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第36讲 轨迹方程
【知识点总结】
求动点的轨迹方程
一、直译法
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么
只需把这些关系“翻译”成含 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要
其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则
可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）
有些问题中，所求轨迹上点 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点 相关联的，
这时要通过建立这两点之间关系，并用 表示 ，再 将代入已知曲线方程，即得 关系式。
【典型例题】
例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A，B的坐标分别为 ， ，直线AP，
BP相交于点P，且它们的斜率之积为 .
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M､N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP OM，BP ON，求
△MON的面积.
【解析】
（1）由已知设点 的坐标为 ，
由题意知 ，化简得 的轨迹方程为
（2）证明：由题意 是椭圆 上非顶点的两点，且 ，则直线 斜率必存在且不为0，又由已知 .
因为 ，所以
设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，
得 ....①，
设 的坐标分别为 ，则
又 ，
所以 ，得
又 ，
所以 ，
即 的面积为定值 .
例2．（2022·全国·高三专题练习）动点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为定值 .
（1）求动点 的轨迹方程：
（2）若直线 与动点 的轨迹交于不同的两点 ， ，且线段 被直线 平分，求直线 的斜率
的取值范围.
【解析】
（1）设点 ，依题意，有
两边平方，整理得
所以动点 的轨迹方程为 ；（2）联立 ，解得 .
设点 ， ， 的中点为则 ，由题意可得 ，
又因为点 ， 都在椭圆 上，则
将上述两个等式作差得 .则
则 ，即
所以 ，即
所以直线 的斜率的取值范围是
例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆 ： ，点 ，P是
圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q.
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）过点 作直线MN交点Q的轨迹于M､N两点，设线段MN的中点为H，判断线段 与
的大小，并证明你的结论.
【解析】
（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴ .
又 ，∴ .
∴点Q的轨迹是以坐标原点为中心， 和 为焦点，长轴长为4的椭圆.
可设方程为 ，则 ，
∴ ，∴点Q的轨迹方程为 .
（2）结论是： .
①当直线MN的斜率不存在时， ， ，此时 ；②当直线MN的斜率k存在时，设 ：
代入到 ，化简得 ，
设 ，
则 ， ，
此时 ， ，
∴
.
∴ ，点A在以MN为直径的圆上或圆的内部，所以 .
综上所述， .
例4.（2021·全国·高三专题练习）点 是椭圆 上的动点， 为定点，求线段 的中点
的轨迹方程.
【详解】
设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x，y），
0 0
则由M为线段AB中点，可得
，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），
因为点 （x，y）在椭圆 上，
0 0
，从而有
整理得动点 的轨迹方程为 .
例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，求斜率为 的平行弦中点的轨迹方程.
【详解】设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 .
则 ，（1） ，（2）
得： ，
.
又 ， .
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为 的平行弦中点的轨迹方程：
例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点 且与圆 相内切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程 .
（2）直线 过原点，且与轨迹 有两个交点 .轨迹 上是否存在一点 ，使△ 为正三角形，若
存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由.
【详解】
设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则由条件知：
，
故 ，
因此，P的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆方程.
故圆心P的轨迹方程 为： .
（2）解法一：若直线 的斜率存在且不为零.故可设 .直线 方程为：
由同理，得
因 ，此时无解.
若直线的斜率为零，此时也无解.
若直线的斜率不存在，可求出 .故 的坐标为
解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设 ，
代入椭圆方程，得
同理 ，由
得 ，故存在这样的点 ，其坐标为 .
例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在 中，已知 ，且三内角A，B，C满足
，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶
点C的轨迹方程.
【详解】
由已知得 ，∵ ，
∴由正弦定理得: ，∴ ，
∴由双曲线的定义知，点 的轨迹以 为焦点，以 为实轴长的双曲线的右支（除去与 轴的交点），
∴ ，
∴顶点 的轨迹方程为 .
故答案为： .
例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆 ,10 m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，
⇒
故
∴重心G的轨迹方程为y＝ .
(2)若m＝－2，则y2－4y－8＝0，设AB中点为(x，y，)
0 0
∴y＝ ＝2，∴x＝y－m＝2－m＝4，
0 0 0
那么AB的中垂线方程为x＋y－6＝0，
令△ABF的外接圆圆心为C(a,6－a)，
又|AB|＝ |y－y|＝4 ，C到AB的距离为d＝ ，∴|CA|＝|CF| (2 )2＋ 2＝(a－1)2
1 2
⇒
＋(6－a)2 a＝ ，
⇒∴C点的坐标为 ，∴|CF|2＝ 2＋ 2＝ ，
∴所求的圆的方程为 2＋ 2＝ .
20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点 、 ，如果动点 满足 ，求点的轨迹方程.
【答案】
【分析】
先设 ，根据题意得到 ，再化简整理，即可得出结果.
【详解】
设 ，
因为 、 ，且 ，
所以有 ，
整理得 .
即点 的轨迹方程为 .
【点睛】
本题主要考查轨迹方程，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于基础题型.
21．（2021·全国·高二课时练习）已知 的两个顶点坐标 ， ， 的周长为18，求
顶点 的轨迹方程．
【答案】 （ ）．
【分析】
根据题意可得 ，则点 的轨迹是以A， 为焦点的椭圆，去除直线 上的点，求得
即可得出答案.
【详解】
解：∵ 的两个顶点坐标 ， ，周长为18，
∴ ， ，
∵ ，∴点 到两个定点A， 的距离之和为定值，且定值大于A， 两点间距离，
∴点 的轨迹是以A， 为焦点的椭圆，去除直线 上的点，
∵ ， ，∴ ，∴顶点 的轨迹方程是 （ ）．
22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系 中，动圆 与圆
内切，与圆 外切.
（1）求动圆圆心 的轨迹方程 ；
（2）若直线 与轨迹 交于 ， 两点，直线 交轨迹 于另一个点 ，连接 交 轴于点
，试探究；是否存在 ，使得 的面积等于 ？若存在，求出全部的 值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
（2）存在，
【分析】
（1）设动圆 的半径为 ，根据题意得动点 的轨迹为以 ， 为焦点，实轴长为 的椭圆，再根据
圆 与圆 内切于点 ，进而得方程 ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，进而根据 ， ， 三点共线和
得 ，再联立方程 并结合韦达定理得 ，再结合面积得 ，
进而得 ， ，再求解得存在唯一 满足题意.
（1）
解： ，
设动圆 的半径为 ，因为动圆 与圆 内切，与圆 外切所以 ，
，
由椭圆的定义可知，动点 的轨迹为以 ， 为焦点，实轴长为 的椭圆，
又因为圆 与圆 内切于点 ，所以动圆圆心 的轨迹方程为：
（2）
解：设直线 的方程为 ， ， ，
则
∵ ， ， 三点共线
，即 ，整理得
又 代入，
联立
，
代入 可得 ，
又 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
，由对称性，不妨取
代入椭圆 ，得
， ，
存在唯一 满足题意.
