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第六章 平行四边形（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案中是正确的，每小题2分，共20分）
1．（2021•宝山区三模）下列命题中正确的是
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
【分析】根据等腰梯形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解： 、对角线相等的梯形是等腰梯形，由全等三角形的判定与性质可证明出是等腰梯形，故本
选项正确；
、有两个角相等的梯形是等腰梯形，根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为 90
度，但不是等腰梯形，故本选项错误；
、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为没说明另一组对边的关系，有可能也平行，那么就有
可能是平行四边形，故本选项错误；
、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯
形．
故本选项错误；
故选： ．
2．（2022春•深圳期中）四边形 中，对角线 、 相交于点 ，给出下列四组条件：
① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等
的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平
行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．
【解答】解：① ， ，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；② ， ，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；
③ ， ，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项错误；
④ ， ，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；
故选： ．
3．（2022秋•烟台期末）在平行四边形 中，若 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】根据平行四边形对角相等即可求出 ，进而可求出 ．
【解答】解：在 中有： ， ，
，
，
，
故选： ．
4．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，四边形 是平行四边形，以点 为圆心， 的长为半径画弧，
交 于点 ；分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ；连结 并延长，
交 于点 ．连结 ，若 ， ，则 的长为
A．5 B．8 C．12 D．10
【分析】首先证明四边形 是菱形，利用勾股定理求出 即可．
【解答】解：如图，连接 ，设 交 于点 ．由作图可知： ， 平分 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是菱形，
，
， ，
在 中， ．
故选： ．
5．（2022秋•石景山区校级期末）如图， 是 的中位线，若 的面积为1，则四边形
的面积为
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】连接 ，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接 ，
点 是 的中点， 的面积为1，
的面积为1，
的面积为2，
点 是 的中点，
的面积为2，
四边形 的面积为3，故选： ．
6．（2022秋•平昌县期末）如图，在 中， 、 分别为 、 的中点，点 在 上，且
，若 ， ，则 的长为
A．1.5 B．1 C．0.5 D．2
【分析】根据三角形中位线定理求出 ，根据直角三角形的性质求出 ，计算即可．
【解答】解： 、 分别为 、 的中点， ，
，
，
，
为 的中点， ，
，
，
故选： ．
7．（2022秋•朝阳区校级期末）如图， 的周长为30， ，那么 的长度是
A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解： 的周长为30， ，设 为 ， 为 ，可得： ，
解得： ，
，
故选： ．
8．（2022•嘉定区二模）如图，在等腰梯形 中， ， ，对角线 、 相交于点
，那么下列结论一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据等腰梯形的性质证明 ，进而可以解决问题．
【解答】解： 四边形 是等腰梯形， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
结论一定成立的是 ．
故选 ．
9．如图，在 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ，若 ， ，
则 的长为
A． B．3 C． D．4【分析】利用平行四边形的性质得出 ，进而得出 ，再利用角平分线的性质得出
，进而得出 ，即可得出 的长，即可得出答案．
【解答】解：在平行四边形 中，
，
，
的角平分线交 于点 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
．
故选： ．
10．（2022秋•北碚区校级期末）下列说法不正确的是
A．平行四边形两组对边分别平行
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的两组对边分别平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质判断即可．
【解答】解： 、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2022秋•任城区期末）如图，在 中， 、 分别是 、 的中点， ， 是线段
上一点，连接 、 ， ．若 ，则 的长度是 ．【分析】根据三角形中位线定理得到 ，根据题意求出 ，根据直角三角形的性质求出 ．
【解答】解： 、 分别是 、 的中点，
，
，
，
，
，点 是 的中点，
，
故答案为：12．
12．如图，在梯形 中， ，若再加上一个条件 ，则可得梯形 是等腰梯形．
【分析】根据有两腰相等的梯形是等腰梯形 推出即可．
【解答】解：添加条件是 ，
理由是： 梯形 ， ， ，
梯形 是等腰梯形（有两腰相等的梯形是等腰梯形），
故答案为： ．
13．（2022秋•烟台期末）如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线 交
于 点，则 的长为 ．【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，由角平分线的定义和平行线的性质可得
，可求 ，即可求解．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为：2．
14．（2022秋•绥中县校级期末）如图，在 中，过点 作 ，垂足为 ，若 ，则
的度数为 ．
【分析】由平行四边形的性质得出 ，由直角三角形的两上锐角互余得出 即
可．
【解答】解： 四边形 是平行四边形， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
15．（2022秋•绿园区校级期末）如图，将一副三角板在平行四边形 中作如下摆放，设 ，
那么 ．【分析】过点 作 ，先根据平行线的性质可得 ，从而可得 ，再根
据平行四边形的性质可得 ，然后根据平行公理推论可得 ，最后根据平行线的性质即可
得．
【解答】解：如图，过点 作 ，
，
由题意得： ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
故答案为： ．
16．（2022春•宝山区校级月考）等腰梯形的一个锐角等于 ，腰长为 ，下底为 ，则上底为
．
【分析】首先过点 作 交 于点 ，即可得四边形 是平行四边形；根据平行四边形的对
边相等，可得 ， ，又由 ，易得 是等腰直角三角形，即可求得 的长，
即可求出 的长．
【解答】解：过点 作 交 于点 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，，
，
，
，
，
．
这个梯形的上底为 ，
故答案为： ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（2021秋•杜尔伯特县期末）如图，已知 中， 是 上一点， ， ，垂足是
， 是 的中点．求证： ．
【分析】根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形中位线定理证明结论．
【解答】证明： ， ，
，
是 的中点，
是 的中位线，
．
18．（2022春•静安区期中）如图，在 中， 、 分别是 、 边上的点， 与 交于点 ，
且 ， ．求证：四边形 是等腰梯形；【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，证明 ，
根据等腰梯形的概念证明结论；
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
四边形 是等腰梯形；
19．（2021春•岳麓区月考）如图，在 中， ， 的平分线 ， 分别与线段 交
于点 ， ， 与 交于点 ．
（1）求证： ， ．
（2）若 ， ， ，求 的长度．【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到 ；然后根据角平分线的性
质推知 ，即 ．证得 ，由等腰三角形的
判定可得出 ，同理可得 ，则可得出结论；
（ 2 ） 过 点 作 交 于 ， 交 于 点 ， 证 明 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ，
，得出 ，由勾股定理求出 ，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在平行四边形 中， ，
．
， 分别是 ， 的平分线，
， ．
．
．
．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
又 ，
，
，
同理可得 ，
；
（2）解：过点 作 交 于 ，交 于点 ，， ，
四边形 是平行四边形， ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
四、解答题：（第20题10分，第21题12分，共22分）
20．（2022 春•广安期末）如图， 和 的边 ， 在同一直线上，且 ，
， ，连接 ， ．求证：四边形 是平行四边形．
【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明： ，
，即 ，
在 与 中
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
21．如图，点 是平行四边形 内一点，若 ， ， ，求 的值．
【分析】延长 交 于 ，延长 交 于 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，则 为
等腰直角三角形，再证 和 均为等腰直角三角形，得 ，然后证 ，
则 ，即可求解；
【解答】解：延长 交 于 ，延长 交 于 ，在 上取点 ，使 ，连接 ，
则 为等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
， ，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
， ， ， ，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
．
五、解答题：（本题12分）
22．（2022春•三原县期末）如图1，在平行四边形 中，过点 作 交 于点 ，连接 ，
且 平分 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ， ，猜想 的形状并证明．【分析】（1）依据平行四边形的性质即可得到 ，依据 ，即可得出 ，进
而得到 ；
（2）判定 ，即可得到 ， ，进而得出 ，即
可得到 是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
又 ，
，
又 平分 ，
，
，
，
；
（2） 是等腰直角三角形，
证明： ，
，
又 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
即 ，
是等腰直角三角形．六、解答题：（本题12分）
23．（2022秋•张店区校级期末）如图①所示， 是某公园的平面示意图， 、 、 、 分别是
该公园的四个入口，两条主干道 、 交于点 ，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：
（1）若 ， ， ，公园的面积为 1.9 2 ；
（2）在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准
备修建三条绿道 、 、 ，其中点 在 上，点 在 上，且 （点 与点 、
不重合），并计划在 与 两块绿地所在区域种植郁金香，求种植郁金香区域的面积；
（3）若将公园扩大，此时 ， ， ，修建（2）中的绿道每千米费用为10万元，
请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得 、 ，作辅助线 ，从而求得 ，则可求得答案；
（2）根据已知条件可得 ，从而 的值转化为求 的值即可；
（3）由题意可知 为定值，从而将 沿 向下平移 至 ，连接 交 于点 ，此时点
位于 处，此时即为 取最小值，过 作 于点 ，先判定四边形 和四
边形 均为平行四边形，再用三角函数求得 、 、 的长，然后用勾股定理求得 的长，
进而求得 的长，则最短的绿道长度可得，从而费用的最小值可求得．
【解答】解： 四边形 是平行四边形， ， ，， ，
在 中，过点 作 于点 ，如图：
， ， ，
，
，
，
；
公园的面积为 ；
故答案为：1.92．
（2）连接 、 ，如图：
在 中， ，
，
，
， ， ，，
，
．
种植郁金香区域的面积为 ．
（3）将 沿 向下平移 至 ，连接 交 于点 ，此时点 位于 处，
此时即为 取最小值，过 作 于点 ，如图：
， ，
为 的中位线，
，
四边形 和四边形 均为平行四边形，
，
由图①及 ， 可知， ， ，
， ，
， ，
，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
、 、 和的最小值为： ，投入资金的最小值为： 万元．
七、解答题：(本题12分)
24．（2022春•通州区期末）只有一组对边平行的四边形叫做梯形，平行的两条边叫做梯形的底，不平行
的两条边叫做梯形的腰；两腰相等的梯形叫做等腰梯形，如图，四边形 是等腰梯形，请你结合我们
学习四边形的经验，猜想并证明等腰梯形的一条性质．
（1）文字描述性质 等腰梯形 中， ， ；
（2）证明过程．
已知： ．
求证： ．
证明： ．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质可求解；
（2）根据性质画出图形，由条件写出已知，由结论写出求证，再过点 作 交 于点 ．证明
四边形 是平行四边形可得 且 ，结合等腰三角形的性质证明 ，再利用
平行线的性质证明 ．
【解答】解：（1）文字描述性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；
故答案为：等腰梯形同一底边上的两个角相等．
（2）证明过程．
已知：如图，等腰梯形 中， ， ，
求证： ， ．
证明：如图，过点 作 交 于点 ．
， ，
四边形 是平行四边形．且 ，
，
，
，
，
，
， ，
．
故答案为：如图，等腰梯形 中， ， ，
， ．
证明过程见解答．
