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专题 6.6 平行四边形的判定（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A．AB CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB CD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
2．将△ABC平移得到△ ，若 ，则 的度数是（ ）
A．10° B．80° C．100° D．160°
3．百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直
线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形 （如图），以下结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④存在凹四边形 ，有 ．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
4．如图，将 绕边 的中点O顺时针旋转 ．嘉淇发现，旋转后的 与
构成平行四边形，并推理如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵
，”和“∴四边形…”之间作补充，下列补充不正确的是（ ）
点A，C分别转到了点C，A处，
而点B转到了点D处．
∵ ，∴四边形 是平行四边形．
A．应补充：且 B．应补充：且
C．应补充：且 D．应补充：且
5．如图，某花木场有一块如四边形 形状的空地，其中 ，其各
边中点分别是E、F、G、H，测得对角线 ，现想利用篱笆围成四边形 场地，
则需篱笆的总长度是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将 DEBF的对角线EF向两端延长，分别至点A和点C，且使AE＝CF，连接
▱
AB，BC，AD，CD．求证：四边形ABCD为平行四边形．
以下是证明过程，其顺序已被打乱，
①∴四边形ABCD为平行四边形；
②∵四边形DEBF为平行四边形，∴OD=OB，OE=OF；
③连接BD，交AC于点O；
④又∵AE=CF，∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC
正确的证明步骤是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
7． 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 ，使从 到 的路径 最短
的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ ）A．（ 垂直于 ） B．（ 不平行 ）
C．（ 垂直于 ） D．（ 平行 ）
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，
连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周
长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
9．如图， ， 分别是 的边 ， 上的点， ， ．将四边形
沿 翻折，得到 ， 交 于点 ．则 的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
10．证明：平行四边形的对角线互相平分
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O
求证：OA＝OC，OB＝OD
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴…
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC，OB＝OD
其中，在“四边形ABCD是平行四边形”与“∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO”之间应
补充的步骤是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AD//BC，AD＝BC
C．AB//CD，AD//BC D．AB//CD，AB＝CD
11．如图，设 是 边 上任意一点，设 的面积为 ， 的面积为 ，
的面积为 ，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、填空题
12．如图，在平行四边形 中， 相交于点O，点E，F在对角线 上，有下
列条件：① ；② ；③ ；④ ．其中一定能判定四边
形 是平行四边形的是______．
13．已知平面上有三个点，点 ，以点 ，点 点 为顶点画平行四
边形，则第四个顶点 的坐标为____．14．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，已知△ABC，A(2，3)，B(－2，0)，
C(0，－1)．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为
____________．
15．如图，在 中，对角线 ， ，垂足为 ，且 ，
，则 与 之间的距离为______．
16．如图，在□ 中，已知 ，点 在 边上以 的速度从点 向点
运动，点 在 边上以 的速度从点 出发在 上往返运动，两个点同时出发，当
点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），设运动时间为 ，若以 ， ， ，
四点为顶点的四边形是平行四边形，则 的值可以是__________．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形
外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S、S、S，若S＋S
1 2 3 1 3
＝4S，则 ＝___．
218．如图，在 ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点
▱
P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为
________________．
19．如图，己知 中，点M是BC的中点，线段AM、BD互相垂直，AM=3，
BD=6，则该平行四 边形的面积为____．
20．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分
别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
21．如图，在平行四边形ABCD中， ，E、F分别在CD和BC的延长线上，
， ， 则 ______．22．如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC＝5，且△ABD，△ACF，△BCE都是等边三
角形，下列结论中：①∠BAC＝90°；②四边形AFED为平行四边形；③四边形AFED面积
为10；④∠DEF＝30°，正确的是___．（填序号即可）
三、解答题
23．点D是 的边 上一点，且 ，点E是 的中点，若
，求 的长．
24．如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点逆时
针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AB上，连结CE．当BC=AC时，
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若AB＝15，AD＝18，求AC的长．25．如图，在四边形 中， ， ， ， ，
，点 从点 出发以 的速度向点 运动，点 从点 出发以 的速度
向点 运动， ， 两点同时出发，当点 到达点 时，两点同时停止运动．设运动时间
为 ．
（1）当 时，四边形 的面积为 ．
（2）若以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，求 的值；
（3）当 时，若 ，则当 为何值时， 是等腰三角形？
26．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作
EG∥AB交CB于点G．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）求证：CF＝BG；
（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．27．（教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
（定理证明）
（1）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
（定理应用）（2）如图②，四边形 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，边 、
延长线交于点 ， ，则 的度数是_______．
（3）如图③，矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ．将线段
绕点 旋转一定的角度 ，得到线段 ， 是线段 的中点，直接
写出旋转过程中线段 长的最大值和最小值．
参考答案
1．C
【分析】
根据平行四边形的判定方法即可判断．
【详解】
解：A、由AB CD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形，
故本选项不符合题意；
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，有可能是等腰梯形，
故本选项不符合题意；
C、∵AB CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
2．B
【分析】
利用平移的性质证明四边形 为平行四边形，根据对角相等即可解答．
【详解】
解：由题意作下图：由平移的性质知，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平移的性
质．
3．A
【分析】
根据凹四边形的定义及相关知识，逐项加以甄别即可．
【详解】
解：①如图1，连接AC并延长到点E．即
所以结论①正确；
②如图2，连接BD，作直线AC．
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
所以结论②正确；
③如图③，
由①可知，当 时，有
因再无其它已知条件证得BC=CD，所以结论③错误；
④如图④，假设存在凹四边形ABCD，连接AC．
当 时，
∴ΔABC≅ΔCDA(SSS)．
∴AB∥CD，BC∥DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵平行四边形是凸四边形，
这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾．
∴不存在凹四边形ABCD，使得
所以结论④错误．
故选：A
【点拨】本题考查了对新定义的理解、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的判定、反
证法等知识点，综合运用上述的知识点，对每个结论加以推理证明是解题的关键．
4．C
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个分析即可．
【详解】
A．加上 ，可证得时间△ABC和△CDA全等，可得AB=CD，可得四边形
是平行四边形；
B．加上 ，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可得四边形
是平行四边形；
C．加上 ，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形；
D．加上 ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形
是平行四边形．
故选：C
【点拨】考核知识点：平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是关键．
5．C
【分析】
过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD，则可得四边形AMCD是平行四边形，从而
AB=AM=DC；可证△ABC≌△DCB，则可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分别为中点，
由三角形中位线定理，可得四边形EFGH是平行四边形，则可求得篱笆的总长度．
【详解】
过点A作AM∥DC交BC于点M，连接BD
则∠DCB=∠AMB
∵∠DCB=∠ABC
∴∠AMB=∠ABC
∴AM=AB
∵AD∥BC，AM∥DC
∴四边形AMCD是平行四边形
∴AM=DC
∴AB=DC
在△ABC与△DCB中
∴△ABC≌△DCB(SAS)∴BD=AC=10m
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点
∴GH=EF= ，EH=FG=
∴四边形EFGH是平行四边形
则篱笆的总长度为2(GH+EH)=20(m)
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，三角形中位线定理，涉及的知识点较多，掌握它们是关键．
6．C
【分析】
连接BD，交AC于点O，由平行四边形DEBF的性质可得OD=OB，OE=OF，从而由已知
可得OA=OC，即可得四边形ABCD为平行四边形．
【详解】
连接BD，交AC于点O，如图
∵四边形DEBF为平行四边形
∴OD=OB，OE=OF
∵AE=CF
∴AE+OE=CF+OF
即OA=OC
∴四边形ABCD为平行四边形故正确的证明步骤是：③②④①
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关
键．
7．D
【分析】
过点 作河的垂线 ，要使最短， 直线 ， ，连接 即可得出 ，作出
、 、 即可．
【详解】
根据垂线段最短，得出 是河的宽时， 最短，即 直线 （或直线 ），只要
最短即可，
即过 作河岸 的垂线 ，垂足为 ，在直线 上取点 ，使 等于河宽，连接 交
河的 边岸于 ，作 垂直于河岸交 边的岸于 点，所得 即为所求．
易得四边形 是平行四边形，则 ，即 ．
故选： ．
【点拨】本题考查了最短路线问题，垂线段最短，三角形的三边关系定理的应用，关键是
如何找出 、 点的位置．
8．C
【分析】
由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE= BC，
根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得
MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形
DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．
【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE= BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中， ，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与
性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
9．C
【分析】
由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出
△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．
【详解】
解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝60°，
∴△GEF是等边三角形，
∴EF＝FG＝GE＝6，
∴△GEF的周长为6×3＝18，故选：C．
【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是
等边三角形，是解决问题的关键．
10．D
【分析】
根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题
的关键；
11．A
【分析】
如图（见解析），过点M作 ，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边
形 和四边形 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得．
【详解】
如图，过点M作 ，交CD于点N，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
四边形 和四边形 都是平行四边形，
，
，
故选：A．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，通过作辅助线，构造平行四边形是解题关
键．
12．①④
【分析】
根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论．
【详解】
解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
∵BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE=CF，不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形；
③∠EAB=∠FCO不能判定四边形AECF是平行四边形；
④∵AF∥CE，
∴∠AFB=∠CED，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴BF=DE，
∴BF-OB=DE-OD，
即OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：①④．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质
等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
13． 或 或
【分析】
根据平行四边形的性质，分别以AB、AC、BC为对角线画出平行四边形，然后写出第四个
顶点D的坐标．
【详解】
如图，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（0，2）或（6，6）或
（4，-2）．
故答案为：（0，2）或（6，6）或（4，-2）．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质．根据平行四边形的性质，结合
坐标画出图形，找出D点坐标的三种情况．
14．(0，4)或(4，2)或(－4，－4)
【分析】
根据题意画出图形，然后根据图形即可求得平行四边形中点D的坐标．
【详解】
解：如图，若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为D（0，4）或D（4，
1 2
2）或D（-4，-4）．
3
故答案为：（0，4）或（4，2）或（-4，-4）．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
15． ．
【分析】
设 与 之间的距离为 ，由条件可知 的面积是 的面积的2倍，可求得
的面积， ，因此可求得 的长．
【详解】
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 与 之间的距离为 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC
的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积
的一半来求解）．
16． 或 或
【分析】
根据平行四边形的性质得出 ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设经过 秒，以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
在 上运动， ，即 ，
以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形， ，
分为以下情况：①点 的运动路线是 ，方程为 ，解得： ；
②点 的运动路线是 ，方程为 ，解得： ；
③点 的运动路线是 ，方程为 ，解得： ；
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关
键，用了分类讨论思想．
17．3
【分析】
过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性
质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边．
【详解】
解：过点A作AE∥DC交CB于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，∴AD＝CE，DC＝AE，∠BCD＝∠AEB，
∵∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∵S＝AB2，S＝AD2＝BE2，S＝DC2＝AE2，
1 2 3
∵S+S＝4S，
1 3 2
∴AB2+DC2＝AB2+AE2＝4AD2＝BE2，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理，准确计算是解题的关键．
18．
【分析】
利用平行四边形的知识，将 的最小值转化为 的最小值，再利用勾股定理
求出MC的长度，即可求解；
【详解】
过点A作 且 ，连接MP，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
将 的最小值转化为 的最小值，当M、P、C三点共线时， 的最
小，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ；
故答案是： ．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，勾股定理，准确计算是解题的关键．
19．12
【分析】
由题意连接MD,根据三角形同底同高可得 ，再利用平行四边形的性质得出
，进而运用面积的比例进行分析计算即可求得平行四边形的面积．
【详解】
解：由题意连接MD,∵点M是BC的中点，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵线段AM、BD互相垂直，AM=3，BD=6，
∴S = ,
四边形ABMD
∵S = ,
四边形ABMD
∴ ,
∴ ．
故答案为：12．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握三角形同底同高其面积相等以及平行四边
形的对角线平分平行四边形的面积是解题的关键．
20．8
【分析】
根据题意由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝
∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四
边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结
论．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质和平行线的性质以及平行四边形的性质等知识，
解答本题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平行四边形的性质．
21．8
【分析】
证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=CD＝ ， ， 过点E作
EH⊥BF于H，证得CH=EH，利用勾股定理求出EH，再根据30度角的性质求出EF．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AB=CD，
∵ ，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=CD＝ ， ，
过点E作EH⊥BF于H，
∵ ，
∴∠ECH= ，
∴CH=EH，
∵ ， ，∴CH=EH=4，
∵∠EHF=90°， ，
∴EF=2EH=8，
故答案为：8．
【点拨】此题考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟
记各知识点并应用解决问题是解题的关键．
22．①②④
【分析】
根据勾股定理的逆定理可判断①；根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质可证
得DE＝AF，AD＝EF，进而可判断②；根据等腰三角形的三线合一可证得FG＝ FC＝
，进而利用平行四边形的面积公式可判断③；根据平行四边形的对角相等可判断④．
【详解】
解：如图，
∵AC＝3，AB＝4，BC＝5，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，故①正确；∵△ACF，△BCE都是等边三角形，
∴AC＝FC＝3，BC＝EC，∠ACF＝∠BCE＝60°，
∴∠ACF－∠BCF＝∠BCE－∠BCF，
即∠ACB＝∠FCE，
在△ACB与△FCE中，
，
∴△ACB≌△FCE（SAS），
∴EF＝BA，∠EFC＝∠BAC＝90°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AD＝BA，
∴AD＝EF，
∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴AB＝DB＝AD＝4，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴∠ABD－∠CBD＝∠CBE－∠CBD，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝DE，
∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF，
∵DE＝AF，AD＝EF，
∴四边形AFED为平行四边形，故②正确；
∴AD EF，
∴∠EFA＋∠FAD＝180°，∠EFC＋∠FGD＝180°，
∵∠EFC＝90°，∠AFC＝60°，∴∠FAD＝180°－(∠EFC＋∠AFC)＝30°，∠FGD＝90°，
∴FG⊥AD，
又∵∠FAC＝60°，
∴∠CAD＝∠FAC－∠FAD＝30°＝∠FAD，
∴FG＝ FC＝ ，
∴平行四边形AFED的面积＝AD·FG＝4× ＝6，故③错误；
∵四边形AFED为平行四边形，
∴∠DEF＝∠FAD＝30°，故④正确，
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，
等腰三角形的三线合一等相关图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决本题
的关键．
23．
【分析】
延长AE至F，使 ，连接BF、DF、CF，则 ，证明四边形ABFD是平行
四边形，得出 ，证出 ， 是等边三角形，得出
，得出 ，由SAS证明 ，得出
，即可得出结论．
【详解】
延长AE至F，使 ，连接BF、DF、CF，如图所示：
则 ，点E是BD的中点，
，
四边形ABFD是平行四边形，
，∠BFD=∠BAC=60°，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的
判定与性质等知识；通过作辅助线证出平行四边形和全等三角形是解决问题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用旋转的性质得到AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，证明BE=AC，BE∥AC，即可
证明结论；
（2）过点B作BH⊥AD，先得出AH=12，设AC=BC=x，则CH=x-9，在Rt△HCB中，利用
勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，∴AB=BD，BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠A=∠BDA，
∵BC=AC，
∴∠A=∠ABC，BE=AC，
∴∠BDA=∠DBE，
∴BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形；
（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，
∵BD=BA，BH⊥AD，
∴AH= AD＝9，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
BH= ＝12，
设AC=BC=x，则CH=x-9，
在Rt△HCB中，由勾股定理得：
（x-9）2+122=x2，
解得= ，
∴AC的长为 ．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，勾股定理
等知识，作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．
25．（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）当 时，算出AQ、PB的值，进而求出DQ、PC的值，由平行四边形的判定得出
四边形 为平行四边形，进而求出平行四边形的面积；
（2） 未到达 点时，要使四边形 是平行四边形，由平行四边形的性质得出
，列出等式解答即可；
（3）分 ， 两种情况讨论计算，求出时间即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵边形 中， ， ， ， ， ，
点 从点 出发以 的速度向点 运动，点 从点 出发以 的速度向点 运动，
当 时，AQ＝4cm，PB＝8cm，
∴DQ＝16－2＝12cm，PC＝20－8＝12cm，
∴DQ ＝PC，
∴此时四边形 为平行四边形，
四边形 的面积为： ，
故答案为： ；
（2） 未到达 点时，要使四边形 是平行四边形，
则 ，
，
解得 ．
四边形 是平行四边形时， 的值是 ．
（3）①如图，若 ，
过点 作 于点 ，
则 ，，
，
，
，
解得： ．
②如图，若 ，
过 作 于 ，
则 ，
，
在 中，
，
，
解得 ．
当 或 时， 是等腰三角形．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应
用，作辅助线利用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由余角的性质可得∠3=∠7=∠4，可得CE=CF，可得△CEF为等腰三角形；
（2）过E作EM∥BC交AB于M，得出平行四边形EMBG，推出BG=EM，由“AAS”可证△CAE≌△MAE，推出CE=EM，由三角形的面积关系可求GB的长；
（3）证明△CEF是等边三角形，求出BC，可得结论．
【详解】
（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠7，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）证明：
过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE＝EM，
∵CE＝CF，EM＝BG，
∴CF＝BG．
（3）∵CD⊥AB，EG∥AB，
∴EG⊥CD，
∴∠CEG＝90°，
∵CF＝FG，
∴EF＝CF＝FG，
∵CE＝CF，
∴CE＝CF＝EF＝1，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∴BC＝3，∠B＝30°，
∴
∴Rt△ABC中
∴
解得 ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质
和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，
有一定的难度．
27．（1）见解析；（2） ；（3） 长的最大值为 ，最小值为 ．
【分析】
（1）延长 至 ，使 ，连接 ，根据题意证明 ，然后证明四
边形 为平行四边形，即可得出 ， ；（2）首先根据三角形外角的性质得到 ，然后由三角形中位线的性质
得到 ， ，可得到 ，由
即可求出 的度数．
（3）延长 至 ，使 ，连接 ， ，可得 ，可得当FH最小或
最大时，MB最小或最大，由题意可得当点 在线段 上时， 最小，当点 在线段
的延长线上时， 最大，根据勾股定理求出AH的长度，然后即可求出线段 长的
最大值和最小值．
【详解】
（1）证明：延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
， ；
（2）∵ 、 、 分别为 、 、 的中点，
∴ 是△DAB的中位线， 是△BCD的中位线，∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 至 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，由勾股定理得， ，
当点 在线段 上时， 最小，最小值为 ，
当点 在线段 的延长线上时， 最大，最大值为 ，
长的最大值为 ，最小值为 ．
【点拨】此题考查了三角形中位线的性质，勾股定理的运用，线段最值问题，平行四边形
的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，
勾股定理．
