部分图像如
图所示，下列结论中正确的是（ ）A．直线 是函数 图像的一条对称轴
B．函数 的图像关于点 对称
C．函数 的单调递增区间为
D．将函数 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像
35．（2022·全国·高三专题练习）已知三角函数 ，以下对该函数的说法正确的是
（ ）
A．该函数周期为 B．该函数在 上单调递增
C． 为其一条对称轴 D．将该函数向右平移 个单位得到一个奇函数
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于直线 对称，则
（ ）
A．函数 为奇函数
B．函数 在 上单调递增
C．若 ，则 的最小值为D．函数 的图象关于 中心对称
37．（2022·上海·高三专题练习）设函数 的图像 ，下面结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间上 是增函数
C．函数 图像关于 对称D．函数 图像可由 右移 个单位得到
38．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数 （其中 ， ， ）的
部分图像，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图像关于直线 对称
B．函数 的图像关于点 对称
C．将函数 图像上所有的点向右平移 个单位，得到函数 ，则 为奇函数
D．函数 在区间 上单调递增
39．（2021·江苏如皋·高三期中）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如
图所示，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，则下列说法正确的是（ ）A．
B．
C．函数 为奇函数D．函数 在区间 上单调递减
三、填空题
40．（2021·北京景山学校远洋分校高三阶段练习）己知函数 部分图象如图所
示，则图中 的值为___________.
41．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为________.
42．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间是_______________.
43．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值为________．
44．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在 上的最小值是________．
45．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的值域为________．
46．（2021·湖南·模拟预测）函数 的最大值为__________.
47．（2022·全国·高三专题练习）设当 时，函数 取得最大值，则 ______.
48．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，若 的图象向右平移
个单位后与 的图象重合，当 最小时，给出下列结论：① 的最小值为4
② 在 上单调递增
③ 在 上单调递减
④ 的图象关于直线 对称
⑤ 的图象关于点 中心对称
其中，正确结论的编号是__________（填写所有正确结论的编号）．
49．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ．若 的图象关于直线 对称，则的取值集合是__________．
50．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得最小值，则
_________
四、解答题
51．（2021·江西·宁冈中学高三开学考试（理））已知函数 （ ）.
（1）请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数 一个周期内的简图；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）求 的最大值和最小值及相应 的取值.52．（2021·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））函数 的部分图象如图：（1）求其解析式
（2）写出函数 在 上的单调递减区间．
53．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（I）若 是第一象限角，且 ．求 的值；
（II）求使 成立的x的取值集合．
54．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 的周期是 .
（1）求 的单调递增区间；
（2）求 在 上的最值及其对应的 的值.55．（2022·全国·高三专题练习）已知向量 ，函数
（ ）的最小正周期是 .
（1）求 的值及函数 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的值域.
56．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在区间 上的值域.
57．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；（2）当 ， 时，求 的值域．58．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（1）求函数 的定义域和最小正周期；
（2）若将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，然后再向右平移 ( )个
单位长度，所得函数的图象关于 轴对称，求 的最小值.
59．（2021·福建省福州第一中学高三期中）已知函数 的图象如
图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）首先将函数 的图象上每一点横坐标缩短为原来的 ，然后将所得函数图象向右平移 个单位，
最后再向上平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 内的值域.
