2023年高考数学二轮复习（全国版文）第1部分专题突破专题6第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习

第 3 讲 直线与圆锥曲线的位置关系 [考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、 相切、弦长、面积以及弦中点等问题，难度中等． 考点一 弦长、面积问题 核心提炼 已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 1 1 2 2 则|AB|＝ ＝|x－x| 1 2 ＝， 或|AB|＝|y－y| 1 2 ＝. 例1 (2022·大庆模拟)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点 A到左焦点F 的距离为1. 1 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程． 1 △BMN 解 (1)由得所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)方法一 由题意知，直线的斜率不为0，F(－1,0)，设直线l的方程为x＝my－1，M(x ， 1 1 y)，N(x，y)， 1 2 2 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， Δ＝36m2＋4×9(3m2＋4)＝144(1＋m2)>0， 即y＋y＝，yy＝. 1 2 1 2 又S ＝·|BF|·|y|＋·|BF|·|y| △BMN 1 1 1 2 ＝·|BF|·|y－y| 1 1 2 ＝·|BF|· 1 ＝＝， 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 方法二 由(1)知F(－1,0)，B(2,0)， 1 当直线l的斜率不存在时，|MN|＝3，点B(2,0)到直线l：x＝－1的距离为3，所以S ＝ △BMN ≠，所以直线l的斜率存在． 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋1)，M(x，y)，N(x，y)， 1 1 2 2 由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0， 所以x＋x＝，xx＝. 1 2 1 2 所以|MN|＝ ＝· ＝· ＝·＝. 因为点B(2,0)到直线l的距离为d＝， 所以S ＝·|MN|·d △BMN ＝·· ＝， 即k2＝1，得k＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 易错提醒 (1)设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等． (2)涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ>0易漏掉． (3)|AB|＝x＋x＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立． 1 2 跟踪演练1 (2022·三亚模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作圆M：(x＋2)2 ＋y2＝4的切线，切线长为2. (1)求C的方程； (2)过F的直线l与C交于A，B两点，点P在C的准线上，满足|PA|＝|PB|＝|AB|，求l的方 程． 解 (1)由已知得圆M的圆心为M(－2,0)，半径为2, 因为切线长为2， 所以点F到圆心M的距离为＝4， 因为p>0， 所以F在x轴正半轴上，于是F(2,0)， 所以p＝4, 故C的方程为y2＝8x. (2)设线段AB的中点为Q， 由题意可知PQ为AB的垂直平分线，且在Rt△PAQ中，由|PA|＝|AB|， 即|PA|＝|AQ|，可得|PQ|＝|AQ|. 设l的方程为x＝my＋2，A(x ，y )，B(x ，y )， A A B B 由得y2－8my－16＝0, 则y ＋y ＝8m，x ＋x ＝m(y ＋y )＋4＝8m2＋4， A B A B A B所以Q(4m2＋2,4m)． 所以直线PQ的方程为y＝－m(x－4m2－2)＋4m， 令x＝－2，可得y＝4m3＋8m， 即P(－2,4m3＋8m)． 所以|PQ|＝＝(4m2＋4). 又|AB|＝p＋x ＋x ＝4＋x ＋x ＝8m2＋8，|AQ|＝＝4m2＋4. A B A B 所以(4m2＋4)＝(4m2＋4)， 解得m＝±1. 所以l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0. 考点二 中点弦问题 核心提炼 已知A(x，y)，B(x，y)为圆锥曲线E上两点，AB的中点C(x，y)，直线AB的斜率为k. 1 1 2 2 0 0 若E的方程为＋＝1(a>b>0)， 则k＝－·； 若E的方程为－＝1(a>0，b>0)， 则k＝·； 若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝. 例2 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q在双曲 线上，且点M(－2,1)为线段PQ的中点，PQ∥BF，双曲线的离心率为e，则e2等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 方法一 由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k ＝k ＝－. PQ BF 设P(x，y)，Q(x，y)， 1 1 2 2 则两式相减得＝. 因为线段PQ的中点为M(－2,1)， 所以x＋x＝－4，y＋y＝2， 1 2 1 2 又k ＝＝－，所以－＝，整理得a2＝2bc， PQ 所以a4＝4b2c2＝4c2(c2－a2)，即4e4－4e2－1＝0，解得e2＝或e2＝(舍去)． 方法二 由题意知F(c，0)，B(0，b)，则k ＝－. BF 设直线PQ的方程为y－1＝k(x＋2)， 即y＝kx＋2k＋1， 代入双曲线方程，得 (b2－a2k2)x2－2a2k(2k＋1)x－a2(2k＋1)2－a2b2＝0.设P(x，y)，Q(x，y)，则x＋x＝－4， 1 1 2 2 1 2 所以＝－4， 又k＝k ＝－，所以2a2·＝－4b2＋4a22， BF 整理得a2＝2bc，所以c2－b2－2bc＝0， 即2－－1＝0， 解得＝＋1或＝1－(舍去)， 则e2＝＝＝＝＝. 规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法 跟踪演练2 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于 直线l：x－y－2＝0对称的不同两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( ) A．(1，－1) B．(2,0) C. D．(1,1) 答案 A 解析 ∵焦点到准线的距离为p，则p＝1， ∴y2＝2x.设点P(x，y)，Q(x，y)． 1 1 2 2 则 则(y－y)(y＋y)＝2(x－x)， 1 2 1 2 1 2 ∴k ＝， PQ 又∵P，Q关于直线l对称． ∴k ＝－1，即y＋y＝－2， PQ 1 2 ∴＝－1， 又∵PQ的中点一定在直线l上， ∴＝＋2＝1. ∴线段PQ的中点坐标为(1，－1)． 考点三 直线与圆锥曲线位置关系的应用 核心提炼 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 (1)联立直线方程与圆锥曲线方程． (2)消元得到关于x或y的一元二次方程． (3)利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系．例3 (1)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直 线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________． 答案 2((1，]内的任意值均可) 解析 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点， 则2＞，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5， 又e＞1，∴e∈(1，]， ∴填写(1，]内的任意值均可． (2)(2022·新高考全国Ⅰ改编)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过 点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则下列结论正确的是________．(填序号) ①C的准线为y＝－1； ②直线AB与C相切； ③|OP|·|OQ|>|OA|2； ④|BP|·|BQ|>|BA|2. 答案 ②③④ 解析 将点A代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为x2＝y，故准线方程为y＝－，故 ①错误； k ＝＝2，所以直线AB的方程为y＝2x－1， AB 联立可得x2－2x＋1＝0，所以Δ＝0，故②正确； 设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点， 所以直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx－1，P(x，y)，Q(x，y)， 1 1 2 2 联立得x2－kx＋1＝0， 所以 所以k>2或k<－2，yy＝(xx)2＝1， 1 2 1 2 又|OP|＝＝，|OQ|＝＝， 所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故③正确； 因为|BP|＝|x|，|BQ|＝|x|， 1 2 所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|xx|＝1＋k2>5＝|BA|2，故④正确． 1 2 易错提醒 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近 线平行． (2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)． 跟踪演练3 (1)(2022·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作 抛物线的一条切线，切点为B，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 答案 A解析 ∵抛物线C：y2＝4x的准线为l， ∴l：x＝－1，A(－1,0)，设过点A作抛物线的一条切线方程为x＝my－1，m>0， 由得y2－4my＋4＝0， ∴Δ＝(－4m)2－4×4＝0，解得m＝1， ∴y2－4y＋4＝0，解得y＝2，即y ＝2， B ∴△OAB的面积为×1×2＝1. (2)(2022·六安模拟)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则椭圆在其上一 点A(x ，y)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C ：＋y2＝1，点B为 0 0 1 C 在第一象限中的任意一点，过B作C 的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两 1 1 点，O为坐标原点，则△OCD面积的最小值为( ) A．1 B. C. D．2 答案 C 解析 设B(x，y)(x>0，y>0)，由题意得， 1 1 1 1 过点B的切线l的方程为＋yy＝1， 1 令y＝0，可得C， 令x＝0，可得D， 所以△OCD的面积S＝××＝， 又点B在椭圆上，所以＋y＝1， 所以S＝＝＝＋ ≥2＝， 当且仅当＝， 即x＝1，y＝时，等号成立， 1 1 所以△OCD面积的最小值为. 专题强化练 一、选择题 1．(2022·丹东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( ) A. B. C．1 D．2 答案 C 解析 由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴， 故A，B两点坐标为，代入抛物线方程可解得p＝1. 2．(2022·海东模拟)在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线x2－＝1的左焦点，直线4x－y －12＝0与该双曲线交于两点P，Q，则△FPQ的重心G到y轴的距离为( ) A．1 B．4 C．3 D．2 答案 C 解析 由题意得，不妨设P(x，y)，Q(x，y)， 1 1 2 2 联立双曲线方程与直线方程得 消去y得x2－12x＋19＝0，故x＋x＝12， 1 2 因为F(－3,0)，所以点G到y轴的距离为＝＝3. 3．直线l经过P(4,2)且与双曲线－y2＝1交于M，N两点，如果点P是线段MN的中点，那 么直线l的方程为( ) A．x－y－2＝0 B．x＋y－6＝0 C．2x－3y－2＝0 D．不存在 答案 A 解析 当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其为k，M(x，y)，N(x，y)， 1 1 2 2 因为点P是线段MN的中点， 所以x＋x＝8，y＋y＝4， 1 2 1 2 把点M，N的坐标代入双曲线方程得两式相减得x－x＝2(y－y)， 则k＝＝＝1，又直线l过点P，所以直线l的方程为y＝x－2， 联立得x2－8x＋10＝0，经检验Δ>0，方程有解， 所以直线y＝x－2满足题意． 4．(2022·宜宾模拟)已知双曲线C ：－＝1及双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)，且C 的离心率 1 2 1 为，若直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则k的值可以为( ) 1 2 A．2 B. C. D．1 答案 B 解析 ∵C 的离心率为，∴c＝a，b＝2a， 1 ∴双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，双曲线C 的渐近线方程为y＝±2x， 1 2 而直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则0b>0)，D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，点P(4，－1)在直线AB上，则椭圆M的离心率为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设A(x，y)，B(x，y)， 1 1 2 2 则两式相减可得 ＝－·，① D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点， 故x＋x＝4，y＋y＝2， 1 2 1 2 代入①式中可得 ＝－·＝－， 又k ＝＝＝－1， AB 故有a2＝2b2＝2(a2－c2)， 则a＝c，则e＝＝. 6．(2022·漳州模拟)若直线l：y＝x＋m与抛物线C：y2＝4x相切于点A，l与x轴交于点B， F为C的焦点，则∠BAF等于( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 依题意，联立方程组 得y2－12y＋12m＝0， 则Δ＝122－4××12m＝0，解得m＝，此时直线l的方程为y＝x＋，则B(－3,0)， 所以y2－12y＋12＝0，解得y＝2， 即A(3,2)， 又F(1,0)，所以|AF|＝＝4，|BF|＝4，即|AF|＝|BF|， 又tan∠ABF＝，所以∠ABF＝， 所以∠BAF＝∠ABF＝. 7．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0) 自上而下顺次与上述两曲线交于M，M，M，M 四点，则下列各式结果为定值的是( ) 1 2 3 4 A．|MM|·|MM| B．|FM|·|FM| 1 2 3 4 1 4 C．|MM|·|MM| D．|FM|·|MM| 1 3 2 4 1 1 2 答案 A 解析 如图，分别设M，M，M，M 四点的横坐标为x，x，x，x， 1 2 3 4 1 2 3 4由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l：x＝－1， 0 由定义得，|MF|＝x＋1， 1 1 又|MF|＝|MM|＋1， 1 1 2 所以|MM|＝x， 1 2 1 同理|MM|＝x， 3 4 4 由消去y整理得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)， 则xx＝1，即|MM|·|MM|＝1. 1 4 1 2 3 4 8．(2022·鹤壁模拟)已知椭圆Γ：＋＝1，过其左焦点F 作直线l交椭圆Γ于P，A两点，取 1 点P关于x轴的对称点B.若点G为△PAB的外心，则等于( ) A．2 B．3 C．4 D．以上都不对 答案 C 解析 根据题意可得F(－1,0)，显然直线PA的斜率存在，故可设其方程为y＝k(x＋1)， 1 联立椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设P(x，y)，A(x，y)， 1 1 2 2 故x＋x＝，xx＝， 1 2 1 2 y＋y＝k(x＋x)＋2k＝， 1 2 1 2 故|PA|＝×＝， 设PA的中点为H，则其坐标为＝， 显然x轴垂直平分PB，故可设G(x，0)，又GH所在直线的方程为y－＝－， 令y＝0，解得x＝， 故|GF|＝＝， 1 故＝＝4. 二、填空题 9．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是______________． 答案 [1,4)∪(4，＋∞) 解析 直线y＝kx＋1过定点(0,1)， 故点(0,1)在椭圆＋＝1上或内部，∴≤1，且m>0，m≠4， ∴m≥1，且m≠4. 10．(2022·江西大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C 交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________． 答案 5 解析 设M(x，y)，N(x，y)， 1 1 2 2 则y＝2px，y＝2px， 1 2 两式相减得y－y＝2px－2px， 1 2 即(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)， 1 2 1 2 1 2 因为M，N两点在斜率为的直线l上， 所以＝， 所以由(y－y)(y＋y)＝2p(x－x)， 1 2 1 2 1 2 得(y＋y)＝2p， 1 2 因为线段MN中点的纵坐标为， 所以y＋y＝2， 1 2 则×2＝2p，p＝5， 所以F到C的准线的距离为5. 11．(2022·湛江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交双 曲线C于A，B两点，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则双曲线C的离心率是________． 答案 ＋1 解析 设右焦点为F′，连接AF′，BF′(图略)． 因为2|OF|＝|AB|＝2c， 即|FF′|＝|AB|，可得四边形AFBF′为矩形． 在Rt△ABF中， |AF|＝2c·cos∠BAF＝2c·＝c， |BF|＝2c·sin∠BAF＝2c·＝c. 由双曲线的定义可得|AF|－|AF′|＝2a， 所以2a＝(－1)c， 所以离心率e＝＝＝＋1. 12．(2022·哈尔滨模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 且与x轴垂 1 2 1 直的直线与椭圆交于A，B两点，直线AF 与椭圆的另一个交点为C，若S ＝ ， 2 △ABC 则椭圆的离心率为________． 答案 解析 设椭圆的左、右焦点分别为F(－c，0)，F(c，0)，将x＝－c代入椭圆方程可得y＝ 1 2±，可设A， C(x，y)， 由S ＝ ，得AF2＝3F2C， △ABC 即有＝3(x－c，y)， 所以2c＝3x－3c，－＝3y， 解得x＝，y＝－， 代入椭圆方程可得＋＝1， 即25c2＋b2＝9a2. 因为b2＝a2－c2，所以a2＝3c2，即a＝c， 所以e＝＝. 三、解答题 13.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F ，F ， 1 2 线段OF，OF 的中点分别为B，B，且△ABB 是面积为4的直角三角形． 1 2 1 2 1 2 (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过B 作直线交椭圆于P，Q两点，使PB⊥QB，求△PBQ的面积． 1 2 2 2 解 (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)， F(c，0)，∵△ABB 是直角三角形，且|AB|＝|AB|，∴∠BAB ＝，∴|OA|＝|OB|，即b＝，∵c2 2 1 2 1 2 1 2 2 ＝a2－b2，∴a2＝5b2，c2＝4b2，∴e＝＝，在△ABB 中，OA⊥BB ，∴S＝|BB||OA|＝·b＝b2＝ 1 2 1 2 1 2 4，∴a2＝5b2＝20，∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由(1)知，B(－2,0)，B(2,0)，由题意，得直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方 1 2 程为x＝my－2，代入椭圆方程，消元可得(m2＋5)y2－4my－16＝0，① 设P(x ，y)，Q(x ，y)，∴y ＋y ＝，yy ＝ ，∵B2P＝(x －2，y)，B2Q＝(x －2，y)，且 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 PB⊥QB，∴B2P·B2Q＝(x－2)(x－2)＋yy＝－＝0， 2 2 1 2 1 2 ∴m＝±2，当m＝±2时，①可化为9y2±8y－16＝0，∴|y－y|＝＝ ， 1 2 ∴△PBQ的面积为S＝|BB||y－y|＝×4×＝. 2 1 2 1 2