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第37讲 圆锥曲线常规解答题
【知识点总结】
一、直线 与圆锥曲线 的位置关系的判断
判断直线 与圆锥曲线 的位置关系时,通常将直线 的方程
代入圆锥曲线 的方程 ,消去 (也可以消去 )得到关系一个变量的
一元二次方程,,即 ,消去 后得
(1)当 时,即得到一个一元一次方程,则 与 相交,且只有一个交点,此时,
若 为双曲线,则直线 与双曲线的渐近线平行;若 为抛物线,则直线 与抛物线
的对称轴平行
(2) 当 时, ,直线 与曲线 有两个不同的交点; ,直线 与曲
线 相切,即有唯一的公共点(切点); ,直线 与曲线
二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直 线 , 曲 线 为 与 的 两 个 不 同 的 交 点 , 坐 标 分 别 为
,则 是方程组 的两组解,
方程组消元后化为关于 的一元二次方程 ( ) ,判别式
,应有 ,所以 是方程 的根,由根与系数关
系(韦达定理)求出 , 所以 两点间的距离为
,即弦长公式,弦长
公式也可以写成关于 的形式
三、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，
具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量.
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值.四、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求
函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.
五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).
【典型例题】
例1．（2020·全国·高三专题练习）设抛物线 ： 的焦点为 ， 是 上的点．
（1）求 的方程：
（2）若直线 ： 与 交于 ， 两点，且 ，求 的值．
【详解】
（1）因为 是 上的点，
所以 ，
因为 ，解得 ，
抛物线 的方程为 .
（2）设 ， ，
由 得 ，
则 ， ，
由抛物线的定义知， ， ，
则 ，
，
，解得 .
例2．（2020·全国·高三专题练习）已知椭圆 过点 ，离心率 .
（1）求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆相交于A、B两点，求 .
【详解】
解：（1）由题意得 ， ，
结合 ，解得
所以椭圆的方程为： .
（2）由 得
即 ，经验证 .
设 ， .
所以 ， ，
故
因为点M到直线 的距离 ，
所以 .
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的方程，弦长公式等，考查运算能力，是基础题.
例3．（2021·宁夏·海原县第一中学高三期末（理））设椭圆 过点 ，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点 且以M点为中点的弦的方程．
【详解】（1）将 代入C的方程得 ，
∴ =4，又 得 ，
即 ，∴ ，∴C的方程为 ．
（2）设直线与C的交点为A ，B ，代入椭圆方程得，作差化简可得 ，即 ，又 ，
则 ，
以M点为中点的弦的方程: ,即： .
例4．（2021·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）已知双曲线 的离心率为2．
（1）求双曲线E的方程；
（2）设点P(0，－3)，过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B，求直线PA，PB的斜率之和．
【解析】
（1）由 ，则 ，
因为 ，解得 ，
所以 ，
所以双曲线E的方程为 .
（2）过点 的直线 斜率显然存在，
设 的方程为： ， ， ，
将 的方程代入双曲线 的方程并整理得
依题意 ，且 ，
所以 且 ，
因此，可得 ， .例5．（2021·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系 中，设点 ，直线 ： ，点
在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点， ， ．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）直线 与曲线 交于 ， 两点， 是否为定值，若是求出该定值，若不是说明
【详解】
（1） 是线段 与 轴的交点，直线 和 轴平行，则 是线段 的中点，如图：
又 ，于是 是线段 的中垂线，即得 ，
而 ，动点 到点 的距离等于到直线 的距离，动点 的轨迹是开口向右的抛物线，
是焦点， 是准线，依题意动点 不能与 重合，
故动点 的轨迹 的方程 ；
（2）设 ， ， ， ，
由 得 ，则 ， ，
则有 ，
所以 为定值 ．
例6．（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的两点
A，B，且l不过原点．
（1）若 ＝－4，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；（2）若OA⊥OB，证明直线l必过定点，并求出定点坐标；
（3）若直线l始终过点(1，0)，证明： 为定值，并求定值．
【详解】
（1）设l：x＝ty＋b，代入y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝4t，yy＝－4b.
1 1 2 2 1 2 1 2
而 ＝xx＋yy＝(ty ＋b)(ty ＋b)＋yy＝(t2＋1)yy＋bt(y＋y)＋b2＝b2－4b
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
令b2－4b＝－4，∴b＝2.直线l过定点(2，0)．
（2）若 ，则 ＝0，即b2－4b＝0，∴b＝4或b＝0(舍)
∴直线l：x＝ty＋4，过定点(4，0)．
（3）设l：x＝ty＋1，代入y2＝4x得y2－4ty－4＝0，∴y＋y＝4t，yy＝－4
1 2 1 2
＝(t2＋1)yy＋t(y＋y)＋1＝－4(t2＋1)＋4t2＋1＝－3(定值)
1 2 1 2
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 的长轴是圆
的直径.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的直线 ， ，其中 交椭圆 于 ， 两点， 交圆 于 ，
两点，求四边形 面积的取值范围.
【详解】
（1）因为椭圆的离心率为 ，椭圆 的长轴是圆 的直径.
所以 ，
解得 ，
所以椭圆 的标准方程 ；
（2）由（1）知椭圆 的右焦点 ，
当直线 的斜率不存在时， ，四边形 面积我i ，当直线 的斜率为0时， ，四边形 面积为 ，
当直线 的斜率存在且不为0时，设方程为 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，此时 的方程为 ，坐标原点到 的距离为 ，
则 ，
所以四边形 面积为 ，
，
综上：四边形 面积的取值范围是 .
【技能提升训练】
1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的长轴在 轴上，长轴长为4，离心率为 ，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线 与椭圆交于 两点，求 两点的距离.
【答案】（1） ，短轴长为 ，焦距为 ；（2） .
【分析】
（1）由长轴得 ，再由离心率求得 ，从而可得 后可得椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离．
【详解】
（1）由已知： ， ，
故 ， ，
则椭圆的方程为： ，
所以椭圆的短轴长为 ，焦距为 .（2）联立 ，解得 ， ，
所以 ， ，
故 ．
2．（2021·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知椭圆 ，直线 过点 与椭圆 交于
两点 ， 为坐标原点.（1）设 为 的中点，当直线 的斜率为 时，求线段 的长；
（2）当△ 面积等于 时，求直线 的斜率.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）先求出 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达定理，可求出 的坐标，
进而利用两点间的距离公式可求出答案；
（2）易知直线 斜率存在，可表示出 的方程，与椭圆方程联立，得到关于 的一元二次方程，结合韦达
定理，进而求出 的表达式，及点 到直线 的距离 的表达式，结合 ，可求出直线
的斜率.
【详解】
（1）因为直线l过 ，斜率为 ，所以 ： .
联立 ，得到 .
由韦达定理，有 ，
设 ，则 ， ，
所以 ， .
（2）由题意，可知直线 斜率存在，设斜率为 ，则为 ： ，
联立 ，得到 ，由韦达定理，有 ，
O到直线l的距离为 ，.
则 .
所以 ，化简得 ，解得 ，
所以直线 ： 或 .
3．（2020·全国·高三专题练习）经过椭圆 的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相
1
交于A，B两点，求AB的长.
【答案】
【分析】
求出椭圆的左焦点 ，根据点斜式设出 方程，联立直线方程与椭圆方程消去 ，利用根与系数的
关系和弦长公式即可算出弦 的长．
【详解】
椭圆方程为 ，
焦点分别为 ， ，
直线 过左焦点 倾斜角为 ，
直线 的方程为 ，
将 方程与椭圆方程消去 ，得
设 ， ， ， ，可得，
因此， ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算
能力.
4．（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）椭圆 的左右焦点分别为 ， ，焦
距为 ， 为原点.椭圆 上任意一点到 ， 距离之和为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的斜率为2的直线 交椭圆 于 ､ 两点，求 的面积.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据 ，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程；
（2）求出直线 的方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出 的长度，再根据点到直线的距离公
式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果.
（1）
由题意可得 ， ，∴ ， ， ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）
直线l的方程为 ，
代入椭圆方程得 ，设 ， ，
则 ， ， ，
∴ ，又∵点O到直线AB的距离 ，
∴ ，
即△OAB的面积为 .5．（2021·全国·高三专题练习）已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆
恰好过 两点
②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，过
点 作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，若直线 与椭圆相交于 ､ 两点，求 的最值.
【答案】（1）详见解析；
（2） 的面积最大值为1.
【分析】
（1）由①②题意得 ，推出 ，利用已知条件列出方程组即可求解得到椭圆方程.
（2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可以求得 ，然后利用点到直线的距离求得三角形的高，便
可求得三角的面积，再利用代换法和基本不等式求得面积最大值.
【详解】
（1）选择条件①：由题意得 ，由已知条件
，故M轨迹为椭圆，标准方程为 .选择条件②： ∥
故又
所以根据椭圆的定义可得M点是以 ， 为焦点的椭圆
其中
又直线与 轴不重合，故M不在x轴上，故
则M点的轨迹方程为： 不是椭圆
综上，选择条件①所得的椭圆方程为
（2） 直线 与椭圆相交于 ､ 两点
，即
又O到PQ的距离为
所以 的面积为
设 ，
当且仅当 时等号成立，且满足 ，所以， 的面积最大值为1.6．（2021·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）点 与定点 的距离和它到定直线
的距离的比是 ．
（1）求点 的轨迹方程．
（2）求轨迹 的以 为中点的弦所在直线方程．
【答案】
（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据已知条件可得出关于 、 的等式，化简可得出点 的轨迹方程；
（2）设轨迹 的以 为中点的弦为 ，设点 、 ，利用点差法可求得直线 的斜率，
利用点斜式可得出所求直线的方程.
（1）
解：由已知可得 ，化简可得 ，
因此，点 的轨迹方程为 .
（2）
解：设轨迹 的以 为中点的弦为 ，设点 、 .
若直线 的斜率不存在时，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意.
所以直线 的斜率存在时，由已知可得 ，
由于点 、 都在轨迹 上，则 ，
上述两个等式作差得 ，即 ，
所以，直线 的斜率为 ，
因此，直线 的方程为 ，即 .
7．（2022·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，离心
率为 ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点， 的中点坐标为 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【分析】
（1）设 ， ， ， ，代入椭圆的方程相减可求得直线斜率与中点坐标之间的关系，由此得
，从而可得椭圆的方程；
（2）联立方程得到两个交点的纵坐标，即可得到三角形的面积.
（1）
设 ， ， ， ，可得 ， ，
两式相减得 ，
将 ， 代入上式，
即 ，
又 ，
∴ ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
∴ ， ，
∴椭圆 的标准方程 ；
（2）
由 ，整理得 ，
∴ ，∴ ，
∴ .∴ 的面积为 .
8．（2021·全国·高三专题练习（理））已知焦点在 轴上的椭圆 ： ，短轴长为 ，
椭圆左顶点到左焦点的距离为 ．（1）求椭圆 的标准方程；
（2）如图，已知点 ，点 是椭圆的右顶点，直线 与椭圆 交于不同的两点 ， 两点都在
轴上方，且 ．证明直线 过定点，并求出该定点坐标．
【答案】（1） ；（2）证明见解析， .
【分析】
（1）利用已知和 的关系，列方程组可得椭圆 的标准方程；
（2）直线 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得 ，利用根与系
数的关系代入化简，可得直线 所过定点．
【详解】
（1）由 得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，直线 与椭圆 交于不同的两点分布在 轴两侧，不合题意.
所以直线 斜率存在，设直线 的方程为 .
设 、 ，
由 得 ，
所以 ， .
因为 ，所以 ，即 ，整理得
化简得 ，
所以直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 .
9．（2021·全国·高三专题练习）已知直线 半径为 的圆 与直线 相切,圆心 在 轴上且
在直线 的上方.
（1）求圆 的方程;
（2）设过点 的直线 被圆 截得弦长等于 ,求直线 的方程;
（3）过点 的直线与圆交于 两点（ 在 轴上方）,问在 轴正半轴上是否存在点 ,使得 轴平
分 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1） ;（2） 或 ;（3）当点 ,能使得 总成立.
【分析】
（1）设出圆心 坐标根据直线与圆 相切,得到圆心到直线的距离 ,确定出圆心 坐标,即可得出圆
方程;
（2）根据垂径定理及勾股定理,由过点 的直线 被圆 截得的弦长等于 ,分直线 斜率存在与不
存在两种情况求出直线 的方程即可;
（3）当直线 轴则 轴平分 ,当直线 斜率存在时,设直线 方程为 ,联立圆与直
线方程消去 得到关于 的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,由若 轴平分 ,则
,求出 的值,确定出此时 坐标即可.
【详解】
解:（1）设圆心 ,
因为直线 ,半径为 的圆 与相切,,即 ,解得 或 （舍去）,
则圆 方程为: .
（2）由题意可知圆心 到直线 的距离为
若直线 斜率不存在,则直线 ,圆心 到直线 的距离为1;若直线 斜率存在,设直线 ,即 ,
则有 ,即 ,此时直线 ,
综上直线 的方程为 或 ;
（3）当直线 轴,则 轴平分 ,若 轴平分 ,
则 ,即 ,
整理得: ,
即 ,
解得: ,
当点 ,能使得 总成立.
【点睛】
此题考查了直线与圆的方程的应用,涉及的知识有:垂径定理,勾股定理圆的标准方程,点到直线的距离公式,以
及斜率的计算,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
10．（2017·陕西渭南·二模（理））已知 是椭圆 上关于原点 对称的任意两点，
且点 都不在 轴上.
（1）若 ，求证: 直线 和 的斜率之积为定值；
（2）若椭圆长轴长为 ，点 在椭圆 上，设 是椭圆上异于点 的任意两点，且 .问直
线 是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）直线 恒定过点 .
【详解】
试题分析：（1）设 ，则 ， 将坐标带入椭圆化简即可；
（2）设直线 ，与椭圆联立得 ，设 ，由 ,韦达定理代入得 ，直线 恒定过点 ，当直
线 斜率 ，易得成立.
试题解析：(1) 由题意设 ，则 ，所以有 ，又因为
,所以 ,(定值).
(2) 直线 过点 ，理由如下: ① 当直线 斜率 ，易得 ,
直线 的方程为 . 直线 过点 .②由已知，椭圆 方程为 ，设直线
，则 ，设 ，则
,，
， ，
或 (舍去), 方程为 ，则直线 恒定过点 ，
综上所述，直线 恒定过点 .
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该
问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求
定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显
现.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： (a＞b＞0)的右焦点F 与抛物线y2＝4x的焦点重
2
合，且其离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程．（2）已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：k ·k (O为坐标原点)是
MN OP
否为定值？请说明理由．
【答案】
（1） ；
（2）k ·k 为定值，定值为 ；理由见解析
MN OP
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合抛物线焦点坐标公式进行求解即可；
（2）把直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式、中点坐标公式进行
求解证明即可.
（1）
∵抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，
∴椭圆C的半焦距c＝1，
又椭圆的离心率 ， ，
因此椭圆C的方程为 ；
（2）
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m，
将y＝kx＋m代入 ，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
Δ＞0，可得m2＜4k2＋3．设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
，
因为线段MN中点为P，所以 ，
因此 ，
所以k ·k .
MN OP
12．（2021·全国·高三专题练习）已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆
恰好过 两点②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，过
点作 的平行线交 于 ，判断点 的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆 的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆 的标准方程，记 ， 分别是椭圆 左､右顶点，若 是椭圆 上的动点，
判断 是否为定值，并说明理由.
【答案】（1）选①得到的椭圆方程为 ，选②得到的椭圆方程为 ；（2）
是定值，理由见解析.
【分析】
（1）若选①，由条件可得 ，然后利用定义可求出 的值，然后可得答案；若
选②，由条件可得 ，然后 ，然后可算出答案；
（2） ， ，设 ，则 ，然后可算出 的值.
【详解】
（1）若选①，因为矩形 的长为 ，宽为 ，所以
所以 ，
所以
所以椭圆 的标准方程为
若选②，因为 ，所以 ，因为 ，所以
所以 ，所以
所以
所以点 的轨迹是以 为焦点的椭圆（挖去左右顶点），其中所以 ，所以其方程为（2）因为 ， 分别是椭圆 左､右顶点， 是椭圆 上的动点，
所以 ， ，设 ，则
所以
所以 是定值.
13．（2021·陕西·西安中学高三阶段练习（理））如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，
点P(1，2)，A(x，y)，B(x，y)均在抛物线上．
1 1 2 2
（1）求抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．【答案】（1）抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1；（2）证明见解析．【分析】
（1）将点P(1，2)代入抛物线方程即可求出p＝2，再由抛物线标准方程形式得出准线即.
（2）由题意可得k ＝－k ，从而可得 ，结合抛物线方程可得y＋y＝－4，再由k ＝
PA PB 1 2 AB
即可求解.
【详解】
（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．
（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以k ＝－k ，即 ＝－ ．
PA PB
又A(x，y)，B(x，y)均在抛物线上，
1 1 2 2
所以x＝ ，x＝ ，
1 2
从而有 ，即 ，得y＋y＝－4，
1 2
故直线AB的斜率k ＝ ．
AB
14．（2022·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 不垂直于 轴的任意一条弦， 是
的中点， 为椭圆的中心.求证：直线 和直线 的斜率之积是定值.
【答案】证明见解析
【分析】
根据点 是弦 的中点，利用点差法求解.
【详解】
设 ，且 ，则 ，（1） ，（2）
得： ，
，.
又 ，
，
（定值）.
15．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（理））已知椭圆 ： （ ， ），离心率
为 ，且点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 上的任意一点 （除短轴的端点外）与短轴的两个端点 ， 的连线分别与 轴交于 ，
两点，求证 为定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据椭圆的离心率及所过的点，列方程组求参数 、 ，写出椭圆方程.
（2）设 ，写出直线 、 的方程，可求 ， 的坐标，进而可得 关于 的关
系式，根据 在椭圆上即可证结论.
【详解】
（1）由题设， ，可得 ，故椭圆方程为 .（2）由题意，若 ， ，设椭圆上任意一点 ，
∴直线 的方程为 ；直线 的方程为 ，
令 ，得 ， ．
∴ 为定值，得证．16．（2021·山西运城·模拟预测（理））已知 在抛物线 ： 上.
（1）求抛物线 的方程；
（2） ， 是抛物线 上的两个动点，如果直线 的斜率与直线 的斜率之和为2，证明：直线 过
定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
(1)把点P的坐标代入即可得解；
(2)设出直线AB方程，联立直线AB与抛物线C的方程组，借助韦达定理及直线PA与PB斜率和为2即可
得解.
【详解】
（1）将 点坐标代入抛物线方程 得 ，即 ，
所以抛物线 的方程为 ；
（2）设 ： ，将 的方程与 联立得 ，
，
设 ， ，则 ， ，
，同理： ，
由题意： ， ，
解得 ，有 ，即 ，
故直线 ： 恒过定点 .
17．（2021·江苏·高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆 的离心率e＝ ，F，F 分别
1 2
是椭圆的左、右焦点，B，B 分别是椭圆的上、下顶点，P是椭圆上任意一点（不与B，B，重合），O
1 2 1 2
为坐标原点．（1）若线段PF 的中点在y轴上，求 的值；
1
（2）若直线PB，PB 分别与x轴交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值．
1 2【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由椭圆的方程可得a的值，再由离心率的值可得c的值，再由a，b，c的关系求b的值，进而可得椭
圆的方程，由题意可得PF⊥x轴，可得P的坐标可得|PF|，|PF|的值，可得 的值；
2 1 2
（2）由（1）可得B，B，设P的坐标，求出PB，PB 的方程，令y＝0可得M，N的坐标，进而可证得|
1 2 1 2
OM|•|ON|之积为定值9．
【详解】
（1）由题意可得a＝3，e＝ ，可得c＝2，而b2＝a2﹣c2＝5，
所以椭圆的方程： ；
设线段PF 的中点为G
1
因为O是线段FF 的中点，所以OG∥PF，PF⊥x轴，
1 2 2 2
所以|PF|＝ ，PF|＝2a﹣|PF|＝ ，故 ，
2 1 2
（2）令P（x，y），则x≠0， ，
0 0 0
即5x2＝9（5﹣y2），
0 0
易知B（0， ），B（0，﹣ ），
1 2
所以 ：y﹣ ＝ （x﹣0），
令y＝0，得 ，
：y+ ＝ （x﹣0），令y＝0，得 ，
所以可证：|OM|•|ON|＝| |＝| |＝9．
18．（2019·江西九江·二模（文））已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其内接正方形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆C的右顶点，过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记直线
PM，QM的斜率分别为k，k，求证：kk 为定值．
1 2 1 2
【答案】（Ⅰ） + =1（Ⅱ）见解析
【分析】
（Ⅰ）由椭圆的离心率可以得到 的关系，结合 ，可知 的关系，
由对称性可得，可求椭圆内接正方形位于第一象限顶点的坐标，代入椭圆方程中，求出 的值．
（Ⅱ）设了直线方程，与椭圆方程联立，得到一个一元二次方程，求出kk 的表达式，利用一元二次方程
1 2
根与系数的关系，对表达式进行化简求值．
【详解】
解：（Ⅰ）∵e= = ，
∴a= c，即a2=2b2，①，
由对称性可得，椭圆内接正方形位于第一象限顶点的坐标为（x，y），
0 0
∴4x2=4，x=1，
0 0
∴ + =1，②，
由①②解得a= ，b= ，
∴椭圆C的标准方程为 + =1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知M（ ，0），依题意得直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-3 ），
设P（x，y），Q（x，y），（x，x≠ ），联立方程 ，消去y并整理可得
1 1 2 2 1 2∴ ，
∴x+x= ，xx= ，
1 2 1 2∴kk= • = • = =
1 2
= =1，
∴kk=1
1 2
【点睛】
本题考查了求椭圆方程，直线与椭圆的位置的关系．
19．（2018·全国·一模（文））设 为椭圆 的左右焦点， 为椭圆上一点，满足
,已知三角形
的面积为1.
(1) 求 的方程:
(2) 设 的上顶点为 ,过点(2，-1)的直线与椭圆交于 两点(异于 ),求证: 直线 和 的斜率之和
为定值，并求出这个定值.
【答案】（1） ；（2）
【详解】
【试题分析】(1)利用椭圆的定义和直角三角形勾股定理,直角三角形面积公式,列方程组,解方程组可求得
的值为 ,故所求椭圆方程为 .(2)设出直线 的方程,代入椭圆方程,写出韦达定理,代入计算
,,故所求定值为 .
【试题解析】
（1）由椭圆定义：|MF |+|MF | =4
1 2
由垂直：|MF |2+|MF |2 =|FF|2=4(4－b2)
1 2 1 2
由面积：S= |MF |·|MF | =1
1 2
三式消去|MF | |MF |，可得b2=1，
1、 2(2) 依题意：H(0，1)，显然当直线RS与y轴平行时不符题意
设直线RS方程为y=kx+m，其中m=－2k－1 1
带入椭圆方程化简得： (4k2+1)x2+8kmx+4m2－4=0故x+x= xx=
1 2 1 2
k +k =
HR HS
= =
=
故k +k 为定值－1
HR HS
20．（2021·广西桂林·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系 中，已知椭圆 中心在原点，焦距为
2，右准线 的方程为 .过 的直线交 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意，列方程直接求解即可
（2）设 方程为 ，与椭圆方程进行联立，再利用韦达定理进行求解即可
【详解】
（1）设椭圆方程为 ，其中 ，
解得： ， ，
故所求椭圆方程为 .
（2）设 方程为 ，
代入椭圆 中得： ，即 ，设 ， ，
则 ， ，
由 得 ，解得 .
则直线 的方程为 .
【点睛】关键点睛：直线与椭圆方程进行联立，然后，进行消参处理即可求解，属于基础题
21．（2020·四川郫都·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系 中，已知椭圆
的右焦点 ，且离心率 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 过点 且与椭圆相交于两不同点 、 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）依题意可得 ，再由离心率求出 ，最后根据 ，求出 ，即可得解；
（2）分斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设 ， ， ，联
立直线与椭圆方程，消元、由 求出 的取值范围，列出韦达定理，再将 转化为关于 的函数，
求出函数的值域即可得解；
【详解】
解：（1）由题可得： ，∵ ，∴ ，
由 ，得 ，椭圆 的方程： .
（2）当直线斜率不存在时，直线 代入 得 ， ，
∴ ，
当直线斜率存在时，设 代入 ，
整理得， ，
，解得 ，设 ， ，
∴ ，
∴，
∵ ，∴ ，∴ ，
综上， 的取值范围是 .
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与
系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．（2016·宁夏·一模（理））已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 ，椭圆上
的点到焦点的最短距离为 , 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且
.
（1）求椭圆方程；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）y2 1．
（2）（﹣1， ）∪（ ，1）．
【详解】
（1）由条件知a﹣c＝1 ， ，
∴a＝1，b＝c ，故C的方程为：y2 1．
（2）设l：y＝kx+m与椭圆C交点为A（x，y），B（x，y）
1 1 2 2
联立得（k2+2）x2+2kmx+（m2﹣1）＝0
△＝（2km）2﹣4（k2+2）（m2﹣1）＝4（k2﹣2m2+2）＞0 （*）x+x ，xx
1 2 1 2
∵ 3 ，
∴﹣x＝3x
1 2∴x+x＝﹣2x，xx＝﹣3x2，
1 2 2 1 2 2
消去x，得3（x+x）2+4xx＝0，
2 1 2 1 2
∴3（ ）2+4 0
整理得4k2m2+2m2﹣k2﹣2＝0
m2 时，上式不成立；
m2 时，k2 ，
因λ＝3，∴k≠0，∴k2 0，
∴﹣1＜m 或 m＜1
容易验证k2＞2m2﹣2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（﹣1， ）∪（ ，1）．
23．（2021·全国·高三专题练习）已知中心在原点的双曲线 的一个焦点 ，一个顶点为 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 的左右两支各有一个交点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题可得 ，求出 即得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，利用判别式和韦达定理即可求出.
【详解】
（1） 双曲线 的一个焦点 ，一个顶点为 ，
双曲线的焦点在x轴上，且 ，
，
双曲线 的方程为 ；（2）联立直线与双曲线方程 ，可得 ，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，
，解得 .
24．（2022·全国·高三专题练习（文））已知双曲线 的其中一个焦点为 ，一
条渐近线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为4，求直线 的方
程.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）由题意，联立方程求出 ，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】
（1）由焦点可知 ，
又一条渐近线方程为
所以 ，
由 可得 ,解得 ， ，
故双曲线 的标准方程为
（2）设 ，AB中点的坐标为
则 ①， ②，
② ①得： ，
即 ，又 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即
25．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线 经过点 且实轴长是半焦距的．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为 ，求直线l的方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据题意可得： ，再根据双曲线过点 ，再结合 ，代入即可求得： ，
，即可得到双曲线C的标准方程；
（2）先设出P，Q的坐标，根据中点坐标公式即可求得 ， ，将P，Q两点代入双曲线方
程，两式相减即可得到斜率为 ，再利用点斜式即可求出直线l的方程．
【详解】
解：（1）∵实轴长是半焦距的 倍，
∴ ，即 ，
∵双曲线C经过点 ，
，
又∵ ，
∴ ， ，
故双曲线C的标准方程为 ；
（2）设P，Q的坐标分别为 ， ，
∵线段PQ的中点为 ，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
整理得： ，即直线l的斜率为 ，
∴直线l的方程为 ，
即 ．
26．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线 .
（1）求与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线的标准方程；
（2）若直线 与双曲线 交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线 的斜率.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）设所求双曲线方程为 ，代入点坐标，求得k，即可得答案；
（2）设 ，利用点差法，代入A、B的中点坐标为（1，1），即可求得斜率.
【详解】
（1）因为所求双曲线与双曲线 有共同的渐近线，
所以设所求双曲线方程为 ，代入 ，得 ，
所以所求双曲线方程为 ；
（2）设 ，因为 、 在双曲线上，
所以 ，（1）-（2）得 ，
因为A、B的中点坐标为（1，1），即 ，
所以 .
27．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，
求AB的长．【答案】3
【分析】
根据对称性设直线 的方程为y＝x＋b，与抛物线方程联立，利用x＋x＝－1，可得AB的中点M
1 2坐标，又M在直线x＋y＝0上求得b，利用韦达定理和弦长公式可得答案.
【详解】
设直线 的方程为y＝x＋b，
由 消去y得x2＋x＋b－3＝0，
∴ x＋x＝－1，
1 2
于是AB的中点M ，且Δ＝1－4(b－3)>0，即 ，
又M 在直线x＋y＝0上，
∴ b＝1符合，
∴ x2＋x－2＝0，xx＝－2，
1 2
由弦长公式可得
.
28．（2021·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点，
且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】
（1）根据题意，设出点 的坐标，对已知条件进行等价转化，即可求得结果；
（2）设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用抛物线焦点弦长公式，即可求得直线斜率，则
问题得解.
【详解】（1）抛物线 的方程为 ，
设 ，依题意 ，由抛物线定义 ，即 .
所以 ，又由 ，得 ，解得 ( 舍去)，所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）得 ，设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 .
因为 ，故
所以 .
由题设知 ，解得 或 ，
因此直线 的方程为 或 .
29．（2020·全国·高三专题练习（文））已知抛物线 与直线 相交于 、 两点.
（1）求证： ；
（2）当 的面积等于 时，求 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）设 、 ，直线过定点 ，利用向量共线可得 ，证出
即可.
（2） ，将直线与抛物线联立，利用韦达定理即可求解.
【详解】
证明：设 、 ；
直线过定点 ， ， ，
由 、 、 共线 ，
∴ ，又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，解： ，则 ，得 ，
则 ，
∴ ，
.
30．（2021·上海·高三专题练习）若抛物线 上存在关于直线 对称的两点，求 的取
值范围.
【答案】
【分析】
设 是抛物线上关于直线 对称的两点，AB的中点 ，则
，两式相减化简得到 ，再由 ，求得点P的坐标，然后根据点p在抛物
线内部,由 求解.
【详解】
设 是抛物线上关于直线 对称的两点，
则 ，
设AB的中点 .又 ，
点p在抛物线内部,
，即 ，
1)当 ，则 ，，即 无解；
2)当 则
，即
故 .
31．（2018·福建·莆田第十五中学高三阶段练习）已知抛物线 顶点在原点，焦为点 .
(Ⅰ)求抛物线 的方程；
(Ⅱ)求抛物线 被直线 所截得的弦 中点 的坐标.
【答案】(1) (2)
【分析】
（Ⅰ）根据条件 ，可得抛物线的开口方向，从而可求出 ，得出方程.
（Ⅱ）将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理和中点坐标公式可得答案.
【详解】
（Ⅰ）抛物线 顶点在原点，焦为点 ，设抛物线方程为
所以 则
则其方程为
（Ⅱ）设
由 ，可得
所以 ，则
所以弦 中点 的纵坐标为2，则横坐标为：所以弦 中点 的坐标为
