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第 4 讲 圆锥曲线的综合问题
[考情分析] 1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值
问题，定点、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．
母题突破 1 范围、最值问题
母题 (2022·全国甲卷改编)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点D(2,0)，过F的直线交抛
物线C于M，N两点．设直线 MD，ND与抛物线C的另一个交点分别为 A，B，记直线
MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
思路分析
❶点差法求k ，k
AB MN
↓
❷联立MN与抛物线方程
↓
❸联立AM，BN与抛物线方程
↓
❹k 与k 的关系
AB MN
↓
❺构造tanα－β关于k 的函数
AB
解 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，
此时α－β＝0.
当MN的斜率存在时，设M(x，y)，
1 1
N(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，
2 2 3 3 4 4
则直线MN的方程为
y－y＝(x－x)，
1 1
即y－y＝(x－x)，
1 1
即y－y＝(x－x)，
1 1
即y(y＋y)－y(y＋y)＝4(x－x)，
1 2 1 1 2 1
所以直线MN的方程为
y(y＋y)－yy＝4x，tan α＝.
1 2 1 2
同理可得，直线AM的方程为
y(y＋y)－yy＝4x，
3 1 3 1直线BN的方程为
y(y＋y)－yy＝4x，
4 2 4 2
直线AB的方程为y(y＋y)－yy＝4x.
4 3 4 3
因为F(1,0)在MN上，所以yy＝－4.
1 2
因为D(2,0)在AM，BN上，
所以yy＝－8，yy＝－8，
3 1 4 2
所以y＝－，y＝－.
3 4
所以y＋y＝－－＝－
3 4
＝－＝2(y＋y)，
1 2
yy＝＝＝－16，
3 4
所以直线AB的方程y(y＋y)－yy＝4x可化为(y＋y)y＋8＝2x，
4 3 4 3 1 2
所以tan β＝，
所以tan(α－β)＝
＝＝2×.
当y＋y<0时，tan(α－β)<0，
2 1
所以不符合题意．
当y＋y>0时，(y＋y)＋≥4，
2 1 2 1
tan(α－β)≤2×＝，
当且仅当y＋y＝，
2 1
即y＋y＝2时取等号，
2 1
此时α－β取得最大值，直线AB的方程为x－y－4＝0.
综上，当α－β取得最大值时，直线AB的方程为x－y－4＝0.
[子题1] (2022·许昌模拟)已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0，－1)的直线l与双曲线C的左、
右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，求的取值范围．
解 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为
y＝kx－1，D(x，y)，E(x，y)，
1 1 2 2
联立
得(2－k2)x2＋2kx－3＝0，
因为l与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，
故
解得－<k<，
此时有x＋x＝.
1 2
|DE|＝·|x－x|
1 2
＝·＝·，
由
解得x＝，设x ＝，
G
同理可得x ＝，
H
所以|GH|＝·
＝.
故＝.
因为－<k<，故≤<1，
故的取值范围是.
[子题2] F，F 分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
1 2
设A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k≥0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F
两点．求四边形AEBF面积的最大值．
解 设E(x，kx)，F(x，kx)，
1 1 2 2
联立消去y并整理得(1＋4k2)x2＝4，
∴x＝－，x＝，
1 2
∵A(2,0)，B(0,1)，
∴直线AB的方程为x＋2y－2＝0，
根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为
h＝＝，
1
h＝＝，
2
∴h＋h＝，
1 2
又|AB|＝＝，
∴四边形AEBF的面积为S＝|AB|(h＋h)＝××＝
1 2
＝2＝2≤2，当且仅当4k＝，即k＝时，等号成立，
∴四边形AEBF面积的最大值为2.
规律方法 求解范围、最值问题的常见方法
(1)利用判别式来构造不等关系．
(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系．
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式．
(4)利用基本不等式．
1.(2022·平凉模拟)如图，已知椭圆C：＋＝1，点P(2,1)为椭圆C上一点．过点P作两直线l
1
与l 分别交椭圆C于A，B两点，若直线l 与l 的斜率互为相反数，求|AB|的最大值．
2 1 2解 设直线l 为y＝k(x－2)＋1，
1
则直线l 为y＝－k(x－2)＋1，
2
联立
整理得(2k2＋1)x2＋(4k－8k2)x＋(8k2－8k－4)＝0，
由Δ＝(4k－8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－8k－4)＝16(k＋1)2>0，解得k≠－1，
又由x x ＝，可得x ＝，则y ＝k(x －2)＋1＝，
A P A A A
同理可得x ＝，y ＝，
B B
所以|AB|2＝(x －x )2＋(y －y )2＝＝≤＝16，
A B A B
当且仅当k＝±时，等号成立，
因此，|AB|的最大值为4.
2．(2022·青岛模拟)已知O为坐标原点，点E，过动点W作直线x＝－的垂线，垂
足为点F，OW·EF＝0，记W的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；
(2)若 A ，B ，A ，B 均在 C 上，直线 AB ，AB 的交点为 P，AB⊥AB ，求四边形
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
AABB 面积的最小值．
1 2 1 2
解 (1)设W(x，y)，则F，
所以OW＝(x，y)，EF＝(－1，y)，
因为OW·EF＝0，所以(x，y)·(－1，y)＝－x＋y2＝0，
所以曲线C的方程为y2＝x.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 1 1 2 2 2 3 3 2 4 4
直线AB，AB 的方程分别为x＝my＋，x＝－＋，
1 1 2 2
将x＝my＋代入抛物线y2＝x，得y2－my－＝0，所以y＋y＝m，yy＝－，
1 2 1 2
所以|AB|＝|y－y|＝
1 1 1 2
＝m2＋1，
同理得|AB|＝1＋，因为AB⊥AB，
2 2 1 1 2 2
所以四边形AABB 的面积S＝|AB|·|AB|＝(1＋m2)＝≥2，当且仅当m＝±1时等号成立，所
1 2 1 2 1 1 2 2
以四边形AABB 面积的最小值为2.
1 2 1 2
专题强化练
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，A，F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2(＋1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线y＝kx－1与双曲线的左、右两支分别交于 M，N两点，与双曲线的两条渐近线分
别交于P，Q两点，求的最大值．
解 (1)因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，
则＝，c＝a，可得a＝b，
由已知，将x ＝c＝a代入－＝1，可得|y |＝a，
B B
由S ＝|BF|·|AF|＝2(＋1)，
△ABF
即a(a＋c)＝2(＋1)，
解得a＝2，故双曲线的方程为x2－y2＝4.
(2)依题意，设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由可得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
所以
解得－1<k<1，且
所以|MN|＝|x－x|＝·＝，
1 2
设P(x，y)，Q(x，y)，
3 3 4 4
由得x＝，同理得x＝，
3 4
所以|PQ|＝|x－x|＝·＝，
3 4
所以＝＝，其中－1<k<1，
因为≤，故的最大值为.
2．(2022·十堰模拟)已知抛物线C ：x2＝y，C ：x2＝－y，点M(x ，y)在C 上，且不与坐标
1 2 0 0 2
原点O重合，过点M作C 的两条切线，切点分别为A，B.记直线MA，MB，MO的斜率分
1
别为k，k，k.
1 2 3
(1)当x＝1时，求k＋k 的值；
0 1 2
(2)当点M在C 上运动时，求＋－的取值范围．
2
解 (1)因为x ＝1，则有y ＝－1，设过点M并与C 相切的直线方程为y＝k(x－1)－1，联立
0 0 1
方程组
整理得x2－kx＋k＋1＝0，
则Δ＝(－k)2－4(k＋1)＝k2－4k－4＝0，
由题可知，k，k 即为方程k2－4k－4＝0的两根，
1 2
故有k＋k＝4.
1 2
(2)因为y＝－x(x≠0)可设过点M并与C 相切的直线方程为y＝k(x－x)－x，
0 0 1 0
联立方程组
整理得x2－kx＋kx＋x＝0，
0则有Δ＝k2－4xk－4x＝0，
0
根据根与系数的关系可得k＋k＝4x，
1 2 0
kk＝－4x，
1 2
又k＝＝－x，
3 0
则有＋－＝－
＝－，
按照x>0和x<0两种情况讨论，如下，
0 0
当x>0时，＋4x≥2＝4，
0 0
则有＋－≤－4，
当且仅当x＝时，等号成立；
0
当x<0时，
0
－－4x≥2＝4，
0
则有＋－≥4，
当且仅当x＝－时，等号成立，故＋－的取值范围为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
0
