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第09讲 导数的运算及切线方程
【知识点总结】
一、基本概念
1、导数的概念
Δy
y=f (x) x=x
0
Δx→0 Δy Δx Δx
设函数 在 附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化
Δy
Δx y=f (x) x x
0
率）有极限，即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数 在 处的导数，记作
lim Δy lim f(x +Δx)−f(x ) lim f(x)−f(x )
f' (x 0 ) 或 y' | x=x 0 . 即 f' (x 0 )= Δx→0 Δx = Δx→0 0 Δx 0 = x→x 0 x−x 0 0 .
2、导数的几何意义
y=f (x) x f' (x ) y=f (x) P(x ,f (x )) PT
0 0 0 0
函数 在 处的导数 ，表示曲线 在点 处的切线 的斜率，即
tanα=f' (x 0 ) α P y−y 0 =f' (x 0 )(x−x 0 ).
，其中 为切线的倾斜角，如图所示，过点 的切线方程为
t=0 t
S=S(t). t
0
~t
1
3、导数的物理意义:设 时刻一车从某点出发，在 时刻车走了一定的距离 在 时刻，
S(t )−S(t )
1 0
,
S(t )−S(t ), t −t t t t
1 0 1 0 0 0 0
车走了 这一段时间里车的平均速度为 当 与 很接近时，该平均速度近似于
t ~t S' (t ) t
1 0 0 0
时刻的瞬时速度.若令 ，则可以认为 ，即 就是 时刻的瞬时速度.
二、基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式如表
y=f (x) y' =f' (x)
y=c y' =0
y=xn(x∈N¿) y=nxn−1
，n为正整数
y=xα (x>0,α≠0且α ∈Q) y' =αxα−1,α
为有理数y=ax (a>0,且a ≠1) y' =axlnay=log
a
x(a>0且a ≠1.x>0)
y' =
1
xlna
y=sinx y' =cosx
y=cosx y' =−sinx
注：
三、导数的运算法则（和、差、积、商）
设 均可导，则
（1） （2）
（3） （4）
注：
四、复合函数的导数
复合函数 的导数与函数 的导数之间具有关系 ，该关系用语
言表述就是“ 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积”，也就是先把 当作一个整体，
把 对 求导，再把 对 求导，这两者的乘积就是复合函数 对 的导数，
即 .
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，则曲线 在点 处
的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵ 的导数为 ，
∴ ．∵ ，∴曲线 在点 处的切线方程为 ，即
．故选：C．例2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知 为偶函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】
设 ，则 ， ，又 为偶函数，
∴ ，则对应导函数为 ，
∴ ，即所求的切线斜率为2.
故选：B
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C．10 D．20
【答案】D
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则f（x）所有的切线中斜率最小的切线方
程为___________.
【答案】4x﹣2y﹣3=0
【详解】
解：由 ，得 ，
由 ，当且仅当x=1时等号成立，
∴x=1满足题意，此时 ，又 ，∴所求切线方程为 ，即4x﹣2y﹣3=0.
故答案为：4x﹣2y﹣3=0.
例5．（2022·全国·高三专题练习）若直线y＝kx与曲线y＝e2x相切，则切点坐标为____．【答案】（ ，e）
【详解】
设切点的坐标为（m，n），
y＝e2x的导数为y′＝2e2x，
由切线方程y＝kx，
可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，
解得m ，n＝e，
即切点的坐标为（ ，e）．
故答案为：（ ，e）．
例6．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，则曲线 在点
处的切线方程是_______________________．
【答案】
【详解】
由题意得 ，将 与 分别代入，
得 ， ，
解得 ， ，而 ，
所以所求切线方程是 ，即 ．
故答案为：
例7．（2022·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【详解】（1）因为 ，则 ；
（2）因为 ，则 ；
（3）因为 ，则 ；
（4）因为 ，则
；
（5）因为 ，故 .
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 .
（1）求曲线S在点 处的切线方程；
（2）求过点 并与曲线S相切的直线方程.
【详解】
（1）∵ ，则 ，
∴当 时， ，
∴点 处的切线方程为： ，即 .
（2）设切点坐标为 ，则直线斜率 ，而 ，整理得：
∴ ，则 ，即有 ，解得
，
当 时： ，直线方程为 ；
当 时， ，直线方程为 ；当 时， ，直线方程为 .
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离 （米）与时间 （秒）的关系为
，则该物体在运动前2秒的平均速度为（ ）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D． 米/秒
【答案】C
【分析】
利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前 秒的平均速度为 ，进而可求得结果.
【详解】
∵ ，
∴该物体在运动前2秒的平均速度为 （米/秒）．
故选：C．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数几何意义和过两点的直线的斜率公式，结合图象即得结果.
【详解】
如图所示， 是函数 的图象在 （即点A）处切线的斜率 ， 是函数 的图象在
（即点B）处切线的斜率 ， 是割线 的斜率．由图象知, ，即 ．
故选:B．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））若函数 可导，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据导函数的定义得 ，根据 ，
即可求出结果.
【详解】
．
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ，若 ，则 （
）
A．36 B．12 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据函数 在 处的导数的定义将 变形为 即可求解.
【详解】
解：根据题意， ，则 ，则 ，若 ，则
，
则有 ，即 ，
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 的图象如下所示， 为 的导函数，根据图
象判断下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断 与 、 与 ，及其与0的大小关系.
【详解】
由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率，结合图象知： ，而 ，
故选：B.
6．（2022·浙江·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据导数的定义可直接化简求得结果.
【详解】.故选： .
【点睛】
本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求导，计算 ，即得解
【详解】
， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 ．
故选：B
8．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是[
)，则a=（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】
先求得 ，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是 ，得到 ，列出方程，即可求
解．
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，
又由曲线 的切线的倾斜角的取值范围是 ，
可得切线的斜率的取值范围是 ，所以 ，又因为 ，所以
解得 .故选：C．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线过点 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
求出函数 的导数，利用导数的几何意义结合切线经过的两点列式求解即得.
【详解】
依题意， ， ，
因函数 的图象在点 处的切线过点 ，于是得 ，解得 ，
所以 .
故选：C
10．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
利用 在点 处的切线方程为 可得 然后利用导数的几何意义求 切线斜率
即可.
【详解】
因为 ，所以 ．又曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ，所以 ，即曲线 在点 处的切线的斜率为4．
故选：A.
11．（2022·全国·高三专题练习）曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D． 或
【答案】D【分析】
可求得切线的斜率 ，即 ，可得解
【详解】
切线的斜率 ，
设切点 的坐标为 ，则 ．
又∵ ，∴ ，解得 或 ，
∴切点 的坐标为 或 ．
故选：D
12．（2022·全国·高三专题练习）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小
值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
求出平行于直线 且与曲线 相切直线的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求
解.
【详解】
设平行于直线 且与曲线 相切的直线切点为 ，
由 ，则 ，
令 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
由 ，可得 ，即切点坐标为 ，
又由点到直线 的距离公式，可得 ，即点P到直线 的距离的最小值为 .
故选：B.
13．（2022·全国·高三专题练习（文））曲线 在 处的切线如图所示，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出切线方程，利用导数的几何意义求出 的值，利用切线方程求出 的值，进而可求得
的值.
【详解】
设曲线 在 处的切线方程为 ，则 ，解得 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为 ，所以， ， ，
因此， .
故选：C.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））直线 与曲线 相切于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将切点坐标代入切线方程可求得 ，根据 得到 ；将切点坐标代入 得到 ；由此可求得结果.
【详解】
为切点， ，解得： ，
， ，又 ， .故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习（文））直线 是曲线 的一条切线，则实数k的值为（
）
A． B． C．1 D．【答案】A
【分析】
设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线方程，再根据切线过定点 ，即可求出 ，
从而求出切线的斜率；
【详解】
解：设切点为 ，
由 ，得 ，则 ，
则曲线在切点处的切线方程为 ，
由已知可得，切线过定点 ，
代入切线方程可得： ，解得 ，
则 .
故选：A.
16．（2022·全国·高三专题练习）动点P，Q分别在函数 ， 的图象上运动，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，当过P点的切线与直线 平行时，切线与直线 的距离即为所求，再根据导数
的几何意义求解即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ，设动点 ，
当 在P点处切线与 平行，
过点P作直线垂线，垂足为点Q时， 取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线 的距离是 的最小值.
令 ，解得 ，故 ，
所以 .
故选：C
17．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线 在点 处的切线也是曲线 的一
条切线，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据导数的几何意义可求得 在 点处的切线方程，设其与 相切于点 ，由切线斜率可
求得 ，利用两点连线斜率公式构造方程求得 .
【详解】
， ， ， ，
在点 处的切线方程为： ；
设 与 相切于点 ，则 ，解得： ，
又 ， ，解得： .
故选：C.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线方程是
，那么 （ ）
A．2 B．1 C． D．【答案】D
【分析】
根据导数的几何意义确定斜率与切点即可求解答案.
【详解】
因为 ，所以 ，因此切线方程的斜率 ，所以有 ，得 ，
又切点在切线上，可得切点坐标为 ，
将切点代入 中，有 ，得 ，
所以 .
故选：D.
19．（2022·全国·高三专题练习）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处
有相同的切线，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数的几何意义可知 ，可求得 ；根据 为两曲线公共点可构造方程求得 ，代
入可得结果.
【详解】
， ， ， ， ，
又 为 与 公共点， ， ，解得： ，
.
故选：D.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在区间 上的函数 ， ，若
以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（ ）
A．2 B．5 C．1 D．0
【答案】C
【分析】
设两曲线 与 公共点为 ，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公
共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数 ，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线 与 公共点为 ，其中 ，
由 ，可得 ，则切线的斜率为 ，
由 ，可得 ，则切线的斜率为 ，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以 ，解得 或 （舍去），
又由 ，即公共点的坐标为 ，
将点 代入 ，可得 .
故选：C.
21．（2022·全国·高三专题练习（理））设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线的倾
斜角的取值范围为 ，则点 横坐标的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ,又因为曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为 ，则切线的斜率 ，
所以 ,解得 ，故选A.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
求出导数后，把 x=e代入，即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：C．
23．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ，…， ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别求解 ，归纳可得 ，即得解
【详解】
， ， ，
， ，
所以 （ ）．
故 ．
故选：A
24．（2022·全国·高三专题练习）设 ，且 ，则常数 的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
求出函数 的导函数，再根据给定等式列式即可求得常数 .
【详解】
由 得， ，
依题意得， ，解得 ，
所以常数 的值为 .
故选：B
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人
体血管中的药物浓度进行测量，甲、乙两人服用该药物后，血管中的药物浓度 （单位： ）随时间（单位： ）变化的关系如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）A．在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同
B．在 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率相同
C．在 这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率相同
D．在 ， 两个时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率不相同
【答案】ACD
【分析】
根据已知血管中的药物浓度 随时间 变化图象，结合瞬时变化率、平均变化率的概念判断各选项的正误.
【详解】
A：在 时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，正确；
B：两条曲线在 时刻的切线的斜率不相等，所以甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同，错
误；
C：根据平均变化率公式，可知在 这个时间段内，甲、乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都是
，正确；
D：在 时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变化率是 ，在 时间段内，甲血管中的药物
浓度的平均变化率是 ，显然不相等，正确．
故选：ACD．26．（2022·全国·高三专题练习）若直线 是函数 图像的一条切线，则函数 可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求得已知直线的斜率 ，对选项中的函数分别求导，可令导数为 ，解方程即可判断结论
【详解】
解：直线 的斜率为 ，
由 的导数为 ，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由 的导数为 ，而 ，解得 ，故B正确；
由 的导数为 ，而 有解，故C正确；
由 的导数为 ，而 ，解得 ，故D正确，
故选：BCD
【点睛】
此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题
27．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
直接利用常见函数的求导公式和导数的四则运算即可计算.
【详解】
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．故选ACD．三、填空题
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上的平均变化率为 ，则 在区间
上的平均变化率为______．
【答案】
【分析】
根据函数平均变化率公式进行化简并计算得到 ，代入 中得到函数 表达式，再根据函数平
均变化率公式求 在区间 上的平均变化率.
【详解】
函数 在区间 上的平均变化率为 , ， ，
,所以 在区间 上的平均变化率为 ．
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处的瞬时变化率为 ，则
______．
【答案】9
【分析】
利用导数的定义求导函数，结合已知求参数 ，进而可求 .
【详解】
由题知， ，得 ，∴ ．
故答案为：9
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 所有的切线中斜率最小的切线方程
为_________.
【答案】
【分析】
求得函数导数，由基本不等关系求得导数的最小值，即函数所有切线中斜率最小值，进而求得切线方程.
【详解】
由 ， ，
则 ， 时等号成立，
则函数 所有切线中斜率最小为3，且过点 ，
则切线方程为
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）曲线 的一条切线过点 ，则该切线的斜率为_______．
【答案】
【分析】
设切点坐标为 ，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入 ，求切点坐标，切线的
斜率．
【详解】
由 ，设切线斜率为 ，切点横坐标为 ，则 ，得 ，所以
故答案为：
32．（2022·浙江·高三专题练习）曲线 上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是
________．
【答案】
【分析】
求出导数，可得导函数的值域即为倾斜角的正切值取值范围，即可得出倾斜角范围.
【详解】由 可得 ，
设点P处切线的倾斜角为 ，则可得 ，
，则可得 .
故答案为： .
33．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 ，则曲线 在点处的切线方程是______．
【答案】
【分析】
利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】
令 ，得 ．对 求导，得 ，
所以 ，故曲线 在点 处的切线方程为 ．
故答案为： .
34．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)＝x2，则过点P(－1，0)，曲线y＝f(x)的切线方程为__________
【答案】 或
【分析】
首先判断 不在曲线 上，设出切点坐标，利用导数求得斜率，由此列方程求得切点的横坐标，进
而求得切线的斜率，由此求得切线方程.
【详解】
点P(－1，0)不在f(x)＝x2上，设切点坐标为(x， )，由f(x)＝x2可得 ，
0
∴切线的斜率 .切线方程为 .
∵切线过点P(－1，0)，∴k＝ ＝2x，解得x＝0或x＝－2，
0 0 0
∴k＝0或－4，故所求切线方程为y＝0或4x＋y＋4＝0.
故答案为： 或
35．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，若直线 过点 ，并且与曲线
相切，则直线l的方程为______________．
【答案】
【分析】
设出切点坐标 ，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线 过点 ，可求出 ，进而求出结果．【详解】
∵点 不在曲线 上，设切点坐标为 ．
又∵ ，所以
∴ 在 处的切线方程为 ，
∵切线 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的方程为： ，即直线方程为 .
故答案为： ．
【点睛】
方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点 及斜率，其求法为：设 是曲线
上的一点，则以 的切点的切线方程为： ．若曲线 在点 的切
线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线与直线
平行．则 ______．
【答案】0
【分析】
由 ， 求得 ，由此求得 .
【详解】
在 图象上， ，
的斜率为 ，
， ，
所以 .所以 .
故答案为：
37．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若直线 函数
， 的图象均相切，则 的值为________.【答案】
【分析】
设直线 与函数 的图像相切的切点为 ，
求得 的导数，可得切线的斜率，进而得到切点和切线方程，联立 ，利用判别式为0即可解出a.
【详解】
设直线 与函数 的图像相切的切点为 ，
由 可得 ，即切点为 ，
则 ，所以切线方程为 ；
联立 ，可得 ，
由题意可得 ，解得 .
故答案为：
38．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象在点P处的切线方程是： ，若点P的横坐
标为5，则 ______.
【答案】
【分析】
利用切线的斜率求得 ，利用切点求得 .
【详解】
由于切线方程是 ，所以 ，
由于切点在切线上， ，即 ，
所以 .
故答案为：
39．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象在点 处的切线与直线垂直，则a的值为___________
【答案】
【分析】
根据点Ｐ在函数的图象上，求得ｂ的值，得到 ，利用导数的几何意义和直线垂直的条件求得 ．
【详解】
由已知可得 在函数 的图象上，所以 ，即 ，解得 ，所以
，故 .则函数 的图象在点 处的切线的斜率 ，因为切
线与直线 垂直，所以 ，
即 .
故答案为： .
40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 处的切线方程为
，则 ___.
【答案】
【分析】
根据导数的几何意义可知 ，又 在切线上，可解得 的值，进而可求 的值.
【详解】
由 ，得 ，
， ，
又切线方程为： ，即 ，
故 ，
解得 ，
故 ， ，
即 ，
故答案为： .
41．（2022·全国·高三专题练习（理））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代
曲”的近似计算，用正 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似
代替在切点附近的曲线来近似计算．设 ，则 ________，其在点 处的切线方程为
________．【答案】
【分析】
利用复合函数的求导法则可求得 ，利用导数的几何意义可求得曲线 在点 处的切线方程.
【详解】
，故 ，则 .
故曲线 在点 处的切线方程为 .
故答案为： ； .
42．（2022·全国·高三专题练习）设f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e，f′（﹣1）＝ ，则a+b＝__．
【答案】1
【分析】
可求出导函数 ,然后根据条件可得出关于a，b的方程组，解出a，b即可．
【详解】
解：∵ ，
∴ ＝ae+b＝e①，
②，
联合①②解得 ，
∴a+b＝1．
故答案为：1．
四、解答题
43．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：
（1）y=x（x2 ）；（2）y=（ 1）（ 1）；
（3）y=xtanx；
（4）y=x﹣sin cos ；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.
【答案】（1）y′=3x2 ；（2）y′ ；（3）y′ ；
（4）y′=1 cosx；（5）y′ axlna.
【分析】
根据导数的公式，分别进行求解即可.
【详解】
根据导数的公式，分别进行求解即可.
解：（1）y=x（x2 ）=x3+1 ；则函数的导数y′=3x2 .
（2）y=（ 1）（ 1）=1 ，则y′ ；
（3）y=xtanx ，
则y′
；
（4）y=x﹣sin sinx；
则y′=1 cosx.
（5）y′ axlna.
故答案为：（1）y′=3x2 ；（2）y′ ；（3）y′ ；
（4）y′=1 cosx；（5）y′ axlna.
44．（2022·全国·高三专题练习（文））下列函数的导函数
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
.
【分析】直接根据求导公式及导数的运算法则即可求出（1）（3）（4）的导数；利用二倍角公式化简（2）中的函
数解析式，再利用求导公式及导数的运算法则进行求导.
【详解】
（1）因为 ，所以 ；
（2）因为 ，所以 ；
（3）因为 ，所以 ；
（4）因为 ，所以 .
45．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的导数
（1） ；
（2）
（3） ；
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
.
【分析】
根据初等函数的导数公式及导数运算法则逐个求导.
【详解】
（1） ；
（2） ；
（3） ；（4） .
【点睛】
本题考查导数的计算，涉及基本初等函数的导数公式及导数运算法则，属于基础题.
46．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 .
（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点 处的切线方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；
（2）求出切点坐标与切线斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
（1）因为 ，则 ；
（2）所求切线斜率为 ，当 时， ，切点坐标为 ，
因此，函数 的图象在点 处的切线方程为 .
47．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））已知函数 的图象在
处的切线方程为 ．求实数 ， 的值；
【答案】 ； ．
【分析】
利用导数的几何意义进行求解即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ．
由题知 ，解得 ．
因此 ，而 ，
于是 ，解得 ．
所以 ； ．
48．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 ，当 时，曲线 存在垂直于
轴的切线，求 的取值范围.
【答案】 .
【分析】曲线 存在垂直于 轴的切线等价于 有根，用根的判别式求得 的取值范围.
【详解】当 时， ， ，
∵曲线 存在垂直于 轴的切线
∴ 有根，即 有解，只需 ，解得： 或
故 的取值范围为 .
49．（2021·福建晋江·高三阶段练习）已知曲线 上一点 ，过点 作直线 ．
（1）求与曲线 相切且以 为切点的直线 的方程；
（2）求与曲线 相切且切点异于点 的直线 的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用导数的定义求 的导函数，进而求出 点处的斜率，写出切线方程.
（2）设切点为 ，由（1）所得导函数求斜率，写出含参的切线方程，由点在切线上求
参数，即可写出切线方程.
【详解】
（1） ，
当 时， ，
∴ ，则与曲线 相切且以 为切点的直线 的斜率 ，
∴所求直线 的方程为 ．
（2）设切点坐标为 ，则由（1）知直线 的斜率 ，
∴直线 的方程为 ，又直线 过点 ，∴ ，解得 （舍去）或 ．
∴所求直线的斜率的 ，故直线 的方程为 ，即 ．
