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第24讲 平行垂直问题
【知识点总结】
1.证明空间中直线、平面的平行关系
（1）证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线 与平面 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向
进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
（2）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面.
（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
2.证明空间中直线、平面的垂直关系
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质（a ,bab）；
⑦平行线垂直直线的传递性（a c,a∥b bc）.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（a b,a c,c,b,bc Pa ）；
③面面垂直的性质（,b,a b,aa ）；平行线垂直平面的传递性（a ,b∥a b）；
⑤面面垂直的性质（,,l l ）.（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（a ,a）.
【典型例题】
例1．（2021·四川省广安代市中学校高二阶段练习（文））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边
长为2的正方形，E，F分别为PC，BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD.
（1）求证： 平面PAD；
（2）求三棱锥C-PBD的体积.
【解析】
（1）连接 ，如下图所示：
因为 为 中点，且底面ABCD是边长为2的正方形，
所以 为 中点，
又因为 为 中点，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .（2）取 的中点 ，连接 ，如下图所示：因为PA=PD= AD，所以 且 ，
从而 ，则 ，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 的面积 ，
所以 的体积 ，
故三棱锥C-PBD的体积 .
例2．（2021·海南·海港学校高三阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ∥ ，
， ， 分别是棱 的中点．
（1）求证： ∥平面 .
（2）求证：平面 ⊥平面 .
【解析】
（1）设 ,连接 , ,∥ ， , 是棱 的中点, ∥ ， ,
四边形 为平行四边形， 是棱 的中点, ∥ ,
又 平面 , 平面 , ∥平面 .
（2）(方法一) ⊥平面 , 平面 , .
∥ ， , 是棱 的中点, ∥ ， ,
四边形 为平行四边形， ∥ ， .
, 四边形 为菱形， ,
平面 , 平面 , 平面 ,
又 平面 ， 平面 ⊥平面 .
（方法二）连接 ,
平面 , 平面 ,
∥ , ,
平面 , 平面 , ,是棱 的中点, ,
由（1）可知， , ,
又 是棱 的中点, ,
平面 , 平面 , 平面 .
又 平面 , 平面 ⊥平面 .
例3．（2021·广西河池·高一阶段练习）如图，四边形ABED为梯形， ， ，
平面ABED，M为AD中点
（1）求证：平面 ⊥平面PBM
（2）探究在PD上是否存在点G，使得 平面PAB，若存在求出G点，若不存在说明理由．
【解析】
（1）证明：连接 ，因为 ， ， 为 的中点，所以四边形 为菱形，
所以 ，因为 平面ABED， 平面ABED，所以 ，因为 ，
面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）解：当 为 的中点时， 平面 ，
证明：如图连接 ， ，因为 为 的中点， 为 的中点，所以 ， 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，由（1）可知 ， 平面 ， 平面 ，所以
平面 ，又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，因为 平面
，所以 平面 ；例4．（2021·山东潍坊·高二阶段练习）如图，已知在长方体 中， ， ， 分别为 ，
， 的中点， 为线段 上非端点的动点，且 ， ，设而 与底面 的
交线为直线 ，
（1）证明： ；
（2）当 时，证明： 为平面 的一条垂线.
【解析】
（1）连结 ，因为 ， 为 ， 的中点，
所以 .
又因为 ，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ,所以 平面 ，
又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
（2）连接 ， ，
，同理可得 ，
因为 ，所以 ，
同理 ，
又因为 ，所以 平面 ，
所以 为平面 的一条垂线.
【技能提升训练】
1．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）如图，P为平行四边形 所在平面外一点，
， 分别是 ， 的中点，平面 平面 于直线 .
（1）判断 与平面 的位置关系，并证明你的结论；（2）判断 与 的位置关系，并证明你的结论.【答案】（1） 平面 ，证明见解析；（2） ，证明见解析.
【分析】
（1）取PD中点E，连接AE，NE，可得 ，且 ，又M为AB中点，可得 ，
且 ，所以四边形AMNE为平行四边形，可得 ，根据线面平行的判定定理，可证
平面 .
（2）根据线面平行的判定定理，可证 平面 ，又 平面PBC，结合题意，根据线面平行的性
质定理，可证 .
【详解】
（1） 平面 ，证明如下：
取PD中点E，连接AE，NE，
因为N，E分别为PC，PD中点，
所以 ，且 ，
又M为AB中点， ， ，
所以 ，且 ，
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2） ，证明如下：因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面PBC，且平面 平面 ，根据线面平行的性质定理可得 .
2．（2021·江苏·南京市中华中学高一期中）如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 分
别为 ， ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）记平面 与底面 的交线为 ，试判断直线 与平面 的位置关系，并证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）直线 面 ，证明见解析.
【分析】
（1）证明 ，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）由三角形中位线性质可得： ，可证明 面 ，由线面平行的性质定理可得 ，由
线面平行的判定定理即可证明直线 面 .
【详解】
（1）因为 分别为 ， 的中点，所以 ，
因为底面 是菱形，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
（2）直线 与平面 平行，证明如下：
因为 分别为 ， 的中点，
所以 ，因为 面 ， 面 ，所以 面 ，
因为平面 与底面 的交线为 ， 面 ，由线面平行的性质定理可得 ，
因为 ，所以 ，
因为 面 ， 面 ，
所以直线 面 .
3．（2020·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA
= AB，点F是PB的中点，点E在边BC上运动.
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.
【答案】（1）EF//面PAC，理由见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当点E为BC的中点时，EF//面PAC，可由线面平行的判定定理给出证明；
（2）转化为证明AF⊥平面PBC即可.
【详解】
（1）当点E为BC的中点时，EF//平面PAC. 理由如下：
∵点E，F分别是BC，PB的中点，∴EF//PC，
又 平面 ， 平面 ，∴EF//平面PAC.
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD， 平面 ，∴BC⊥PA，
又四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又 平面 ，∴ AF⊥BC.
又PA = AB，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，
∴AF⊥平面PBC ，又 平面 ， ∴AF⊥PE.所以，无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.
4．（2021·贵州·高二学业考试）如图，在正方体 中， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）判断 与平面 的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） 平面 ，理由见解析.
【分析】
（1）利用正方形的性质可得出 ，由正方体的几何性质以及线面垂直的性质可得出 ，利
用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）设 ，连接 ，利用中位线的性质可得出 ，再利用线面平行的判定定理可得出
结论.
【详解】
（1）四边形 是正方形， ，
在正方体 中， 平面 ，
平面 ， ，
，因此， 平面 ；（2） 平面 ，理由如下：
证明：设 ，连接 ，、 分别为 、 的中点， ，
平面 ， 平面 ，因此， 平面 .
5．（2021·四川自贡·三模（文））如图1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF组成的平
面图形，其中AB＝AE＝DF＝2，将图形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如图2．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）判断图2中平面PAB和平面PCD的交线l与平面ABCD的位置关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）l∥平面ABCD；答案见解析．
【分析】
（1）根据线面垂直的判定定理证出AB⊥平面PAD，进而可得平面PAD⊥平面ABCD，从而求出P到AD
的距离 即为四棱锥P﹣ABCD的高，再有锥体的体积公式即可求解.
（2）根据线面平行的判定定理可得AB∥平面PCD，再由线面平行的性质定理可得AB∥l，由线面平行的
判定定理即可证明.【详解】
解：（1）由图1可知，AB⊥AE，CD⊥DF，则图2中，AB⊥PA，AB⊥PD，
∵PA∩PD＝P，∴AB⊥平面PAD，而AB 平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD， ⊂
又 是边长为2的正三角形，
则P到AD的距离 即为四棱锥P﹣ABCD的高，
∴ ；
（2）平面PAB和平面PCD的交线l∥平面ABCD．
理由如下：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD 平面PCD，
∴AB∥平面PCD， ⊂
AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，∴AB∥l，
而A⊂B 平面ABCD，l⊄平面ABCD，
∴l∥平⊂面ABCD．
6．（2021·江苏·高一专题练习）如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， 、
分别是 、 的中点．（1）证明： ；
（2）判断直线 和平面 的位置关系，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；（2） 平面 ，证明见解析．
【分析】
（1）由题意及线面垂直的定理和定义先证 平面 ，再证出 ；
（2）判断出 平面 ，设 的中点为 ，连接 、 ，证明出四边形 为平行四边
形，可得出 ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.
【详解】
（1）由题意知， 平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ，
平面 ， ；
（2） 平面 .
证明如下：设 的中点为 ，连接 、 ．
、 分别是 、 的中点， 且 ，
又 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，
为 的中点，则 且 ，所以， 且 ，
故四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 .【点睛】
方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.7．（2021·全国·高二专题练习）如图，正方体ABCD﹣ABC D 中，M，N分别是AB，AD 的中点.判断直
1 1 1 1 1 1
线MN与平面BBDD的位置关系，并说明理由.
1 1
【答案】平行，理由见解析.
【分析】
根据题意可取AD中点E，连接ME，NE，根据题知ME BD，NE DD，可得平面EMN 平面
1
BBDD，即面面平行，利用面面平行即可证明线面平行.
1 1
【详解】
如图，MN 平面BBDD，
1 1
取AD中点E，连接ME，NE，
根据题知ME BD，NE DD，
1
因为 平面EMN， ME 平面EMN，
⊂
所以 平面EMN，同理 平面EMN，
又 ，所以平面EMN 平面BBDD，
1 1
因为MN 平面EMN，
⊂故MN 平面BBDD.
1 18．（2021·四川·石室中学高三期末（文））如图（1），在矩形 中， ， 在边 上，
.沿 ， ，将 和 折起，使平面 和平面 都与平面 垂直，
如图（2）.
（1）试判断图（2）中直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若平面 平面 ，证明 平面 .
【答案】（1） ，理由见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连结 ，分别取 ， 的中点 ， ，连结 ， ， ，则由题意可得 ，
， ，而平面 和平面 都与平面 垂直，所以 平面 ， 平面
，得 ，进而得四边形 为平行四边形，再利用平行公理可证得结论；
（2）由线面平行的判定定理可得 面 ，再利用线面平行的性质定理可得 ，而由（1）可得
平面 ，所以 平面
【详解】
（1） .理由如下：
连结 ，分别取 ， 的中点 ， ，连结 ， ， ，由图（1）
可得， 与 都是等腰直角三角形且全等，则 ， ，
∵平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
∴ 平面 .
同理得， 平面 ，∴ .
又∵ ∴四边形 为平行四边形，
∴ .
∵ ， 分别是 ， 的中点，∴
∴ .（2）∵ ， 平面 ， 平面
∴ 面
∵ 平面 ，面 平面
∴
由（1）知 平面 ，
∴ 平面 .
9．（2020·北京·高一期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是菱形， ， 平面
ABCD， ， ， .
（1）求证：直线 平面PNC；
（2）在AB上是否存在一点E，使 平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理
由；
（3）求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）E是AB中点，证明见解析；（3） .
【分析】
（1）在PC上取一点F，使 ，连接MF，NF，证明 ， ，推出，即可得证；
（2）E是AB中点，证明 ， ，利用线面垂直的判定定理即可证明 平面PDE；
（3）证明 为点 到平面 的距离，求出底面积，利用等体积法即可求解.
【详解】
（1）在PC上取一点F，使 ，连接MF，NF，因为 ， ，所以 ，
， ， ，
可得 且 .
所以MFNA为平行四边形，
即 ，
又 平面 ，
所以直线 平面 .
（2）E是AB中点，证明如下：
因为E是AB中点，底面ABCD是菱形， ，所以 ，
因为 ，所以， 即 ，
又 平面ABCD，所以 ，
又 ，
所以直线 平面PDE
（3）直线 ，且由（2）可知，DE为点A到平面PDC的距离， ，
，
所以 .【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行以及垂直的判断，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.
10．（2020·福建·高二学业考试）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，且
， ．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）若 分别是棱 的中点，则 与平面 的位置关系是______，在下面三个选项中选取一
个正确的序号填写在横线上，并说明理由．
① 平面 ；
② 平面 ；
③ 与平面 相交．
【答案】（1）4；（2）②，理由见解析．
【分析】
（1）根据四棱锥体积公式直接计算；（2）首先判断 平面 ，要证明线面平行，需证明线线平行，取 的中点 ，连接 ，．根据条件证明四边形 是平行四边形.
【详解】
（1）因为 平面 ，
所以 ．
（2）②，理由如下：
取 的中点 ，连接 ， ．
因为 分别为 ， 的中点，
所以 ， ．
因为 为 的中点，所以 ，
又矩形 中， ，且 ，
所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形．
所以 ．又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【点睛】
本题考查证明线面平行，几何体的体积，重点考查逻辑推理，空间想象能力，计算能力，属于基础题型.
11．（2021·广东·佛山一中高二期中）如图甲，直角梯形 中， ， ， 为 中点，
在 上，且 ，已知 ，现沿 把四边形 折起（如图乙），使平面
平面 .（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据线面平行的判定定理得出 平面 ，同理 平面 ，再根据面面平行的判定定理得
出平面 平面 ，最后由面面平行的性质从而可证出 平面 ；
（2）根据题意，由面面垂直的性质得出 ，结合 ，再根据面面垂直的判定定理，即可证
明平面 平面 .
（1）
证明：由题意知 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
∵ ，∴平面 平面 ，
又 平面 ，
∴ 平面 .
（2）
证明：在图甲中， ， ，
∴ ，则在图乙中， ，
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，得 ，又∵ ， ，∴ 平面 ，
而 平面 ， ∴平面 平面 .
12．（2022·上海长宁·高二期末）在矩形 中， 是 的中点， 是 上， ，且
，如图，将 沿 折起至 ：
（1）指出二面角 的平面角，并说明理由；
（2）若 ，求证：平面 平面 ；
（3）若 是线段 的中点，求证：直线 平面 ；
【答案】
（1） 为二面角 的平面角，理由见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）根据 ， 结合二面角定义得到答案.
（2）证明 平面 得到 ，得到 平面 ，得到证明.
（3）延长 ， 交于点 ，连接 ，证明 即可.
（1）
连接 ，则 ， ，故 为二面角 的平面角.
（2）， ， ，故 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ， ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 .
（3）
延长 ， 交于点 ，连接 ，易知 ，故
故 是 的中点， 是线段 的中点，故 ，
平面 ，且 平面 ，故直线 平面 .
13．（2021·辽宁大连·高三学业考试）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，
， 平面 ， 、 分别为 、 的中点.
（1）求三棱锥 的体积；
（2）证明： 平面 .
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用条件可得 ，结合棱锥的体积公式即求；
（2）取 的中点 ，可证四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即证.
（1）
证明：设 与 的交点为 ，
因为底面 是边长为 的菱形，所以 ，且 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，故 ，
所以 .
因为 平面 ，所以 为三棱锥 的高，
所以三棱锥的体积 .
（2）
取 的中点 ，连接 、 ，
因为 为 的中点，所以 且 ，又因为 为 的中点，四边形 为菱形，所以 且 .
所以 且 .
故四边形 为平行四边形，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
14．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（文））《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与
底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马” 中，侧棱 底面 ，
，点 是 的中点，作 交 于点 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；（2）由线面垂直得到线线垂直，进而
证明线面垂直.
（1）
连接 交 于 ，连接 ，因为 为矩形，所以 为 中点，又 为 中点，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为侧棱 底面 ， 平面 ，所以 ，
又 为矩形，所以 ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 为 的中点，且 ，由三线合一得： ，因为 ，所以 平面 ，因
为 平面 ，从而 ，又 ， ，所以 平面 .
15．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形
ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E为线段BC的中点．
（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；
（2）在线段BD上是否存在点F，使得EF//平面PCD？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；
（3）若AB=1，DC= ，PA=2，求四棱锥P—ABCD的体积．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）存在点F，F为BD的中点，理由见解析；
（3）1.
【分析】
（1）由题意，证明在平面PDE中的直线DE与平面PAD垂直即可；
（2）取BD的中点F，证明EF//CD即可；
（3）先求出底面直角梯形的面积，再利用锥体的体积公式即可求出四棱锥P—ABCD的体积.
（1）
证明： E为BC的中点，BC=2AD，
AD=BE，而AD//BC
四边形ABED是平行四边形，又∠BAD=90°，DE⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，
DE⊥PA，PA∩AD=A
DE⊥平面PAD，而DE 平面PDE，
平面PDE⊥平面PAD
（2）
解：存在点F，且F为BD的中点，理由如下：
取BD的中点F，如上图所示
E，F分别为BC，BD的中点，
EF//CD，而CD 平面PCD，EF 平面PCD，
EF//平面PCD
（3）
解：由条件可知BC=2，
所以梯形ABCD的面积为：
故四棱锥P-ABCD的体积为V=
16．（2021·全国·高二单元测试）如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直，
是 上异于 ， 的点.（1）证明：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ，说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【分析】
（1）推导出 平面 ，从而 ，推导出 ，从而 平面 ，由此能证明
平面 平面 ；
（2）当 为 中点时，连结 ， ，交于点 ，则 是 的中点，连结 ，推导出 ，
从而 平面 ．
（1）
证明：由题设知，平面 平面 ， 平面 平面 ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
为 上异于 ， 的点，且 为直径， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ；
（2）
解：在线段 上存在点 ，当 为 中点时，使得 平面 ．
证明如下：
连结 ， ，交于点 ，
是矩形， 是 的中点，连结 ，
是 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以当 为 中点时， 平面 ．17．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学高二阶段练习）如图，直三棱柱 中， ，
．
（1）求证： ；
（2）在棱 上是否存在点K，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）当 为 中点时， 平面 ，此时
【分析】
小问1：根据直三棱柱，得面 面 ，结合 ，证明 面 ，从而得到
；小问2：分别取 ， 的中点为 ， ，连接 ，证明 ， ，进而证得面
面 ，从而证得 平面 ，得到 的值.
（1）
因为 为直三棱柱，故面 面 ，
又面 面 ，且 ，故 面 ，又 面 ，故
（2）
分别取 ， 的中点为 ， ，连接 ，
因为 ，故 为 的中位线， 为 的中位线，
因此 ，
又 面 ，故 面
又 为直三棱柱，故 ，即 ，
又 面 ，故 面
又 ，故面 面
又 面 ，故 平面 ，
此时
18．（2021·宁夏·银川市第六中学高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， .（1）求证： 平面 .
（2）求证：平面 平面 .（3）设点 为 的中点，在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3） 为 中点.证明见解析
【分析】
（1）证明 ， ，得到 平面 .
（2）根据 得到 平面 ，得到证明.
（3） 为 中点时， 平面 ， ， 平面 ，且 平面 ，得到答案.
（1）
平面 ， 平面 ，故 ， ， ，
故 平面 .
（2）
， 平面 ，故 平面 ， 平面 ，故平面 平面 .
（3）
当 为 中点时， 平面 .
证明如下： 为 中点， 为 的中点，故 ，
平面 ，且 平面 ，故 平面 .
19．（2021·陕西·西安中学高一阶段练习）如图所示，已知点P是平行四边形 所在平面外一点，
M，N，Q分别 ， ， 的中点，平面 平面 ．（1）证明平面 平面 ；
（2）求证： ．
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）由线面平行、面面平行的判定即可证明.
（2）利用线面平行的性质定理即可证明.
（1）
证明：因为M，N，Q分别 ， ， 的中点，所以 ，
又 平面ABCD, 平面ABCD,
所以 平面ABCD, 平面ABCD,
因为 ， 平面MNQ,
所以平面 平面 ，
（2）
证明：因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，所以 .
20．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯
形， ， ， ，平面 平面 ， ， ， 分别为 ，
的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意易知， 平面 ， 平面 ，根据面面平行的判定定理即可证出；
（2）根据平面知识可证 ，再根据面面垂直的性质定理可知 平面 ，即可根据面面垂直的判定定理证出．（1）
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平
面 ①；因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，即有 ，又 平面
， 平面 ，所以 平面 ②，由①②及 ， 平面 ，所以平
面 平面 ．
（2）
由（1）可知， ，所以 ，即有 ，而平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ．
21．（2021·山西吕梁·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥 中，底面 直角梯形，
， ， 是等边三角形，且 ， .
（1）设平面 平面 ，求证： 平面 ；
（2）若 ，求证：平面 平面 .
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【分析】
(1)利用线面平行的判定定理和性质即可证明；
(2)证明CD⊥AC，从而得到 平面 即可.
（1）
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）
作 ，垂足为M，
∵ ， ，∴ ，
又 ， ，∴四边形 为正方形，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
又 ， ， ， 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 .
22．（2021·全国·高一单元测试）如图所示，已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形， ，
，平面 平面ABCD，O，M分别为AB，FC的中点．（1）求证： ；
（2）求证： 平面DAF；
（3）若过EF的平面交BC于点G，交AD于点H，求证： ．
【答案】
（1）证明见详解
（2）证明见详解
（3）证明见详解.
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理证出 ，再由线面垂直的判定定理证明 平面 ，由线面垂
直的性质定理即可证明.
（2）取 的中点 ，连接 ，利用线面平行的判定定理即可证明.
（3）由面面平行的性质定理即可证明.
（1）
平面 平面ABCD，
平面 平面ABCD ，
在矩形ABCD中， ， 平面 ABCD，
平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
（2）
取 的中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
，且 ，， ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
平面DAF， 平面DAF，
平面DAF.
（3）
，
过直线 存在一个平面 ，
使得平面 平面ABCD，
又 过 的平面交 于 ，交 于 点，
平面ABCD，
，
23．（2020·广东揭东·高一期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，
， ， ， 为 与 的交点， 为棱 上一点
（1）证明： 平面 ；
（2）若 平面 ，求三棱锥 的体积.
【答案】
（1）证明见解析；
（2） .
【分析】（1）根据菱形性质和线面垂直性质可得 ， ，由线面垂直的判定可得结论；（2）连接 ，由线面平行性质可得 ，知 为 中点，由体积桥可得 ，
根据长度关系可求得结果.
（1）
四边形 为菱形， ；
平面 ， 平面 ， ；
平面 ， ， 平面 ；
（2）
连接 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ， ，
又 为 中点， 为 中点，
四边形 是菱形， ， ， ， ；
由（1）知： 平面 ，
.
24．（2021·全国·高一课时练习）在三棱柱 中，（1）若 分别是 的中点，求证：平面 平面 .
（2）若点 分别是 上的点，且平面 平面 ，试求 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【分析】
（1）先证明 平面 ，在证明 平面 ，即可证明平面 平面 ；
（2）连接 交 于O，连接 ，由题意先面面平行的性质证明 ，再由平行的性质结合题
设即可求解
【详解】
（1）∵ 分别是 的中点，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ， 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）连接 交 于O，连接 ，由平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 平面 ，∴ ，
则 ，
又由题设 ，∴ ，即 .
25．（2021·上海浦东新·高二期中）已知 是矩形 所在平面外一点， ， 分别是 ， 的中
点，求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】
解法1：取 中点 ，连接 ， ，由三角形中位线定理结合已知条件可得四边形 是平行四边
形，从而得 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论，
解法2：取 中点 ，连接 ， ，则由三角形中位线定理和平行四边形的性质可得 ，
，再由面面平行的判定定理可得平面 平面 ，然后由面面平行的性质可得结论
【详解】
解法（1）取 中点 ，连接 ， ，
是 中点， 是 中点， ， ，
是矩形 边 中点， ， ，
， ，所以四边形 是平行四边形，
，且 是平面 外的一条直线， 是平面 上的一条直线，
平面 .
解法（2）取 中点 ，连接 ， ，
是 中点， 是 中点，所以 ，
因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ,因为 ， ，
所以 ， ,
所以四边形 为平行四边形
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
因为
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 .
26．（2021·全国·高一课前预习）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形， 和
均为等腰直角三角形，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若点 为线段 上任意一点，求证： 平面 .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）证明出 平面 ，可得出 ，由已知条件得出 ，利用线面垂直、面面垂直的
判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面 平面 ，再利用面面平行的性质可证得 平面 .
【详解】
（1）因为 为矩形，所以 ，
又因为平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 平面
，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，即 ，且 、 平面 ， ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 和 均为等腰直角三角形，且 ，
所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 .
又因为 平面 ，所以 平面 .
27．（2021·全国·高二课时练习）如图，在直三棱柱 中， ， ，点
D，E，F分别为棱 ， ， 的中点．求证：
(1) 平面DEF；
(2)平面 平面DEF．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】
(1)首先证明平面 平面 ，然后利用面面平行的性质即可证明线面平行；(2)首先利用正方形性质证明 ，然后利用线面垂直判定定理和性质证明 ，进而证明 平面 ，最后利用面
面垂直的判定定理即可求解.
【详解】(1)连接 ，如下图：
因为点D，E，F分别为棱 ， ， 的中点，几何体 为直三棱柱，
所以 ， ，
又因为 ， ， ， 平面 ； ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 平面 .
(2) 因为 ，几何体 为直三棱柱，
所以四边形 为正方形，故 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ， ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .28．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱台 中，底面 为直角梯形， ，
， ， 为棱 的中点，证明： 平面 .【答案】证明见解析
【分析】
延长CC ，BB 交于点V，在BB 上取点Q，使 ，再连BD交AC于点O，连接OQ，证明
1 1 1
， 即可推理作答.
【详解】
在四棱台 中，在BB 上取点Q，使 ，连BD交AC于点O，连接OQ，如图，
1
延长CC ，BB 交于点V，由 ，则 ， ，
1 1
则 ，即 ，又 平面 ， 平面 ，于是得 平面 ，
在直角梯形 中， ，则 ，于是得 ，又 平面 ，
平面 ，则 平面 ，
又 ， 平面OQC，因此得平面 平面OQC，又 平面OQC，所以 平面 .
29．（2022·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中， 是矩形， 是正方形，点 为
的中点，求证： 平面 .【答案】证明见解析
【分析】
连AC交BD于点N，连MN，证明MN，BN都平行于平面EFC，再经推理论证即可作答.
【详解】
连接AC交BD于点N，连接MN，如图，
因四边形ABCD是正方形，则N为AC的中点，而M为AE的中点，于是得MN//CE，
又 平面EFC， 平面EFC，因此，MN//平面EFC，
在矩形 中， ， 平面EFC， 平面EFC，则BN//平面EFC，
而 ， 平面BMN，从而得平面BMN//平面EFC，又 平面BMN，
所以BM//平面EFC.
30．（2021·河南·高三阶段练习（文））如图所示，在四棱锥 中， ，
， 为等边三角形，且平面ADE 平面BCDE，F为棱AC的中点．
（1）求四棱锥 的体积；
（2）证明： ．【答案】
（1） ；
（2）证明见解析.
【分析】
(1)根据给定条件求出等腰梯形 的面积，取DE中点O，连AO，证得 平面 即可计算作答.
(2)利用(1)中信息，证得 平面 ，连FG，再证 平面 即可推理作答.
（1）
因 ， ，则四边形 是等腰梯形，取CD中点G，连BG，如图，
显然有 ， ，则四边形 是平行四边形， ，
于是得 是正三角形，等腰梯形 的高等于正 的高 ，
等腰梯形 的面积 ，
取DE中点O，连AO， 为等边三角形，则 ，而平面ADE 平面BCDE，
平面ADE，平面ADE 平面 ，因此， 平面 ，又 ，
从而有 ，
所以四棱锥 的体积是 .
（2）
由(1)知， ， ，
在 中， ，
于是得 ，即 ，即有 ，
又 平面 ， 平面 ，则 ，而 ， 平面 ，因此有 平面 ，而 平面 ，则 ，
连FG，因F为棱AC的中点，G为CD的中点，则 ，于是得 ，
又 ， 平面 ，从而得 平面 ，因 平面 ，所以 .
31．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））如图，直四棱柱 中，上下底面为
等腰梯形， ． ， ， 为线段 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 为线段 上一点，试确定点 的位置，使平面 平面 ．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）点 为 中点.
【分析】
(1)根据给定条件可得 ，利用勾股定理证明 即可证得平面 平面 .
(2)取 的中点 ，证明 和 ，利用面面平行的判定定理即可推理作答.
（1）
因为 为直四棱柱，则 平面 ，而 平面 ，于是得 ，
在 中， ， ，由余弦定理得，
，
因此， ，即 ，又 ， 平面 ，则 平面 ，又
平面 ，
所以平面 平面 .
（2）
当点 为 中点时，平面 平面 ，
连接 ，如图，在等腰梯形 中， ，
即 ，而 ，则四边形 为平行四边形，即有 ，
因 平面 ， 平面 ，则有 平面 ，
因为 ， ，则四边形 为平行四边形，有 ，而 平面 ，
平面 ，
因此， 平面 ，又 ，
所以平面 平面 .
32．（2021·贵州·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥 中，已知 ， ，
， ，且 平面 .
（1）证明：平面 平面 .
（2）若 是 上一点，且 平面 ，求三棱锥 的体积.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）利用线面垂直证明面面垂直；
（2）设过点 和 的平面交平面 于 ，根据线面平行的性质定理可证 为平行四边形，进而可得 及三棱锥体积.
（1）
证明：因为 ， ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）
解：如图，设过点 和 的平面交平面 于 ，点 在 上，连接 因为 平面 ，则
，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，所以 .
所以四边形 为平行四边形，则 .
过点 作 ，垂足为 ，则 平面 .
又 ， ，可得 ，
所以 .
33．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））如图1，正方形 中， ， ，将四
边形 沿 折起到四边形 的位置，使得 (如图2)．（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 分别为 的中点，求三棱锥 的体积．
【答案】
（1）见解析；
（2） ﹒
【分析】
（1）证明QM⊥AQ和QM⊥QP结合线面垂直、面面垂直的判定即可得证；
（2）根据几何关系，利用 ，由锥体体积公式即可得解.
（1）
∵在正方形 中， ， ，
∴QM⊥QP， ，
又∵∠AMQ＝60°，∴在△AMQ中，由余弦定理得，
，
，
，又∵ 平面ABPQ，∴ 平面ABPQ，
又∵QM平面MNPQ，∴平面 平面 ；
（2）由（1）知AQ⊥QM，QM⊥QP，
∵在正方形 中， ， ，
∴四边形CDMN为矩形
∴MN⊥AM，MN⊥DM，
∴MN⊥MQ，MN⊥MA，
∵MQ∩MA＝M，MQ、MA平面AMQ，∴MN⊥平面AMQ，
∵MN平面ABNM，∴平面ABNM⊥平面AMQ，
过Q作QH⊥AM于H，则QH⊥平面ABNM，即QH⊥平面BEF，
QH＝QMsin60°＝ ，
∴ ﹒
34．（2021·四川·凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文））图1是 ， ， ，
、 分别是边 、 上的两点，且 ，将 沿 折起使得 ，如图2.（1）证明：图2中， ；
（2）图2中，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【分析】
（1）证明得出 平面 ，利用线面垂直的性质可证得结论成立；
（2）证明出 平面 ，计算出 的面积，利用锥体的体积公式可求得结果.
（1）
证明：在图1中，因为 ，则 ， ，则 ，
在图（2）中，则有 ， ， ，则 平面 ，
平面 ，因此， .
（2）
解：在图1中，因为 ，则 ， ，
在图2中， 平面 ， ，则 平面 ，
因为 ，则 ，
故 .
35．（2021·广西玉林·模拟预测（文））如图所示的四棱锥 中，底面 为正方形，平面
平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
【答案】
（1）证明见解析；（2） .【分析】
(1)根据给定条件证得 及 即可推理作答.
(2)由给定条件可得点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 ，再借助三棱锥等体积法转化求
解即得.
（1）
在 中， ， 为 的中点，则 ，又平面 平面 ，
平而 平面 ， 平而 ，于是得 平面 ，
而 平面 ，则 ，又底面 是正方形， ， 分别是 ， 的中点，即
，
因 ， 平面 ，
所以 平而 .
（2）
因 为 的中点，则点 到平面 的距离是点 到平面 的距离的 ，如图，
因此， ，
所以三棱锥 的体积为 .
36．（2019·广东·顺德一中高二期中）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
平面 平面 ， ， 是 的中点.求证：（1） 底面 ；
（2） 平面 ．
【答案】
（1）证明见解析.
（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据面面垂直的性质定理，即可得证；
（2）根据已知条件可证 ，再由线面平行的判定定理，即可证明结论.
（1）
证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，且 ，平面 底面ABCD ，
所以PA⊥底面ABCD.
（2）
证明：因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，
所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD. ⊂
37．（2021·黑龙江·大庆中学高三期中（文））如图，在三棱柱 中，平面 平面
， 是 的中点．（1）证明： ；
（2）求三棱锥 的体积．
【答案】
（1）证明见解析.
（2） .
【分析】
（1）连接 ，由平面几何知识证得 ，根据面面垂直的性质可证得 ，再由线面垂直的
判定和性质可得证；
（2）运用等体积法 可求得三棱锥 的体积．
（1）
证明：在三棱柱 中，连接 ，
， ， ，
是等边 的边 的中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ， ，
又 平面 ， .（2）
（2）由（1）知 平面 ，
.
38．（2021·四川·高三阶段练习（文））如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面为直角梯
形， ， ，且 ， ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）过 ， ， 作四棱锥 的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积．
【答案】
（1）证明见解析
（2）作法和理由见解析；面积
【分析】
（1）由 平面 ，得到 ,再由 ，证得 ，利用线面垂直的判定定理，证
得 平面 ，得到 ，结合 ，进而证得 平面 ．
（2）过 作 ，交 于 ，连接 ，证得 ，得到过 ， ， 的截面为四边形 ，由（1）知证得 ，结合直角梯形的面积公式，即可求解.
（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ,
又因为 ， ，所以 ，
由 且 平面 ，所以 平面 ，
又由 平面 ，所以 ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ．
（2）
解：如图所示，过 作 ，交 于 ，连接 ，则截面为四边形 ．
理由如下：
因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，
所以过 ， ， 的截面为四边形 ，
由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
又由 ，
所以四边形 为直角梯形，其面积 ．
39．（2021·云南·高三阶段练习（文））已知ABCD是边长为2的正方形，平面 平面DEC，直线
AE，BE与平面DEC所成的角都为45°.（1）证明： .
（2）求四棱锥E-ABCD的体积V.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）已知平面 平面DEC， ，由面面垂直的性质定理即可证得线面垂直，进而证得结果；
（2）根据已知可求得 .取CD的中点O，连接OE，可证得 平面ABCD，根据四棱锥E-
ABCD的体积 .即可求得结果.
（1）
（1）证明：因为ABCD是正方形，所以 .
因为平面 平面DEC，平面 平面 ，
所以 平面DEC，
又 平面DEC，所以 .
（2）
解：因为 ，所以 平面DEC，则 和 分别是直线AE，BE与平面DEC所成的角，
即 ，
所以 .取CD的中点O，连接OE，所以 .
因为平面 平面DEC，平面 平面 ，所以 平面ABCD，即OE为四棱锥E-
ABCD的高，且 .
所以四棱锥E-ABCD的体积 .
