文档内容
第 33 节 圆锥曲线中的范围最值问题及探究性问题
基本技能要落实
考点一 最值问题
【例1】(2021·齐齐哈尔一模)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F .短
1 2
轴的两个顶点与F ，F 构成面积为2的正方形，
1 2
(1)求Γ的方程；
(2)如图所示，过右焦点 F 的直线交椭圆 Γ于A，B两点，连接 AO并延长，交 Γ于点
2
C，求△ABC面积的最大值.
【解析】(1)因为椭圆C的短轴的两个顶点与F ，F 构成面积为2的正方形，
1 2
所以b＝c，S ＝a2＝2，则a＝，b＝c＝1，
正
故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，
联立消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
所以|AB|＝·
＝·＝，
点O到直线kx－y－k＝0的距离d＝，
因为O是线段AC的中点，所以点C到直线AB的距离为2d＝，
所以△ABC面积S＝·|AB|·2d
＝××＝2·
＝2·<，
②当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，B，C，
故△ABC面积S＝×2×＝，
综上，△ABC面积的最大值为.
【方法技巧】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几
何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行
求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数
(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【跟踪训练】
1.(2020·浙江卷)如图，已知椭圆C ：＋y2＝1，抛物线C ：y2＝2px(p＞0)，点A是椭圆
1 2
C 与抛物线C 的交点，过点A的直线l交椭圆C 于点B，交抛物线C 于点M(B，M不
1 2 1 2
同于A).
(1)若p＝，求抛物线C 的焦点坐标；
2
(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值.
【解析】(1)由p＝，得抛物线C 的焦点坐标是.
2
(2)由题意可设直线l：x＝my＋t(m≠0，t≠0)，点A(x ，y ).
0 0
将直线l的方程代入椭圆C ：＋y2＝1，得
1
(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，
所以点M的纵坐标y ＝－.
M
将直线l的方程代入抛物线C ：y2＝2px，得y2－2pmy－2pt＝0，
2
所以y y ＝－2pt，解得y ＝，
0 M 0
因此x ＝.
0
由＋y＝1，得＝4＋2≥160，
当且仅当m＝，t＝时，p取到最大值.
考点二 范围问题
【例2】已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线C ：－y2＝1的左、右
1 2
焦点，且C 与C 相交于点.
1 2
(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)设直线l：y＝kx－与椭圆C 交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？
1
若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.
【解析】(1)将代入－y2＝1，解得m2＝1，∴a2＝m2＋1＝2，
将代入＋＝1，解得b2＝1，
∴椭圆C 的标准方程为＋y2＝1.
1
(2)设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由整理得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
∴x ＋x ＝，x x ＝，
1 2 1 2
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0.
由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，则定点必在y轴上.
设定点为M(0，y )，则
0
MA＝(x ，y －y )，MB＝(x ，y －y )，
1 1 0 2 2 0
MA·MB＝x x ＋(y －y )(y －y )
1 2 1 0 2 0
＝x x ＋y y －y (y ＋y )＋y
1 2 1 2 0 1 2
＝x x ＋k2x x －(x ＋x )－y＋＋y
1 2 1 2 1 2 0
＝(1＋k2)x x －k(x ＋x )＋y＋y ＋
1 2 1 2 0
＝＝0，
∴解得y ＝1，
0
∴M(0，1)，
∴以线段AB为直径的圆恒过定点(0，1).
【方法技巧】
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的
等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参
数的取值范围.
【跟踪训练】
1.(2022·齐鲁名校联合测试)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为
F ，F ，过点F 的直线l(不与x轴重合)交椭圆于A，B两点.
1 2 1(1)若点A恰好为椭圆的上顶点，且|AB|＝|F B|，求椭圆E的标准方程；
1
(2)若点A关于点F 的对称点为点C，且点C恰好在椭圆上，求点B的横坐标的取值范
2
围.
【解析】(1)由题意得，F (－1，0)，A(0，b)，设B(x ，y )，
1 0 0
由|AB|＝|F B|可得AF1＝F1B，于是得(－1，－b)＝(x ＋1，y )，
1 0 0
所以得
因为点B在椭圆上，所以＋＝1，
得a2＝5，所以b2＝5－1＝4，
故椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)由题意及椭圆的对称性，得AC为椭圆的通径.
不妨设点A(1，y )(y >0)，点B(x ，y )，
1 1 B B
将点A的坐标代入＋＝1，得＋＝1，得y ＝，
1
于是直线l的斜率为＝，
直线l的方程为y＝(x＋1).
联立方程消去y，整理得
(a2＋3)x2＋2(a2－1)x－3a2－1＝0，
由根与系数的关系，得1·x ＝－，
B
于是，x ＝－.
B
设a2＝t(t>1)，则x ＝－＝－3＋，
B
令f(t)＝－3＋，
则f(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以当t>1时，x ＝－3＋的取值范围为(－3，－1)，
B
即点B的横坐标的取值范围是(－3，－1).
考点三 探究性问题
【例3】(2022·郑州模拟)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)
上，圆C过原点且与抛物线的准线相切.
(1)求该抛物线的方程.
(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在点A，B处作抛物线的切线，
两条切线交于P点，则△PAB的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此
时对应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由已知可得圆心C(a，b)，半径r＝，焦点F，准线方程为y＝－.因为圆C与抛物线的准线相切，
所以b＝－，且圆C过焦点F.
又圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，即b＝.
所以b＝－＝，求得p＝2.
于是抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由抛物线方程x2＝4y知，F(0，1).
易知直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝kx＋1.
由消去y并整理，得x2－4kx－4＝0，
Δ＝(－4k)2－4×(－4)＝16k2＋16>0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，则x ＋x ＝4k，x x ＝－4.
1 1 2 2 1 2 1 2
对y＝求导，得y′＝，即直线AP的斜率k ＝，则直线AP的方程为y－y ＝(x－x )，即
AP 1 1
y＝x－x.
同理可得直线BP的方程为y＝x－x.设P(x ，y )，
0 0
联立直线AP与BP的方程，可得
即P(2k，－1).
|AB|＝|x －x |
1 2
＝·
＝·＝4(1＋k2)，
点P到直线AB的距离d＝＝2，
所以△PAB的面积S＝×4(1＋k2)×2＝4(1＋k2)≥4，
当且仅当k＝0时等号成立.
故△PAB面积的最小值为4，此时直线l的方程为y＝1.
【方法技巧】
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验
证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，
再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
【跟踪训练】
1.(2022·西安模拟)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为，F为E的
右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.
(1)求椭圆E和圆F的方程；(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中
A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理
由.
【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆的离心率e＝，∴＝，
∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，
将点代入椭圆的方程得＋＝1，
联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
∴F(，0)，∵PF⊥x轴，∴P，
∴圆F的半径为，圆心为(，0)，
∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.
(2)不存在满足题意的k，理由如下：
由A，B在圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝.
设点C(x ，y )，D(x ，y ).
1 1 2 2
|CF|＝＝2－x ，
1
同理|DF|＝2－x .
2
若|AC|＝|BD|，则|AC|＋|BC|＝|BD|＋|BC|，即|AB|＝|CD|＝1，4－(x ＋x )＝1，
1 2
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
∴x ＋x ＝，∴4－＝1，
1 2
得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.
考点四 证明问题
【例4】(2022·成都诊断)已知点A(1，－)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，
直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.
【解析】(1)解 由题意知，k ·k＝－·＝－＝－，
OA l
即a2＝4b2，①
又＋＝1，②
所以联立①②，解得，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明 设P(x ，y )，Q(x ，y )，则R(－x ，－y )，
1 1 2 2 1 1
由
得x2＋tx＋t2－1＝0，
所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，
又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，
x ＋x ＝－t，x ·x ＝t2－1.
1 2 1 2
法一 要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，
即证明k ＋k ＝0.
AQ AR
由题意知，k ＋k ＝＋
AQ AR
＝
＝
＝＝
＝0，
所以|AM|＝|AN|.
法二 要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与y轴的交点M，N连线的中点
S的纵坐标为－，即AS垂直平分MN即可.
直线AQ与AR的方程分别为
l ：y＋＝(x－1)，l ：y＋＝(x－1)，
AQ AR
分别令x＝0，得y ＝－，y ＝－，
M N
所以y ＋y ＝＋－
M N
＝－
＝－
＝－＝－，
y ＝＝－，即AS垂直平分MN.
S
所以|AM|＝|AN|.
【方法技巧】
圆锥曲线中的证明问题常见的有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，
但有时也会用反证法证明.
【跟踪训练】
(2021·景德镇一模)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，C，D是抛物线上关于y轴对称的
两点，点E是抛物线准线l与y轴的交点，△ECD是面积为4的直角三角形.
(1)求抛物线的方程；
(2)若A为抛物线上第一象限的一动点，过F作AF的垂线交准线l于点B，求证：直线
AB与抛物线相切.
【解析】(1)解 抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，
不妨设点C位于第一象限，
由题意可得△CDE为等腰直角三角形，可得直线EC的斜率为1，则直线EC的方程为y
＝x－，
联立解得
所以C，D，E，
S ＝×2p×p＝4，解得p＝2，
ECD
故 △ 抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明 由(1)得焦点F(0，1)，设A(x ，y )(x >0，y >0)，
0 0 0 0
则直线AF的斜率为，
故直线BF的方程为y＝x＋1，
令y＝－1，得x＝，所以点B，
则直线AB的斜率为＝＝，由y＝得y′＝，即抛物线在点A处的切线的斜率为，故直线
AB与抛物线相切.达标检测要扎实
一、解答题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆C右焦点
并垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原
点）的面积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为 ，求点P
到直线l距离的最大值．
【解析】 (1)由题意可得 ，∴由题意可得 且 ，解得 ， ，
∴椭圆的方程为： ．
(2)解法1：由（1）可得 ，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时
，化简得： 又 ，解得 或
（舍去），此时P到直线l的距离为设直线l有斜率时，设 ， ，设其方程为： ，联立可得 且整理
可得： ，
，且 ， ，
，整理可得： ，
整理可得 ，整理可得
，即 ， 或 ，
若 ，则直线方程为： ，直线恒过 ，与P点重合，
若 ，则直线方程为： ，∴直线恒过定点 ，∴P到直线l的
距离的最大值为 的值为 ，
由于
∴点P到直线l距离的最大值 ．
解法2：公共点 ，左移1个单位，下移 个单位， ，， ，
，等式两边同时除以 ，
， ， ， ，
过 ，右移1个单位，上移 个单位，过 ，∴P到直线l的距离的最
大值为 的值为 ，
由于
∴点P到直线l距离的最大值 ．
2．（2022·四川成都·模拟预测（文））平面直角坐标系中，过点 的圆 与直线 相切．圆
心 的轨迹记为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为曲线 上的两点，记 中点为 ，过 作 的垂线交 轴于 ．
①求 ；
②当 时，求 的最大值．【解析】 (1)设 ，由题意，则 到 的距离等于 到 的距离，故 的轨迹为抛物线
；
(2)设 ，则 ，
① 故 ，
，令 ，得
，故 ，即 ，
②由题意 ，即
，故 ．
3．（2022·吉林一中高二阶段练习（理））已知直线l：y＝kx和l：y＝kx与抛物线y2＝2px（p＞
1 1 2 2
0）分别相交于A，B两点（异于原点O）与直线l：y＝2x+p分别相交于P，Q两点，且 ．
(1)求线段AB的中点M的轨迹方程；
(2)求△POQ面积的最小值．
【解析】 (1)联立 ，解得： ，
把 代入 得： ，所以 ，
同理可得： ，
则线段AB的中点M的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
消去 得：
所以线段AB的中点M的轨迹方程为
(2)设 ，
则直线 ，与 联立得： ，
则 ，所以 ，
同理可得： ，
则 ，
其中 ，解得： ，
设直线 ，与抛物线 联立得： ，则 ，又 ，所以 ，
则 ，
，
所以 ，
点O到直线PQ的距离为 ，
所以△POQ面积为 ，
令 ，则 ，
所以 ，
当 ，即 时，△POQ面积取得最小值，最小值为 .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的一个焦点为 ，离心率
为 ．点P为圆M： 上任意一点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求 的取值范围；
(3)设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，
试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．
【解析】 (1)由题意可知： ， ，则 ， ，∴椭圆的标准方程： ；
(2)由题意可知： ，
设 ，则 ，
∴ ，
由 ，当 时， ，当 时， ，
∴ 的取值范围 ；
(3)由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，∴ ，
分3种情况讨论：
①当直线 轴时，易得直线PA的方程为 ，
由题意，得直线PB的方程为 ，
显然直线PB与椭圆C相切；
②同理当直线 轴时，直线PB也与椭圆C相切；
③当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，
设点 ，直线PA的斜率为k，则 ，直线PB的斜率 ，
∴直线PA： ，直线PB： ，
由 ，消去y，
得 ，
∵直线PA与椭圆C相切，
∴ ，
整理，得 ，（1）同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，
得 ，（2）
∵点P为圆M： 上任意一点，
∴ ，即 ，
代入（1）式，得 ，
代入（2）式，
得
，
∴此时直线PB与椭圆C相切，综上，直线PB与椭圆C相切．
5．（2021·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知圆C过定点A（0，p）(p＞0)，圆心C在抛
物线x2＝2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ.
(1)当点C运动时，｜MN｜是否变化？试证明你的结论；
(2)求 的最大值.
【解析】 (1)设 ，则 ，故圆 的方程
，令 有 ，故
，解得 ， ，故 不变化，为定值
(2)由（1）不妨设 ，故 ， ，故，当且仅当 ，即 时取
等号.故 的最大值为
6．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆
的右焦点 与抛物线 的焦点重合．
(1)求椭圆 的方程．
(2)如图，A，B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M，N，直线AM与
直线 交于点P．记PA，PF，BN的斜率分别为 ， ， ，是否存在实数 ，使得 ？
若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)设椭圆 的焦距为 ，因为椭圆的右焦点 与抛物线 的焦点重合，
所以 ．
因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
(2)设 ， ，直线 的方程为 ，
与椭圆 联立，
得 ，
因为直线MN交椭圆C于M，N两点，所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
直线 ： 与直线 的交点 的坐标为 ，则 ．
假设存在满足条件的实数 ，则 ，
所以
，所以 ．
7．（2022·河南许昌·高二期末（理））已知椭圆 的长轴是短轴的3倍，左、
右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点 且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，是否在x轴正半轴存在点
，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由题意， ，故点 在椭圆 上，即 ，解得 ，
故 ，故椭圆 的方程为
(2)由已知直线 过点 ，设 的方程为 ，
则联立方程组 消去 得 ，
所以
设 则
又直线 与 斜率分别为
则
，要使
为定值，则有 因为 ，故
当 时， ；
所以存在点 使得直线 与 的斜率之积为定值，此时
8．（2022·四川达州·高三模拟）已知椭圆 ： （ ）的左､右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在过点 的直线 ，交椭圆 于 ， 两点，使得 ？若存在，求直
线 的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】 (1)由题知 ， ， ， ，
由椭圆定义知 ，即 ，
又 ，所以椭圆 的标准方程为 .
(2)存在满足题意的直线 .
由题知直线 的斜率存在，设 的方程为 ， ， ，
联立 ，整理得 ，
其中 ， ，
∵ ，∴ ，即 ，
化简得： ，
即 ，解得 ，或 .
当 时，直线 经过点 ，不满足题意，故舍去.
所以存在直线 满足题意，其方程为 .
9．（2022·江苏南通·高三模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ，直线 ，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为 ，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点M且与C相切的直线交椭圆 于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问
的面积是否为定值?请说明理由．
【解析】 (1)设 ，根据题意， ，其中 表示M到直线l的距离.
整理得 ，
曲线C的方程为： ．
(2) 的面积为定值，理由如下：
设 ，
①当直线斜率不存在时，过 直线方程为 ，不妨令 ，则
此时 ， ，由题可得，
故 ；
②当直线斜率不存在时，设过 直线方程为 该直线与椭圆C相切
得： ①
，
，则直线MO的方程为：， ，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故 .即
设 ， ， ， ，将直线 代入椭圆 的方程，可得
，由 ，可得 ，②
则有 ， ，
所以 ，将①代入得：
由直线 与 轴交于 ，
则 的面积为 .
故 综上： 面积为定值 ．
10．（2022·上海市建平中学高二期末）已知椭圆 ： ，焦点为 ､ ，过x轴上的一点
M（m，0）（ ）作直线l交椭圆于A､B两点.
(1)若点M在椭圆内，
①求多边形 的周长；
②求 的最小值 的表达式；
(2)是否存在与x轴不重合的直线l，使得 成立？如果存在，求出m的取值范
围；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)①由椭圆 ： 知， ，所以 ，
根据椭圆的定义知，多边形 的周长为： .
②设 ，则
，其中 ，
令 ，
①当 ，即 时， ，
②当 即 ， ，
③当 即 ， ，
综上： .
(2)
存在直线l，使得 成立.理由如下：
当直线斜率存在时，设直线l的方程为 ，
由 得 .
，化简得 .设 ， ，则
， .
若 成立，
即 ，等价于 .
所以 . ，
，
，
化简得 .即 ，
代入 中， ，
解得 .又由 ，得 ，从而 ，
解得 或 .当直线斜率不存在时，设直线l的方程为 ，
则 ， 所以 有
，解得： .
所以实数m的取值范围是 .
