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考点 8-2 椭圆及其性质
1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、
右顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
2．（2019·福建·高考模拟（文））设圆锥曲线r的两个焦点分别为F，F，若曲线r上存在点P满足|PF |：|
1 2 1
FF|：|PF |=4：3：2，则曲线r的离心率等于
1 2 2
A． B． 或2 C． 2 D．
【答案】A
【详解】试题分析：根据题意可设出|PF |，|FF|和|PF |，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用
1 1 2 2
定义表示出a和c，则离心率可得．
解：依题意设|PF |=4t，|FF|=3t，|PF |=2t，
1 1 2 2
若曲线为椭圆则2a=|PF |+|PF |=6t，c= t
1 2
则e= = ，
若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c= t∴e= =
故选A
点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．
3．（2020·浙江·高考模拟（文））如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的
两顶点.若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】 是双曲线的两顶点， 将椭圆长轴四等分
椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 倍
双曲线与椭圆有公共焦点，
的离心率的比值是
故答案选
4.（2022·全国·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心
率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是________________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜
率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程
，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据
对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
5．（2021·福建·高考模拟（理））椭圆 的左右焦点分别为 ,焦距为 ，若直
线 与椭圆的一个交点满足 ,则该椭圆的离心率等于_____
【答案】
【详解】注意到直线过点 即为左焦点 ，又斜率为 ，所以倾斜角为 ，即 ．又
故 ，那么 ． ，
， ．
【考点定位】考查离心率的算法，要求学生要有敏锐的观察力，比如直线的特征．属于难题．6.（2022·全国·高三练习）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点
M在椭圆C上，若 ，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，代入 中，可得 ，再利用 ，即可求
出离心率的取值范围，从而可判断出离心率不可能的值
【详解】设 ．因为点M在椭圆C上，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
由题意可知 ，
即 ．
由 ，可得 ，即 ，显然成立．
由 ，可得 ，则 ．
又 ，所以 ，
因为 ， ， ， ，
故选：A．
7．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆 ： 的两个焦点为 ， ，过 的直
线与 交于A，B两点.若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件以及椭圆的定义,将 , 用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立
方程,即可求解.【详解】设 ,则 , .
由椭圆的定义可知 ,所以 ,所以 , .
在△ABF 中, .
1
所以在△AFF 中, ,
1 2
即 整理可得： ,
所以
故选：C
8．（2022·北京市十一学校高三模拟）已知椭圆C： （ ）的左､右顶点分别为 ， ，
且以线段 为直径的圆与直线 相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D． .
【答案】B
【分析】由题设以线段 为直径的圆为 ，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求
椭圆C的离心率的范围.
【详解】由题设，以线段 为直径的圆为 ，与直线 相交，
所以 ，可得 ，即 ，又 ，
所以 .
故选：B
9.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 分别为椭
圆的上、下顶点，直线 与椭圆的另一个交点为 若 则直线 的斜率为___.【答案】
【分析】由 ，可得 的值，即可求出 的值，设 ，可得 ，
从而可得 ，进而由 ，可求出 .
【详解】由题意， ，解得 ，
因为 ，所以 ，故 .
设 ，则 ，即 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 .
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 1 的左、右焦点分别为 ， ，点
在椭圆 上，其中 ，若 ，| | ，则椭圆 的离心率
的取值范围为_____．
【答案】( ， ]【分析】设 ，由已知得到 的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，
求出e的范围.
【详解】设 ，由 ，知 ，
因为 ， 在椭圆 上， ，
所以四边形 为矩形， ；
由 ，可得 1，
由椭圆的定义可得 ， ①，
平方相减可得 ②，
由①②得 ；
令t ，
令 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
11.（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，经过 的直线交椭圆于 ， ， 的内切圆的圆心为 ，若 ，则该椭圆
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 变形得到 ，进而得到以 ，结合椭
圆定义可求出 ， ， ，由余弦定理求解 关系式，求出离心率.
【详解】因为 ，所以 ，
如图，在 上取一点M，使得 ，连接 ，则 ，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
由椭圆定义可知： ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
故点A与上顶点重合，
在 中，由余弦定理得：
，
在 中， ，
解得： ，
所以椭圆离心率为 .故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出 的齐次方程，
解出离心率，本题的难点在于如何将 进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到
三角形 三边关系，求出离心率.
12．（2021·江苏省天一中学高三预测）如图，设 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是以 为直径
的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由已知条件及椭圆、圆的性质得 ， ， 且
，根据勾股定理列方程求x，进而求椭圆离心率.
【详解】连 ，若 ，则 ， ， ，又 ，则 ，即 ，得 ，
又 ，即 ， 代入得 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系，利用勾股定理列齐次方程求离心率.
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直
线 与过 的直线 交于点 ，线段 的中点为 ，线段 的垂直平分线 与 的交点 （第一象
限）在椭圆上，若 为坐标原点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形的中位线、线段的中垂线、椭圆的定义对 转化，用P点的坐标表示，通过P点在
第一想象的范围，求出范围.
【详解】如图所示，点 在 轴右边，因为 为 的垂直平分线，所以 ．
由中位线定理可得 ．
设点 ．
由两点间的距离公式，得
，
同理可得 ，
所以 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，
+故 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
故 的取值范围为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了椭圆的定义、直线和椭圆的关系、三角形中位线和线段的中垂线的几何性质，考查了
数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于难题.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 1 的左、右焦点分别为 ， ，点
在椭圆 上，其中 ，若 ，| | ，则椭圆 的离心率
的取值范围为_____．
【答案】( ， ]
【分析】设 ，由已知得到 的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，
求出e的范围.
【详解】设 ，由 ，知 ，因为 ， 在椭圆 上， ，
所以四边形 为矩形， ；
由 ，可得 1，
由椭圆的定义可得 ， ①，
平方相减可得 ②，
由①②得 ；
令t ，
令 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知椭圆的方程为 ， ， 为椭圆的左右焦
点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为 的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为 ，若
，则 的值为___________.
【答案】
【分析】连接 ､ ， 是 的内心，得到 为 的角平分线，即 到直线 ､ 的距离
相等，利用三角形的面积比，得到 ，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】解：如图所示，连接 ､ ， 是 的内心，所以 ､ 分别是 和 的角平
分线，
由于经过点 与 的内切圆圆心 的直线交 轴于点 ，
则 为 的角平分线，则 到直线 ､ 的距离相等，
所以 ，同理可得 ， ，
由比例关系性质可知 .
又椭圆的离心率 .所以 ，所以 ，故 ，
故答案为：4.
