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第27章 相似单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
a c
1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足 = ，则下列等式一定成立的
b d
是（ ）
a c a+c a a2 c2 2a+c a
A． = B． = C． = D． =
d b b+d b b b 2d+b d
【答案】B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断
B，D．
a c
【详解】解：A、由已知 = 得ad＝bc，故选项不符合题意；
b d
B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；
C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；
D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．
2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中， D是AB边上一点， 添加下列条件，
不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACB
AD AC AD CD
C． = D． =
AC AB AC BC
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形
的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，∠ACD＝∠B，由两角对应相等两三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，由两角对应相等两三角形相似可得
△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
AD AC
C、根据题意可知，∠CAD=∠BAC， = ，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得
AC AB
△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、由条件无法判断∠ADC=∠ACB，故不能判定△ACD∽△ABC，该选项符合题意；
故选：D．
3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且
7
CE⊥DB．若AB=2，AD= ，则CE的长是（ ）
2
7❑√65 7 14❑√65 28❑√65
A． B． C． D．
65 2 65 65
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定
理计算出DB的长度，由AB∥DC，易证△DAB∽△CED，最后列出比例式求解即可．
【详解】由勾股定理得DB=❑√AD2+AB2=❑
√ (7) 2
+22=
❑√65
，
2 2
∵ AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°
∴ ∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，
∴ △DAB∽△CED，
CE CD
∴ = ，
AD DB
CE 4
=
∴ 7 ❑√65，
2 2
28❑√65
解得CE= ，
65故选：D．
4．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位
于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线
上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（ ）m处才能观测到大树的
顶端．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的应用，证明△ABP∽△CDP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解
答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴△ABP∽△CDP，
BP AB
∴ = ，
DP CD
BP 1.6
∴ = ，
8−BP 4.8
解得：BP=2，
经检验，BP=2是原方程的解且符合题意，
∴将平面镜P放置在离王刚2m处才能观测到大树的顶端．
故选：B．
5．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边
AB、BC的长分别是3和4，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
【答案】D
【分析】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用，利用三角形的相似求线段长度是初中阶段
重点知识，熟练掌握是解此题的关键．过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证
PE PA PF PD PE PA PF PD
△PEA∼△CDA和△PFD∼△BAD，根据 = 和 = ，即 = 和 = ，两式相加
CD CA AB BD 3 5 3 5
12
得PE+PF= ，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．
5
【详解】解：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴△PEA∼△CDA，
PE PA
∴ = ，
CD CA
∵AC=BD=❑√32+42=5，
PE PA
∴ = ，
3 5
同理：△PFD∼△BAD，
PF PD
∴ = ，
AB BDPF PD
∴ = ，
3 5
PE+PF PA+PD AD 4
∴ = = = ，
3 5 5 5
12
∴PE+PF= ，
5
12
即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是： ．
5
故选：D．
6．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
若点A、A′的坐标分别为(−1,0)、(−2.0)，△ABC的面积是6，则△A′B′C′的面积为（ ）
A．18 B．12 C．24 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，△ABC与△A′B′C′是位似比为
1：2的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A′的坐标分别为
(−1，0)、(−2，0)，
∴△ABC ∽ △A′B′C′且相似比为1：2，
∴△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1:4，
∵△ABC的面积是6，，
∴△A′B′C′的面积为24，
故选：C
7．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作
图：
1
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
2第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成
比例定理等知识，证明出四边形AEDF的形状是解题关键．根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分
线，再根据等边对等角的性质，得出DE∥AC，DF∥AE，证明四边形AEDF是菱形，得到
BD BE
AE=DE=DF=AF=4，然后由平行线分线段成比例定理，得到 = ，即可求出BE的长．
CD AE
【详解】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理可得DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
BD BE
∴ = ，
CD AE∵BD=6，AE=4，CD=3，
6 BE
∴ = ，
3 4
∴BE=8，
故选：D．
8．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相
似．
乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．
对于三人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对
C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对
【答案】C
【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判
断．
【详解】解：如图所示，
据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，
∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确．
乙：设原矩形边长为a，b．
向外扩张一个单位后边长变为a+2，b+2．
A'B' a+2 A'D' b+2 A'B' A'D'
则 = = , ≠
AB a AD b AB AD
∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确；
丙：将边长为a的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角
对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，
故丙正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握
相似多边形的判定是解题的关键．
9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，△ABC≌△≝¿，AB=AC=5，BC=EF=6，点E在
BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，
△AEG的面积是（ ）．
625 625 625
A．8或 B．8 C． D．6或
108 108 107
【答案】A
【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，可得AE≠AG，当AE=EG与AG=EG去分
析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△≝¿，AB=AC，
∴∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，
∴∠AGE>∠AEF，
∴AE≠AG；
∵∠AEF=∠B，
∴180°−∠AEB−∠AEF=180°−∠AEB−∠B，即：∠CEG=∠BAE，
当AE=EG时，
在△ABE与△ECG中，
{
∠B=∠C
)
∠CEG=∠BAE
AE=EG
∴△ABE≌△ECG(AAS)，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC−EC=6−5=1，
作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=3，
∴AM=❑√AB2−BM2=❑√52−32=4，
1
∴S =S = ×1×4=2，
△ABE △CEG 2
∴S =S −2S
△AEG △ABC △ABE
1
= ×6×4−2×2
2
=8，
当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，
∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
CE AC
∴ = ，
AC CB
AC2 25
∴CE= = ，
CB 625 11
∴BE=6− = ，
6 6
∵∠CEG=∠BAE，
∴△ABE∽△ECG，
AB BE
∴ = ，
CE CG
25 11
×
∴ CE⋅BE 6 6 55，
CG= = =
AB 5 36
55 125
∴AG=5− = ，
36 36
∵∠EAG=∠AEG=∠B=∠C，
∴△GAE∽△ABC，
S AG 2 252
∴ △EAG=( ) = ，
S AB 362
△ABC
625 625
∴S = ×12= ．
△EAG 36×36 108
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握
性质定理是解题的关键．
10．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90❑∘，AD=1，
BC=2，对角线AC、BD交于点E．当边AB的长度发生变化时，下列说法中正确的是（ ）
A．点E到边AB的距离不变 B．点E到边BC的距离不变
C．点E到边CD的距离不变 D．点E到边DA的距离不变
【答案】A
【分析】先证△EAD∽△ECB得EC=2EA，EB=2ED，则AC=3AE，DB=3DE，过点E作
EF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，EP⊥CD于P，过点D作DQ⊥BC于2 2
Q，证明△BEF∽△BAD得EF= ，由此可对选项A进行判断；证明△CEH∽△CAB得EH= AB，由
3 3
2 1
此可对选项B进行判断；根据KH=AB，EH= AB得EK= AB，由此可对选项D进行判断；设AB=a
3 3
2a a
，则EH= ，EK= ，则DQ=AB=a，CQ=1，进而得CD=❑√a2+1，根据
3 3
可得 2a❑√a2+1，由此可对选项 进行判断．
S +S +S +S =S EP= C
△EAB △EAD △EBC △ECD 梯形ABCD 3a2+3
【详解】解：∵四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD=1，BC=2，
∴△EAD∽△ECB，
∴EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2，
∴EC=2EA，EB=2ED，
∴AC=EA+EC=3AE，DB=ED+EB=3DE，
过点E作EF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，EP⊥CD于P，过点D作
DQ⊥BC于Q，如图所示：
∵∠BAD=90°
，
∴EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴EF:AD=EB:DB，
即EF:1=2ED:3DE．
2
∴EF= ，
3
∴点E到边AB的距离不变，
故选项A正确，符合题意；
∵∠BAD=90°，AD∥BC，
∴∠ABC=90°，又∵EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，
∴四边形ABHK为矩形，
∴HK∥AB，HK=AB，
∴△CEH∽△CAB，
∴EH:AB=EC:AC，
即EH:AB=2EA:3AE，
2
∴EH= AB，
3
∴当边AB的长度发生变化时，EH随AB的变化而变化，
故选项B不正确，不符合题意；
2
∵KH=AB，EH= AB，
3
2 1
∴EK=HK−EH=AB− AB= AB，
3 3
∴当边AB的长度发生变化时，EK随AB的变化而变化，
故选项D不正确，不符合题意；
2a a
设AB=a，则EH= ，EK= ，
3 3
∵∠BAD=∠ABC=90°，DQ⊥BC，
∴四边形ABQD为矩形，
∴BQ=AD=1，DQ=AB=a，
∴CQ=BC−BQ=2−1=1，
在Rt△DQC中，由勾股定理得：CD=❑√DQ2+CQ2=❑√a2+1，
∵S +S +S +S =S ，
△EAB △EAD △EBC △ECD 梯形ABCD
1 1 1 1 1
∴ AB⋅EF+ AD⋅EK+ BC⋅EH+ CD⋅EP= (AD+BC)⋅AB，
2 2 2 2 2
∴AB⋅EF+AD⋅EK+BC⋅EH+CD⋅EP=(AD+BC)⋅AB，
2 a 2a
即a× +1× +2× +EP⋅❑√a2+1=(1+2)a，
3 3 3
2a❑√a2+1
整理得：EP= ，
3a2+3
∴当边AB的长度发生变化时，EP随AB的变化而变化，故选项C不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直
线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个
MN
正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则 =
AM
．
❑√5−1
【答案】
2
【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．连接AE，根据题意可得：A´B=D´E，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠AEB=∠DAE，进而
可得MA=ME，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接AE，
∵将⊙O的圆周分成五等份，
∴A´B=D´E，
∴∠AEB=∠DAE，
∴MA=ME，
∵点M是NE的黄金分割点，ME NM ❑√5−1
∴ = = ，
NE ME 2
NM ❑√5−1
∴ =
AM 2
❑√5−1
故答案为： ．
2
12．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成
三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】4
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据
16 4
EF∥BC，得到△AKN∽△ABC，利用三角形相似的性质可求得S = ，同理求得S = ，它
△AKN 3 △AHM 3
们的差即为所求答案．
【详解】∵线段AB被截成三等份，
AK 2 AH 1
∴ = ， = ，
AB 3 AB 3
∵EF∥BC，
∴△AKN∽△ABC，
S AK 2 4
∴ △AKN =( ) = ，
S AB 9
△ABC
S 4
∴ △AKN == ，
12 9
16
∴S = ，
△AKN 3
∵四边形DEFG是矩形，
∴EF∥DG，
∴DG∥BC，∴△AHM∽△ABC，
S AH 2 1
∴ △AHM =( ) = ，
S AB 9
△ABC
S 1
∴ △AHM == ，
12 9
4
∴S = ，
△AHM 3
16 4
∴阴影部分的面积=S −S = − =4．
△AKN △AHM 3 3
故答案为：4．
13．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形ABCD内的一
点，且PB=8，BF⊥BP，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，
那么BM= ．
25
【答案】8或
2
【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出
∠ABP=∠CBM，当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，当AB:BC=PB:BM时，
△BAP∽△BCM，两种情况下，分别求出MB的长，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=10，
∵BF⊥BP，
∴∠ABP+∠CBP=∠CBM+∠CBP=90°，
∴∠ABP=∠CBM．
当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，
∴10:MB=8:10，
∴BM=12.5，当AB:BC=PB:BM时，△BAP∽△BCM，
∴10:10=8:BM，
∴BM=8，
25
∴以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么MB的长是8或 ．
2
25
故答案为：8或 ．
2
14．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，将▱ABCD绕
点C旋转至▱EOCF的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：
（1）已知∠COB=α，则∠FCD= （用含α的代数式表示）；
（2）若BO=2，则BC的长为 ．
【答案】 180°−2α 2❑√2
【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是
解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到∠FCO=∠BCD，推出∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，即可得到答
案；
（2）根据旋转的性质证明△ABO∽△ACB，根据相似三角形的性质得到AO⋅AC=2AO2=AB2=16，
即可求出答案．
【详解】解：（1）∵点B的对应点恰好落在点O处，
∴CO=BO，
∴∠BOC=∠OBC=α，
由旋转的性质可知，∠FCO=∠BCD，
∴∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，
∴∠FCD=∠BCO=180°−2α；
（2）由旋转的性质可知OE=AB，
∵ ▱EOCF，B，O，D，E四点共线，
∴CF∥EB，∴∠COB=∠FCO，
∴∠OBC=∠BCD，
∴CD=BD，
∵▱ABCD，
∴CD=AB,AO=CO，
∵BO=2，
∴BD=2BO=4，
∴AB=CD=BD=4，
∵∠DCB+∠ABC=180°，
∠COB+∠AOB=180°，
∴∠AOB=∠ABC，
∵∠OAB=∠BAC，
∴△ABO∽△ACB，
AO AB
∴ = ，
AB AC
∵AC=2AO,AO=CO，
∴AO⋅AC=2AO2=AB2=16，
∴AO=2❑√2，
∴BC=CO=AO=2❑√2．
故答案为：180°−2α；2❑√2．
15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，延长AB至D，使得
AB：BD=m：n，连接CD，E是BC边上的中点，连接AE，并延长AE交CD与点F，连接FB，则
BF：FD= ．
【答案】m：(m+n)/m：(n+m)
【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准
对应关系是解题的关键．
DH BD n
如图：过点B作BH∥AF交CD于H，根据平行线分线段成比例定理得到 = = ，根据等腰三角
HF AB m形的性质得到AE⊥BC，根据线段垂直平分线的性质得到BF=CF，再根据平行线分线段成比例定理解答
即可．
【详解】解：过点B作BH∥AF交CD于H，
∴△BDH∽△ADF
DH BD n
∴ = = ，
HF AB m
∵AB=AC，E是BC边上的中点，
∴AE⊥BC，
∴AF是线段BC的垂直平分线，
∴BF=CF，
1
∵EF∥BH，CE=EB，即BE= CE
2
∴△CEF∽△CBH,
CF CE CE 1
∴ = = = ，
CH BC 2CE 2
1
∴CF= HF，即CF=HF，
2
∴CF：FD=m：(m+n)，
∴BF：FD=m：(m+n)．
故答案为：m：(m+n)．
16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一
个格点三角形．如果△≝¿，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△≝¿的面积S 最大；
1
S
△GHI的面积S 最小，那么 1 的值等于 ．
2 S
2【答案】5
【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角
形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可．
【详解】由图可知AB=❑√12+12=❑√2，BC=2，AC=❑√32+12=❑√10
∵△≝¿，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△≝¿的面积S 最大；△GHI的面积S 最小，
1 2
可如图所示作出△≝¿， △GHI，
∴ DE=❑√12+22=❑√5，DF=❑√12+32=❑√10，FE=❑√32+42=5
DE EF DF ❑√5 ❑√10
∴ = = = =
AB BC AC ❑√2 2
∴△≝∽△BAC
S DE2 5
∴ △≝¿ = = ¿
S AB2 2
△ABC
同理可得GH=1，HI=❑√2，GI=❑√5
且△HGI∽△BAC
S HG2 1
∴ △HGI = =
S AB2 2
△ABC
∴ S ：S ：S
△HGI △ABC △≝¿=1:2:5¿
S
综上所述：
1=5
S
2故答案为：5
【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键是在格点图中画出三角形，难点是将三角形相似比转化为
面积比．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的
中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接
CF，且∠ACF=∠CBG．求证：
(1)AF=CG；
(2)CF=2DE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明△AFC≌△CBG(ASA)，进而结论得证；
（2）如图，延长CG交AB于H，则CH⊥AB，CH平分AB，进而证得CH∥AD，得出DG=BG，证明
△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBF=45°，∠ACG=∠BCG=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
∵∠ACF=∠CBG，AC=BC，∠CAF=∠BCG，
∴△AFC≌△CBG(ASA)，
∴AF=CG；（2）证明，如图，延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=≥¿，即DG=2DE，
∵AD∥CH，
BG BH
∴ = =1，即DG=BG，
DG AH
∵△AFC≌△CBG(ASA)，
∴CF=BG，
∴CF=2DE．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段
成比例．熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成
比例是解本题的关键．
18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足a:b:c=1:3:5，且a−b+c=6．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．
【答案】(1)a=2，b=6，c=10
(2)m=2❑√3
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．
（1）设a=k，b=3k，c=5k，再代入求解得到k=2，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到m2=ab，即m2=12，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长．
【详解】（1）解：设a=k，b=3k，c=5k，
∴a−b+c=6，即k−3k+5k=6，
解得：k=2，
∴a=2，b=6，c=10；
（2）由（1）知a=2，b=6，又因为m是a，b的比例中项，
∴m2=ab，即m2=12，
∴m=±2❑√3，
∵m>0，
∴m=2❑√3．
AD 1
19．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， = ，
BD 3
MN
DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，求 的值．
CM
MN 1
【答案】 = ．
CM 7
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明
NH AE 1
△NDM≌△HFM(ASA)，再证明 = = ，从而可得答案．
CH CE 3
【详解】解：如图，设EF与CN的交点为H，
∵点M是DF的中点，∴DM=FM，
∵EF∥AB，
∴∠NDM=∠HFM，
∵∠DMN=∠FMH，
∴△NDM≌△HFM(ASA)，
∴HM=MN，
AD 1
∵DE∥BC， = ，
BD 3
AE AD 1
∴ = = ，
CE BD 3
∵EF∥AB，
NH AE 1
∴ = = ，
CH CE 3
∴CH=3NH=3(HM+MN)=6MN，
MN MN MN 1
∴ = = = ．
CM CH+MH 7MN 7
20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点
D，DE⊥BD，交AB于点E，
(1)求证：△ADE∽△ABD；
(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．
【答案】(1)见解析
(2)线段AD长为5
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义、角的和差可得∠ADE=∠ABD，再结合∠A=∠A即可证明结论；
AD AE
（2）由线段的和差可得AE=2.5，BE=7.5，再根据相似三角形的性质得出比例式 = ，代入数据
AB AD
即可解答．【详解】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADE+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，
∴∠CBD=∠ADE ，
∴∠ADE=∠ABD，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．
（2）解：∵AB=10，BE=3AE ，
∴AE=2.5，BE=7.5，
由（1）得△ADE∽△ABD，
AD AE
∴ = ，
AB AD
∴AD2=AB·AE=10×2.5=25，
∴AD=5，
∴线段AD长为5．
21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边
长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．
(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．
(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且AB=3EF．
(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析(3)画图见解析
【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关
键．
（1）只需将线段AB分成2:3的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接EF即可；
（2）只需找到AC和BC靠近点C的三等分点，根据相似三角形的性质，找到AC的三等分点E，连接FE
即可；
（3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图.
【详解】（1）解：点D即为所求；
（2）解：点E、F即为所求；
1
（3）解：△ABC的面积为： ×3×4=6，
2
∵△ABM、△ACM、△BCM的面积相等，
1
∴△ABM、△ACM、△BCM的面积都为： ×6=2，
3
4
∴△ACM的高为：2×2÷4=1，△BCM的高为：2×2÷3= ，
3
∵EP∥FQ，
∴△EPM∽△FQM，且相似比为2:1，
1
∴MQ= ，
3∴点M即为所求.
22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D
沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C
时运动终止．连接DE、CD、AE．
(1)当动点运动时间t= 秒时，△BDE与△ABC相似．
(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．
20 8
【答案】(1) 或
13 7
2
(2)当CD⊥DE时，t= 秒．理由见解析．
13
【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时△BDE与△ABC相似是解决问题的关键．
已知△ABC是直角三角形，要△BDE与其相似，图中已有一个公共角∠B，所以只需△BDE的另外两个角
有一个角是直角，那么△BDE与△ABC相似．由此对应两种情况：∠DEB=90∘或∠EDB=90∘，需分情
况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间t．
（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当
CD⊥DE时，过点E作EF⊥AB于F，证明Rt△ACD∽Rt△FDE，然后利用相似三角形对应边成比例
即可求出时间t．
【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，△BDE与△ABC相似．
5
则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5−2t)(cm) (0≤t≤ )；
2
1）当∠EDB=90∘，即ED⊥AB时，{ ∠B=∠B )
∵
∠EDB=∠CAB=90∘
∴ Rt△BDE∽Rt△ABC；
BD BE 4−t 2t
∴ = ，即 = ，
BA BC 4 5
20
∴ t= ．
13
２）当∠DEB=90∘，即DE⊥BC时，
{ ∠B=∠B )
∵
∠DEB=∠CAB=90∘
∴ Rt△BDE∽Rt△ABC，
BD BE 4−t 2t
∴ = ，即 = ，
BC BA 5 4
8
∴ t= ．
7
20 8 5
∵ t= 和t= 都符合0≤t≤ ，
13 7 2
20 8
∴ 当动点运动t= 秒或t= 秒时，△BDE与△ABC相似．
13 7
20 8
故答案为： 或 ．
13 7
（2）如图，过点E作EF⊥AB于F，
设经过运动时间为t秒时，CD⊥DE，
5
则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5−2t)(cm) (0≤t≤ )；
2
{ ∠B=∠B )
∵
∠EFB=∠CAB=90∘
∴ Rt△BFE∽Rt△BACBF BE BF 2t
∴ = ，即 = ，
BA BC 4 5
8t √ 8t 2 6t
∴ BF= ，EF=❑√BE2−BF2=❑(2t) 2−( ) = ，
5 5 5
8t 13t
∴ DF=AB−AD−BF=4−t− =4− ，
5 5
∵ CD⊥DE，
∴ ∠CDE=90∘，
∴ ∠ADC+∠EDF=90∘，
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠ADC+∠ACD=90∘，
∴ ∠ACD=∠EDF，
∵ ∠CAD=∠EFD=90∘，
∴ Rt△ACD∽Rt△FDE，
3 t
AC AD =
∴ = ，即 13 6t ，
DF EF 4− t
5 5
2
∴ t= （秒）．
13
23．（8分）（23-24·陕西榆林·二模）问题探究：
(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为
(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；
问题解决：
(3)某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝300❑√3米，
∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、
PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN
区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）
【答案】(1)4
(2)18
(3)6000❑√3万元
【分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解即可．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．S ABCD＝2S ABC＝AC •BE＝3AC＝3（x+y），求出x+y的最小
矩形 △
值，可得结论．
PA AM
（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．证明 PAM∽△NTP，推出 =
NT PT
△
60000
，可得BN= −200❑√3，设总费用W万元，则
x
1 ❑√3 1 60000 ❑√3 1800000
W =0.8× x×100❑√3× +0.2× ( −200❑√3)200❑√3× =60x+ −6000❑√3，
2 2 2 x 2 x
求出W的最小值，可得结论．
【详解】（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴
S
△ABE =
(AE) 2
=4，
S EC
△CDE
∵S ABE＝16，
△
∴S CDE＝4．
△
故答案为：4．
（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，
∴S ABCD＝2S ABC＝AC•BE＝3AC＝3（x+y），
矩形 △
∴x+y的值最小时，矩形的面积最小，
∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCE，
∴△AEB∽△BEC，
AE EB
∴ = ，
BE EC
∴BE2＝AE•EC，
∴xy＝9，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴x2+2xy+y2≥4xy
∴（x+y）2≥4xy，
∴（x+y）2≥36，
∴x+y≥6，
当x+y=6时，S ABCD有最小值，最小值为3×6=18
矩形
（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∵BP＝BT，∠PBT＝60°，
∴△PBT是等边三角形，
∴PB＝BT＝PT，
∵AB＝300❑√3米，
∴PA＝100❑√3（米），PB＝200❑√3（米），
∴PT＝BT＝200❑√3（米），
∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°，
∴∠APM＝∠PNB，
∵∠A＝∠T＝60°，
∴△PAM∽△NTP，
PA AM
∴ = ，
NT PT
100❑√3 x
∴ = ，
200❑√3+BN 200❑√3
60000
∴BN= −200❑√3，
x
设总费用W万元，
1 ❑√3 1 60000 ❑√3 1800000
则W =0.8× x×100❑√3× +0.2× ( −200❑√3)200❑√3× =60x+ −6000❑√3
2 2 2 x 2 x
，
1800000 √ 1800000
∵60x+ ≥2❑60x× ，
x x
1800000
∴60x+ ≥12000❑√3，
x
∴W≥6000❑√3，最小值为W =6000❑√3,
故建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用6000❑√3万元．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的面积，三角形面积，面积造价问题，解决问题的关键是熟练运用面
积比与相似比平方的关系，三角形面积等于底边乘高的一半，总价=单价面积的关系．
