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第 21 节 解三角形
基础知识要夯实
重点一 正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
正弦定理 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
的常见变
形 (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)＝
重点二 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.
余弦定 (1)cos A＝；
理的常 (2)cos B＝；
见变形 (3)cos C＝
重点三 重要结论
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；(2)cos (A＋B)＝－cos C；(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cosB．
基本技能要落实
考点一 平面向量的概念
【例1】（2021•天津）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值．
【解析】（1） 中， ， ，， ， ．
（2） 中，由余弦定理可得 ．
（3）由（2）可得 ，
， ，
．
【例 2】（2021•新高考Ⅱ）在 中，角 ， ， 所对的边长为 ， ， ， ，
．
（Ⅰ）若 ，求 的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【解析】 ， 根据正弦定理可得 ，
， ， ， ， ，
在 中，运用余弦定理可得 ，
， ，
．
， 为钝角三角形时，角 必为钝角，
， ，
， ， 三角形的任意两边之和大于第三边，
，即 ，即 ， ， 为正整数， ．
【方法技巧】
1.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角
的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
2．求三角形面积的方法
(1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积；
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入
海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【跟踪训练】
1．（2021•乙卷）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ，
，则 ．
【答案】
【解析】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， ， ，
，
又 ，（负值舍）故答案为： ．
2．（2021•北京）在 中， ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，
并求 边上的中线的长．
条件① ；
条件② 的周长为 ；条件③ 的面积为 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ） ，由正弦定理可得 ，即 ， ，
当 时， ，即 ，不符合题意，舍去， ， ，即 ．
（Ⅱ）选① ，由正弦定理可得 ，与已知条件 矛盾，故 不
存在，
选②周长为 ， ， ， ，
由正弦定理可得 ，即 ，
， ，
，即 ， ， ，
存在且唯一确定，
设 的中点为 ， ，
在 中，运用余弦定理， ，
即 ， ，
边上的中线的长度 ．
选③面积为 ， ， ，
，解得 ，余弦定理可得， ．
考点二 判断三角形形状
【例3】（2022·河北衡水中学高三模拟）在△ABC中，已知＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)
(sin C＋sin B)；②b cos A＋a cos B＝c sin C 中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推
理过程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】由＝及正弦定理得＝，
即ac＋a2＝b2＋bc，∴a2－b2＋ac－bc＝0，∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b.
若选①△ABC为等边三角形．
由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.
∴cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.∴△ABC为等边三角形．
若选②△ABC为等腰直角三角形，
∵b cos A＋a cos B＝b·＋a·＝＝c＝c sin C，
∴sin C＝1，∴C＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形
【方法技巧】
1．判断三角形形状的2种常用途径
2．判断三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意
角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取
公因式，以免漏解．
【跟踪训练】
1．（广东省揭阳市揭西县河婆中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题）在 中，
若 ，则 的形状是
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】A
【解析】因为在 中，满足 ，由正弦定理知 ，代入上式得 ，
又由余弦定理可得 ，因为C是三角形的内角，所以 ，
所以 为钝角三角形，故选A.
2．（西南名校联盟“3 3 3”2021届高三5月份高考数学诊断性试题（三））在△ 中，若满
足 ，则该三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
因为 ， ，
所以 或 ，
所以 或 ，
所以 是直角三角形或等腰三角形，故选：D
考点三 三角形的最值或范围问题
【例4】(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsin C.
(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
【解析】(1)由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB.①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A．②
由①，②得cos A＝－.因为0b，所以A>B，即B=30°.故选：A.
8．已知在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形， ，即 ．
， ，那么：则 ， 故选：
二、多选题
9．在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ， ，且 ，
则
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】 .
整理可得:
可得
为三角形内角,
故A正确，B错误.
解得 ,
由余弦定理得
解得 , 故C错误，D正确.故选: AD.
10．在 中，若 ，下列结论中正确的有（ ）
A． B． 是钝角三角形
C． 的最大内角是最小内角的 倍 D．若 ，则 外接圆的半径为
【答案】ACD【解析】由题意,设 ,
解得 ;
所以 ,
所以A 正确;
由以上可知 最大,
所以 为锐角,
所以B错误;
由以上可知 最小,
,
,
即 ,
因为 为锐角, 为锐角,所以
所以C正确;
因为 ，所以 ,
设 外接圆的半径为 ,则由正弦定理可得
所以
所以D正确.故选: ACD.
11．在 中， ， ， 为三个内角 ， ， 的对边，若 ，则角
（ ）
A． B．
C． D．【答案】BD
【解析】由题得 根据余弦定理可知 ，
∴ 或 ．故选：BD.
12．下列结论正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ，则 是直角三角形
D．在 中，若 ，三角形面积 ，则三角形的外接圆半径为
【答案】ABC
【解析】对于A，在 中，由 ，利用正弦定理得
，故A正确.
对于B，由锐角三角形知 ，则 ， ，故B正确.
对于C，由 ，利用正弦定理得 ，即
，故 ，即 ，则 是直角三角形，故C正确.
对于D， ，解得 ，利用余弦定理知
，所以 ，又因为
， ，故D错误.故选：ABC
三、填空题
13．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ，则
的最小值为______．【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，即 ，
由正弦定理得，∴ ，
由余弦定理知， ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，则 ，当且仅当 时，等号成立
即 的最小值为 ．故答案为：
14．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ， ， ，则 的
面积等于______．
【答案】
【解析】 中， ， ， ，
则由余弦定理可得 ，解得 或 （舍去），
则 的面积 ，故答案为： .
15．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的取值范
围为________．
【答案】
【解析】因为 是锐角三角形，所以 ，而 ，所以有 ，
因为 ， ，所以 ，而 ，所以 ，
即 ，由正弦定理可知：，
因此 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故答案为：
16．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水
共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点 ， ， 处测得阁顶端
点 的仰角分别为 ， ， .且 米，则滕王阁高度 ___________米.
【答案】
【解析】设 ，因为 ， ， ，所以 ， ， ，.
在 中， ，
即 ①.，
在 中， ，
即 ②，
因为 ，
所以①②两式相加可得： ，解得： ，
则 ，故答案为： .
四、解答题
17．在 中，角 为锐角，已知 外接圆的半径为 ， ，___________，求BC边
上的高.
① ② ③
这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解
答计分.
【解析】选①在 中，由正弦定理得：
解得： ，
在 中，由余弦定理得：
选②：由
由正弦定理得：
由余弦定理得：选③，由正弦定理得：
由余弦定理得： ，
，即 ， ，
解得： ， ，
18．在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，
．
（1）求角 的大小和边长 的值；
（2）求 面积的最大值．
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
因为角 是锐角，所以 ，
因为 ，
所以由正弦定理与余弦定理易知， ，
整理得 ，解得 .
（2）因为 ，所以 ， ，因为 ， ， ，所以 ，
则
，
因为 ，所以 ，
则 ， ，
故 ， 面积的最大值为 .
19． 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，
.
（1）求 、 ；
（2）设 为 边上一点，且 ，求 的面积．
【解析】（1） ，由正弦定理得 ，
，则 ，故 ，可得 ，
，则 ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
，因此， ；（2）如下图所示：
由正弦定理可得 ，可得 ，
， ，故 为锐角，则 ，
，则 ，
在 中， ，
由正弦定理 ，可得 ，
因此， .
20．已知 中， ， 是边 上一点， ， ， .
（1）求 的长；
（2）求 的面积.
【解析】（1）由已知 ，则 中， ；
（2） 中， ， ， ，
由余弦定理得： ，解得 ，
所以 的面积为 .
21．在 中， 、 、 的对边分别为 、 、 ，其中边 最长，并且 ．
(1)求证： 是直角三角形；
(2)当 时，求 面积的最大值．
【解析】 (1)证明：由 ，得 ，即 ，
又边 最长，则 、 均为锐角，所以 ，
解得 ， 即 ，所以 为直角三角形．
(2)因为 ，由勾股定理 ,因为 ，所以 .
记 面积为 ,则 ，由 得 ，
当且仅当 时等号成立．所以当 时， 面积取到最大值 ．
22．在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围.
【解析】（1）由 ，得 ，得 ，得
，在 ， ，
由余弦定理 ，
得 ，
即 ，解得 或 .
当 时， 即 为钝角（舍），
故 符合.
（2）由（1）得 ，所以 ，
，
为锐角三角形， ， ，
，
，
故 的取值范围是 .
