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第 3 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、
相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等．
考点一 弦长、面积问题
核心提炼
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝，
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝.
例1 (2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点
A到左焦点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
解 (1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x ，
1 1
y)，N(x，y)，
1 2 2
由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0，
即y＋y＝，yy＝.
1 2 1 2
又S ＝·|BF|·|y|＋·|BF|·|y|
△BMN 1 1 1 2
＝·|BF|·|y－y|
1 1 2
＝·|BF|·
1
＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
方法二 由(1)知F(－1,0)，B(2,0)，
1
当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，所以S ＝
△BMN
≠，所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
所以x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
所以|MN|＝
＝·
＝·
＝·＝.
因为点B(2,0)到直线l的距离为d＝，
所以S ＝·|MN|·d
△BMN
＝··
＝，
即k2＝1，得k＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等．
(2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉．
(3)|AB|＝x＋x＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立．
1 2
跟踪演练1 (2022·三亚模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作圆M：(x＋2)2
＋y2＝4的切线，切线长为2.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，满足|PA|＝|PB|＝|AB|，求l的方
程．
解 (1)由已知得圆M的圆心为M(－2,0)，半径为2,
因为切线长为2，
所以点F到圆心M的距离为＝4，
因为p>0，
所以F在x轴正半轴上，于是F(2,0)，
所以p＝4,
故C的方程为y2＝8x.
(2)设线段AB的中点为Q，
由题意可知PQ为AB的垂直平分线，且在Rt△PAQ中，由|PA|＝|AB|，
即|PA|＝|AQ|，可得|PQ|＝|AQ|.
设l的方程为x＝my＋2，A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
由得y2－8my－16＝0,
则y ＋y ＝8m，x ＋x ＝m(y ＋y )＋4＝8m2＋4，
A B A B A B所以Q(4m2＋2,4m)．
所以直线PQ的方程为y＝－m(x－4m2－2)＋4m，
令x＝－2，可得y＝4m3＋8m，
即P(－2,4m3＋8m)．
所以|PQ|＝＝(4m2＋4).
又|AB|＝p＋x ＋x ＝4＋x ＋x ＝8m2＋8，|AQ|＝＝4m2＋4.
A B A B
所以(4m2＋4)＝(4m2＋4)，
解得m＝±1.
所以l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
考点二 中点弦问题
核心提炼
已知A(x，y)，B(x，y)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x，y)，直线AB的斜率为k.
1 1 2 2 0 0
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
例2 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲
线上，且点M(－2,1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 方法一 由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k ＝k ＝－.
PQ BF
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则两式相减得＝.
因为线段PQ的中点为M(－2,1)，
所以x＋x＝－4，y＋y＝2，
1 2 1 2
又k ＝＝－，所以－＝，整理得a2＝2bc，
PQ
所以a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)，即4e4－4e2－1＝0，解得e2＝或e2＝(舍去)．
方法二 由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k ＝－.
BF
设直线PQ的方程为y－1＝k(x＋2)，
即y＝kx＋2k＋1，
代入双曲线方程，得
(b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0.设P(x，y)，Q(x，y)，则x＋x＝－4，
1 1 2 2 1 2
所以＝－4，
又k＝k ＝－，所以2a2·＝－4b2＋4a22，
BF
整理得a2＝2bc，所以c2－b2－2bc＝0，
即2－－1＝0，
解得＝＋1或＝1－(舍去)，
则e2＝＝＝＝＝.
规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法
跟踪演练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于
直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
答案 A
解析 ∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x，y)，Q(x，y)．
1 1 2 2
则
则(y－y)(y＋y)＝2(x－x)，
1 2 1 2 1 2
∴k ＝，
PQ
又∵P，Q关于直线l对称．
∴k ＝－1，即y＋y＝－2，
PQ 1 2
∴＝－1，
又∵PQ的中点一定在直线l上，
∴＝＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)．
考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用
核心提炼
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
(1)联立直线方程与圆锥曲线方程．
(2)消元得到关于x或y的一元二次方程．
(3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．例3 (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直
线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
答案 2((1，]内的任意值均可)
解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，
则2＞，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，
又e＞1，∴e∈(1，]，
∴填写(1，]内的任意值均可．
(2)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过
点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则下列结论正确的是________．(填序号)
①C的准线为y＝－1；
②直线AB与C相切；
③|OP|·|OQ|>|OA|2；
④|BP|·|BQ|>|BA|2.
答案 ②③④
解析 将点A代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，故
①错误；
k ＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1，
AB
联立可得x2－2x＋1＝0，所以Δ＝0，故②正确；
设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，
所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立得x2－kx＋1＝0，
所以
所以k>2或k<－2，yy＝(xx)2＝1，
1 2 1 2
又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故③正确；
因为|BP|＝|x|，|BQ|＝|x|，
1 2
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|xx|＝1＋k2>5＝|BA|2，故④正确．
1 2
易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近
线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪演练3 (1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作
抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A解析 ∵抛物线C：y2＝4x的准线为l，
∴l：x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线方程为x＝my－1，m>0，
由得y2－4my＋4＝0，
∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1，
∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即y ＝2，
B
∴△OAB的面积为×1×2＝1.
(2)(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一
点A(x ，y)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C ：＋y2＝1，点B为
0 0 1
C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两
1 1
点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为( )
A．1 B. C. D．2
答案 C
解析 设B(x，y)(x>0，y>0)，由题意得，
1 1 1 1
过点B的切线l的方程为＋yy＝1，
1
令y＝0，可得C，
令x＝0，可得D，
所以△OCD的面积S＝××＝，
又点B在椭圆上，所以＋y＝1，
所以S＝＝＝＋
≥2＝，
当且仅当＝，
即x＝1，y＝时，等号成立，
1 1
所以△OCD面积的最小值为.
专题强化练
一、选择题
1．(2022·丹东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A. B. C．1 D．2
答案 C
解析 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，
故A，B两点坐标为，代入抛物线方程可解得p＝1.
2．(2022·海东模拟)在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线x2－＝1的左焦点，直线4x－y
－12＝0与该双曲线交于两点P，Q，则△FPQ的重心G到y轴的距离为( )
A．1 B．4 C．3 D．2
答案 C
解析 由题意得，不妨设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
联立双曲线方程与直线方程得
消去y得x2－12x＋19＝0，故x＋x＝12，
1 2
因为F(－3,0)，所以点G到y轴的距离为＝＝3.
3．直线l经过P(4,2)且与双曲线－y2＝1交于M，N两点，如果点P是线段MN的中点，那
么直线l的方程为( )
A．x－y－2＝0 B．x＋y－6＝0
C．2x－3y－2＝0 D．不存在
答案 A
解析 当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其为k，M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
因为点P是线段MN的中点，
所以x＋x＝8，y＋y＝4，
1 2 1 2
把点M，N的坐标代入双曲线方程得两式相减得x－x＝2(y－y)，
则k＝＝＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为y＝x－2，
联立得x2－8x＋10＝0，经检验Δ>0，方程有解，
所以直线y＝x－2满足题意．
4．(2022·宜宾模拟)已知双曲线C ：－＝1及双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)，且C 的离心率
1 2 1
为，若直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则k的值可以为( )
1 2
A．2 B. C. D．1
答案 B
解析 ∵C 的离心率为，∴c＝a，b＝2a，
1
∴双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，双曲线C 的渐近线方程为y＝±2x，
1 2
而直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则0b>0)，D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，点P(4，－1)在直线AB上，则椭圆M的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则两式相减可得
＝－·，①
D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，
故x＋x＝4，y＋y＝2，
1 2 1 2
代入①式中可得
＝－·＝－，
又k ＝＝＝－1，
AB
故有a2＝2b2＝2(a2－c2)，
则a＝c，则e＝＝.
6．(2022·漳州模拟)若直线l：y＝x＋m与抛物线C：y2＝4x相切于点A，l与x轴交于点B，
F为C的焦点，则∠BAF等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 依题意，联立方程组
得y2－12y＋12m＝0，
则Δ＝122－4××12m＝0，解得m＝，此时直线l的方程为y＝x＋，则B(－3,0)，
所以y2－12y＋12＝0，解得y＝2，
即A(3,2)，
又F(1,0)，所以|AF|＝＝4，|BF|＝4，即|AF|＝|BF|，
又tan∠ABF＝，所以∠ABF＝，
所以∠BAF＝∠ABF＝.
7．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)
自上而下顺次与上述两曲线交于M，M，M，M 四点，则下列各式结果为定值的是( )
1 2 3 4
A．|MM|·|MM| B．|FM|·|FM|
1 2 3 4 1 4
C．|MM|·|MM| D．|FM|·|MM|
1 3 2 4 1 1 2
答案 A
解析 如图，分别设M，M，M，M 四点的横坐标为x，x，x，x，
1 2 3 4 1 2 3 4由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，
0
由定义得，|MF|＝x＋1，
1 1
又|MF|＝|MM|＋1，
1 1 2
所以|MM|＝x，
1 2 1
同理|MM|＝x，
3 4 4
由消去y整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，
则xx＝1，即|MM|·|MM|＝1.
1 4 1 2 3 4
8．(2022·鹤壁模拟)已知椭圆Γ：＋＝1，过其左焦点F 作直线l交椭圆Γ于P，A两点，取
1
点P关于x轴的对称点B.若点G为△PAB的外心，则等于( )
A．2 B．3
C．4 D．以上都不对
答案 C
解析 根据题意可得F(－1,0)，显然直线PA的斜率存在，故可设其方程为y＝k(x＋1)，
1
联立椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设P(x，y)，A(x，y)，
1 1 2 2
故x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
y＋y＝k(x＋x)＋2k＝，
1 2 1 2
故|PA|＝×＝，
设PA的中点为H，则其坐标为＝，
显然x轴垂直平分PB，故可设G(x，0)，又GH所在直线的方程为y－＝－，
令y＝0，解得x＝，
故|GF|＝＝，
1
故＝＝4.
二、填空题
9．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是______________．
答案 [1,4)∪(4，＋∞)
解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，
故点(0,1)在椭圆＋＝1上或内部，∴≤1，且m>0，m≠4，
∴m≥1，且m≠4.
10．(2022·江西大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C
交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．
答案 5
解析 设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则y＝2px，y＝2px，
1 2
两式相减得y－y＝2px－2px，
1 2
即(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)，
1 2 1 2 1 2
因为M，N两点在斜率为的直线l上，
所以＝，
所以由(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)，
1 2 1 2 1 2
得(y＋y)＝2p，
1 2
因为线段MN中点的纵坐标为，
所以y＋y＝2，
1 2
则×2＝2p，p＝5，
所以F到C的准线的距离为5.
11．(2022·湛江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交双
曲线C于A，B两点，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则双曲线C的离心率是________．
答案 ＋1
解析 设右焦点为F′，连接AF′，BF′(图略)．
因为2|OF|＝|AB|＝2c，
即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形．
在Rt△ABF中，
|AF|＝2c·cos∠BAF＝2c·＝c，
|BF|＝2c·sin∠BAF＝2c·＝c.
由双曲线的定义可得|AF|－|AF′|＝2a，
所以2a＝(－1)c，
所以离心率e＝＝＝＋1.
12．(2022·哈尔滨模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 且与x轴垂
1 2 1
直的直线与椭圆交于A，B两点，直线AF 与椭圆的另一个交点为C，若S ＝ ，
2 △ABC
则椭圆的离心率为________．
答案
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F(－c，0)，F(c，0)，将x＝－c代入椭圆方程可得y＝
1 2±，可设A，
C(x，y)，
由S ＝ ，得AF2＝3F2C，
△ABC
即有＝3(x－c，y)，
所以2c＝3x－3c，－＝3y，
解得x＝，y＝－，
代入椭圆方程可得＋＝1，
即25c2＋b2＝9a2.
因为b2＝a2－c2，所以a2＝3c2，即a＝c，
所以e＝＝.
三、解答题
13.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
线段OF，OF 的中点分别为B，B，且△ABB 是面积为4的直角三角形．
1 2 1 2 1 2
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B 作直线交椭圆于P，Q两点，使PB⊥QB，求△PBQ的面积．
1 2 2 2
解 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
F(c，0)，∵△ABB 是直角三角形，且|AB|＝|AB|，∴∠BAB ＝，∴|OA|＝|OB|，即b＝，∵c2
2 1 2 1 2 1 2 2
＝a2－b2，∴a2＝5b2，c2＝4b2，∴e＝＝，在△ABB 中，OA⊥BB ，∴S＝|BB||OA|＝·b＝b2＝
1 2 1 2 1 2
4，∴a2＝5b2＝20，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知，B(－2,0)，B(2,0)，由题意，得直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方
1 2
程为x＝my－2，代入椭圆方程，消元可得(m2＋5)y2－4my－16＝0，①
设P(x ，y)，Q(x ，y)，∴y ＋y ＝，yy ＝ ，∵B2P＝(x －2，y)，B2Q＝(x －2，y)，且
1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
PB⊥QB，∴B2P·B2Q＝(x－2)(x－2)＋yy＝－＝0，
2 2 1 2 1 2
∴m＝±2，当m＝±2时，①可化为9y2±8y－16＝0，∴|y－y|＝＝ ，
1 2
∴△PBQ的面积为S＝|BB||y－y|＝×4×＝.
2 1 2 1 2
